初中数学几何图形的最大面积

专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.FEPQDCBA能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.FOEDCB A（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCBA（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。

中考压轴题:二次函数中的面积问题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题课型一对一/一对N教学目标1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．重、难点割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

课首沟通1、上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？2、在初中学习二次函数过程中，是否还存在思维障碍和知识点？3、面对二次函数图象中的图形平移得到面积问题能不能自我总结出一般法则呢？知识导图导学一：二次函数中求面积的最值知识点讲解 1：直接公式法求解图形面积S△ = a ha d (d表示已知点到直线的距离)2、割补（和差）法以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：或S△ =3、平行线等积变换①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC= S△DBC，S△AOB =S△COD例 1. （2015潍坊中考改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2－x1＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．【学有所获】图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)(2)(3)[学有所获答案] (1) 直接公式求法(2) 割补法(3) 平行线等积变换法我爱展示1.（2014海珠一模）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）与轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE＝90°时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．2.（2015越秀期末考试）如图，已知抛物线y＝x2＋ax＋4a与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C且OB＝OC，点P为抛物线上的一个动点，且点P位于x轴下方，点P与点C不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC的面积为，求点P的坐标；（3）若以A，B，C，P为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，对应的点P有且只有2个?导学二：二次函数中的图形平移、折叠问题知识点讲解 1：二次函数、一次函数图象平移法则将（）的图像如何平移到的图像。

第1课时几何图形面积问题[人教版九年级上册](2912)1.乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x的变化而变化．（1）S与x之间的函数解析式为(写出自变量的取值范围)；（2）当x=时，这个三角形的面积S最大，最大面积是.2.如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度运动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.当△PBQ的面积最大时，运动时间为s.3.已知直角三角形两条直角边的和等于20，当两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？4.用52cm的铁丝弯成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，则另一边长为cm，矩形的面积S=，自变量x的取值范围为．当x=时，该矩形的面积最大，为cm2.5.如图，已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30∘，若边长AB=xcm．（1）平行四边形ABCD的面积y(cm2)与x之间的函数解析式为，自变量x的取值范围为；（2）当x取时,y的值最大，最大值为．6.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.7.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数解析式(写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？8.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开.已知整个隔离区塑料膜总长为12m，若隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2，则（）A.小明正确，小亮错误B.小明错误，小亮正确C.两人均正确D.两人均错误9.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm/s的速度沿各边向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动.在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.10.有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C= 135°，∠E>90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．参考答案1.【答案】:S=−12x2+20x(0<x<40)；20cm.；200cm2.2.【答案】:2【解析】:设运动时间为t s.根据题意,得S△PBQ=12×(8−2t)t=−t2+4t=−(t−2)2+4，则由函数图象知，当t=2时，△PBQ的面积最大，为4cm2.3.【答案】:解：设直角三角形的直角边为x，则另一直角边为20−x，这个直角三角形的面积为S，根据题意得：S=12x(20−x)(0<x<20)配方得：S=−12(x−10)2+50，∴当x=10时，S最大为50，则20−10=10，∴当两直角边长均为10时，面积最大，最大值为50.4.【答案】:(26−x)；−x2+26x；0<x<26.；13；1695.【答案】:y=−12x2+2x；0<x<4；2；2【解析】:由ABCD的周长为8cm及AB=xcm，知BC=(4−x)cm．过点A作AH⊥BC于点H，则AH=12xcm，所以y=12x(4−x)=−12x2+2x=−12(x−2)2+2，即当x=2时,y有最大值，最大值为26.【答案】:12.5【解析】:设其中一段铁丝的长为xcm,则另一段铁丝的长为(20−x)cm,则正方形的面积之和为(x4)2+(20−x4)2=18(x2−20x+100)+12.5=18(x−10)2+12.5, ∴当两小段铁丝的长都等于10cm时，面积之和最小，最小值为12.5cm27(1)【答案】解：由题意，得：S =12x(60−x)=−12x 2+30x(0<x <60).(2)【答案】∵S =−12x 2+30x ，a =−12<0，∴S 有最大值．当x =−b 2a =−302×(−12)=30时，S 的最大面积为4ac−b 24a =4×(−12)×0−3024×(−12)=450.∴当x 是30cm 时，菱形风筝的面积S 最大，最大面积为450cm 2.8.【答案】:B【解析】:设隔离区平行于墙的一边长为xm(0<x ≤5)，隔离区的面积为S m 2. 由题意，得S =12−x 3·x =−13x 2+4x ，∴对称轴为直线x =−42×(−13)=6.∵0<x ≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S 随x 的增大而增大，∴当x =5时，S 取得最大值，最大值为−13×52+4×5=−253+20=353. ∵9<353<12，∴小明错误；令S =9，得9=−13x 2+4x ，解得x 1=9(舍去），x 2=3，∴当x =3时，S =9，∴隔离区的面积可能为9m 2. 故选B .9.【答案】:3；18【解析】:设运动时间为t s (0≤t ≤6)，则AE =t cm ，AH =(6−t)cm .根据题意，得S 四边形EFGH =S 正方形ABCD −4S △AEH=6×6−4×12t(6−t)=2t 2−12t +36=2(t −3)2+18， 所以当t =3时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是18cm 2.10(1)【答案】解：①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CF⊥AE于F，S1=AB⋅BC=6×5=30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF//AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCH=45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，∴BG=CH=FH=FG−HG=6−5=1，∴AG=AB−BG=6−1=5，∴S2=AE⋅AG=6×5=30；【解析】:①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1=AB⋅BC=6×5=30；②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF//AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C 作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG−HG=1，AG=AB−BG=5，得出S2=AE⋅AG=6×5=30；(2)【答案】能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCG=45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6−x，∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11−x，∴S=AM×FM=x(11−x)=−x2+11x=−(x−5.5)2+30.25，∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．【解析】:在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG= BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6−x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM= 11−x，得出S=AM×FM=x(11−x)=−x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．。

