湖南省雅礼中学2021届高三第六次月考数学答案

雅礼中学2021届高三月考试卷（五）化学命题人：黄铁明 审题人：吴建新考生须知：1.本试卷共20小题，满分为100分，考试时量75分钟。

2.请将第Ⅰ卷的选择题答案用2B 铅笔填写在机读答题卡上，将第Ⅱ卷的答案填写在答卷上。

本卷答案必须做在答题卡或答卷的相应位置上，做在试卷上无效。

3.本卷可能用到的相对原子质量：H -1 C -12 N -14 O -16 Na -23 Mg -24 Al -27 S -32 C -35.5 K -39 Fe -56 Cu -64 Mo -96 I -127第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、单选题（本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意） 1.化学与生活密切相关，下列说法正确的是（ ）A 福尔马林可用于新冠病毒环境消毒和鱼肉等食品的防腐保鲜B 华为5G 手机芯片的主要成分是硅C.嫦娥五号外壳为钛合金，因它可防电离辐射D.用谷物酿造出酒和醋，酿造过程中只发生了氧化反应2.《本草衍义》中对精制砒霜过程有如下叙述：“取砒之法，将生砒就置火上，以器覆之，令砒烟上飞着覆器，遂凝结累然下垂如乳，尖长者为胜，平短者次之。

”砒霜的化学式是23As O ，是我国最古老的毒物之一，氧化性比Ag +弱，下列说法正确的是（ ） A.文中涉及的操作方法是蒸馏B.砒霜是最古老的毒物之一，有特殊的臭味C.砒霜是冶炼砷合金和制造半导体的原料D.银针探毒的方法在我国古代断案中被广为采用，是因为三氧化二砷可以与银反应 3.A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（ ） A.0.1mol 氨基（2NH —）含有的电子数为0.9A NB 用电解粗铜的方法精炼铜，当电路中通过的电子数为2A N 时，阳极应有64g Cu 转化为2Cu +C.将0.2mol 2Cl 通入足量水中，转移的电子数为0.2A ND.将一定量的2Cl 通入2FeBr 溶液中，当有2mol Br -转化为2Br 时，转移的电子数一定为3A N4.相同条件下，四个等体积的干燥圆底烧瓶中分别充满气体进行喷泉实验，经充分反应后，瓶内溶液的物质的量浓度关系正确的是（ ）A.===①②③④B.>>>①③②④C.=>=①②③④D.>>=①②③④5.常温下，下列各组离子可能在指定溶液中大量共存的是 A.0.11mol L -⋅KI 溶液中：Na +、K +，ClO -、OH -B.能使甲基橙变红的溶液中：Na +、4NH +、24SO -、3HCO -C.与Al 反应能放出2H 的溶液中：2Fe +、K +、3NO -、24SO -D.水电离的()121H110mol L c +--=⨯⋅的溶液中：K +、Na +、2AlO -、223S O -6.下列实验操作和现象及所得到的结论均正确的是（ ）7.根据陈述的知识，类推得出的结论正确的是（ ）A.锂在空气中燃烧生成的氧化物是2Li O ，则钠在空气中燃烧生成的氧化物是2Na O B 链状烷烃的结构和性质都相似，则分子组成不同的链状烷烃一定互为同系物 C.晶体硅熔点高、硬度大，则可用于制作半导体材料 D.金刚石的硬度大，则60C 的硬度也大8.某同学用23Na CO 和3NaHCO 溶液进行如图所示实验。

大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（一）化学命题人：于雯审题人：吴建新得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 Al~27 Si~28 P~31第Ⅰ卷（选择题 共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分，每小题只有一个选项符合题意。

）1．下列有关叙述错误的是（ ）A ．放电影时，放映机到银幕间光柱的形成是因为丁达尔效应B ．工业上一般可以采用电解饱和食盐水的方法制取NaOHC ．FeO 在空气中受热，能迅速被氧化成23Fe OD ．硬铝是一种铝合金，密度小、强度高，具有较强的抗腐蚀能力，是制造飞机和宇宙飞船的理想材料 2．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（ ） A ．40gSiC 晶体中含有的Si C −的数目为A 2NB ．100g 质量分数为46%的25C H OH 的水溶液中含有的氧原子数目为A 4N C ．标准状况下，11.2L 3NH 与11.2LHF 均含有A 5N 个质子D ．1mol 614C H 中含有的σ键的数目为A 20N3．下列关于23Na CO 和3NaHCO 的说法中，错误的是（ ） A ．两种物质的溶液中，所含微粒的种类相同 B ．可用NaOH 溶液使3NaHCO 转化为23Na COC ．利用二者热稳定性差异，可从它们的固体混合物中除去3NaHCOD ．室温下，二者饱和溶液的pH 差约为4，主要是因为它们的溶解度差异 4．在给定条件下，下列制备过程涉及的物质转化均可实现的是（ ）A ．制备22HCl :NaCl H Cl HCl  → →电解点燃溶液和B ．制备金属()22Mg :Mg OH MgCl Mg →  →盐酸电解溶液C ．纯碱工业：2CO 323NaCl NaHCO Na CO  →→△溶液D ．硫酸工业：22O H O2224FeS SO H SO →  →高温5．下列过程中，对应的反应方程式错误的是（ ） A 草酸溶液与酸性高锰酸钾溶液反应 22424222MnO 16H 5C O 2Mn 10CO 8H O −+−+++=+↑+ B NaH 用作野外生氢剂22NaH H ONaOH H +=+↑ C 工业制备高铁酸钠()24Na FeO32423ClO 2Fe 10OH 2FeO 3Cl 5H O −+−−−++=++D绿矾()42FeSO 7H O ⋅处理酸性工业废水中的227Cr O −22332726Fe Cr O 14H 6Fe 2Cr 7H O +−+++++=++6．下列实验装置正确的是（ ）A ．制备()2Fe OHB ．制取少量2OC ．3NaHCO 受热分解D ．铝热反应7．下列实验操作和现象、结论或目的均正确的是（ ） 选项 操作和现象结论或目的A将新制的()3Al OH 沉淀分装在两支试管中，向一支试管中滴加2mol/L 盐酸，另一支试管中滴加2mol/L 氨水，沉淀均溶解 ()3Al OH 是两性氢氧化物B将镁条点燃后迅速伸入充满2CO 的集气瓶，瓶中产生浓烟并有2CO 能支持镁条燃烧黑色颗粒生成 C取2FeCl 溶液置于试管中，加入几滴酸性高锰酸钾溶液，酸性高锰酸钾溶液的紫色褪去2Fe +具有还原性D各取23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液少许于试管中，加入澄清石灰水，仅23Na CO 溶液中出现白色沉淀鉴别23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液8．已知电对的标准电极电势()0E越高，其电对中氧化剂的氧化性越强。

雅礼中学2023届高三月考试卷（四）一、单项选择题：1．答案C 解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．2．答案B 解析由等差中项的性质可得，a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝4a 7＝12，解得a 7＝3，∵a 7＋a 11＝2a 9，∴2a 9－a 11＝a 7＝3.3.答案C 解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b＋a 2b ＋≥12×＝94，4.答案C 解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺)，即为2丈6尺．5.答案B 解析直线x ＋ay －a －1＝0可化为(x －1)＋a (y －1)＝0，则当x －1＝0且y －1＝0，即x ＝1且y ＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M (1,1)，设圆的圆心为C (2,0)，半径r ＝2，当MC ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|MC |2＝24－2＝22，此时弦长AB 对的圆心角为π2，所以劣弧AB 的长为π2×2＝π.6．答案D 解析由题意，得x ＝15×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，y ＝15×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k ＝y －0.25x ＝30－0.25×40＝20，故A 正确；由经验回归方程可知，b ^＝0.25>0，变量x ，y 呈正相关关系，故B 正确；若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25，故C 正确；当x ＝52时，y ^＝0.25×52＋20＝33，故D 不正确．7.答案A 解析设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38.8．答案B 解析∵c cos A ＋a cos C ＝2，由余弦定理可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2，整理可得b ＝2，又AC 边上的高为3，∴12×2×3＝12ac sin B ，即ac ＝23sin B，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＝1－2ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，∴cos B ≥1－33sin B ，即3sin B ＋3cos B ≥3，即≥32，∵B ∈(0，π)，∴B ＋π3∈B ＋π3∈，2π3，∴B ，π3，故∠ABC 的最大值为π3.二、多项选择题：9．答案AD 解析f (x )＝2cos 2x －x 1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin x对于A ，由y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin 2＝2sin x 故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[0，π]，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈－π2，0，所以2x ＋π4∈－3π4，π4，所以x ∈－1，22，所以f (x )∈[－2，1]，所以f (x )在－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．10.答案BCD 解析A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故A 错误；B 项，由已知可得B 1F ⊥A 1C 1，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1，所以B 1F ⊥平面CAA 1C 1.在矩形AEFA 1中，△DEF 的面积S ＝12×EF ×A 1F ＝12×2×1＝1.又B 1F ＝12A 1C 1＝1，所以三棱锥D －MEF 的体积V M －DEF ＝13S ×B 1F ＝13×1×1＝13，所以B 正确；C 项，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，因为BD ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥BD ，所以C 正确；D 项，由题意可得四边形BB 1FE 为矩形，连接BF (图略)，则矩形BB 1FE 外接圆的圆心为BF 的中点O 1，且O 1F ＝O 1B ＝52.过O 1作O 1N ⊥EF ，垂足为N ，连接DN ，O 1D ，则O 1N ＝12，DN ＝1，O 1N ⊥DN ，故O 1D ＝52，所以O 1是四棱锥D －BB 1FE 的外接球的球心，外接球的半径为R ＝52，则外接球的表面积为S ＝4π＝5π，所以D 正确．11．答案AD 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2，＝my ＋p 2，2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.对于A ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2，故A 正确；对于B ，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，故|AF |·|BF |12(my 1＋p )(my 2＋p )＝m 2y 1y 2＋pm (y 1＋y 2)＋p 2＝－m 2p 2＋2p 2m 2＋p 2＝p 2(m 2＋1)＝4p 2，所以m 2＋1＝4，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率k ＝1m ＝±33，故B 不正确；对于C ，由题意可知2＋p 2＝3，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ，故C 不正确；对于D ，由题意可知p ＝2，所以y 1＋y 2＝4m .易得sin ∠PMN ＝d r，其中d 是点P 到y 轴的距离，r 为以AB 为直径的圆的半径，且d ＝x 1＋x 22，r ＝|PM |＝|AB |2＝x 1＋x 2＋22.又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，且y 1＋y 2＝4m ，所以d ＝2m 2＋1，r ＝2m 2＋2，所以sin ∠PMN ＝d r ＝2m 2＋12m 2＋2＝1－12(m 2＋1)，当m ＝0时，sin ∠PMN 取得最小值12，故D 正确．12.答案ABC 解析由题意，原不等式可变形为1e x －1x ≤x a －a ln x ，即1e x －1ln e x ≤x a －ln x a ，设f (x )＝x －ln x ，则当x ≥e 时，1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )恒成立，因为f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x ≥e ，a >0，所以1e x>1，x a >1，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以要使1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )，只需1e x ≤x a ，两边取对数，得1x ≤a ln x ，因为x ≥e ，所以a ≥1x ln x.令h (x )＝x ln x (x ∈[e ，＋∞))，因为h ′(x )＝ln x ＋1>0，所以h (x )在[e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝e ，所以0<1x ln x ≤1e ，则a ≥1e ，故正实数a 的最小值为1e .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13．答案23解析方法一设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，①(3－a )2＋(1－b )2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝23.故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23.14.答案－2解析如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝AD →＋14AB →·34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2.15.答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x－x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.16．答案如图，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，焦距为2c ，由椭圆定义可得m ＋n ＝2a ，由双曲线定义可得m －n ＝2a 1，解得m ＝a ＋a 1，n ＝a －a 1，当|F 1F 2|＝4|MF 2|时，可得n ＝12c ，即a －a 1＝12c ，可得1e 1－1e 2＝12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 1e 2＝2e 222＋e 2，可设2＋e 2＝t (3<t <4)，则2e 222＋e 2＝2(t －2)2t＝＋4t －f (t )＝t ＋4t －4在(3,4)上单调递增，可得f (t )e 1e 2四、解答题：17.解(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·(a 1＋d )＝2(a 1＋3d )，整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又由a 1＋2d ＝5，可得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又由数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，得新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×(1－22n ＋1)1－2＋(3＋2n ＋4)(2n ＋2)2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.18.解（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C c ABC b =∠，∴ac BD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.19.(1)证明因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，所以CF ＝1，BF ＝5.如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (1,1,0)，F (0,2,1)，BF →＝(0,2,1)．设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0,2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2)．所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)解易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面DFE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )·n 2＝0，·n 2＝0，又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1,1,1)1－m )x ＋y －2z ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，于是平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1,2－m )，所以cos 〈n 1，n 2设平面BB 1C 1C 与平面DFE 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小．20.解(1)进行一次试验，获得0分的概率为12×13＋12×23＝12，获得1分的概率为12×23＝13，获得2分的概率为12×13＝16，进行两次试验，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝4)＝16×16＝136，P (X ＝3)＝13×16×2＝19，P (X ＝2)＝12×16×2＋13×13＝518，P (X ＝1)＝13×12×2＝13，P (X ＝0)＝12×12＝14.所以分数X 的分布列为X01234P 141351819136E (X )＝0×14＋1×13＋2×518＋3×19＋4×136＝43.(2)①G (2)＝16＋13×13＝518，②据题意有，G (n )＝16G (n －2)＋13G (n －1)，其中n ≥3，设G (n )－λG (n －1)＝16G (n －2)＋13G (n －1)－λG (n －1)＝16G (n －2)(n －1)G (n －1)－λG (n －2)]＝16，解得λ＝1±76，所以{G (n )－λG (n －1)}是公比为13－λ的等比数列，其中n ∈N *，n ≥2，λ＝1±76.21.解(1)设y 由P (4,0)，可得|AP |2＋y 20＝y 4016－y 20＋16＝116(y 20－8)2＋12≥12，当y 0＝±22时，|AP |取得最小值23.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝my ＋t ，2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0，即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3,0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.22.解(1)f ′(x )＝2x sin x －(x 2－a )cos x sin 2x，f π，所以f (x )f y ＝πx ，所以f ＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2.(2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x－2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈π2，g ′(x )>0，所以g (x )在区间π2，x h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x又g ′(0)＝－2<0，g π>0，所以存在x 0g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减，x ∈x 0g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

