2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(40)直线、平面垂直的判定与性质

§8.4 直线、平面垂直的判定与性质解密考纲：对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β2．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则l∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β() A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF6．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．②④D．①④二、填空题7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为_________.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．8．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是_______ (填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB．9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.三、解答题10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA ＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．11．如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面AA′C′C；(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，D，E两点分别是边AB，AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A－DE－B．(1)求证：平面ADC⊥平面ABE；(2)求直线AD与平面ABE所成角的正切值．——★参考答案★——一、选择题1．『答案』D『解析』如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立，故选D．2．『答案』D『解析』对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n 为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．3．『答案』D『解析』由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l. 4．『答案』D『解析』过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D．5．『答案』A『解析』由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A．6．『答案』D『解析』①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD．④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO ⊥BC⇒AD⊥BC．二、填空题7．『答案』②④『解析』对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．8．『答案』①②『解析』 ①如图，分别取EC ，DE 的中点P ，Q ，由已知易知四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面DEC ，故MN ∥平面DEC ，①正确；②取AE 的中点O ，易证NO ⊥AE ，MO ⊥AE .故AE ⊥平面MNO ，又MN ⊂平面MNO ，则AE ⊥MN ，②正确；③∵D ∉平面ABC ，∴N ∉平面ABC ，又A ，B ，M ∈平面ABC ， ∴MN 与AB 异面，③错误． 9．『答案』12『解析』 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可以得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×22＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12.即线段B 1F 的长为12.三、解答题10． 证明：(1)因为SA ＝SC ，D 是AC 的中点，所以SD ⊥AC ． 在Rt △ABC 中，AD ＝BD ，又SA ＝SB ，SD ＝SD ， 所以△ADS ≌△BDS ，所以SD ⊥BD ． 又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC ．(2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ． 由(1)知SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC ． 11．(1)证明：如图，取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE .因为E ，N 分别为A ′B ′和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥BB ′∥AA ′. 又A ′C ′⊂平面AA ′C ′C ，NE ⊄平面AA ′C ′C ， 所以NE ∥平面AA ′C ′C ，同理ME ∥平面AA ′C ′C ， 又EM ∩EN ＝E ，所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ， 因为MN ⊂平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C ． (2)当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN ，证明如下： 连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ， 由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2，因为三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面， 所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ， 因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ， 要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可， 所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝⎛⎭⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2， 解得λ＝2，故当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN . 12．(1)证明：∵D ，E 两点分别是边AB ，AC 的中点， ∴DE ∥BC ．∵∠B ＝90°，∠ADE ＝90°，∴DE ⊥AD ，DE ⊥BD ， ∴∠ADB 为二面角A －DE －B 的平面角，∵∠ADB ＝90°， ∴AD ⊥平面BCD ．又∵BE ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BE . 又∵BD ＝22，DE ＝12，BC ＝1，即BD DE ＝BCBD， ∴△BDE ∽△CBD ，∴∠EBD ＝∠DCB ， ∴∠EBD ＋∠BDC ＝90°，∴BE ⊥DC ．又∵DC ∩AD ＝D ，∴BE ⊥平面ADC ． 又∵BE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ADC ．(2)解：设BE 交CD 于H ，连接AH ，过点D 作DO ⊥AH 于O .∵AD⊥BE，BE⊥DH，又∵AD∩DH＝D，∴BE⊥平面ADH.∵DO⊂平面ADH，∴BE⊥DO.又∵DO⊥AH，BE∩AH＝H，∴DO⊥平面ABE，∴∠DAO为AD与平面ABE所成的角．在Rt△BDE中，BD＝22，DE＝12，∴DH＝BD·DEBE＝66.在Rt△ADH中，tan∠DAO＝DHDA＝66×2＝33，∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为3 3.。

7．5 直线、平面垂直的判定与性质[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD；A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D项，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A，C，D三项都是错误的．而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B项正确．故选B.2．(2017·某某某某二模)已知点A，B在半径为3的球O表面上运动，且AB＝2，过AB 作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则( ) A．MN长度的最小值是2B．MN的长度是定值 2C．圆M面积的最小值是2πD．圆M、N的面积和是定值8π答案 B解析如图所示，平面ABC为平面α，平面ABD为平面β，则BD⊥BC.BC2＋BD2＋4＝12，∴CD＝22，∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN的长度是定值 2.故选B.3．(2017·某某某某摸底)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.4．(2018·某某某某模拟)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE 答案 C解析 因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理，DE ⊥AC ，由于DE ∩BE ＝E ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.5．(2018·某某二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值X 围是( )A ．(0,1]B ．(0,2]C ．(1，3]D ．[1,4)答案 B解析 连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 内两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC ⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P 在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0< AD ≤12CD ＝2.故选B.6．(2018·某某模拟)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，PA ＝3，PA ⊥底面ABCD ，E 是棱PD 上异于P ，D 的动点．设PEED＝m ，则“0<m <2”是“三棱锥C －ABE 的体积不小于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 如图，过E 点作EH ⊥AD ，H 为垂足，则EH ⊥平面ABCD .∵V C －ABE ＝V E －ABC ， ∴三棱锥C －ABE 的体积为23EH .若三棱锥C －ABE 的体积不小于1，则EH ≥32，又PA ＝3，∴PEED＝m ≤1，∴0<m ≤1.故选B.7．如图，三棱锥P －ABC 的所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案 C解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确．∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正确．故选C.8．(2018·某某某某月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1－ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )A．2 B．3C．4 D．5答案 B解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1.又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面互相垂直．故选B.9．(2018·静海月考)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点答案 D解析∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC.又AC⊂平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC，而BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴点C在以AB为直径的圆上，∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．故选D.10．(2018·某某期末)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1答案 A解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P－ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD.这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PBC 和△PDC都是直角三角形，故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PDC共4个．故选A.二、填空题11．(2017·某某二模)三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确的是________． 答案 ①②③④解析 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，故①正确；再根据SB ⊥AC ，SB ⊥AB ，可得SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为点C 到平面SAB 的距离，为12a ，④正确．12．(2017·某某期末)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，则下列结论：①AD ∥平面PBC ； ②平面PAC ⊥平面PBD ； ③平面PAB ⊥平面PAC ； ④平面PAD ⊥平面PDC .其中正确的结论序号是________． 答案 ①②④解析 ①由底面为正方形，可得AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，可得AD ∥平面PBC ；②在正方形ABCD中，AC⊥BD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，PA∩AC＝A，可得BD⊥平面PAC，BD⊂平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；③PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AC，可得∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，显然∠BAC＝45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立；④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，PA∩AD＝A，可得CD⊥平面PAD，CD⊂平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC.综上可得，①②④正确．13．(2017·三元月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，平面BCD，平面ADC，平面ABC，平面ABD，互相垂直的有________．答案平面ABD⊥平面ACD、平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面ACD解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.由CD⊥平面ABD，CD⊂平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，由CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB.故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC.14．(2018·某某模拟)如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则∠BA′C＝________，V A′－BCD＝________.答案 90° 16解析 由题设知：△BA ′D 为等腰直角三角形，CD ⊥平面A ′BD ，得BA ′⊥平面A ′CD ，∴∠BA ′C ＝90°，V A ′－BCD ＝V C －A ′BD ＝16.B 级三、解答题15．(2018·某某期末)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝2，AA 1＝22，D 是AA 1中点，BD 与AB 1交于点O ，且OC ⊥平面ABB 1A 1.证明：平面AB 1C ⊥平面BCD . 证明 ∵ABB 1A 1为矩形，AB ＝2，AA 1＝22，D 是AA 1的中点，∴∠BAD ＝90°，∠ABB 1＝90°，BB 1＝22，AD ＝12AA 1＝2，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝22， tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22， ∴∠ABD ＝∠AB 1B ，∴∠AB 1B ＋∠BAB 1＝∠ABD ＋∠BAB 1＝π2，∴∠AOB ＝π2，即AB 1⊥BD .∵CO ⊥平面ABB 1A 1，AB 1⊂平面ABB 1A 1， ∴AB 1⊥CO ， 又BD ∩CO ＝O ， ∴AB 1⊥平面BCD . ∵AB 1⊂平面AB 1C ， ∴平面AB 1C ⊥平面BCD .16．(2018·黄冈调研)在三棱锥P －ABC 中，△PAB 是等边三角形，PA ⊥AC ，PB ⊥BC .(1)证明：AB ⊥PC ；(2)若PC ＝2，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)证明：在Rt △PAC 和Rt △PBC 中AC ＝PC 2－PA 2，BC ＝PC 2－PB 2.∵PA ＝PB ，∴AC ＝BC .取AB 中点M ，连接PM ，CM ，则AB ⊥PM ，AB ⊥MC ， ∴AB ⊥平面PMC ，而PC ⊂平面PMC ， ∴AB ⊥PC .(2)在平面PAC 内作AD ⊥PC ，垂足为D ，连接BD .∵平面PAC ⊥平面PBC ，∴AD ⊥平面PBC ，又BD ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BD ，又Rt △PAC ≌Rt △PBC ， ∴AD ＝BD ，∴△ABD 为等腰直角三角形． 设AB ＝PA ＝PB ＝a ，则AD ＝22a ， 在Rt △PAC 中，由PA ·AC ＝PC ·AD 得a ·4－a 2＝2×22a ，∴a ＝ 2. ∴S △ABD ＝12AD ·BD ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝12，∴V P －ABC ＝13S △ABD ·PC ＝13×12×2＝13.17．(2018·某某期末)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是AB 的中点，M 是AA 1上一点，AM ＝tAA 1.(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若3AB ＝2AA 1，当t 为何值时，B 1M ⊥平面A 1CD?解 (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点O ，那么点O 是AC 1的中点，连接OD ，由点D 是AB 的中点，可得BC 1∥OD ，BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，可得BC 1∥平面A 1CD .(2)由3AB ＝2AA 1，D 为AB 中点可得AD AA 1＝13， ∴当A 1M A 1B 1＝13时， 可得Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1M ，∴∠DA 1A ＝∠MB 1A 1，∴∠A 1MB 1＋∠DA 1A ＝∠A 1MB 1＋∠MB 1A 1＝90°， ∴B 1M ⊥A 1D .∵D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，又∵CD ⊥AA 1，AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B .∵B 1M ⊂平面AA 1B 1B ，∴CD ⊥B 1M .∵CD ∩A 1D ＝D ，∴B 1M ⊥平面A 1CD ，此时A 1M A 1B 1＝13，3AB ＝2AA 1， 所以A 1M ＝29AA 1，故AM ＝79AA 1， 即当t ＝79时，B 1M ⊥平面A 1CD . 18．(2018·昌平区调研)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点．(1)求证：BD 1∥平面AMC ；(2)求证：AC ⊥BD 1；(3)在线段BB 1上是否存在点P ，当BP BB 1＝λ时，平面A 1PC 1∥平面AMC ？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接BD 交AC 于N ，连接MN . 因为ABCD 为正方形，所以N 为BD 中点， 在△DBD 1中，因为M 为DD 1中点， 所以BD 1∥MN .因为MN ⊂平面AMC ，BD 1⊄平面AMC ， 所以BD 1∥平面AMC .(2)证明：因为ABCD 为正方形， 所以AC ⊥BD .因为DD 1⊥平面ABCD ， 所以DD 1⊥AC .因为DD 1∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1.因为BD 1⊂平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1.(3)当λ＝12，即点P 为线段BB 1的中点时，平面A 1PC 1∥平面AMC . 因为AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.取CC1的中点Q，连接MQ，QB.因为M为DD1中点，所以MQ∥AB，且MQ＝AB，所以四边形ABQM是平行四边形．所以BQ∥AM.同理BQ∥C1P.所以AM∥C1P.因为A1C1∩C1P＝C1，AC∩AM＝A，所以平面A1PC1∥平面AMC.。

§8.4 直线、平面垂直的判定与性质A级基础达标1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面P AFB．DF⊥平面P AFC．CF∥平面P ABD．CF⊥平面P AD5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b；②若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．8．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.10．如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求四棱锥S－ABCD的高．B级知能提升1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF3．如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．4．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3.(1)证明：平面ACF ⊥平面BEFD .(2)若cos ∠BAD ＝15，求几何体ABCDEF 的体积．5．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．——★ 参 考 答 案 ★——A级基础达标1．『答案』C『解析』∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.2．『答案』B『解析』由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l ⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3．『答案』B『解析』对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B.4．『答案』D『解析』A中，因为CD∥AF，AF⊂平面P AF，CD⊄平面P AF，所以CD∥平面P AF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为P A⊥平面ABCDEF，所以P A⊥DF，又因为P A∩AF＝A，所以DF⊥平面P AF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面P AB，CF⊄平面P AB，所以CF∥平面P AB；而D中CF与AD不垂直．故选D.5．