一、选择题1．(0分)[ID ：68649]将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D2．(0分)[ID ：68644]将如图所示的直角三角形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：68643]点 A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点 A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若 BC ＝2，则 AC 等于（ ） A ．3 B ．2C ．3 或 5D ．2 或 64．(0分)[ID ：68642]一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（ ） A ．140°B ．130°C ．50°D ．40°5．(0分)[ID ：68634]如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是A ．美B ．丽C ．云D ．南6．(0分)[ID ：68631]已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则∠β的余角可以表示为（ ）A ．12α∠ B ．12β∠ C ．()12αβ∠-∠ D ．()1+2αβ∠∠ 7．(0分)[ID ：68627]一副三角板按如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数小20︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．55︒8．(0分)[ID ：68604]如图，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个整数点(即各点均表示整数)，且2AB ＝BC ＝3CD ，若A ，D 两点表示的数分别为-5和6，点E 为BD 的中点，在数轴上的整数点中，离点E 最近的点表示的数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-19．(0分)[ID ：68600]下列说法正确的是（ ）A ．射线PA 和射线AP 是同一条射线B ．射线OA 的长度是3cmC ．直线,AB CD 相交于点 PD ．两点确定一条直线10．(0分)[ID ：68590]如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF m =，CD n =，则AB =( )A ．m n -B ．m n +C ．2m n -D ．2m n +11．(0分)[ID ：68588]体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q12．(0分)[ID ：68584]一根直木棒长10厘米，棒上有刻度如图，若把它作为尺子，只测量一次，能测量的长度共有（ ）A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种 13．(0分)[ID ：68578]已知线段AB=5，C 是直线AB 上一点，BC=2，则线段AC 长为（ ） A ．7B ．3C ．3或7D ．以上都不对14．(0分)[ID ：68568]如下图，直线的表示方法正确的是（ ） ① ②③④A ．都正确B ．只有②正确C ．只有③正确D ．都不正确15．(0分)[ID ：68566]两个锐角的和是（ ） A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或直角或钝角二、填空题16．(0分)[ID ：68714]硬币在桌面上快速地转动时，看上去象球，这说明了_________________．17．(0分)[ID ：68711]如图，能用O ，A ，B ，C 中的两个字母表示的不同射线有____条．18．(0分)[ID ：68726]从起始站A 市坐火车到终点站G 市中途共停靠5次，各站点到A 市距离如下： 站点B C D E F G 到A 市距离(千米)4458051135149518252270若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价____种．19．(0分)[ID ：68707]如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 分别在线段AB 上，且ADDB＝23，AEEB ＝2，则CD CE的值为____．20．(0分)[ID ：68685]用一个平面分别截棱柱、圆锥，都能截出的一个图形是________. 21．(0分)[ID ：68683]把棱长为1cm 的四个正方体拼接成一个长方体，则在所得长方体中，表面积最大等于________2cm .22．(0分)[ID ：68672]乘火车从A 站出发，沿途经过3个车站方可到达B 站，那么在A ，B 两站之间需要安排不同的车票________种．23．(0分)[ID ：68666]填空：（1）8.76︒=________︒________'________''；（2）41348︒'''=________︒；（3）36000''=________'=________︒；（4）0.15︒=________'=________''.24．(0分)[ID ：68750]如图，线段AB 被点C ，D 分成2:4:7三部分，M ，N 分别是AC ，DB 的中点，若17MN cm =，则BD =__cm ．25．(0分)[ID ：68744]如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝_______.26．(0分)[ID ：68737]若∠B 的余角为57.12°，则∠B=_____°_____’_____”27．