雅礼中学2021届高三上学期第五次月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{24}A x x =-<∣，{53}B x x =-<∣，则A B ⋂=（ ）A ．{54}x x -<<∣B ．{52}x x -<-∣C ．{23}x x -∣D ．{34}x x <∣ 2．设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．从5名同学中选若干名分别到图书馆食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A.20种 B ．50种 C ．80种 D ．100种4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP ）y （单位：万亿元）关于年份代号x 的回归方程为 6.6050.36(1,2,3,4,5,6,7)y x x =+=，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ） A ．14.04万元 B ．202.16万元 C ．13.58万元 D ．14.50万元5．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 后的温度T 将满足()012ta a T T T T ⎛⎫⎪⎭⋅-=- ⎝，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（lg 20.3010≈，1g 30.4771≈）（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 7．在直角三角形ABC 中，90A ︒∠=，2AB =，4AC =，P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则()AP PB PC ⋅+的最大值为（ ）A ．258 B ．52 C ．254 D ．2528．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项成立的是（ ）A ．ab ac >B ．22cb ab < C ．()0c b a -> D ．()0ac a c -< 10．已知方程2225 3102x y ax ay a a +++++-=，若方程表示圆，则a 的值可能为（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．3 11.．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ）A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90° B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形 C ．二面角11D BC B --的大小为30°D ．正方体1111ABCD A B C D -12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受得到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2,0)π对称C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称 D ．函数()f x 的导函数()f x '的最大值为4 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线:2l y x b =+经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若||5AB =，则p =________．14．数列1，2-，2，3-，3，3-，4，4-，4，4-，5，5-，5，5-，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2021项是________．15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m 的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad /min 3π的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，已知筒车中心O 到水面BC 的距距离为2m ，初始时刻其中一个盛水筒位于点0P 处，且0(// ) 6POA OA BC π∠=，则8min 后该盛水筒到水面的距离为________m ．16．正方体1111ABCD A B C D -的长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为________；以点E 11ACC A 的交线长为________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①sin 2B B +=，②cos220B B +-=，③222b ac -=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若4a =，c =，________，求ABC的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n N ++++=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1(1)n n n n b a a +=-+，求数列{}n b 的前2020项和2020S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==，D= 2BC C =，//AB CD ，2ADC π∠=．（1）求证：PD AB ⊥；（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（本小題满分12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方贏得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各 14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者 获得下一个球的发球权．设两队打了(6)x x 个球后甲赢得整场比赛，求x 的值及相应的概率()p x ．21．（本小题满分12分）如图，点A 为椭圆221:21C x y +=的左顶点，过A 的直线1l 交抛物线22:2(0)C y px p =>于B ，C 两点，点C 是AB 的中点．（1）若点A 在抛物线2C 的准线上，求抛物线2C 的标准方程；（2）若直线2l 过点C ，且倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，交椭圆1C 于M ，N 两点． （i ）证明：点C 的横坐标是定值，并求出该定值； （ii ）当BMN 的面积最大时，求p 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()21xf x ae x =+-，（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ，当0x >时， ()()f x x ae x +．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．2．D 【解析】由题134z i =-，223z i =-+，则121z z i +=-，对应点为(1,1)-．3．B 【解析】当去4个人时，安排方法有4254C C 30=种，当去5个人时，安排方法有3152C C 20=种．综上，不同的安排方法共有50种．故选B ．4．A 【解析】到2035年底对应的年份代号为23，由回归方程ˆ 6.6050.36yx =+得，我国国内生产总值约为6.602350.36202.16⨯+=（万亿元），又202.1614.0414.4≈，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元．故选A ．5．B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++．因为()0.45P A =，()0.15P AB =，所以()0.4P B =．故选B ．6．C 【解析】根据题意有：1015525(8525)102hh ⎛⎫-=-⇒=⎪⎝⎭， ∴101211lg30.47714525(8525)log 101015.852103lg 20.3010t t t ⎛⎫-=-⇒=⇒=⨯=⨯≈⎪⎝⎭，故选C ． 7．B 【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AC 方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则(2,0)B ，(0,4)C ，中点(1,2)D ，设(,2)P x x ，所以(,2)AP x x =，(1,22)PD x x =--，()2()(2)2[(1)2(22)]10AP PB PC AP PD x x x x x x ⋅+=⋅=-+-=--， 12x =时，最大值为52．故选B ． 8．D 【解析】令0x =，得(2)(2)4(2)f f f =+，即(2)0f =，(2)(2)f x f x +=-， 因为函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称， 所以函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称， 即()()f x f x -=-，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=--，即(4)()f x f x +=-，(8)()f x f x +=，则(2021)(25383)(3)(1)3f f f f =⨯-=-=-=-，故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．由,0c b ca ab a <⎧⇒<⎨>⎩，所以A 选项正确． 当0b =时，22cb ab =，所以B 选项错误．0,()00b a c b a c -<⎧⇒->⎨<⎩，所以C 选项正确． 0,()00a c ac a c ac ->⎧⇒-<⎨<⎩，所以D 选项正确．故选ACD ． 10．AB 【解析】因为方程22253102x y ax ay a a +++++-=表示圆， 所以2225(3)4102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭， 解得1a <，所以满足条件的只有2-与0． 故选AB ．11．ABD 【解析】连接1BC ，易知11BC B C ⊥，又正方体中11C D ⊥平面11BCC B ， 从而有111C D B C ⊥，1111C D BC C ⋂=，1B C ⊥平面11BD C ，从而得11B C BD ⊥，异面直线1BD 与1B C 所成的角大小为90°，A 正确； 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，则1DD BD ⊥，1DD CD ⊥， 同理BC CD ⊥，1BC CD ⊥，∴四面体1D DBC 的四个面都是直角三角形，B 正确；由1BC CD ⊥，1BC CC ⊥，知11D CC ∠是二面角11D BC B --的平面角， 为45°，即二面角11D BC B --为45°，C 错误； 易知1BD 的中点是正方体外接球和内切球的球心，12，，D 正确． 故选ABD ．12．BCD 【解析】∵sin3sin5sin7()sin 357x x xf x x =+++， sin[3()]sin[5()]sin[7()]()sin()357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()()357x x xx f x f x =----=-≠， 所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误； ∵sin(3)sin(5)sin(7)sin3sin5sin7()sin()sin 357357x x x x x xf x x x ----=-+++=----， sin[3(4)]sin[5(4)]sin[7(4)](4)sin(4)357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()357x x xx f x =+++=， 所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确； ()cos cos3cos5cos7f x x x x x '=+++，∵1cos 1x -，1cos31x -，1cos51x -，1cos71x -，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x '=+++，又 (0)4f '=，所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项确．故选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2【解析】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即 22b y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， ∴22b p-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22,2,y x p y px =-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232px x +=，又||5AB =， ∴12552x x p p ++==，则2p =． 法2：设直线的倾斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴2222||5sin p pAB θ===，得2p =． 14．64【解析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364202163201622n n n +⨯⇒⇒=，前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项， 故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64． 15．72【解析】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为8833ππ⨯=，而除去一圈，82233πππ-=，所以转8分钟之后0P 所转到的位置P 满足25366POA πππ∠=+=， 所以点P 到水面的距离5723sinm 62d π=+=． 16．98【解析】如图，连接1AD ，则11////EF BC AD ， ∴等腰梯形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得截面图形， 由正方体棱长为1，得1AD =，EF =，AE ==，则E 到1AD 的距离为4=，∴1192248AEFD S ⎛=+⨯= ⎝． ∵平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C ⋂平面ABCD AC =， 过E 作EH AC ⊥于H ，则EH ⊥平面11ACC A ，∵E 为BC 中点，∴144EH AC ==，以点E 11ACC A 的交线为圆弧，2=，由4CH =， 2HN =，得 3NHC π∠=，∴23MHN π∠=，所求交线为劣弧MN ，长度为2323π⨯=．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】选①：由sin 2B B +=得：sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 (0,)B π∈， 所以6B π=． 3分选②：由cos220B B +-=得：22cos 30B B +-=，解得cos B =，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分选③：由222b ac -=-得：222c a b +-=，得222cos 2a c b B ac +-===，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分又因为sin sin C cB b==1sin 2C B ===由(0,)C π∈，所以3C π=或23C π=． 6分 当3C π=时，2A π=，又因为4a =，所以2b =，c =．所以面积122S =⨯⨯=． 8分当23C π=时，6A π=，所以A B =． 又因为4a =，所以4b =．所以面积1442S =⨯⨯= 10分 18．【解析】（1）由()2*12323n a a a na n n N ++++=∈，可得2123123(1)(1)n a a a n a n -++++-=-，所以22(1)21n na n n n =--=-， 3分 即()*122,n a n n N n=-∈，当1n =，11a =也满足， 所以()*12n a n N n=-∈． 6分 （2）2020122020S b b b =+++111111112222222212232019202020202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-+-+--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=． 12分 19．【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥， 由2ADC π∠=，得AD CD ⊥， 2分 ∵//AB CD ，∴AD AB ⊥， 3分∵AD PA A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴PDAB ⊥． 5分（2）以射线AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，D ，(0,0,1)P ，C ，AC =，(1,0,1)PB =-，1)PC =-． 7分设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =．则由0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 9分取31,n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则||3|cos ,|7||||AC n AC n AC n ⋅〈〉==⋅． 11分故直线AC与平面PBC12分20．【解析】（1）甲队最后贏得整场比赛的情况为第四局贏或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=．4分（2）根据比赛规则，x的取值只能为2,4或6，对应比分为16:14,17:15,18:16.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p=⨯=；6分两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为2332332272 (4)55555555625p=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．8分两队打了6个球后甲赢得整场比赛，6个球的胜负情况如图（胜者用√表示），(6)55555555555555555555555515625 p=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=．12分21．【解析】（1）由题意得(1,0)A-，1分点A在抛物线2C的准线上，则12p=，即2p =， 2分 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =． 3分 （2）（i ）证明：因为过A 的直线1l 和抛物线交于两点， 所以1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为1x my =-，其中m 是斜率的倒数， 4分 设()11,B x y ，()22,C x y ， 联立方程组21,2,x my y px =-⎧⎨=⎩ 整理得2220y pmy p -+=，0∆>且12122,2,y y pm y y p +=⎧⎨=⎩ 5分因为C 是AB 的中点，所以122y y =， 所以223pm y =，294m p =，2222111332pm p x m m =⋅-=-=， 所以点C 的橫坐标为定值． 6分（ⅱ）因为直线2l 的倾斜角和直线1l 的倾斜角互补， 所以2l 的斜率和1l 的斜率互为相反数． 设直线2l 的方程为2132pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,(),M M M x y ，(),N N N x y ， 即2x my =-+， 联立方程组222,210,x my x y =-+⎧⎨+-=⎩整理得()222430m y my +-+=， ()222(4)1224240m m m ∆=-+=->，所以26m >，242M N m y y m +=+，232M Ny y m =+． 8分 因为点C 是AB 中点，所以BMNAMNS S=，因为(1,0)A -到MN的距离d =，M N MN y =-，所以1||2AMNSMN d =⋅= 10分令26t m =-，则13288AMNS===⨯+，当且仅当8t =，214m =时等号成立， 所以9144p=， 956p =． 12分 22．【解析】（1）()2xf x ae '=+．①当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 2分 ②当0a <时，由()0f x '>解得2ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()0f x '<解得2ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．故()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减． 4分 综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减． （2）证法一：原不等式等价于120x e x e x a ax a--+-． 6分 令12()x e x g x e x a ax a =--+-，则()2(1)e 1()xx a x g x ax'---=． 当1a 时，11x x ae x e x ----， 8分令()1xh x e x =--，则当0x >时，()10xh x e '=->， ∴当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， 9分∴当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴()(1)0g x g =． 11分即120x e x e x a ax a--+-，故()()f x x ae x +． 12分 证法二：原不等式等价于()2(1)xa e exx --．令()x g x e ex =-，则()xg x e e '=-．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g =，即0x e ex -，当且仅当1x =时等号成立． 6分 当1x =时，()2(1)xa e exx --显然成立；当0x >且1x ≠时，0x e ex -． 欲证对任意的1a ，()2(1)xa e exx --成立，只需证2(1)x e ex x --． 8分思路1：∵0x >，∴不等式2(1)xe ex x --可化为120x e x e x x---+， 令1()2x e h x x e x x =---+，则()2(1)1()xx e x h x x'---=， 10分 易证当0x >时，10xe x -->，∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， ∴函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴min ()(1)0h x h ==，∴()0h x ，即120x e x e x x---+， 从而，对任意的1a ，当0x >时，()(e)f x x a x +． 12分思路2：令2(1)()x x ex x e ϕ-+=，则(1)(3)()xx x e x e ϕ'--+-=．()031x e x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒>或03x e <<-， 10分∴()x ϕ在(0,3)e -上单调递减，在(3,1)e -上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ∵(0)(1)1ϕϕ==，∴2(1)()1xx ex x eϕ-+=，即2 (1)xx e ex --． 从而，对任意的1a ，当0x >时，()()f x x ae x +． 12分 证法三：原不等式等价于2210x ae x x aex +---．令2()(2)1xg x ae x ae x =----，()2(2)xg x ae x ae '=---． 令()2(2)xh x ae x ae =---，则()2xh x ae '=-，其中0x >． 6分 ①当2a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增．注意到(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>．∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==，即 ()()f x x ae x +． 8分 ②当12a <时，20ln 1a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． 当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．（i ）若221a e <-，则(0)(1e)20h a =-+．∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． 与①同，不等式成立． 10分 （ⅱ）若211a e <-，则(0)(1)20h a e =-+>， ∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()()0g x h x '=>； 当()0,1x x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． ∴()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∵(0)10g a =-，(1)0g =， 此时，()0g x ，即()()f x x ae x +． 综上所述，结论得证． 12分。