『答案』D『解析』若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，α与β相交．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B，C.故选D.6．『答案』3『解析』如图所示．∵P A⊥PC，P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．『答案』②③④『解析』①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．8．『答案』③『解析』 由AB ＝CB ，AD ＝CD 知AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，从而AC ⊥平面BDE ，故③正确．9．证明：(1)∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， 故CD ⊥平面P AC ，AE ⊂平面P AC . 故CD ⊥AE .(2)∵P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，故P A ＝AC . ∵E 是PC 的中点，故AE ⊥PC . 由(1)知CD ⊥AE ，由于PC ∩CD ＝C ， 从而AE ⊥平面PCD ，故AE ⊥PD . 易知BA ⊥PD ，故PD ⊥平面ABE .10．(1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，DB ， 则四边形BCDE 为矩形，∴DE ＝CB ＝2， ∴AD ＝BD ＝ 5.∵侧面SAB 为等边三角形，AB ＝2， ∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，∴SA 2＋SD 2＝AD 2，SB 2＋SD 2＝BD 2，∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，SA ∩SB ＝S ， ∴SD ⊥平面SAB .(2)解：设四棱锥S －ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S －ABD 的高． 由(1)，知SD ⊥平面SAB .由V S －ABD ＝V D －SAB ，得13S △ABD ·h ＝13S △SAB ·SD ，∴h ＝S △SAB ·SDS △ABD.又S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×2×2＝2，S △SAB ＝34AB 2＝34×22＝3，SD ＝1，∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD ＝3×12＝32.故四棱锥S －ABCD 的高为32. B 级 知能提升1．『答案』 C『解析』 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b .故选C.2．『答案』 B『解析』 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B. 3．『答案』 ①②④『解析』 ①AE ⊂平面P AC ，BC ⊥AC ，BC ⊥P A ⇒AE ⊥BC ，故①正确；②AE ⊥PC ，AE ⊥BC ⇒AE ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ⇒AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，EF ⊂平面AEF ⇒EF ⊥PB ，故②正确；③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确． 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC .∴AC ⊥平面BEFD ，AC ⊂平面ACF . ∴平面ACF ⊥平面BEFD .(2)解：设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝a (a >0)， 由(1)得AC ⊥平面BEFD ， ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ， ∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ，∴BD 2＝EF 2－(DF －BE )2＝8，∴BD ＝22， ∴S 四边形BEFD ＝12(BE ＋DF )·BD ＝32，∵cos ∠BAD ＝15，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝85a 2＝8，∴a ＝5，∴OA 2＝AB 2－OB 2＝3，∴OA ＝3， ∴V ABCDEF ＝2V A －BEFD ＝23S 四边形BEFD ·OA ＝2 6.5．(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ， 所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，又BD ⊂平面DOB ， 故AC ⊥BD . (2)解：连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.。

典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线B ．过直线外一点与该直线平行的平面C ．过平面外一点与平面平行的直线D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A ．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B ．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C ．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D ．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A 、平面α，过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α，由于AB 、AC 为相交直线，不妨设AB 、AC 所确定的平面为β，α与β的交线为l ，则必有l AB ⊥，l AC ⊥，又由于AB 、AC 、l 都在平面β内，这样在β内经过A 点就有两条直线和直线l 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D ．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（ ）．A ．（1）、（2）B ．（2）、（3）C ．（3）、（4）D ．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中，∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点，∴D B EO 1//．∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ，∴⊥D B 1平面1ACD ．∵EO D B //1，∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =．又∵OC AO =，∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出：a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=， ()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=． ∵21221E D OE O D =+， ∴OE O D ⊥1．∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ，∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中，90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ①在Rt △BHD 中有：BH BD=αcos ②在Rt △ABD 中有：BA BD=βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例 6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ．在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ．说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作ME BP ⊥于P ，作CG BN //交MG 于N ，连结PN ，再作PN BH ⊥于H ，可得⊥BH 平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SAC ∆中，D 为AC 中点，∴AC SD ⊥．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵BC ED //，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．又AB SE ⊥，∴AB ⊥面SED ，∴SD AB ⊥．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BC BA =，∴AC BD ⊥．又∵SD ⊥面ABC ，∴BD SD ⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等． 典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥． 证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的． 典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥．解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ．∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形．综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥．由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角．作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==．在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心． 典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==，∴cm SO 5=． 因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性． 典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒=∠90ACB ，S 为平面ACB 外一点，︒=∠=∠60SCB SCA ，求SC 与平面ACB 所成角．典型例题十五例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ） 解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ，同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交，则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．典型例题二十例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１ 图２ 证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ， 设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b ∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面． ∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'． ∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面． 故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得． 典型例题二十一例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．典型例题二十二例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ，∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥∵a PC PB PA ===，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆，∴OC OB OA ==，∴O 为ABC ∆的外心．∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形，∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=．因此点P 到平面ABC 的距离a 33．说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．典型例题二十三例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂，∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求．过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥．又B B A BC =1 ，∴111BCD A E B 平面⊥．即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ，∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360．说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．典型例题二十四例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为︒30，cm AD 8=，BC AB ⊥，BC DC ⊥．求线段BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC 之长．解：如图，在平面α内，过A 作BC AE //，过C 作AB CE //，两线交于E ．∵BC AE //，∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角，︒=∠30DAE ．∵BC AB ⊥，∴四边形ABCE 是矩形．连DE ，∵CD BC ⊥，CE BC ⊥，且C CE CD = ，∴CDE BC 平面⊥．∵BC AE //，∴CDE AE 平面⊥．∵CDE DE 平面⊂，∴DE AE ⊥．在AED Rt ∆中，得34=AE ，∴)(34cm AE BC ==．说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练41直线平面垂直的判定与性质理新人教B版______年______月______日____________________部门基础巩固组1.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;(2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.3.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=,点E在AD上,且AE=2ED.(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的,求点E到平面PBC的距离.〚导学号21500561〛4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:AE⊥DA1;(2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.综合提升组5.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.6.如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.图(1)图(2)(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若四棱锥P-ABCD的体积为2,求四面体BCDM的体积.7.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE.(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.〚导学号21500562〛创新应用组8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点.(1)求证:PD⊥平面ABE;(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.9.如图(1),在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=,BF=CF=,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将△ADE,△BCF翻折成如图(2)的空间几何体ABCDEF.(1)利用下面的结论1或结论2,证明:E,F,M,N四点共面;结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.(2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,求三棱锥E-BCF的体积.图(1)图(2)〚导学号21500563〛参考答案课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质1.证明(1)∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.∵AE=BE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE,∴AD=BD.连接DM,则DM⊥AB,∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE,∵CM⊂平面CEM,∴平面CEM⊥平面BDE.(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,在△EBA中,∵N为BE的中点,∴NG∥AB且NG=AB,又AB∥CD,且AB=2CD,∴NG∥CD,且NG=CD,∴四边形CDGN为平行四边形,∴CN∥DG.又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,∴CN∥平面ADE.2.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.3.(1)证明∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°.∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,∴∠ACD=45°,∴AD=CD,∴BC=AC=2AD.∵AE=2ED,CF=2FB,∴AE=BF=AD,∴四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.又AB⊥AC,∴AC⊥EF.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.∵EF⊂平面PEF,∴平面PEF⊥平面PAC.(2)解∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,∴PB=PC,取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.设PA=x,连接PG,则PG=,∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的倍,∴×2×PG=×(1+2)×1,即PG=2,求得x=,∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,∴点E到平面PBC的距离为PA=.4.(1)证明连接AD1,BC1(图略).由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1.∵AE⊂平面ABC1D1,∴AE⊥DA1.(2)解所求点G即为点A1,证明如下:由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可得DF⊥平面AHE.∵AE⊂平面AHE,∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.5.解(1)∵D,E分别是AB,BC边的中点,∴DE AC,DE⊥BC,DE=1.依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,∵DE⊂平面ACED,∴平面ACED⊥平面CEF.作FM⊥EC于M,则FM⊥平面ACED,∵∠CEF=60°,∴FM=,梯形ACED的面积S=(AC+ED)×EC=(1+2)×2=3.四棱锥F-ADEC的体积V=Sh=×3×.(2)(法一)如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ AC,∴NQ DE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ.∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC,又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ,∴AC⊥EQ,∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,∴DN⊥平面ACF,又DN⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.(法二)连接BF,∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF是边长为2等边三角形.∵BE=EF,∴∠EBF=∠CEF=30°,∴∠BFC=90°,BF⊥FC.∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF.∵BF⊂平面BCF,∴AC⊥BF,又FC∩AC=C,∴BF⊥平面ACF,又BF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.6.(1)证明取PD的中点N,连接AN,MN,则MN∥CD,且MN=CD,又AB∥CD,AB=CD,∴MN∥AB,MN=AB,∴四边形ABMN是平行四边形,∴AN∥BM,又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD,∴AN⊥PD,AN⊥CD,由ED=EA,即PD=PA,及N为PD的中点,得△PAD为等边三角形,∴∠PDA=60°,又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°,∴CD⊥AD,又AN∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,又CD⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)解设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S,则VP-ABCD=Sh=2,又S△BCD=S,四面体BCDM的底面BCD上的高为,∴四面体BCDM的体积VBCDM=×S△BCD×Sh=.7.(1)解∵PA⊥底面ABCD,∴PA为此四棱锥底面上的高.∴V四棱锥P-ABCD=S正方形ABCD×PA=×12×2=.(2)证明连接AC交BD于点O,连接OE.∵四边形ABCD是正方形,∴AO=OC.又AE=EP,∴OE∥PC.又PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,∴PC∥平面BDE.(3)解不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.证明如下:∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.∵CE⊂平面PAC,∴BD⊥CE.8.(1)证明∵PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴PA⊥AB,又底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD,又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E为PD中点,∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.(2)解四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O,由已知BD===4,设M为BD中点,∴AM=2,OM=AP=1,∴OA===3,∴四棱锥P-ABCD外接球的体积是πOA3=36π.9.(1)证明由题意,点E在底面ABCD的射影在MN上,可设为点P,同理,点F在底面ABCD的射影在MN上,可设为点Q,则EP⊥平面ABCD,FQ⊥平面ABCD,∴平面EMP⊥平面ABCD,平面FNQ⊥平面ABCD,又MN⊂平面ABCD,MN⊂平面EMP,MN⊂平面FNQ,由结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个,得到E,F,M,N四点共面.(2)解∵二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,∴∠EMP=∠FNQ=60°,∴EP=EM·sin 60°=,∴三棱锥E-BCF的体积VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=2××3-×(4×2)×.。