(0分)[ID ：68734]如图，::2:3:4AB BC CD =，AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是3cm ，则BC =______．三、解答题28．(0分)[ID ：68793]P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .（1）若8AP cm =， ①运动1s 后，求CD 的长；②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =； （2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.29．(0分)[ID ：68784]如图，∠AOB=∠DOC=90°，OE 平分∠AOD ，反向延长射线OE 至F.（1）∠AOD 和∠BOC 是否互补？说明理由； （2）射线OF 是∠BOC 的平分线吗？说明理由；（3）反向延长射线OA 至点G ，射线OG 将∠COF 分成了4：3的两个角，求∠AOD ． 30．(0分)[ID ：68804]如图，A 、B 、C 三点在一条直线上，根据图形填空： （1）AC ＝ + + ； （2）AB ＝AC ﹣ ； （3）DB+BC ＝ ﹣AD（4）若AC ＝8cm ，D 是线段AC 中点，B 是线段DC 中点，求线段AB 的长．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．D4．C5．D6．C7．D8．A9．D10．C11．C12．B13．C14．C15．D二、填空题16．面动成体【分析】本题是面动成体的原理在现实中的具体表现根据面动成体原理解答即可【详解】硬币在桌面上快速地转动时看上去象球这说明了面动成体故答案为面动成体【点睛】本题考查了点线面体掌握面动成体原理是解17．7【分析】找射线可以先找到一个端点然后以这个端点发散本题可以分别以ABCO为端点找到不同的射线【详解】以点O为端点并且能用两个字母表示的射线是OAOBOC以点A 为端点并且能用两个字母表示的射线是AC18．14【分析】画出图形后分别求出BCCDDEEFFG的大小可得AB＝FGBC＝DECD＝EF然后根据票价是由路程决定再分别求出从ABCDEF出发的情况相加即可【详解】解：①从A分别到BCDEFG共6种19．【分析】由线段中点的定义可得AC=BC=AB根据线段的和差关系及＝＝2可得出CDCE 与AB的关系进而可得答案【详解】∵点C是线段AB的中点∴AC=BC=AB∵＝＝2BD=AB-ADAE=AB-BE∴20．三角形【分析】分析用一个平面分别去截圆锥棱柱分别能够得到哪些截面图形然后从分别得到的截面图形中找出都有的图形即可【详解】用一个平面去截棱柱可以得到三角形长方形；用一个平面去截圆锥可以得到圆三角形等故21．【分析】棱长为1cm的正方体拼的表面积是6要使拼接成的长方体表面积最大则重合的面要最少当四个正方体排成一列时面积最大重合的有6个面【详解】解：当四个正方体排成一列时面积最大重合的有6个面根据以上分析22．20【解析】【分析】本题需先求出AB之间共有多少条线段根据线段的条数即可求出车票的种数【详解】设点CDE是线段AB上的三个点根据题意可得：图中共用=10条线段∵A到B与B到A车票不同∴从A到B的车票23．4536423600109540【分析】根据题意可知（1）（2）（3）（4）都是度分秒的计算由度化度分秒的运算法则整数的度数直接填入度数小数部分乘以60即可得到分分的小数部分乘以60得到秒；度分秒化24．14【分析】线段AB被点CD分成2：4：7三部分于是设AC=2xCD=4xBD=7x由于MN分别是ACDB的中点于是得到CM=AC=xDN=BD=x根据MN=17cm列方程即可得到结论【详解】解：线25．【分析】先求出∠CAB及∠ABC的度数再根据三角形内角和是180°即可进行解答【详解】∵C岛在A岛的北偏东60°方向在B岛的北偏西45°方向∴∠CAB+∠ABC=180°﹣（60°+45°）=75°26．5248【分析】根据互为余角列式再进行度分秒换算求出结果【详解】5712°=根据题意得：∠B=90°-=-==故答案为【点睛】本题考查余角的定义正确进行角度的计算是解题的关键27．5cm【分析】运用方程的思想设AB=2xcmBC=3xcmCD=4xcm求出MB=xcmCN=2xcm得出方程x+3x+2x=3求出即可【详解】解：设AB=2xcmBC=3xcmCD=4xcm∵M是三、解答题28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】根据折叠的性质，结合折叠不变性，可知剪下来的图形是C，有四个直角三角形构成的特殊四边形.故选C.2．B解析：B【分析】根据题意作出图形，即可进行判断．【详解】将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，故选B．【点睛】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．3．D解析：D【解析】试题此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，∴AB=4．第一种情况：在AB外，如答图1，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，如答图2，AC=4﹣2=2．故选D．4．C解析：C【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．【详解】设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，根据题意得，180°-α=3（90°-α）+10°，180°-α=270°-3α+10°，解得α=50°．故选C．【点睛】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．5．D解析：D【分析】如图，根据正方体展开图的11种特征，属于正方体展开图的“1-4-1”型，折成正方体后，“建”与“南”相对，“设”与“丽”相对，“美”与“云”相对．