雅礼中学2023届高三月考试卷（六）生物学本试题卷包括选择题、非选择题两部分，共10页。

时量75分钟，满分100分。

一、单项选择题（本题共 12小题，每小题2分，共24分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

）1.3NO -和NH 4+是植物利用的主要无机氮源，转运机制如下图所示，图中AMTs 、NRT1.1、SLAH3为根细胞膜上的三种转运蛋白。

过量施用NH 4+会加剧土壤的酸化，引起植物生长受到严重抑制，这一现象被称为铵毒。

研究发现当3NO -存在时，植物可以通过减轻土壤酸化来缓解铵毒症状，NRT1.1和SLAH3参与缓解铵毒的过程。

以下分析错误的是A ．根细胞膜对物质的吸收具有选择透过性，这与细胞膜上的蛋白质种类不同有关B ． AMTs 运输NH 4+的方式与NRT1.1运输3NO -的方式均为协助扩散C ．推测植物通过调用NRT1. 1来加速对胞外3NO -/H +的同向转运从而降低了胞外H +浓度，缓解了铵毒D ．外源施加3NO -或者由SLAH3外排3NO -均可能缓解植物的铵毒症状2.生物学实验设计中应遵循单一变量原则和对照原则，在对照实验中可以采用加法原理或减法原理实现对自变量的控制。

下列有关实验的叙述中正确的是A ．在“比较过氧化氢在不同条件下的分解”实验中利用了减法原理来控制自变量B ．在探索生长素类调节剂促进插条生根的最适浓度”实验中，预实验和正式实验均需要设置空白对照C ．在“观察紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞质璧分离与复原”的实验中不存在对照D ．在“探究唾液淀粉酶的最适pH ”的实验中，先将每一组温度控制在37°C 属于对无关变量的控制3.细胞中几乎所有的化学反应都是由酶催化的，酶的活性受到多种因素的影响。

酶的作用原理如图一所示，酶促反应速率与影响因素的关系如图二所示。

下列叙述错误的是A．图一中有酶催化时反应进行所需要的活化能是BC段B．如果将酶催化改为无机催化剂催化，则图一的纵坐标轴上B点对应的虚线应上移C．图二中曲线②和③分别表示pH和温度对酶促反应速率的影响D．图二中若横轴表示反应物浓度，曲线①的BC段对应数值保持不变的原因主要是酶的数量有限4.某昆虫体色有灰体和黄体，分别由等位基因B、b控制，腿型有粗腿和细腿，分别由等位基因D、d控制，其中B、b基因位于常染色体上（D、d基因不位于Y染色体上）。