§8.4直线、平面垂直的判定与性质A组专项基础训练(时间：45分钟)1．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错．2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的．3．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部答案 A解析 由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1.又∵AC ⊂面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC .∴C 1在面ABC 上的射影H 必在两平面交线AB 上．4．如图所示，已知E ，F 分别是正方体的棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成角的正弦值是( ) A.26 B.36 C.13D.66 答案 B解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，如图，连接AE ，过F作BD 的垂线FH 交BD 于H ，连接EH ，则FH ⊥平面BDD 1B 1，所以直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角为∠FEH ，因为FH ＝22，AF ＝1，AE ＝5，EF ＝6，故sin ∠FEH ＝FH EF ＝36，故选B. 5．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长，其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③答案 B解析 对于①，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB、BC、AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，∴与AP垂直的直线是AB.7．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案①②解析如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．答案6 3解析画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝63aa＝63.9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC ⊥平面BDE ；(2)求点A 到平面BDE 的距离．(1)证明 因为四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，所以BD ＝13， 又因为BC ＝7，CD ＝6，所以根据勾股定理可得BD ⊥CD ，因为BE ＝7，DE ＝6，同理可得BD ⊥DE .因为DE ∩CD ＝D ，DE ⊂平面DEC ，CD ⊂平面DEC ，所以BD ⊥平面DEC .因为BD ⊂平面BDE ，所以平面DEC ⊥平面BDE .(2)解 如图，取CD 的中点O ，连接OE ，因为△DCE 是边长为6的正三角形，所以EO ⊥CD ，EO ＝33，由(1)易知EO ⊥平面ABCD ，则V E －ABD ＝13×12×2×3×33＝33，又因为Rt △BDE 的面积为12×6×13＝313，设点A 到平面BDE 的距离为h ，则由V E －ABD ＝V A －BDE ，得13×313h ＝33，所以h ＝33913，所以点A 到平面BDE 的距离为33913.10．(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1，如图(1)．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)解 方法一 如图(2)，连接AC ，MC .由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，可得BC ＝AD ＝MC ，所以∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因为AB ＝2BC ＝2，可得CA ＝3， 因此CA ⊥CB . 以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0， 可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55. 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N ，如图(3)．由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角．在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN ＝32. 所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55， 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC答案 C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.12．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．答案 2解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．13．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．答案①④解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；∵平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．14．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解(1)取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.15．(2014·天津)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．方法一(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图(1)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)解 BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33， 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)解 BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1，故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34， 即BF →＝(－12，12，32)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010. 易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010. 方法二 (1)证明 如图(2)，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD .而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD .因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)解 如图(2)，连接BM .由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD .而EM ∥CD ，故PD ⊥EM . 又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，所以PD ⊥平面BEM .故平面BEM ⊥平面PBD ，所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，所以BE ＝2，故在Rt △BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12， 因此，sin ∠EBM ＝33.高三数学一轮复习11 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)解 如图(3)，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H . 因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面． 由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD .故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角，在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°， 由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010. 所以，二面角F －AB －P 的余弦值为31010.。

巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2013·大连、沈阳联考)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“la，lb”是“lα”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 解析：由判定定理可知la，lb，推不出lα，但lα，一定能够得到la，lb.故选C. 答案：C 2．(2013·许昌四校联考)下列命题中错误的是( ) A．如果平面α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α平面γ，平面β平面γ，α∩β＝l，那么l平面γ D．如果平面α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：借助正方体很容易判断出A、B、C是正确的，只有D是错误的． 答案：D 3．(2013·河北百校联考)三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A－PB－C的大小为( )A．90° B． 30° C．45° D．60° 解析：取PB的中点为M，连接AM、CM，则AMPB，CMPB，AMC为二面角A－PB－C的平面角，易得AM＝CM＝a，则AMC为正三角形，AMC＝60°. 答案：D 4．(2013·中山联考)设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若ml，nl，则mn B．若mβ，mα，则αβ C．若αγ，βγ，则αβ D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，mn，则αβ 解析：借助正方体易知A、C、D都是错误的．对于B，m∥α，α内一定存在一条直线cm，由mβ知cβ，故αβ. 答案：B 5(2013·菱湖中学月考)已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( ) A. B. C. D. 解析：过点D作DGAE于点G，由三垂线定理知，D1GAE，DGD1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG＝，D1G＝＝， sin∠DGD1＝＝. 答案：C 6．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( ) A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 解析：在矩形ABCD中，作AEBD于E，连接CE.在翻折过程中，AEBD，假设存在某个位置使ACBD，则BD平面AEC，则BDCE，由条件知BD与CE不垂直，故A错；对于C，若ADBC，则AD平面ABC，ADAC，ACD为直角三角形，CAD＝90°，而CD＜AD，这种情况是不可能的，故C错；对于ABCD，因为BCCD，由线面垂直的判定可得CD平面ACB，则有CDAC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得ABCD成立，故B正确，D错误． 答案：B 二、填空题 7．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 棱AB与PD所在的直线垂直； 平面PBC与平面ABCD垂直； PCD的面积大于PAB的面积； 直线AE与直线BF是异面直线． 