【详解】如图，根据正方体展开图的特征，折成正方体后，“建”与“南”相对，“设”与“丽”相对，“美”与“云”相对．故选D．6．C解析：C【分析】首先根据∠α与∠β互补可得∠α+∠β=180°，再表示出∠β的余角90°-（180°-∠α），然后再把等式变形即可． 【详解】∵∠α与∠β互补， ∴∠α+∠β=180°， ∵∠α＞∠β， ∴∠β=180°-∠α，∴∠β的余角为：90°-（180°-∠α）=∠α-90°=∠α-12（∠α+∠β）=12∠α−12∠β=12（∠α-∠β）， 故选C ． 【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的定义．7．D解析：D 【分析】根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可． 【详解】 解：由题意得，1290,2120∠+∠︒⎧⎨∠-∠︒⎩＝＝，解得135,255.∠︒⎧⎨∠︒⎩＝＝． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是余角和补角的概念和性质，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．8．A解析：A 【分析】根据A 、D 两点在数轴上所表示的数，求得AD 的长度，然后根据2AB=BC=3CD ，求得AB 、BD 的长度，从而找到BD 的中点E 所表示的数． 【详解】 解：如图：∵|AD|=|6-（-5）|=11，2AB=BC=3CD ， ∴AB=1.5CD ， ∴1.5CD+3CD+CD=11， ∴CD=2， ∴AB=3，∴BD=8，∴ED=1BD=4，2∴|6-E|=4，∴点E所表示的数是：6-4=2．∴离线段BD的中点最近的整数是2．故选：A．【点睛】本题考查了数轴、比较线段的长短．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．9．D解析：D【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、射线是无限长的，故本选项错误；C、直线AB、CD可能平行，没有交点，故本选项错误；D、两点确定一条直线是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．10．C解析：C【分析】由条件可知EC+DF=m-n，又因为E，F分别是AC，BD的中点，所以AE+BF=EC+DF=m-n，利用线段和差AB=AE+BF+EF求解.【详解】解：由题意得，EC+DF=EF-CD=m-n∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，DF=BF，∴AE+BF=EC+DF=m-n，∵AB=AE+EF+FB，∴AB=m-n+m=2m-n故选：C【点睛】本题考查中点性质及线段和差问题，利用中点性质转化线段之间的倍分关系和灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系是解答此题的关键.11．C【分析】根据点和圆的位置关系，知最好成绩在P点.【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.【点睛】考查了点和圆的位置关系．12．B解析：B【分析】根据棒上标的数字，找出这根木棒被2、7两点分成的线段的条数即可．【详解】如图，∵线段AD被B、C两点分成AB、AC、AD、BC、BD、CD六条的线段∴能量的长度有：2、3、5、7、8、10，共6个，故选B．【点睛】本题考查的实质是找出已知图形上线段的条数．13．C解析：C【分析】由点C在直线AB上，分别讨论点C在点B左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系求出AC的长即可.【详解】∵点C在直线AB上，BC=2，AB=5，∴当点C在点B左侧时，AC=AB-BC=3，当点C在点B右侧时，AC=AB+BC=7，∴AC的长为3或7，故选C.【点睛】本题考查线段的和与差，注意点C在直线AB上，要分几种情况讨论是解题关键．14．C解析：C【分析】用直线的表示方法解答，通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示．【详解】∵通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示，例直线AB，直线a．【点睛】本题考查了几何中直线的表示方法，是最基本的知识．15．D解析：D【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论.【详解】解：当∠A=10°，∠B=20°时，∠A+∠B=30°，即两锐角的和为锐角；当∠A=30°，∠B=60°时，∠A+∠B=90°，即两锐角的和为直角；当∠A=50°，∠B=60°时，∠A+∠B=110°，即两锐角的和为钝角；综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角故选D.【点睛】利用赋值法解题，可以使一些难以直接证明的问题简单易解.二、填空题16．面动成体【分析】本题是面动成体的原理在现实中的具体表现根据面动成体原理解答即可【详解】硬币在桌面上快速地转动时看上去象球这说明了面动成体故答案为面动成体【点睛】本题考查了点线面体掌握面动成体原理是解解析：面动成体【分析】本题是面动成体的原理在现实中的具体表现，根据面动成体原理解答即可.【详解】硬币在桌面上快速地转动时，看上去象球，这说明了面动成体，故答案为面动成体.【点睛】本题考查了点、线、面、体，掌握面动成体原理是解题的关键.17．7【分析】找射线可以先找到一个端点然后以这个端点发散本题可以分别以ABCO为端点找到不同的射线【详解】以点O为端点并且能用两个字母表示的射线是OAOBOC以点A为端点并且能用两个字母表示的射线是AC解析：7【分析】找射线可以先找到一个端点，然后以这个端点发散。