雅礼中学2023届高三月考试卷（八）数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}²4120A x x x =∈--<Z ，{}sin B y y e x x ==∈R ，，则A B =（ ） A.{2,1,0,1,2}-- B.{}1|2x x -<< C.{1,0,1,2}-D.{2|x x ≥或}1x ≤-2.下列说法正确的是（ ）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“4k x π=，k ∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件 C.命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x +>”D.“1xy =”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图，矩形ABCD 是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中16AB =，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）A.11πB.12πC.15πD.16π4.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P 为角α终边上一点，若1cos()3αβ+=，(0,)βπ∈，则cos β=（ ）A.315+B.315-C.415+D.415- 5.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）C.165D.5656.已知0.75a =，52log 2b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b <<7.若函数33()ln x e f x e x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,0]-∞C.(]3,09e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭D.23,49e e ⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭8.已知双曲线22122:1x y C a b==(0,0)a b >>与抛物线22:2C y px =(0)p >有公共焦点F ，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（ ）二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.上级某部门为了对全市36000名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本（数学水平分数）数据进行整理分析，全部的分数可0.040按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（ ）A.图中x 的值为0.025B.估计样本数据的80%分位数为84C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为360D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数80分及以上的人数占比为3%10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A.1()2P A =B.1()2P B A =C.事件A 和事件B 互为对立事件D.事件A 和事件B 相互独立11.如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A.BPB.PA PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 1AB C 12.对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足：12,D x x ∀∈且12x x <，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且(2)2f =，()(2)2f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(1)f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（ ） A.(1)1f =B.03,22x ⎡⎤∃⎢⎣∈⎥⎦，0()1f x <C.12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， (())()2f f x f x ≤-+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.51(21)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为__________.14.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一个动点，直线:1l x =-，点Q 为圆22:(3)(31)M x y +-=+上的动点，则点P 到直线l 的距离与PQ 之和的最小值为__________.15.已知三棱锥P ABC -满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则其外接球体积的最小值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A ：1，0，则数列()f A ：0，1，0，1，0，1.已知数列1A ：1，0，1，0，1，且数列1()k k A f A +=，1k =，2，3，…，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且22n n S s a t n n =⋅+⋅-，*n ∈N .（1）当3s =，0t =时，求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）当0s =，3t =时，不等式1n na a λλ++≥对于任意2n ≥，*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.18.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin 2cos 2B CB b +=. （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线1AD =，求ABC △面积的最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，AB DC ∥，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC ，求二面角P AC E --的余弦值. 20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：（2）在人工智能中常用(|)(|)(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计(|)L B A 的值；（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，反射后必经过另一个焦点.若从椭圆2222:1(0)x y T a b a b+>>=的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆T 的离心率2. （1）求椭圆T 的标准方程；（2）设0(),D D x ，且D x a >，过点D 的直线l 与椭圆T 交于不同的两点M ，N ，点2F 是椭圆T 的右焦点，且2DF M ∠与2DF N ∠互补，求2MNF △面积的最大值. 22.已知函数31()6x f x e ax =-（a 为非零常数），记1()()n n f x f x +'=（n ∈N ）0()()f x f x =，.（1）当0x >时，0f x ≥（）恒成立，求实数a 的最大值； （2）当1a =时，设2()()nn i i g x f x ==∑，对任意的3n ≥，当nx t=时，()n y g x =取得最小值，证明：()0n n g t >且所有点(,())n n n t g t 在一条定直线上.。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1BC ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++= A ．12B ．14C ．0D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤，()220.9545P μσξμσ-+≈≤≤，()330.9973P μσξμσ-+≈≤≤）A ．()100E X =B ．()10D X =C ．()900.84135P X ≈≥D ．()()12090P X P X =≤≥10．下列说法正确的是A ．若不等式220ax x c ++<的解集为{}12x x x <->或，则2a c +=B ．若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C ．在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--11．已知函数()()sin 4f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，08πϕ<<）的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 图象的一条对称轴是3x π=-D ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos β=A ．过点D 作球的截面，截面的面积最小为4πB ．过点D 作球的截面，截面的面积最大为24πC ．点Q 的轨迹长为44αβ+D ．点Q 的轨迹长为48αβ+第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为 ．14．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PA +的最小值为 ．15．若1nx ⎫-⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为 ．16．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为i x （1i =，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R 的圆内接△ABC，AB =，∠ACB 为锐角．（1）求∠ACB 的大小；（2若∠ACB 的平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中，图①图②（1）证明：EF ⊥MC ；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数()2ln x xf x =+．（1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21．（本小题满分12分）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ．（1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且1234OP PF PF =⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和△MAB 面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2U A B x x => ð．故选D ．3．D【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b 同向共线，所以1a b a b -=-=，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C．6．B【解析】∵2333332log 3log log log 23c a ===>==，∴c a >，又23442log 4log 3c ===<44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x xπ+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++=，故选A ．9．AC【解析】∵随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，正态曲线关于直线100X =对称，且()100E X =，()210100D X ==，从而A 正确，B 错误，根据题意可得，()901100.6827P X ≈≤≤，()801200.9545P X ≈≤≤，∴()1900.50.68270.841352P X ≈+⨯=≥，故C 正确；()120P X ≤与()90P X ≥不关于直线100X =对称，故D 错误．故选AC ．10．AD【解析】对于A ，不等式220ax x c ++<解集为{}12x x x <->或，则方程220ax x c ++=的两根为1-，2，故212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2a =-，4c =，所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B 不正确；对于C ，sin cos sin cos 2sin A A B B A+=+⇒cos 2sin cos sin 2sin 2A B B A B ⋅=⋅⇒=，又0222A B π<+<，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对于D ，令()()223f m x m x =++，则()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则()()20301320f x f x x =<⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得21x -<<-，故D 正确，故选AD ．11．ABD【解析】由图知，2A =，4T π=，∴24T ππω==，得12ω=．故()12sin 42f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵点()0,1在函数图象上，∴2sin 41ϕ=，即1sin 42ϕ=．又∵08πϕ<<，∴042πϕ<<，∴46πϕ=．故函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 正确；将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，可得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；当3x π=-时，2sin 003f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，不是最值，故直线3x π=-不是()f x 图象的一条对称轴，故C 不正确；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,2662x πππππ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦还上单调递增，故D 正确，故选ABD ．12．ABD【解析】三棱锥P -ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ==，∴R =，取BC 的中点1O ，∴1O 为△ABC 的外接圆圆心，∴1OO ⊥平面ABC ，如图．当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ===，此时截面圆的半径为2r ==，∴最小截面面积为24r ππ=，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为224R ππ=，B 对；由条件可得BPC α∠=，BPA CPA β∠=∠=，则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为α，两段弧圆心角为β，弧长为()2448αβαβ+⨯=+，D 对．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14【解析】因为70107100⨯=为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．14．9【解析】因为F 是双曲线221412x y -=的左焦点，所以()4,0F -，设其右焦点为()4,0H ，则由双曲线定义得224459PF PA a PH PA a AH +=+++=+=+=≥．15．1【解析】由题知，()5111rn rn rr r rr r nn T C C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因第4项为常数项，所以当3r =时，3305n --=，所以18n =，则()1818792=-，而()61862891==-，1除9的余数为1，所以7n 被9除余1．16．[)7,9【解析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为()y f x =与122x y -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和122x y -=（0x >）的图象可知，11x =，23x =，35x =，47x =，…，若116nii x==∑，则4n =，所以实数a 的取值范围为[)7,9．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由正弦定理2sin sin AB R C C =⇒=C 为锐角，所以3C π=．（2）∵CD 为∠ACB 的平分线，2AD DB =，∴2b a =，又∵ACD BCD ABC S S S ∆∆∆+=，∴1112sin 2sin sin 262623b a a b πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有232a =，∴a =，∴1sin 23ABC S ab π∆==18．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．①令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．②解①②得11a =，2d =，所以21n a n =-．（2）由（1）知21224n n n b n n -=⋅=⋅，所以1214244nn T n =⨯+⨯++⨯ ，所以231414244n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得12134444nn n T n +-=+++-⋅ ()11414134441433n n n n n ++--=-⋅=⨯--．所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+=．19．【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ⊥CD ．∴折叠后，EF ⊥DF ，EF ⊥CF ．∵DF CF F = ，DF ，CF ⊂平面DCF ，∴EF ⊥平面DCF ．又MC ⊂平面DCF ，∴EF ⊥MC ．（2）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面AEFD EF =，且平面DF ⊥EF ，DF ⊂平面AEFD ，∴DF ⊥平面BEFC ，又CF ⊂平面BEFC ，∴DF ⊥CF ，∴DF ，CF ，EF 两两垂直．以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，EF 所在直线为．x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ．由题意知1DM FM ==．∴()1,0,0M ，()2,0,0D ，()1,0,2A ，()0,1,2B ．∴()0,0,2MA = ，()1,1,0AB =- ，()1,0,2DA =-．设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，由00MA m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111200z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，则()1,1,0m =为平面MAB 的一个法向量．由00DA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取22x =，则()2,2,1n =为平面ABD 的一个法向量．∴cos ,m n m n m n⋅<>===，平面MAB 与平面DAB．20．【解析】（1）设()()g x f x x =-，则()222171224'10x g x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--=-<，可知()g x 在()0,+∞上单调递减，又()110g =>，()2ln 210g =-<，所以方程()0g x =有且仅有一个根，即函数()y f x x =-有且只有1个零点．（2）令()f x kx >得2ln x kx x +>（0x >），即22ln x k x x+>（0x >）．设()22ln x h x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()32341ln 1'ln 4x h x x x x x x x -=-+=--，设()ln 4H x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()3'H x h x x =，因为()'1ln 1ln H x x x =--=-，当01x <<时，()'ln 0H x x =->，当1x >时，()'ln 0H x x =-<，所以函数()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110430H x H ==--=-<，则()()3'0H x h x x=<恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，又x →+∞，()0h x →，所以不可能存在正实数k ，使得()22ln x h x k x x=+>恒成立．21．【解析】（1）由条件知113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且121233n n n P P P --=+（2n ≥）．所以112212221333n n n n P P P P P P ---+=+==+= ，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又134515P -=-，∴13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，∴223535nn P ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．∴1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知此人上到第5级的概率为55223133535243P ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，X 的可能取值为3，4，5()21312108333133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()3142124334133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()15133P X ==所以X 的分布列为X345P 108133241331133所以()108241425345133133133133E X =⨯+⨯+⨯=．22．【解析】（1）设()00,P xy ，()1,0F c -，()2,0F c ，则由OP =220074x y +=，由1234PF PF ⋅= 得()()00003,,4c x y c x y ---⋅--=，即2220034x y c +-=．所以1c =．又因为c a =，所以22a =，21b =．因此所求椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2241621039k x kx +--=．设()11,A x y ，()22,B x y ．则()1224321k x x k +=+，()12216921x x k =-+．假设在y 上存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =- ，()22,MB x y m =- ．()()()21212121212MA MB x x y m y m x x y y m y y m ⋅=+--=+-++。

雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 分值：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合{}240A x x =-≤，则A =N （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,22、 ）A B C D3、 （暑假作业原题）若正数x ，y 满足 ²20x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】C【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.4、过椭圆22:1169x yC+=的中心作直线l交椭圆于,P Q两点，F是C的一个焦点，则PFQ△周长的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10所以PFQ△的周长为PF当线段PQ为椭圆短轴时，故选：B5、已知圆C的方程为22(2)x y a+-=，则“2a>”是“函数y x=的图象与圆C有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B6、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，若0()()P X k P X k == ，则0(k = )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,)2X B ，则10101()()(02kP X k C k ===，1，2...，10)，然后由二项式系数对称性即可得解．【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码X 服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,2X B ，所以10101010111()()(1()(0222k k k kP X k C C k -==-==，1，2...，10)，由二项式系数对称性知，当5k =时，10kC 最大，故05k =． 故选：B ．【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．7、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( ) A ．70B ．64C ．60D ．58【分析】从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， ∴满足条件的结果有4488661258C C --=-=．故选：D ．【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．8、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()2()0f x f x '-<，(0)1f =，则( )A ．2(1)1e f -<B ．()21f e >C ．1(2f e >D ．1(1)(2f ef <【分析】构造函数2()()xf xg x e =，由()2()0f x f x '-<得()0g x '<，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式．【解答】解：2()()x f x g x e=，则22222()2()()2()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e '⋅-'-'==， 因为()2()0f x f x '-<在R 上恒成立，所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以220(1)(0)(1)(0),(1)1f f g g e f e e --->=->=，故A 不正确； 所以g （1）(0)g <，即20(1)(0)f f e e<，即f （1）22(0)e f e <=，故B 不正确；1()(0)2g g <，即101()(0)21f f e e<=，即1(2f e <，故C 不正确；1()(1)2g g >，即121()(1)2f f e e >，即1(1)()2f ef <，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9、 已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．1212z z z z =C ．1212z z z z -≤+D ．1212z z z z +≤+10、 已知函数()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭，函数()()12g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()()1h x f x =+的对称中心ππ,182k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11、 如图，过点(C a ，0)(0)a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有( )A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MON S S ∆∆=D ．24MCN ANC BCM S S S ∆∆∆=⋅【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．【解答】解：对于A ，令直线:AB x my a =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则△2(2)80pm pa =+>，122y y pa =-，122y y pm +=， 则21212()222x x m y y a pm a +=++=+， 则1111,:OA y y k OA y x x x ==则直线，∴11(,)ayM a x --，故12211122212220()BMay pay y x y y y pak x a x a y x a +++====+++， 同理0AN k =，//BM AN ∴，故A 正确； 对于B ，如图，设AB 中点1212(,22x x y y Q ++，即2(Q pm a +，)pa -，则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+， 以AB为直径的圆的半径12||||2AB y y =-=，所以222||(2)(2)4AB d p a a p m -=+-， 当2pa =时相切，当2p a ≠时不相切，故B 错误；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，PON AOC S S ∆∆=，MOP BOC S S ∆∆=， 则PON MOP AOC BOC S S S S ∆∆∆∆+=+，则AOB MON S S ∆∆=，故C 正确； 对于D ，112211(),()22ANC BCM S x a y S x a y ∆∆=+=-+，则1212121211()()(2)(2)44ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ∆∆⋅=-++=-++221212121[2()4]4m y y am y y a y y =-+++22221[(2)2(2)4](2)(2)4m pa am pm a pa pa pm a =--++-=+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y ∆∆∆=+=⋅-=-， 所以2222222121212()[()4]4(2)4MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ∆∆∆=-=+-=+=⋅，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关系，根据韦达定理求参数，属于中档题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、 已知随机变量X 服从正态分布()25,N σ，若(56)0.27P X <≤=，则(4)P X <= .13、 已知向量()sin ,cos a θθ=，()3,1b =，若a b ∥，则2sin sin 2θθ+的值为 .14、 设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为 .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15、 （13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】cos A C -为定值，定值为1 (2)14【详解】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB，得cos A =2168BD A -=①， 同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即28cos 8BD C -=②，①-②cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-，同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，所以1688cos A C -=-1cos A C -=cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅ 222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C =+=+-2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，令()cos ,1,1A t t =∈-，所以2224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭，所以t =cos A = 2212S S +有最大值为14．16、 （15分）（暑假作业原题）函数()e 4sin 2xf x x λλ=-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--∈R .（1）求λ的值；（2）求()f x 在(0,)+∞上零点的个数. 解析【小问1详解】因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x λλλλ'=-+-=-， 所以(0)4f λ'=-，所以切线斜率为4λ-，即4a λ=-， 所切线方程为()41y x λλ=--+又(0)1f λ=-，所以切点坐标为(0,1)λ-，代入得 则11λλ-=-+，解得1λ=.【小问2详解】由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x '=--=-， 令()()e 4cos xg x f x x ==-'，则()e 4sin xg x x =+'，当πx ≥时，()e 4cos 0x f x x '=->恒成立，所以()f x 在[)π,+∞上递增， 所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ≥=--≥->， 因此()f x 在[π,)+∞无零点；当0πx <<时，()e 4sin 0xg x x '=+>恒成立，所以()f x '单调递增，又π(0)30,(π)e 40f f ''=-<=+>， 所以()f x '在(0,π)上存在唯一的零点0x ， 当()00,,()0,()∈<'x x f x f x 单调递减；当()0,π,()0,()x x f x f x '∈>单调递增；又()0(0)0,(0)0f f x f =<=，π(π)e 10f =->， 因此()f x 在(0,π)上仅有1个零点； 综上，()f x 在(0,)+∞上仅有1个零点.17、 （15分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC 平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y =()n =，又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,n CF n CF n CF⋅===， 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ==CF 与平面ABD(1)求C 的方程；(2)记双曲线C 的左右顶点分别为1A ，2A ，直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值. (3)探究圆E ：224410x y x y +---=上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线1l ，2l 互相垂直.【答案】(1)22143x y -=； (2)13-； (3)存在.【详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4,3)，则221691b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为22143x y -=. （2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()1122,,,M x y N x y ， 显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为4x my =+， 由2243412x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得220(34)2436m y my -++=， 显然22340,144(4)0m m -≠∆=+>，1212222436,3434m y y y y m m -+==--， 则121223my y y y +=-，即()121232my y y y =-+，所以()()()()11212112212222222262y y x y my k x y k x y y my x -++===++-()()1211211221223221236362y y y my y y my y y y y y -+++===-+-++.（3）圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为1122,y k x n y k x n =+=+，将y kx n =+代入22143x y -=消去y 得：22(3484120)k knx n ----=，由0'∆=得()()2222644344120k n k n +-+=，解得2243n k =-，因此2222112243,43n k n k =-=-，设两条切线的交点坐标为()00,x y ，则01010202y k x n y k x n -=⎧⎨-=⎩，即有()22010143y k x k -=-，且()22020243y k x k-=-，即()()2222220100100200204230,4230x k x y k y x k x y k y --++=--++=， 于是12,k k 是方程()22200004230x k x y k y --++=的两根，而121k k =-，则2020314y x +=--，即22001x y +=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x y +=， 而221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆222:(2)(2)3E x y -+-=的圆心(2,2)E ，半径为3，显然||OE ==，满足31||31OE -<<+，即圆O 与圆E 相交，所以圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直.19、 （17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)122n n a -=+【详解】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d ⎡⎤=+-=-+-+⎣⎦， 令()111,1n n b a n d c =-+-=，则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的．（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，则()12121111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q q a a a c q q --++=-=+-=-=-． 当1q =时，()2*Δ0n a n =∈N ；当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为21(1)c q -，公比为q 的等比数列． （3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知2121Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2121ΔΔΔ2S S S =-=．{}221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列．另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+- {}2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列， 0,1q q ∴≠≠，且()()()2222213ΔΔΔS S S =⋅，()()()223111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列． 又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，综上所述，()1111122n n n a b n d c q --=+-+=+．。

雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.第I 卷一、选择题:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}220,{2}M x x x N =--=<∣, 则M N ⋂= A. (0,2) B. [0,2] C. [-1,4) D. [-1,2]2. 在平面直角坐标系xOy 中, 以点(0，1)为圆心且与直线10x y --=相切的圆的标准方程为A. 22(1)2x y +-=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)x y +-=D. 22(1)4x y -+=3．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：-0.23(-53)()1t K I t e=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为(ln193)≈ A ．60B ．63C ．66D ．694．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是 A ．516B ．1132 C ．1532D ．15165. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是12, 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是A. 1 C. 1 或 2 D. 2 6. 设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R , 若1x =-为函数()()x g x e f x =的一个极值点, 则下列图象不可能为()y f x =的图象的是7. 已知12,F F 分别是双曲线22:221(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点, 过2F 的直线与双曲线C 的左支相交于P 、Q 两点, 且1PQ PF ⊥. 若1||PQ PF =, 则双曲线C 的离心率为 63522- 522+ D.122+8. 在棱长为 6 的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是BC 的中点, 点P 是面11DCC D 内的动点, 且满足 APD MPC ∠=∠, 则三棱锥D PBC -体积的最大值是A. 3B. 24C. 3D. 36 二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是A.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 期望与方差均没有变化C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法D.样本数据9,3,5,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.510．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin x x x =+（,i x ∈R 为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有 A ．e 10i π+=B ．20221312⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭C ．i -i e e 2x x+≤D ．i -i 2e e 2x x -≤-≤11. 已知函数()sin(cos )cos(sin )f x x x =+, 则下列结论正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递㖪C. ()f x 的周期是πD. ()f x 的最大值为 212. 下列不等关系正确的是A. 33e 3e π<<B. 3e e e ππ<<C. 3e e πππ≤<D.333e ππ<<第Ⅱ卷三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知||2||=b a 且()0⋅-=b a a , 则,b a 的夹角是_____.14. 已知函数()x x f x e ae -=+(a 为常数)为奇函数, 且()()g x f x mx =-为增函数, 则实数m 的取值范围是_____.15. 已知抛物线2:4E y x =, 直线:(1)l y k x =-与E 相交于,A B 两点, 若(1,1)M -使90AMB ︒∠=, 则 k =_____. 16. 已知三角形数表:现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{}n a ，记此数列的前n 项和为n S .若()277tm S t m m =∈∈>Z N ，且，则m 的最小值是_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知*n ∈N ,抛物线2y x n =-+与x 轴正半轴相交于点A .设n a 为该拋物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2) 设2n n na b =, 求证: 1211112n b b b n +++<-（*n ∈N 且2n ）.18.（本小题满分 12 分)在ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 若2A C B +.(1) 求证: B 3π;(2) 对*n ∈N , 请你给出一个n 的值, 使不等式2n n n a c b +成立或不成立,并证明你的结论.19. (本小题满分 12 分)如图 1, 在ABC 中,2,90,30,AC ACB ABC P ︒︒=∠=∠=是AB 边的中点. 现把ACP 沿CP 折成如图 2所示的三棱锥A BCP -, 使得10AB =(1)求证: 平面ACP ⊥平面BCP ; (2)求二面角B AC P --的余弦值.20. (本小题满分 12 分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-， 则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．(1)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出X 的可能值集合，并求X 的分布列；(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，①试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 21. (本小题满分 12 分)已知(1,0),A B -是圆22:2150F x x y -+-=上的任意一点, 线段AB 的垂直平分线交BF 于点P .(1) 求动点P 的轨迹C 的方程;(2) 设,PA PF 交轨迹C 于另两点,D E . 记PAF 和PDE 的面积分别为12,S S . 求12SS 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)已知函数11()t tttf x x x x +=+- (0, x t >为正有理数). (1) 求函数()f x 的单调区间;(2) 证明: 当2x 时,()0f x .雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 答案B ACD C D B A ADABC ABABD13.3π 14.(],2-∞ 15. 2 16. 95四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1) 抛物线在点,0)A n 处的切线方程为2()y n x n =--, 所以它在y 轴上的截距 2n a n =.(2)222121*********12121223(1)n b b b n n n n +++=++⋅<++++=-⨯⨯-. 18.【解析】(1) 由A B C π++=且2A C B +得23B B B ππ-⇒.(2) 当2n =时, 不等式成立, 即有2222a c b +. 证明如下: 由余弦定理有()()()2222222222cos b a c a c ac B a c -+=++--224cos 24cos 2(12cos )a c ac B ac ac B ac B =+--=-由 (1) 知1,cos cos 12cos 0332B B B πππ<∴=⇒-, 所以()22220b a c -+, 即2222a c b +.或当1n =时, 不等式成立, 即有2a c b +. 证明如下: 由正弦定理有2()2[2sin (sin sin )]24sin cos 2sin cos 2222B B A C A C b a c R B A C R +-⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭4cos 2sin cos 222B B A C R -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (其中R 是ABC 外接圆的半径)由 (1) 知1,sin sin 2sin 136222622B B BB πππππ<∴<⇒=⇒. 而cos 12AC -, 所以2sin cos 022B A C --, 又cos 02B>, 所以2()0b a c -+, 即2a c b +.或222()(2)a c b a c b +⇔+,而由余弦定理 ()()222222(2)()42cos 2b a c a c ac B a c ac-+=+--+-()2238cos 268cos 24(12cos )a c ac B ac ac ac B ac ac B =+----=- 由 (1) 知1,cos cos12cos 0332B B B πππ<∴=⇒-, 所以22(2)()0b a c -+, 即2a c b +.或当5n =时, 不等式不成立, 即5552a c b +不成立. 证明如下:取,23A B ππ==, 则有555sin 2sin 3a A b B ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝, 所以552a c b b ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即5552a c b +>.说明此时5552a c b +≤不成立19.【解析】（1）在图1中，取CP 的中点O ，连接AO 交CB 于E ，则AE CP ⊥.在图2中，取CP 的中点O,连接AO,OB, 因为2AC AP CP ===, 所以AO CP ⊥且 3AO =在OCB 中, 由余弦定理有2221(23)21237OB ︒=+-⨯⨯=, 所以22210AO OB AB +==, 所以AO OB ⊥, 又,AO CP CP OB O ⊥⋂=, 所以AO ⊥面PCB , 又AO ⊂面ACP , 所以平面ACP ⊥平面CPB .（2）因为AO ⊥面PCB 且OC OE ⊥，故可建立如图2空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(3,0)O C A P B --(2,3,3),(1,0,3)AB AC =--=.设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m , 则由0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得(3,3,1)=m又平面ACP 的法向量为(0,1,0)=n .所以313cos ||||13131θ⋅===⋅⨯m n m n . 因此, 二面角B AC P --的余弦值为1313.20.【解析】(1) X 的可能取值集合为{0,2,4,6,8},在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个, 所以24,a a 中奇数个数等于13,a a 中偶数个数, 因此1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同, 从而X 必为偶数.X 的值非负, 且易知其值不大于 8 .容易举出使得X 的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X 的值，在等可能的假定下， 得到X 的分布列为X 0 2 4 6 8P124 324 724924 424（2）①首先(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+=== 将三轮测试都有X ≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得311P 6216⎛⎫==⎪⎝⎭ ②由于15P 2161000=<是一个很小的概率, 这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X ≤2的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.21.【解析】(1) 由题意可知||||||||||42||PA PF PB PF FB AF +=+==>=, 所以动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点且长轴长为 4 的椭圆, 因此C 方程为22143x y += 设||(13),PA x x PAF θ=<<∠=, 则在PAF 中, 由余弦定理得32cos x θ=-,则有3cos 2xθ=-. 同理33||2cos()2cos AD πθθ==--+.所以22212124||||||4cos 43342x PD PA AD x x θ=+===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设||PF y =, 则4x y +=. 同理可得24||43y PE y =-所以12||(43)(43)391||||1616S PA PF x y S PD PE xy xy ⋅--===-⋅∣. 易知(4)(3,4]xy x x =-∈,所以12S S 的取值范围是325,1664⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.【解析】(1) 函数的定义域为(0,)+∞.()111111111111()11t t t t t t t t f x txx t x tx x x x t t t-+--'--⎛⎫⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当01x <<时, ()0f x '>; 当1x >时, ()0f x '<. 所以函数()f x 的单调区间为(0,1),(1,)+∞且()f x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减. (2) 因为()f x 在[2,)+∞单调递减, 所以11()(2)222t tttf x f +=+-.记11(0)()222t tttg t t +=+>-，因此要证()0f x ≤，只要证()0g t ≤即可而1()g t g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭且(1)0g =,因此只要证明: 当1t 时,()0g t .而1111()2222221t t tt tt ttg t +-⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭=.令122)1(1)(t t t h t t -+=-≥1121()2(ln 2)12t t t h t t -'⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 令1m t =, 则01m <. 令2()12(01)m F m m m =++<,2()22ln 2,()22ln 2(01),()22(ln 2)0m m m F m m G m m m G x ''=-=-<=->令, 所以()G m 在(0,1]上单调递增, 又(0)ln 20,(1)22ln 20G G =-<=->, 又()G m 在(0,1]上连续, 故存在0(0,1]x ∈, 使得()00,x x ∈时,(]0()0,,1G m x x <∈时, $G(m)>0$. 所以()F m 在()00,x 上单调递减, 在(]0,1x 单调递增. 又(0)(1)0F F ==, 所以()0F m .即()0h t ', 所以()h t 在[1,)+∞单调递减, 所以()(1)0h t h =, 即()0g t . 综上所述, 当2x 时,()0f x .。