以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的编号) 答案： 8．如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA平面ABCD，PA＝2，现有数据：a＝；a＝1；a＝；a＝2；a＝4，当在BC边上存在点Q，使PQQD时，a可以取__________(填上一个你认为正确的数据序号即可)． 答案：(或) 9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF平面B1DF. 答案：a或2a 三、解答题 10．(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°，FC平面ABCD，AEBD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD平面AED； (2)求二面角F－BD－C的余弦值． 解析：(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°所以ADC＝BCD＝120°. 又CB＝CD，所以CDB＝30°， 因此ADB＝90°，ADBD. 又AEBD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED. 所以BD平面AED. (2)方法一： 由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直． 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB＝1. 则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)， 因此＝，＝(0，－1,1)．设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z， 取z＝1，则m＝(，1,1)． 由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量． 则cos〈m，〉＝＝＝， 所以，二面角F－BD－C的余弦值为. 方法二：取BD的中点G，连接CG，FG， 由于CB＝CD，因此，CGBD. 又FC平面ABCD，BD平面ABCD， 所以FCBD. 由于FC∩CG＝C，FC，CG平面FCG， 所以BD平面FCG，故BDFG， 所以FGC为二面角F－BD－C的平面角． 在等腰三角形BCD中，由于BCD＝120°， 因此CG＝CB， 又CB＝CF，所以GF＝＝CG， 故cosFGC＝， 因此，二面角F－BD－C的余弦值为. 11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE. (1)证明：BD平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 解析：方法一： (1)因为PA平面ABCD，BD平面ABCD， BD⊥PA，又因为PC平面BDE，BD平面BDE， BD⊥PC，而PA∩PC＝P，所以BD平面PAC. (2)由(1)知BD平面PAC，所以BDAC，又四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD是正方形． 设AC交BD于O点，连接OE，因为PC平面BDE，所以PCOE，BEO是二面角B－PC－A的平面角． ∵PA＝1，AD＝2，AC＝2，OB＝OC＝， PC＝＝3， 又＝＝，OE＝. 在RtBEO中，tanBEO＝＝＝3. 所以二面角B－PC－A的正切值为3. 方法二： (1)同解法一．(2)建立如图所示的空间直角坐标系． 由(1)知BD平面PAC，BD⊥AC. ∴四边形ABCD是正方形． P(0,0,1)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， ＝(0,2,0)，＝(－2,0,1)． 设平面BPC的一个法向量为m＝(x，y，z)． 则即 令x＝1，则m＝(1,0,2)． 易知平面PAC的一个法向量为＝(－2,2,0)， cos〈m，〉＝＝－， sin〈m，〉＝， tan〈m，〉＝－3，由图易知二面角B－PC－A是锐二面角，故其正切值为3. 12．(2012·北京)如图，在RtABC中，C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE＝2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图. 图 图 (1)求证：A1C平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 解析：(1)因为ACBC，DEBC，所以DEAC. 所以DEA1D，DECD. 所以DE平面A1DC.所以DEA1C，又因为A1CCD， 所以A1C平面BCDE. (2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz， 设A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)， 所以令y＝1，则x＝2，z＝. 所以n＝(2,1，)． 设CM与平面A1BE所成的角为θ， 因为＝(0,1，)， 所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 所以CM与平面A1BE所成角的大小为. (3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则 m·＝0，m·＝0. 又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以科_网Z_X_X_K] 令x＝2，则y＝p，z＝. 所以m＝， 平面A1DP平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0. 解得p＝－2，与p[0,3]矛盾． 所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． 。

课时作业(四十三)B [第43讲直线、平面垂直的判定与性质][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α2．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．[2011·安徽十校联考] 在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题是() A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α4．如图K43－6所示，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.图K43－6能力提升5．[2011·北京西城模拟] 若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()A．a∥β，α⊥βB．a⊂β，α⊥βC．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β6．[2011·宝鸡模拟] 设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c7．正方形ABCD的边长是12，PA⊥平面ABCD，PA＝12，那么P到对角线BD的距离是()A．12 3 B．12 2 C．6 3 D．6 68．已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心9．如图K43－7，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有()图K43－7A．DP⊥平面PEF B．DM⊥平面PEF C．PM⊥平面DEF D．PF⊥平面DEF 10．如图K43－8，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中直角三角形的个数是________．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－BD－C的正切值为________．图K43－912．如图K43－9，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.13．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出4个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________.14．(10分)[2011·合肥一检] 如图K43－10，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC ＝2，DD1＝3，E是C1D1的中点，F是CE的中点．(1)求证：EA∥平面BDF；(2)BCE.15．(13分)如图K43－11，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC.图K43－11难点突破16．(12分)[2011·三明市三校联考] 如图K43－12，已知矩形ABCD中，AB＝10，BC ＝6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O 恰好在CD上．(1)求证：BC⊥A1D；(2)求证：平面A1BC⊥平面A1BD；(3)求三棱锥A1－BCD的体积．课时作业(四十三)B 【基础热身】1．C [解析] 设m 在平面α内的射影为n ，当l ⊥n ，且与平面α无公共点时，l ⊥m ，l ∥α.2．B [解析] l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，故l ⊥m ，反之当l ⊥m 时，α，β的位置不确定．故选B.3．B [解析] A 显然不对，C 、D 中的直线l 有可能在平面α内．故选B.4．a [解析] 如图，取BC 中点E ，连接ED 、AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC .∵平面ABC ⊥平面BDC ，∴AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝DE ＝12BC ＝22a ， ∴AD ＝AE 2＋ED 2＝a .【能力提升】5．D [解析] 只有选项D ，a ⊥β，α∥β⇒a ⊥α.6．B [解析] 当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.7．D [解析] 如图所示，连接正方形ABCD 的两条对角线则BD ⊥AC ，又PA ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，所以BD ⊥平面PAO ，则PO ⊥BD ，即PO 是P 到BD 的距离．在△PAO中，∠PAO ＝90°，PA ＝12，AO ＝12AC ＝62，所以PO ＝PA 2＋AO 2＝122＋(62)2＝6 6. 8．C [解析] 如图所示，PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，所以PA ⊥BC ，又PH ⊥平面ABC ，所以AE ⊥BC .即H 是△ABC 高的交点，所以H 一定是△ABC 的垂心．9．A [解析] 在正方形中，DA ⊥EA ，DC ⊥FC ，∴在折叠后的四面体P －DEF 中有DP ⊥EP ，DP ⊥FP ，又EP ∩FP ＝P ，∴DP ⊥平面PEF .10．4 [解析] 由题中图与已知得直角三角形有：△PAC 、△PAB 、△ABC 、△PBC .11.2[解析] 如图，∠C1OC是二面角C1－BD－C在Rt△C1OC中，tan∠C1OC＝ 2.12．③[解析] 因为AB＝CB，E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．13．②③④⇒①或①③④⇒②[解析] 由题意可构造出四个命题(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．14．[解答] 证明：(1)连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE.又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EA∥平面BDF.(2)计算可得DE＝DC＝2，又F所以DF⊥CE.又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC.又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE.又DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE.15.[解答] (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.【难点突破】16．[解答] (1)证明：∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，∴A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O.又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，∴BC⊥平面A1CD.又A1D⊂平面A1CD，∴BC⊥A1D.(2)证明：由矩形ABCD的性质知A1D⊥A1B，由(1)知BC⊥A1D，又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂A1BC，∴A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD.(3)∵A1D⊥平面A1BC，∴A1D⊥A1C.∵CD＝10，A1D＝6，∴A1C＝8.又由(1)知BC⊥平面A1CD，∴VA1－BCD＝VB－A1CD＝13S△A1CD·BC＝13×12×6×8×6＝48.。