初中几何图形知识点整理几何学是数学的一个重要分支，主要研究平面和立体图形的形状、大小、位置等性质。

初中几何图形是初中数学的一个重要组成部分，包括平面图形和立体图形，学习初中几何图形是建立数学思维能力并掌握数学基础知识的必要环节。

本文将从初中几何图形知识点的整理入手，着重讲解平面图形和立体图形的相关知识，以帮助学生加深对初中几何图形的理解和掌握。

一、平面图形1、点、线、面、角的基本概念（1）点：指的是没有长度、面积和体积的基本图形，是几何图形的最基本单位。

（2）线：是由无数个点在同一直线上连接而成的图形，具有长度但没有宽度和厚度。

（3）面：指的是由多个线段连接起来形成的平面图形，具有长度和宽度但没有厚度。

（4）角：是由两条射线在同一平面内公共端点所形成的图形，通常用角度来衡量，度数为0°-360°。

2、几何中心的基本概念（1）重心：是平面图形的重心，表示平面图形所有点的质量中心或物理中心，在任一方向上都可看作是平衡点。

（2）外心：是平面图形的外接圆心，指的是可以包含几何图形任意一点的圆心。

（3）内心：是平面图形的内切圆心，指的是几何图形内部可以切割几何图形的圆心。

（4）垂心：是平面图形上某一点到直线的垂线的交点，称为垂足。

3、平面图形的性质：（1）正方形的性质：正方形的各个边长相等，对角线相等，四个角为直角，对角线互相平分。

（2）三角形的性质：三角形的内角和为180°，等边三角形的三边相等，等腰三角形的两边相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

（3）矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等，四个角均为直角。

（4）菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，对角线相等，对边平行且相等，具有轴对称性。

（5）梯形的性质：梯形的上下底的长度不同，但平行。

对角线互相垂直，斜边中点连线与上下底中点连线相等。

二、立体图形1、长方体的性质（1）长方体是由六个矩形构成的立体图形，其面积为底面积×高。

初二数学知识点图形总结在初中数学学习中，图形是一个非常重要的知识点。

从初中开始，学生开始学习各种图形的性质、面积、周长等相关知识。

在这篇总结中，我将对初二数学中常见的图形知识点进行总结，包括几何图形的基本概念、性质、计算以及实际应用等方面。

1. 点、线、面和图形在几何学中，点、线、面和图形是最基本的概念。

点是最基本的图形要素，它没有大小。

线是由无数个点连接起来的，它只有长度没有宽度。

面是由无数个线段围成的，它有长宽。

图形是由无数个点、线段、线和面组成的，它是我们能够看到的几何形状。

2. 角的概念与性质在图形中，角是一个基本的概念，它是由两条射线共同端点构成的几何形状。

角的大小可以用角的度数来表示，度数是角的一个重要性质。

此外，角还有直角、锐角、钝角等不同类型。

3. 直线、射线和线段这三者在图形中是常见的概念。

直线是一条没有始末的线，射线是有一个始点无穷远射出的线，线段是有始末的部分。

在初中的学习中，多会涉及到这三种概念的运用与计算。

4. 三角形的性质在初中数学中，三角形是最基本的几何图形之一，它有许多性质和定理。

比如三角形内角和为180度，三角形的边长关系等。

5. 四边形的性质四边形也是一个常见的图形，在初中数学中对它的性质也会有所涉及，比如四边形的各种类型、性质和计算等等。

6. 圆的性质圆是一个基础的几何图形，它的性质有很多，比如圆的直径、半径、圆心等。

在初中数学中，学生需要掌握圆的面积、周长等相关计算方法。

7. 直角三角形的性质直角三角形是一个特殊的三角形，在初中数学中，它有一些特殊的性质和定理，比如毕达哥拉斯定理等。

学生需要掌握直角三角形的边长关系和角度关系。

8. 多边形的性质多边形是由若干条线段组成的图形，它有不同种类，如三角形、四边形、五边形等。

在初中数学中，学生需要学习多边形的各种性质和结论，包括计算多边形的面积、周长等。

9. 对称图形对称图形是一个重要的几何概念，它在日常生活与图形学中有着广泛的应用。

初中数学面积公式总结数学中的面积是一个非常重要的概念，它涉及到几何图形的大小和形状等方面的问题。

在初中数学中，我们学习了各种各样的面积公式，包括正方形、长方形、三角形、圆形等几何图形的面积公式。

下面是对这些面积公式的总结。

一、正方形正方形是一种特殊的长方形，它的四边都相等，且四个角都是直角。

正方形的面积公式为：面积=边长×边长，用S表示。

二、长方形长方形是具有四个直角的四边形，它的两对边平行且相等。

长方形的面积公式为：面积=长×宽，用S表示。

三、三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。

常用的三角形面积公式有以下几种：1.等边三角形等边三角形是具有三条边相等的三角形。

等边三角形的面积公式为：面积=(边长×边长×√3)/4，用S表示。

2.直角三角形直角三角形是具有一个直角（90度）的三角形。

直角三角形的面积公式为：面积=(直角边1×直角边2)/2，用S表示。

3.一般三角形一般三角形是既没有直角也没有边相等的三角形。

一般三角形的面积公式为：面积=（底边长×高）/2，用S表示。

四、梯形梯形是具有两条平行边的四边形。

常用的梯形面积公式有以下几种：1.等腰梯形等腰梯形是具有两条腰相等的梯形。

等腰梯形的面积公式为：面积=(上底+下底)×高/2，用S表示。

2.一般梯形一般梯形是既没有边相等也没有平行边的梯形。

一般梯形的面积公式为：面积=(上底+下底)×高/2，用S表示。

五、圆形圆形是由一个圆心和一条固定的半径构成的图形。

圆形的面积公式为：面积=半径×半径×π，其中π约等于3.14，用S表示。

有时，我们也用πr²来表示圆的面积。

总结一下，以上是初中数学中常见的几种几何图形的面积公式。

在实际问题中，我们可以根据所给的图形，根据相应公式来计算出面积，并进行问题解答。

通过学习这些面积公式，我们不仅可以计算几何图形的面积，还能够更好地理解几何图形之间的关系和性质，提升数学能力。

初中数学：常见的平面图形常用公式大全发布时间：2012-03-28 11:41 来源：武汉巨人学校作者：巨人小郭导读：武汉巨人教育网小编为大家整理的初中平面图形公式大全，希望对大家有所帮助。