湖南省雅礼中学高三第六次月考试卷数 学命题：高三数学组 审卷：高三数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第I 卷(共40分)一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． １．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(ðU N )＝Ａ．{1,2} Ｂ．｛4,5｝ Ｃ．｛3｝ Ｄ．｛1,2,3,4,5｝ ２．复数3211i i--的虚部是Ａ．31 Ｂ．1Ｄ．31-３．()()811x x -+的展开式中含5x 项的系数是Ａ．14- Ｂ．14 Ｃ．28- Ｄ．28 ４．已知a ,b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是Ａ．a 2>b 2Ｂ．ba >1 Ｃ．lg(a －b)>0 ５．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α； ③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”． 其中正确命题的个数是 Ａ．1个 Ｂ．2个Ｃ．3个 Ｄ．4个６．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分 别为60°和30°, 第一排和最后一排的距离 为610米（如图所示）,旗杆底部与第一 排在一个水平面上．已知国歌长度约为50 秒，升旗手匀速升旗的速度为 Ａ．51（米/秒） Ｂ．53（米/秒） Ｃ．56（米/秒） Ｄ．53（米/秒）７．已知P 是椭圆13422=+y x 上的一点，21,F F 是该椭圆的两个焦点，若21F PF ∆的内切圆半径为21，则21PF PF ⋅的值为 Ａ．23 Ｂ．49 Ｃ．49- Ｄ．0８．已知数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有Ａ．2个 Ｂ．6个 Ｃ．8个 Ｄ．16个第II 卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第15题第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． ９．0sin150的值是12． 10．若向量()12,23a λλ=+-与()4,1b =共线，则λ12． 11．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是201． 12．已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z +=2的最小值25-．13．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为12+． 14．连结正多面体各个面的中心，得到一个新的正多面体,我们称这个新正多面体为原多面体的正子体.一正方体1T 的表面积为161=a ,它的正子体为2T ,表面积为2a ,2T 的正子体为3T ,表面积为ΛΛ,3a 如此下去,记第n 个正子体的表面积为n a .则（i ）2a （ii ）+++∞→)(lim 21n n a a a Λ 15．已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 4 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6π()f x11111yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的有序数组(),,q y z ：(5,1,3)．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()(2cossin )2xf x a x b =++. （１）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（２）当0a <时，若[0,]x π∈，函数()f x 的值域是[3,4]，求实数,a b 的值．解：()()cos 1sin sin 4f x a x x b x a b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭．………………………4分（１）当1a =时，()14f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴当22()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时，()f x 是增函数，所以函数()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．………………8分（２）由[]0,x π∈得5444x πππ≤+≤， sin 124x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭．因为0a < ，所以当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取最小值3，3(1)a b ++=．当sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， ()f x 取最大值4，即4b =．将4b =代入得1a = ………………………12分17．（本小题满分12分）长沙市雅礼中学决定对高一年级物理学科进行阶段性检测，检测方案为：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道，若能至少正确完成其中的2道便可通过检测，并获得1个学分．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每道题正确完成的概率都是32，且每道题正确完成与否互不影响． （１）记甲、乙考生正确完成的题数分别为ηξ,，求ηξ,的分布列；（２）试比较甲、乙两考生获得1个学分的解题能力的强弱，并说明理由． 解：（１）设考生甲、乙正确完成题目的个数分别为ξ、η，则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3 ………１分51)1(362214===ξC C C P ，53)2(361224===ξC C C P ，51)3(360234===ξC C C P ． ∴考生甲正确完成题数ξ的概率分布列为……………………………………………………………４分∵==)0(ηP 271)321(33=-C ，276)1(==ηP ，2712)2(==ηP ，278)3(==ηP ． ∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：………………………………………8分（２）∵2513532511=⨯+⨯+⨯=ξE ，227832712227612710=⨯+⨯+⨯+⨯=ηE5251)32(53)22(51)12(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ，32278)32(2712)22(276)12(271)02(2222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ηD ． （或3231323=⨯⨯==ηnpq D ），∴η<ξD D ． 另解：∵8.05153)2(=+=≥ξP ，74.02782712)2(≈+=≥ηP ，∴)2()2(≥η>≥ξP P ． 从做对题数的数学期望考察，两人水平相当．从做对题数的方差考察，甲较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的解题能力较强． …………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）如图所示，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，AB DC ∥，且满足122DC DD AD AB ===2=．（１）求证：⊥DB 平面11BCC B ； （２）求二面角11A BD C --的余弦值． 解：法一：（１）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，CD BE ⊥∴．故2=BD ，2C =B ，2CD =， 90DBC ∴=o ∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，1.B B BC B =IBD ∴⊥平面11BCC B ，………………6分（２）由（I ）知⊥DB 平面11BCC B ， 又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥， 取DB 的中点F , 连结1A F ，又11A D A B =，BCDA1A1D1C1BEBCDA1A1D1C1BFMH则1A F BD ⊥．取1DC 的中点M ，连结FM ，则1FM BC ∥,FM BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中，1A F =112FM BC === 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ，在1Rt A HM △中，1A H =Q 1HM =，1A M ∴=2221111933cos 2A F FM A M A FM A F FM +-+-∴∠===⋅． ∴二面角11A BD C --的余弦值为3． …………………………………………12分 法二：（１）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)D ，，，(110)B ，，，(0,2,2)C 1，1(102)A ，，，1(112)B ，，,(0,2,0)C ． (110)DB =u u u r，，，0)11(,,-=,)200(BB 1,,=BC BD 011BC ⊥⇒=+-=⋅BD ，11B B B 0B B ⊥⇒=⋅，又因为1.B B BC B =I所以，⊥DB 平面11BCC B ．………………6分（２）设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量．由1DA ⊥u u u u r n ，DB ⊥u u u r n ，(1,0,2),DA 1=(110)DB =u u u r ，，，得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(221)=-，，n ．又1(022)DC =u u u u r，，，(110)DB =u u u r ，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量，由1DC ⊥u u u u rm ，DB ⊥u u u r m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =，则(111)=-，，m ，设m 与n 的夹角为α，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，||cos ||m n m n θα⋅∴====cos |||| ……………………12分 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足：),3,2,1(1132,3211Λ=++⎪⎭⎫⎝⎛++==+n n a n na a n n ． （１）求,,32a a 并求{}n a 的通项公式； （２）求证:1321321<++++na na a a Λ． 解：（１）63,2032==a a ． ………………………………………………………………2分））（（猜想：1122≥+=n n n a n ．……………………………………………………5分用数学归纳法证明之（略）． ……………………………………………………………7分 （２）因为121121)12)(12(2)12(1+--=+-<+=n n n n n n a n n ，…………………11分 所以321213131321321<+-+≤++++n a n a a a n Λ．命题得证．…………………13分 20．（本小题满分13分）已知(1,0),(2,0)A B -，动点M 满足2MBA MAB ∠=∠(0)MAB ∠≠． （１）求动点M 的轨迹E 的方程；（２）若直线l ：(7)y k x =+，且轨迹E 上存在不同两点C ．D 关于直线l 对称． ①求直线l 斜率k 的取值范围；②是否可能有A B C D 、、、四点共圆?若可能，求实 数k 取值的集合；若不可能，请说明理由． 解：（１）设动点M 的坐标为(,)x y ，则||tan 2y MBA x ∠=+，||tan 1y MAB x∠=-．由2MBA MAB∠=∠(0)MAB ∠≠,得2||2||1||21()1y y x y x x-=+--， 化简得2233x y -=(当2MBA π∠=时也满足）．显然,动点M 在线段AB 的中垂线的左侧，且0MAB ∠≠，故轨迹E 的方程为2233x y -=(1)x <-． ………………………………………………………………5分（２）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，CD 中点00(,)x y 120(,,1)x x x <-． 由点差法有121212123y y y y x x x x -+⋅=-+；即003y kx =-．又00(7)y k x =+，所以074x =-，0214y k =．①由227213()()344k -->,得k <即k <<9分 ②设直线CD 的方程为x ky b =-+，代入2233x y -=得()222316330k y kby b --+-=．所以()221231b k ∆=+- ，122631kb y y k +=-，21223331b y y k -=-，21y y -=．若A B C D 、、、四点共圆,则60CAD ︒∠=，由到角公式可得()()()()211212121111y x y x x x y y ---=--+，即()()()()()()212212121111b y y k y y k b y y b --=+--++-，=23144k b -=+．又由72144k k b -=-⋅+得,22174k b -=；所以219k =，即13k =±． 此外0k =时，存在5(4C -，5(,4D -关于直线l 对称, 且满足D A B C 、、、四点共圆． 故可能有A B C D 、、、四点共圆，此时11,0,33k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭． …………………………………………………………13分 21．（本小题满分13分）已知函数R t R x tx e e x f xx ∈∈-+=,,1)(．（１）判断函数)(x f 的单调性，并说明理由； （２）当0=t 时，设)()(1x f y x fy ==-为的反函数，令)21()(1x xf xg ++=-，是否存在这样的实数b ，使得不等式b x ax x g ++->2)(对任意的a ∈]31,41[和任意的x ∈),0(+∞恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（１）因为t e e x f x x-+=2/)1()(，且]41,0(211)1(2∈++=+x x x x ee e e ， 所以，①当0≤t 时，0)(/>x f ，故)(x f 是R 上的增函数；②当41≥t 时，0)(/≤x f ，故)(x f 是R 上的减函数； ③当410<<t 时，令0)(/=x f ，则0)12()(2=+-+t e t e t x x ，即ttt e x24121-±-=．所以当0)(/>x f 时得<<---x e t t t 24121ttt 24121-+-，即<<---x ttt 24121lnt t t 24121ln -+-，所以)(x f 在,24121(lnt t t ---)24121ln tt t -+-上单调递减．同理可得)(x f 在)24121ln,(t t t ----∞和),24121(ln +∞-+-ttt 上单调递增．综合以上得（略）． ……………………………………………………………………6分 （２）()1111111+-=+-+=+=x x x x x e e e e e x f ，∴111xe y +=-，∴ln 1y x y =-，∴()1ln(01)1xfx x x-=<<-，∴g ()x =l x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-211nl xx x x=++-++21121n ()1+x （x ＞－1）． 构造函数F ()x =l n ()x ax x -++21，则(),121121122112112+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+--++=-++='x a x ax x x ax ax ax x x F 因为a x ,0>∈]31,41[所以,02,01>>+ax x若0)(<'x F ，则x ∈)121,0()(),121,0(-∴-a x F a 在上是减函数； 若0)(>'x F ，则x ∈),121()(),,121(+∞-∴+∞-ax F a 在上是增函数；),0()(+∞在函数x F Θ上是连续函数，所以当)(,121x F ax 时-=取最小值，即)121()(min -=a F x F =ln 2)121(12121-++-aa a a=ln 14112121-+++-a a a a =ln a aa +-4121．记=)(a h ln a aa +-4121，又,)21(411141141)21(2)(2222-=+-=++-⨯='a a aa a a a h 因为a 1∈[3，4]所以0)(>'a h ，即)(a h 在]31,41[上为增函数， 所以432ln )41()(min -==h a h ，所以若使b x F >)(恒成立，只需b <3ln 24-．所以存在这样的实数a b 使得对,432ln -<∈]31,41[，对任意的x ∈),0(+∞时，不等式ln （1+x ）＞x-ax 2+b 恒成立． ………………………………………………………13分。

湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期月考（二）数学试题一、单选题1．已知集合{}21,A x x k k ==-∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,2,3-2．若复数()21i 68iz -=+，则z z +=（ ）A B ．25C ．35D ．453．设a r ，b r 是单位向量，则()2a ba b +-⋅r rr r 的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．34D ．14．已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（ ） A ．5B ．15C ．-5D ．15-5．巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X ，且()2~30,2X N .记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p ，则0p 的值约为（ ）（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈，()330.997P X μσμσ-<≤+≈） A ．0.977B ．0.9725C ．0.954D ．0.6836．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于M ，N 两点，则122MF NF +的最小值为（ ） A ．92B ．4C ．72D ．37．若x ，0y ≥，1x y += ）A ．⎡⎣B ．[]1,2C ．2⎤⎦D ．12⎡⎢⎣8．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A ．()()()()23101111x x x x ++++LB ．()()()()11213110x x x x ++++LC ．()()()()()222222341011111x x x x x +++++LD ．()()()()22222232101111x x x x x x x x x ++++++++++L L二、多选题9．(多选)下列选项中，正确的是（ ）A ．不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B ．不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤< C ．不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤ D ．设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件 10．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则（ ）A ．()g x 的图象关于直线0x =对称B ．()()()222g x gx f x =+C ．()00g =或1D ．()()221gx f x -=三、填空题12．从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =.13．如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为.14．小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=. (1)求c ；(2)若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .16．已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.(1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.17．为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；(2)若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.18．已知函数()12ex xf x x λ-=-.(1)当1λ=时，求()f x 的图象在点 1,f 1 处的切线方程； (2)若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围； (3)求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++++-+++->∈N L .19．高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；(2)求α的值；(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.。