课时作业(四十)第40讲直线、平面垂直的判定与性质[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·青岛一模] 已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是()A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b4．[2011·吉林实验中学模拟] 在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是() A．30°B．45°C．60°D．90°能力提升5．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n6．四面体ABCD中，AB＝AC＝23，DB＝DC＝22，BC＝2AD＝4，则二面角A－BC －D的大小是()A．30°B．45°C．60°D．135°7．[2011·全国卷] 已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD ⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.23 B.33 C.63D．18．若直线l与平面α相交，但不垂直，则有()A．∀平面β，若l⊂β，都有平面β⊥平面αB．∃平面β，若l⊂β，使得平面β⊥平面αC．∀平面β，若l⊂β，都有平面β∥平面αD．∃平面β，若l⊂β，使得平面β∥平面α9．如图K40－1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D －AE －B 为60°，则四棱锥D －( )图K40A.93913 B.273913C.91313D.27131310．结论“过一点作一个平面的垂线只能作一条”是________的(填“正确”或“错误”)．11．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，一个对角面的面积是一个侧面面积的62倍，则侧面与底面所成锐二面角等于________．12．[2011·全国卷] 已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．13．已知正方体的棱长为1，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形； ②P 在直线FG 上运动时，AP ⊥DE ；③Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积不变； ④M 是正方体的面A 1B 1C 1D 1内到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是一条线段． 14．(10分)[2012·长郡中学月考] 如图K40－2，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是菱形．P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点．(1)求证：P A ∥平面BFD ；(2)求二面角C －BF －D15．(13分)[2011·朝阳一模] 如图K40－3，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角A －PD －C 的余弦值．难点突破16．(12分)如图K40－4，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，折起后∠AEF＝θ.(1)求证：面AEF⊥面BCD；(2)cosθ为何值时，AB⊥CD.－4课时作业(四十)【基础热身】1．B[解析] l⊥α，α∥β⇒l⊥β，又m⊂β，故l⊥m.反之当l⊥m时，α，β的位置不确定．故选B.2．D[解析] 命题①中两条直线可能平行，故得不到两个平面互相平行的结论，命题①为假命题；根据两个平面垂直的判定定理，命题②是真命题；命题③是平面几何里面成立的一个命题，但在空间不成立，如在正方体ABCD－A1B1C1D1，AB⊥AD，DD1⊥AD，但AB，DD1并不平行，故命题③为假命题；命题④中，两平面垂直，如果一个平面内的直线垂直于另一个平面，则这条直线一定和交线垂直，故在一个平面内与交线不垂直的直线一定不会与另一个平面垂直，命题④为真命题．3．D[解析] 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A 的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．正确选项D.4．C[解析] 如图，E为BC2，则DE＝1，AE＝3，则tan ∠ADE＝3，故所求的角是60°.【能力提升】5．D[解析] 选项A中，当直线m，n都不在平面α，β内时，根据m∥α，n∥β，α∥β可以推证m，n都平行于平面α，β，但平行于同一个平面的两条直线不一定平行；选项B中，根据n⊥β，α⊥β可以推证n⊂α或者n∥α，同样平行于同一个平面的两条直线不一定平行；选项C中，同选项B；选项D中，根据m⊥α，α⊥β可以推证m⊂β或者m∥β，而n⊥β，故m⊥n.正确选项为D.6．B[解析] ∴AB＝23，AD＝2，BD＝22，AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，同理AD⊥DC，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD.如图，取BC的中点E，连接AE，DE，根据二面角的平面角的定义，∠AED即为所求二面角的平面角，各个线段的长度如图，则∠AED＝45°.7．C[解析] ∵α⊥β，AC⊥l⊥β，在平面β内过D作DE⊥BC，则DE⊥平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在△DBC中，运用等面积法得DE＝63，故选C.8．B[解析] 由于直线l与平面α斜交，故不是过直线l的任意平面都和平面α垂直，选项A中的结论不正确；只要过直线l上一点作平面α的垂线m，则直线l，m确定的平面β即与平面α垂直，故选项B中的结论是正确的；由于直线l与平面α存在公共点，故经过直线l的任意平面β都与平面α存在公共点，此时平面α，β不可能平行，故选项C、D中的两个结论都不可能成立．正确选项为B.9．A[解析] 在平面图形中，Rt△ADE斜边上的高是613，故折起后棱锥的高是613sin60°＝33913，棱锥的底面积是9，故其体积是13×9×33913＝93913.10．正确 [解析] 理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直的性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能的．11.π3 [解析] 如图，根据122ah 12ah ′＝62，得h h ′＝32，即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值，故侧面与底面所成的锐二面角为π3.12.23[解析] 法一：在平面BC 1内延长FE 与CB 的延长线相交于G ，连接AG ，过B 作BH 垂直于AG 于H ，连接EH ，则EH ⊥AG ，故∠BHE 是平面AEF 与平面ABC 所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a ，可得BE ＝a 3，BG ＝a ，所以BH ＝22a ，则tan ∠BHE ＝BEBH＝a 322a ＝23.法二：设正方体的边长为3，建立以B 1A 1为x 轴，B 1C 1为y 轴，B 1B 为z 轴的空间直角坐标系，则A (3,0,3)，E (0,0,2)，F (0,3,1)，则EA →＝(3,0,1)，EF →＝(0,3，－1)，设平面AFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥EA →，n ⊥EF →，即3x ＋z ＝0且3y －z ＝0，取z ＝3，则x ＝－1，y ＝1，所以n ＝(－1,1,3)，又平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,3)，所以面AEF 与面ABC 所成的二面角的余弦值为cos θ＝m ·n |m ||n |＝31111，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫311112＝2211，所以tan θ＝23.13．②③④ [解析] 如图，三棱锥A 1－ABC 的四个面均为直角三角形，故命题①不正确．GF ⊥DE ，AF ⊥DE ，得DE ⊥平面AFG .又∵AP ⊂平面AFG ，故AP ⊥DE ，命题②正确．由于BC 1∥AD 1，可得BC 1∥平面ACD 1，即点Q 到平面ACD 1的距离与其位置无关，故三棱锥Q －ACD 1的体积不变，即三棱锥A －D 1QC 的体积不变，命题③正确．空间到两个点的距离相等的点的轨迹是这两点所在线段的中垂面，这个平面和上底面的交线即为所求的轨迹，这个轨迹是线段．命题④正确．14．[解答] (1)证明：连接AC ，OF . ∵四边形ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点． ∵点F 为PC 的中点，∴OF ∥P A . ∵OF ⊂平面BDF ，P A ⊄平面BDF ， ∴P A ∥平面BDF .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC . ∵OF ∥P A ，∴OF ⊥AC .∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .∵OF ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面BDF .作OH ⊥BF ，垂足为H ，连接CH ，则CH ⊥BF ， ∠CHO 为二面角C －BF －D 的平面角． ∵P A ＝AD ＝AC ，∴OF ＝12P A ，BO ＝32P A ，BF ＝BO 2＋OF 2＝P A .在Rt △FOB 中，OH ＝OF ·BO BF ＝34P A ，tan ∠OHC ＝OC OH ＝12P A34P A ＝233.∴二面角C －BF －D 的正切值大小为233.15．[解答] (1)证明：因为∠P 又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD ，所以P A ⊥CD .在底面ABCD 中，因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ，所以AC ＝CD ＝22AD ，所以AC ⊥CD .又因为P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)在P A 上存在中点E ，使得BE ∥平面PCD ， 证明如下：设PD 的中点是F ， 连接BE ，EF ，FC ，则EF ∥AD ，且EF ＝12AD .又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以BC ∥EF ，且BC ＝EF ，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以BE ∥CF . 因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ， 所以BE ∥平面PCD.(3)设G 为AD 中点，连接CG ， 则CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面P AD ， 所以CG ⊥平面P AD . 过G 作GH ⊥PD 于H ，连接CH ，由三垂线定理可知CH ⊥PD .所以∠GHC 是二面角A －PD －C 的平面角． 设AD ＝2，则P A ＝AB ＝CG ＝DG ＝1，DP ＝ 5.在△P AD 中，GH P A ＝DG DP ，所以GH ＝15.所以tan ∠GHC ＝CG GH ＝5，cos ∠GHC ＝66.即二面角A －PD －C 的余弦值为6.【难点突破】16．[解答] (1)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，D 为AC 的中点，则△ABD 是等边三角形，又E 是BD 的中点，故BD ⊥AE ，BD ⊥EF ，折起后，AE ∩EF ＝E ，∴BD ⊥面AEF ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面AEF ⊥面BCD .(2)过A 作AP ⊥面BCD 于P ，则P 在FE 的延长线上，设BP 与CD 的延长线相交于Q . 令AB ＝1，则△ABD 是边长为1的等边三角形，若AB ⊥CD ，又AP ⊥CD ，故CD ⊥平面ABP ，则BQ ⊥CD .在Rt △CBQ 中，由于∠C ＝30°，故∠CBQ ＝60°.又∠CBD ＝30°，故∠EBP ＝30°.在Rt △EBP 中，PE ＝BE tan30°＝12×33＝36， 又AE ＝32，故cos ∠AEP ＝3632＝13，故cos θ＝cos(π－∠AEP )＝－13，故当cos θ＝－13时，AB ⊥CD .。