如直线、射线、角、三角形、平行四边形、长方形(正方形)、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内,称为平面图形。

常见平面图形常用公式：长方形S=ab C=(a+b)×2正方形S=aa 或对角线×对角线÷2 C=4a平行四边形S=ah三角形S=ah÷2梯形S=(a+b)×h÷2圆形S=πrr C=πd椭圆S=πrr平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα平行四边形a,b-边长h-a边的高α-两边夹角S=ah=absinα菱形a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sinα梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2 =mh圆r-半径d-直径C=πd=2πrS=πr2扇形r—扇形半径a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360)S=πr2×(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2=παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4椭圆D-长轴d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱r-底半径h-高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底=πr2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=πr2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3球r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。

华东师大版初中数学七年级上册几何图形（基础）知识讲解【学习目标】1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．要点诠释：(1)常见的立体图形有两种分类方法：(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、从不同方向看从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.【典型例题】类型一、几何图形1．如图所示，请写出下列立体图形的名称．【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力，描述各种几何体的名称．【答案与解析】解：(1)五棱柱；(2)圆锥；(3)四棱柱或长方体；(4)圆柱；(5)四棱锥．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．举一反三：【变式】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?【答案】(1)由圆组成；(2)长方形和正方形；(3)菱形(或四边形)；(4)由圆和圆弧组成（或由一个圆和两个小半圆组成）．类型二、从不同方向看2．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．【思路点拨】注意观察的角度和方向.【答案与解析】解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同．举一反三：【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.【答案】主视图左视图俯视图【变式2】如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球【答案】B【解析】此题可采用排除法．棱柱的三视图中不存在圆，故A不对；圆锥的主视图、左视图是三角形，故C不对；球的三视图都是圆，故D不对，因此应选B．【总结升华】平面展开图中，含有三角形，一般考虑棱锥或棱柱；如果只有两个三角形，必是三棱柱；如果含长方形，一般考虑棱柱；如果含有圆和长方形，一般考虑圆柱；如果含有扇形和圆，一般考虑圆锥．举一反三：【变式】右图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱【答案】D类型三、展开图4．（2016•徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B． C．D．【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．【答案】C【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：故选：C．【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．举一反三：【变式】（2015•宜昌）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【答案】 A ．类型四、点、线、面、体5．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．6．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案与解析】连线如下：【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体从正面看到的图形是( )．【答案】A。

初中数学中的几何平面图形知识点归纳几何平面图形是初中数学中的重要内容之一，它涉及到许多重要的知识点。

在本文中，我们将对初中数学中常见的几何平面图形进行归纳总结，以便更好地理解和记忆。

1. 点、线、面在几何平面图形中，最基本的元素是点、线、面。

点是几何图形的最小单位，不具备长度、宽度和高度等属性。

线由两个点组成，表示两点之间的最短路径。

面是由多条线段所围成的区域，有有界和无界两种概念。

2. 线段、射线、直线线段是两个端点之间的线段，有特定的长度。

射线是一条有一个端点的线段，可以延伸到无穷远。

直线是无所不在的线，具有无限延伸的特性。

3. 角度和三角形角度是由两条射线所围成的空间，通常以“°”表示。

我们常见到的钝角（大于90°），直角（等于90°）和锐角（小于90°）。

三角形是由三条线段组成的图形，其内部的三个角的和等于180°。

我们常见的三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

4. 四边形四边形是由四条线段组成的图形，有矩形、正方形、平行四边形、梯形和菱形等不同类型。

矩形的对边相等且相互平行，正方形是一种特殊的矩形，其边长相等。

平行四边形的对边相等且相互平行，梯形是只有一对对边平行的四边形，菱形的四条边相等。

5. 圆、弧、扇形圆是由半径为r的一组点组成的集合，其内任意两点的距离都等于r。

弧是由圆上两点之间的一段弧线组成，可以看作圆上的线段。

扇形是以圆心为中心，由弧和两条半径组成的图形。

6. 相交和平行线在几何平面图形中，两条线段交于一点时称为相交，交点称为交点。

如果两条线段永远不会相交，则称为平行线。

7. 相似和全等图形相似图形是指形状相似但大小不同的图形，它们之间的对应角度相等，对应边的比例相等。

全等图形是指形状和大小完全相同的图形。

8. 线段的中点和垂直平分线线段的中点是指将线段等分为两等分的点，位于线段的正中央。

垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两段，并将其两端延长至无穷远的直线。

初中数学的几何模型是学生学习数学时的重要内容之一，通过学习几何模型和解题，可以帮助学生对几何知识有更深层次的理解，提高数学解题能力。

本文将介绍初中数学中常见的48个几何模型及其相关题型，希望可以帮助学生系统地掌握几何知识。

一、直线和角1. 直线概念直线是由一点不停地延伸而成的。

在平面几何中，直线没有宽度和厚度，只有长度。

2. 角的概念两条相交直线之间的夹角叫做角。

角可以分为锐角、直角、钝角和平角。

3. 直线和角相关题型- 计算夹角的大小- 判断角的种类二、多边形1. 三角形三角形是最简单的多边形，其内角和为180度。

根据边的长度和角的大小，可以分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同种类。

2. 四边形四边形是具有四条边的几何图形，常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形和菱形等。

3. 多边形相关题型- 计算多边形的内角和- 判断多边形的种类三、圆1. 圆的概念圆是由一个点到另一个点距离恒定的点的集合。

其中，点到圆心的距离为半径，圆上任意两点之间的距离称为弦。

2. 圆的性质圆的直径是圆的两个相对的端点，圆的周长和面积分别为2πr和πr²。

3. 圆相关题型- 计算圆的周长和面积- 判断圆的种类四、平面图形的平移、旋转和对称1. 平移平移是指将一个物体按照一定的规则移动到另一位置，移动前后的图形位置关系不变。

学生需要了解不同平移的规律和图形的位置关系。

2. 旋转旋转是指以某一点为中心，按一定角度将图形进行旋转。

学生需要掌握图形旋转的规律和性质。

3. 对称对称是指一个图形绕某条直线或点对称，对称轴可以分为水平对称轴、垂直对称轴和斜对称轴。

五、三视图和展开图1. 三视图三视图是指物体分别从正视图、侧视图和俯视图所得的图形。

学生需要根据给定的三视图还原出物体的整体图形。

2. 展开图展开图是将立体图形按一定规则展开成平面图形。

学生需要了解展开图的规律和方法。

六、空间图形1. 空间图形的概念空间图形是三维几何中的图形，包括圆柱、圆锥、球体、棱体等。

初中数学竞赛：几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变⌒思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．⌒注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．专题训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。

初中数学中的立体几何与平面解析几何立体几何和平面解析几何是数学中两个重要的分支，它们在初中数学中占有重要地位。

本文将分别介绍立体几何和平面解析几何的基本概念、性质和应用。

一、立体几何立体几何研究三维空间中的图形和体形。

其中，最基本的概念是点、线和面。

在立体几何中，我们还会遇到体积、表面积、平行关系、垂直关系等概念。

1. 体积和表面积体积是表示物体所占空间的大小的量。

常见的立体体积有立方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。

计算体积需要根据不同几何体的特点，如立方体的体积为边长的立方，圆柱体的体积为底面积乘以高。

表面积则表示物体外表的面积总和，其中包括底面积和侧面积。

2. 平行和垂直关系在立体几何中，平行关系和垂直关系是重要的概念。

平行线是在同一平面内永不相交的直线，而垂直线则是两条线段、直线或线面的交角为直角的关系。

3. 空间图形的投影图形的投影是指把三维物体在一个平面上的呈现结果。

常见的投影有垂直投影、斜投影和透视投影等。

垂直投影是指被投影物体和投影平面之间垂直，斜投影则是两者不垂直但不重叠，透视投影则是模拟人眼视角的投影方法。

二、平面解析几何平面解析几何是通过坐标系统来研究平面上点、直线和曲线的性质与关系。

通过引入点的坐标和直线的方程，可以用代数的方法解决几何问题。

1. 点的坐标平面上的一个点可以用有序数对表示，称为点的坐标。

通常用(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

在平面解析几何中，坐标系有直角坐标系和极坐标系两种常见形式。

2. 直线的方程直线是平面上的一条无限延伸的轨迹，它可以通过方程进行表示。

在平面解析几何中，直线的方程有一般式和截距式等形式。

一般式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数；截距式可以表示为x/a + y/b = 1，其中a和b为截距。

3. 曲线的方程除了直线，平面解析几何还研究了曲线的方程。

常见的曲线方程有圆的方程、抛物线的方程、双曲线的方程等。

这些方程可以通过代数的方式求解曲线上的点和性质。

初中数学立体几何知识点归纳立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到空间中的图形、体积和表面积等概念。