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·湛江模拟)下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)③④2.对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( ) (A)m ⊥n ，m ∥α，n ∥β (B)m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α (C)m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α (D)m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β3.(2011·辽宁高考)如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )(A)AC ⊥SB (B)AB ∥平面SCD(C)SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 (D)AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角4.a ，b ，c 是三条直线，α，β是两个平面，b ⊂α，c ⊄α则下列命题不成立的是( ) (A)若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β (B)“若b ⊥β，则α⊥β”的逆命题(C)若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c(D)“若b∥c，则c∥α”的逆否命题5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( )(A)α⊥β，α∩β＝l，m⊥l(B)n⊥α，n⊥β，m⊥α(C)α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ(D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α6.(2012·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α，则l与α相交②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为.8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·佛山模拟)正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连接AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、AF 为折痕，折叠这个正方形，使点B 、C 、D 重合于一点P ，得到一个四面体，如下图所示.(1)求证：AP⊥EF；(2)求证：平面APE⊥平面APF.11.(预测题)如图，已知直角梯形ABCD 的上底BC ＝2，BC∥AD，BC ＝12AD ，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD ，△PCD 是边长为2的等边三角形. (1)证明：AB⊥PB；(2)求二面角P －AB －D 的大小. (3)求三棱锥A －PBD 的体积.【探究创新】(16分)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；(3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.答案解析1.【解析】选A.①②显然正确.对于③，结果应为b∥α或b⊂α，对于④结2.【解析】选C.如图，构造一个正方体ABCD－A1B1C1D1，把AD看作直线m，BB1看作直线n，把平面BB1C1C看作平面α，平面AA1C1C看作平面β，A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α、β不垂直，故不正确.类似地可否定B和D，故选C.3.【解析】选D.四棱锥S－ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD，又SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，从而AC⊥面SBD，故AC⊥SB，即A正确；B中由AB∥CD，可得AB∥平面SCD，即B 正确.选项A中已证得AC⊥面SBD，又SA＝SC，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，即C正确；AB与SC所成的角为∠SCD，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为直角，二者不相等，故D不正确.4. 【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，c⊄α，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β，故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素.5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形，确定出所求的线面角是解题的关键，然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.【解析】选A.如图，二面角α－l－β为45°，AB⊂β，且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H.连接OH、OB，则∠AHO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABO 为AB 与 平面α所成角.不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易 得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12，∴∠ABO ＝30°，为所求线面角.【方法技巧】求线面角的步骤(1)作：根据直线与平面所成角的定义作出线面角； (2)证：通过推理说明所作出的角即为所求角； (3)求：在直角三角形中求出该角； (4)作出结论.【变式备选】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) (A)23 (B)33 (C)23 (D)63【解析】选D.设BD 与AC 交于点O ，连接D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角.∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴DD 1在平面ACD 1内的射影落在OD 1上，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63，∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.7.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m 、n 不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l ∥n ，又l ⊥α，故n ⊥α，从而③正确；由m ⊥α，n ⊥α知m ∥n ，故l ∥n ，故④正确. 答案：①③④8.【解析】DM ⊥PC(或BM ⊥PC 等). ∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ， 又∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BD ， 又AC ∩PA ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ， BD ⊥PC.∴当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD. 答案：DM ⊥PC(答案不唯一)9.【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，故①正确；∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB 、平面PAD 都与平面ABCD 垂直，故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD>PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错. 答案：①③10.【证明】(1)由ABCD 是正方形，所以在原图中AB ⊥BE ，AD ⊥DF ， 折叠后有AP ⊥PE ，AP ⊥PF ，PE ∩PF ＝P ， 所以AP ⊥平面PEF ，又EF ⊂平面PEF ， 所以AP ⊥EF.(2)由原图可知，EP ⊥AP ，EP ⊥PF ， AP ∩PF ＝P ， 所以EP ⊥平面APF ，又EP ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面APF. 11.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中， 因为AD ＝22，BC ＝2，CD ＝2， 所以AB ＝(AD －BC)2＋CD 2＝ 6.因为BC ⊥CD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ， 所以BC ⊥平面PDC ，因此在Rt △BCP 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝ 6. 因为BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ， 所以在Rt △PAD 中，PA ＝AD 2＋PD 2＝(22)2＋22＝2 3. 所以在△PAB 中，PA 2＝AB 2＋PB 2， 所以AB ⊥PB.(2)设线段DC 的中点为E ，连接PE ，EB 因为△PCD 是等边三角形， 所以PE ⊥DC ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因此AB ⊥PE ， 由(1)知AB ⊥PB ，所以AB ⊥平面PEB ，所以AB ⊥BE ， 因此∠PBE 就是二面角P －AB －D 的平面角， 在Rt △PBE 中，sin ∠PBE ＝PE PB ＝36＝22，所以∠PBE ＝π4.(3)V A －PBD ＝V P －ABD ＝13S △ABD ·PE＝13×(12·AD ·DC)· 3 ＝16×22×2×3＝263. 【探究创新】【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度. (2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.(3)找到二面角的平面角，在三角形中利用余弦定理求解.【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.证明如下：连接AC ，∵ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC.∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥PC. 又∵AC ∩PC ＝C ， ∴BD ⊥平面PAC.∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC. ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.(3)在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连接BF. ∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3， ∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ， 从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE. ∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角. 在Rt △ADE 中，DF ＝AD ·DE AE ＝1×23＝63，∴BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得 cos ∠DFB ＝DF 2＋BF 2－BD 22DF ·BF ＝－12，∴∠DFB ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3.。