在初中数学中，学生将会接触到一些基本的立体几何知识点。

本文将对初中数学中的立体几何知识点进行归纳和介绍。

1. 空间几何体空间几何体是指在空间中存在的具有一定形状和大小的物体。

常见的空间几何体包括立方体、球体、长方体、圆柱体等。

这些几何体具有不同的性质和特点，对于初中学生来说，需要了解它们的名称、形状和基本性质。

2. 平面与直线在立体几何中，平面和直线是两个重要的概念。

平面是一个无限延伸的二维几何图形，由无数的点组成。

直线是由无数个点延伸而成的一维图形，没有宽度和厚度。

初中学生需要掌握平面和直线的基本定义，并能够通过给定的条件进行判断和绘制。

3. 点、线、面、棱、角在空间几何中，点、线、面、棱、角是常见的基本概念。

点是空间中最基本的要素，它没有长度、宽度和厚度。

线是由无数个点连接而成的图形，具有长度但没有宽度和厚度。

面是由无数个连续的点组成的平面形状，它具有长度和宽度但没有厚度。

棱是由二维图形的边界上的相邻点连接而成的线段，它具有长度但没有宽度和厚度。

角是由两条相交的线段组成的图形，它具有大小和形状。

4. 体积和表面积在立体几何中，体积和表面积是两个重要的指标，用来描述立体几何体的大小。

体积是一个三维图形所包含的空间的大小，通常用立方单位（如立方厘米）来表示。

初中学生需要掌握计算简单几何体（如立方体、长方体）的体积的方法，并能够应用到实际问题中。

表面积是一个三维图形外部的总面积，通常用平方单位（如平方厘米）来表示。

初中学生需要了解计算简单几何体的表面积的方法，并能够应用到实际问题中。

5. 空间图形的展开与还原空间图形的展开是指将一个立体图形展开成一个平面图形，以便于计算其面积或进行其他几何运算。

还原则是将展开后的平面图形重新折叠成原来的立体图形。

初中学生需要理解展开和还原的概念，并能够应用到实际问题中。

初中数学常考的几个几何图形及证明思路
几何是中学数学中重要的一部分，可以帮助学生提高逻辑思维能力和抽象能力。

几何图形的证明是一个重要的内容，下面是几个几何图形及其证明思路。

一、三角形
1. 如果两条边相等，则中线也相等。

2. 两条边之和大于第三边。

3. 直角三角形的两条腰边相乘等于斜边的平方。

二、四边形
1. 四边形四条边之和是360度。

2. 平行四边形有两组边，每组边都相等。

3. 直角四边形一组边是直角，一组边是平行。

三、圆形
1. 圆形中心到圆周的距离等于半径。

2. 圆形的周长等于2πr ，其中r为半径。

3. 有两个相等圆，则它们的圆心距离为双方半径之差。

四、其他图形
1. 菱形中心对称，斜两边等长。

2. 正方形四边和4直角，边长相等。

3. 椭圆有两个焦点，一大一小，一长一短。

以上就是四个几何图形及证明思路，它们可以帮助学生进行几何图形的分析以及根据统一思路证明某些事务的真理。

通过这种方式来培养学生的抽象思维，对于提高学生的逻辑能力有着莫大的帮助。

面积最值问题初中数学面积最值问题是初中数学中一个常见的应用题类型，主要涉及到几何图形的面积，并要求寻找出图形面积的最大值或最小值。

通过解决这类问题，学生们可以加强对图形面积计算的理解，并培养数学建模和解决实际问题的能力。

一、矩形面积最值问题矩形是最为简单的几何图形之一，其面积公式为“面积=长×宽”。

当矩形的周长一定时，如何确定矩形的面积最大或最小值成为了问题的关键。

在解决这类问题时，我们可以利用变量法。

假设矩形的长为x，宽为y，则有以下两个约束条件：1. 2x + 2y = 周长（常数）2. 长和宽都不能为负数，即x ≥ 0, y ≥ 0根据矩形的面积公式，在限定条件下，可以得到矩形的面积S和变量x、y之间的关系式：S = xy。

由此可得，在常数周长和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = xy 的最值。

二、三角形面积最值问题三角形是常见的几何图形之一，其面积公式为“面积=底边×高/2”。

在解决三角形面积最值问题时，我们通常需要考虑两种情况。

情况一：确定一个边长，求解此边长对应的最大面积。

假设等腰三角形的底边长为x，两腰边长为y，则有以下两个约束条件：1. 2y + x = 周长（常数）2. 边长不能为负数，即x ≥ 0, y ≥ 0根据三角形的面积公式，在限定条件下，可以得到三角形的面积S和变量x、y之间的关系式：S = xy/2。

由此可得，在常数周长和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = xy/2 的最值。

情况二：确定一个角度，求解此角度对应的最大面积。

假设三角形的底边长为x，底边两边夹角为θ，则有以下约束条件：1. θ为常数，0°≤θ≤180°2. 底边不能为负数，即x ≥ 0根据三角形的面积公式，在限定条件下，可以得到三角形的面积S和变量x之间的关系式：S = x^2 sin(θ)/2。

由此可得，在限定角度和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = x^2 sin(θ)/2 的最值。

初中数学（几何）知识点总结图形的初步认识考点一、直线、射线和线段1、几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

4、射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

这个点叫做射线的端点。

5、线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。

这两个点叫做线段的端点。

6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示。

一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。

（2）直线和射线无长度，线段有长度。

（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。

（4）点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。

它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。

也可简单说成：两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。