雅礼中学2023届高三月考试卷（一）数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则以下结论正确的是（）A. A B =B. {}0A B ⋂= C. A B A⋃= D. A B⊆【答案】B 【解析】【分析】由题得{0,2}B =, 再判断得解.【详解】由题得{0,2}B =, 所以A B ≠，{}0A B ⋂=，A B A ≠U ，A 不是B 的子集，故选：B2. 已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为A. 2 B. 4 C.92D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质求出4a ，结合2174a a a =计算即可.【详解】根据等比数列的性质可得2354a a a =，∴()24441a a =-，即()2420a -=，解得42a =，又∵11a =，21744a a a ==，故可得74a =，故选：B3. 已知复数()()1i z a a a R =+-∈，则1a =-是1z =的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由1z =求出a 即可得出.【详解】由1z =1=，解得1a =-或0，所以1a =-是1z =的充分不必要条件.故选：A.4. 已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =-r ，若a b ⊥ ，则21cos sin 22θθ+的值为（ ）A. 13B. 35C. 45D.23【答案】B 【解析】【分析】先由a b ⊥得出tan 2θ=，再按照齐次分式化简求值即可.【详解】由a b ⊥得2cos sin 0tan 2θθθ-=⇒=，∴222221cos sin cos 1tan 3cos sin 22sin cos tan 15θθθθθθθθθ+++===++.故选：B.5. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过BE 的平面α与直线1A F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A.B. C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，易证1//A F 平面EBCG ，从而得到平面EBCG 为所求截面，再计算其面积即可.【详解】取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，如图所示：因为1//A E FC ，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1//A F EC .又1⊄A F 平面EBCG ，EC ⊂平面EBCG ，所以1//A F 平面EBCG ，即平面EBCG 为所求截面.所以BE ==，=⨯=EBCG S BE BC .故选：B【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.6. 某工厂有,A B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是,A B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为（ ）A.34B.47C.12D.37【答案】D 【解析】【分析】根据贝叶斯公式计算可得.【详解】设B 1，B 2，分别表示事件：任取的产品为甲、乙车间生产，A =“抽取的产品是不合格品”，由条件知120.60.())4(P B P B ＝，＝，120.010.0(|)(|)2P A B P A B ＝，＝，则该产品是由A 车间生产的概率为P (B 1|A )，所以()()()()()()()()()()()11111211221||||||iii P B P A B P B P A B P B A P B P A B P B PA B P B P A B ===+∑0.60.0130.60.010.40.027⨯==⨯+⨯.故选：D.7. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，根据题意可得2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则1PM MF m ==，在12PF F △中，分别求得12,PF PF ，再利用余弦定理可得,a c 的齐次式，即可得出答案.【详解】解：设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，则2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则PM m =，又123F PF π∠=，所以1PF M 为等边三角形，所以1MF m =，又1143PF MF PM a m ++==，所以1242,33PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理可得：222121211122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222216484999c a a a =+-，所以223a c =，所以c e a==故选：B .8. ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（ ）A. 2 B. 3C.D.【答案】C 【解析】【分析】由三角形面积公式得到21sin b A =，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A-=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=，设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44A A A A -=--表示点5,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PAk APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC …，所以||BC …，即BC 故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 某人工智能公司近5第x 年12345利润y /亿元23457已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为 1.2y x a=+，则下列说法正确的是（ ）A. ˆ0.6a=B. 变量y 与x 之间的线性相关系数0r <C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2【答案】AC 【解析】【分析】首先求出x 、y ，根据回归直线方程必过(),x y ，即可求出 a ，从而得到回归直线方程，根据x与y 成正相关，即可得到相关系数0r >，再令6x =求出 y ，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D ；【详解】解：依题意()11234535x =++++=，()1212345755y =++++=，因为回归直线方程为 1.2y x a =+必过样本中心点()x y ，即 21 1.235a =⨯+，解得 0.6a =，故A 正确；则回归直线方程为 1.20.6y x =+，则x 与y 成正相关，即相关系数0r >，故B 错误，当6x =时 1.260.67.8y =⨯+=，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C 正确，该人工智能公司这5年的利润的方差为22222121212121217423457255555525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 错误；故选：AC10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A. 若O为线段PQ 中点，则2PF = B. 若4PF =，则OP =C. 存在直线l ，使得PF QF ⊥ D. PFQ △面积的最小值为2【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，求出P 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF ，即可判断；对于B ，根据抛物线的定义求出P 点的横坐标，再求出OP ，即可判断，对于C ，()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，判断0FP QF ⋅= 是否有解，即可判断；对于D ，根据12P Q PFQ S OF y y =⋅⋅- ，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ，若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF=，则413Px =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =- ，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a ay =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥ ，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号，所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确.故选：AD .11. 对于函数()sin cos 2f x x x =+，下列结论正确得是（ ）A. ()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 的最小正周期为π【答案】AD 【解析】【分析】先分析函数()f x 的奇偶性与周期性，再利用周期性，选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.【详解】()sin cos 2f x x x =+，x ∈R ，所以()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，又()f x π+sin()cos 2()sin cos 2()x x x x f x ππ=+==+++，所以π是函数()f x 的周期，又sin()cos 2(cos cos 2()222f x x x x x f x πππ⎛⎫++++=-≠ ⎝=⎪⎭，故()f x 的最小正周期为π.对于A ，因为()f x 最小正周期为π，令[0,]x π∈，此时sin 0x ≥，所以2()sin 12sin f x x x =+-，令sin ,[0,1]t x t =∈，所以有()221921248g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可知其值域为9[0,8，故A 正确；对于B ，由A 可知，()g t 在1[0,]4上单调递增，在1(,1]4上单调递减，因为sin ,[0,1]t x t =∈，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增，故B 不正确；对于C ，因为()01f =，02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()π02f f ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线4x π=对称，故C 不正确；对于D ，前面已证明正确.故选：AD12. 已知正四棱台1111ABCD A B C D -（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD 边长为2，上底面边长为1，则（ ）A.它的表面积为5+B.C. 侧棱与下底面所成的角为60°的D. 的正方体的体积大【答案】ACD 【解析】【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形11ABB A 的面积，即可判断A 的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C 的正误；求得12C O 的长，分析可得2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R ，代入表面积公式，可判断B 的正误；分别求得正四棱台的体积1V 和正方体的体积2V ，利用作商法比大小，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】由题意得：上底面1111D C B A 的面积1111S =⨯=，下底面ABCD 的面积2224S =⨯=，侧面11ABB A 为等腰梯形，过11A B 、分别做AB 的垂线，垂足为E 、F ，如图所示所以111EF A B ==，则1=2AE BF =，所以1B F ==，所以梯形11ABB A 的面积为31(12)2S =⨯+=，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的表面积12345S S S S =++⨯=+A 正确；连接1111,A C B D ，且交于点1O ，连接AC 、BD 交于点2O ，连接12O O ，则12O O 垂直底面ABCD ，过1A 作12A G AO ⊥于G ，则1A G ⊥底面ABCD ，则四边形121A GO O 为矩形，由题意得11AC ==，所以11A O =同理2AC AO ==，又112A O GO ==AG =，在1Rt AGA △中，111cos 2AG A AG A A ∠===，所以160A AG ∠=︒，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C 正确所以1A G ==.连接12C O ，在112Rt C O O中，12C O ==，所以点2O 到1111A B C D A B C D 、、、、、、、，所以点2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R所以外接球的表面积)248S ππ'=⨯=，故B 错误；正四棱台的体积((1121211+1433V S S O O =⨯+⨯=⨯+=的正方体的体积32V ==所以121V V ===>，所以12V V >，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的正方体的体积大，故D 正确；故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定2O 为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ.若()00.9P X >=，则()24P X <<=______.【答案】0.4##25【解析】【分析】根据正态分布的对称性可求.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()22,N σ，所以正态曲线的对称轴为2x =，所以()()()04100.1P X P X P X <=>=->=，所以()04120.10.8P X <<=-⨯=，所以()1240.80.42P X <<=⨯=.故答案为：0.4.14. 若 2022220220122022(12)x a a x a x a x -=++++ ，则20221222022222a a a +++ 的值 ___________________.【答案】1-【解析】【分析】根据赋值法分别令0x =、12x =，然后可得.【详解】令0x =，得01a =，令12x =，得2022120220220222a a a a ++++= ，所以202212220221222a a a +++=- 故答案：1-15. 对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．【答案】[6,)+∞【解析】【分析】画出图形，由图可知当2l 在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与 x ，y 的值无关，然后计算出直线2l 与圆相切时a 的值，从而可得a 的取值范围【详解】解：点(,)P x y 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和为d 因为d 与x ，y 无关，所以距离之和与点(,)P x y 无关，如图所示，当2:340l x y a -+=在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与为x ，y 的值无关，当直线2l 与圆相切时，3415a -+=，化简得15a -=，解得6a =或4a =-（舍去）所以6a ≥故答案为：[6,)+∞【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想，解题的关键是画出图形，由图可知当2l 在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与 x ，y 的值无关，然后计算出直线2l 与圆相切时a 的值，从而可得答案，属于中档题16. 若e e e x y -=,,R x y ∈，则2x y -最小值为_________．【答案】12ln 2+【解析】【分析】把2e x y -表示成e y 的函数，再借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，e e e xy=+，e 0y >，则2222e (e e)e ee 2e e e ex y x yy y y y -+===++2e 4e ≥+=，当且仅当2e e eyy =，即1y =时取“=”，此时，min (2)12ln 2x y -=+，所以，当1ln 2,1x y =+=时，2x y -取最小值12ln 2+.故答案为：12ln 2+的四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭.（1）求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值.【答案】（1）；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=.【解析】【分析】（1）由角α的终边经过点P ，结合三角函数的定义可求sin α，cos α，然后结合两角和的正弦公式可求；（2）由()5sin 13αβ+=，结合同角平方关系可求()cos αβ+，然后根据()βαβα=+-，及两角差的余弦公式可求.【详解】（1）∵角α的终边经过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1OP ==.由三角函数的定义得4sin 5α=-，3cos 5α=-.∴1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）∵()5sin 13αβ+=，∴12cos()13αβ+===±，∴()cos cos cos()cos sin()sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦，∴当12cos()13αβ+=时，35451256cos 1313655β⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯-⨯--；当12cos()13αβ+=-时，121356cos 131654553β⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.综上所述：56cos 65β=-或16cos 65β=.【点睛】思路点睛：先利用三角函数的定义求出sin α，cos α，再利用两角和与差的正余弦公式计算及凑角思想的应用.18. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记22cos3n n n a b a π=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求3n T .【答案】（1）n a n =（2）23942n n n T +=【解析】【分析】（1）由1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n n S a a =+可得出21112n n n S a a ---=+，两式作差可推导出数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出32313k k k k c b b b --=++，然后利用等差数列求和公式可求得3n T .【小问1详解】解：当1n =时，21112S a a =+，所以211a a =，又10a >，故11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，而22n n n S a a =+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，故{}n a 是以1为公差的等差数列，从而()111n a a n n =+-⨯=.【小问2详解】解：22cos3n n b n π=，设()()()222323134232cos 231cos 23cos 233k k k k c b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫=++=--+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222115323199222k k k k =----+=-，其中N k *∈，所以23125599942222n n n n n n T c c c ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=++⋅⋅⋅+==.19. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，的PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）点N 在线段BC 的中点【解析】【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥，而CD BC ⊥，可证得BC ⊥平面PCD ，从而得BC DM ⊥，而DM PC ⊥，所以DM ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ==，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【小问1详解】证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为CD BC ⊥，CD PD D = ，所以BC ⊥平面PCD ，因为DM ⊂平面PCD ，所以BC DM ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD =，所以PD CD =，因为在PDC △中，PD CD =，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ⊥，因为PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，因为DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ，【小问2详解】当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD ⊥底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为DA DC ⊥，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ==，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,1,0)(01)N λλ<<，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM λ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭ ，设(,,)m x y z =为平面PAB 的法向量，则00m AP x z m AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，令1x =，则=(1,0,1)m u r ，设(,,)n a b c =为平面MND 的法向量，则01122n DN a b n DM b c λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，则(1,,)n λλ=- ，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,m n m n m n ⋅=== ，化简得24410λλ-+=，得12λ=，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°20. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.【答案】（1）37；（2）分布列见解析，607；（3）比赛不公平，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与12比较大小即可.【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件A则()1121632793217C C C P A C +===（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分()33371635C P C ξ===()2133379735C C P C ξ⋅===()1233379835C C P C ξ⋅===()21331333774935C C C P C C ξ⋅==+=()1113313791035C C C P C ξ⋅⋅===()21313731135C C P C ξ⋅===所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望19949360678910113535353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为137p =由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为294935357p +++==若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为221162233372235C C C C p C ++==若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为2263437(1)1735C C P C -+==则摸球人获胜的概率为1315322317157187878358352802P =⨯+⨯+⨯+⨯=>所以比赛不公平.【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是12，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.21. 设01x <<.（1）证明：2sin 116x xx -<<；（2）若3sin 6x ax x -<，求a 取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）设()sin (01)f x x x x =-<<，3()sin (01)6xg x x x x =+-<<，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论a 的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a 的取值范围即可．【详解】（1）由题意可设()()sin 01f x x x x =-<<，有'()cos 10f x x =-<，所以()f x 在（0，1）单减，所以()(0)0f x f <=，即sin 1xx<，设3()sin (01)6x g x x x x =+-<<，2'()cos 12x g x x =+-，''()sin 0g x x x =->，则有'()0g x >，()g x 单调递增，得()(0)0g x g >=，所以2sin 16x xx >-得证；（2）由（1）可知1a ≤时，33sin 66x x ax x x -≤-<成立，则当1a >时，设3()sin 6x h x x ax =+-，则2'()cos 2x h x x a =+-，''()sin 0h x x x =->，'()h x 单调递增，则''1()(1)cos12h x h a <=+-，①若1cos12a ≥+，'()0h x <，()h x 单调递减，则有()(0)0h x h <=，此时不符合题意；②若11cos12a <<+，()'010h a =-<，()'11cos102h a =+->，所以'()h x 有唯一零点，可记为0x ，则00x x <<，'()0h x <，此时()h x 单调递减，有()0h x <，则不符合题意；的综上可知1a ≤，即a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22. 已知双曲线22:1C x y -=和点()0,1B .（1）斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于,E F 两点，求EBF ∠最小时k 的值.（2）过点B 的动直线与双曲线C 交于,P Q 两点，若曲线C 上存在定点A ，使AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.【答案】（1）0（2）),A λ=或者(),A λ=【解析】【分析】（1）由对称性可设(,)E x y ，(,)F x y --，由数量积得221BE BF x y ⋅=--+ ，再由E 点在双曲线C 上，进而可得22(1)0BE BF x ⋅=- …，进而可得EBF ∠最小时k 的值．②设(,)A m n ，过点B 的动直线为1y tx =+，联立直线PQ 与双曲线的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，△0>，用坐标表示AP AQ k k λ+=，化简得222(2)2(1)2220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，从而列2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①②，解得n ，m ，进而可得答案．【小问1详解】由对称性可设()(),,,E x y F x y --，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+ ，因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，即221y x =-，且1x ≥所以()2210BE BF x ⋅=-≤ ，当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅= 为直角，当1x >时，0,BE BF EBF ∠⋅< 为钝角，所以EBF ∠最小时，1,0x k ==.【小问2详解】设(),A m n ，由题意知动直线一定有斜率，设点B 的动直线为1y tx =+，设()()1122,,,P x y Q x y 联立221,1,x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220,t x tx ---=，所以()22212212210,Δ4810,2,12,1t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨+=⎪-⎪⎪=--⎩，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212y n y n x m x mλ--+=--，即121211tx n tx n x m x mλ+-+-+=--，化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=，()(222212201t mt n m mn m t λλλ--+-+-+-+-=-，化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220,10,2220,m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①②将①代入②得m λ=，从而322,1.m mn m n ⎧=⎨=+⎩如果0m =时，那么1n =-，此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去，因此0m ≠，从而22m n =，代入21m n =+，解得1,n m ==此时()A 在双曲线上，综上，),A λ=，或者(),A λ=.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题，联立直线与曲线的方程是必要手段，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围，利用点的坐标运算得直线的斜率，对计算能力要求较高.。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考（六）数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足|z +1|+|z ﹣1|＝4，则|z|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．23．已知a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)，则λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．函数y ＝xlnx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12，现有以下四个命题：①S 19＝0；②S 10＝S 9；③若d ＞0，则S n 有最大值；④若d ＞0，则S n 有最小值． 则关于这四个命题，正确的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①④D ．②③．6．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．237．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b B ．若a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bC ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β8．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y =−0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y6m32A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当x ＝20时，y ＝﹣3.7C ．m ＝4D ．该回归直线必过点（9，4） 9．cos10°sin10°−4cos10°＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．设a =log 23，b =log 45，c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞＞a11．在数列{a n }中，a 1＝a ，a n +1＝2a n ﹣1，若a n 为递增数列，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞312．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，使sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1，1+√2)B ．（1，2]C ．(1+√2，+∞)D ．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z ＝x ﹣2y 的最小值为 ．14．点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）上的任意﹣一点，AB 为圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的任意一条直径，若PA →⋅PB →的最大值为15，则a ＝ ．15．在（x +y +z ）6的展开式中，所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为 ． 16．函数f （x ）=1sinx+8cosx(0＜x ＜π2)的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）求b+c a的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2，∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°． （1）求证：A 1C ⊥B 1D 1； （2）求对角线AC 1的长；（3）求二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且该双曲线过点（2，2）． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ≥1时，恒有g （x ）＝（x +1）f （x ）﹣lnx ≤0恒成立，求a 的取值范围..21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望； （2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为a n ， （i ）求a 1，a 2，a n ；（ii ）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为{x =1+t y =3+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，P （1，3），求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6|（x ∈R ），记f （x ）的最小值为c ． （1）求c 的值；（2）若实数a 、b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝c ，求a 2a+1+b 2b+1的最小值．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．【详解详析】∵集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤5}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．2．【详解详析】设z 对应的点为（x ，y ），则x 24+y 23=1，所以 |z|最小值=√3． 故选：C ．3．【详解详析】∵a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)， ∴a →与b →的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0， 即λ＞−12且λ≠2．∴λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B ．4．【详解详析】当x →0+时，lnx →﹣∞，∴xlnx ＜0，排除A 、B 选项， 当x →+∞时，xlnx →+∞，排除C 选项， 故选：D ．5．【详解详析】在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12， 则：a 8+a 9+a 10+a 11+a 12＝0，整理得5a 10＝0， 所以a 10＝0， 所以A ：S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10＝0．B ：由S 10＝S 9；整理得a 10＝0，C ：若d ＞0，则S n 有=na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，所以S n 有最小值． 故；①②④正确． 故选：B ．6．【详解详析】∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n=A44=24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m=A44−A22A22=20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P=mn =2024=56．故选：A．7．【详解详析】对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．【详解详析】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为y=−0.7x+10.3，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：x=14(6+8+10+12)=9．可得y=−0.7×9+10.3=4．即14(6+m+3+2)=4，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（x，y），即（9，4）．故选：C．9．【详解详析】原式=cos10°−2sin20°sin10°=cos10°−2sin(30°−10°)sin10°=√3sin10°sin10°=√3．故选：C．10．【详解详析】log23＞log2232＞log2√5=log45，∴a＞32＞b，又log45＜log4443=43＜212＜32，∴a＞c＞b．故选：A．11．【详解详析】∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴a n+1−1a n−1=2，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴a n−1=(a−1)2n−1，∴a n =(a −1)2n−1+1， 又∵{a n }为递增数列，∴a n+1−a n =(a −1)2n −(a −1)2n−1=12(a −1)2n ＞0， ∴a ﹣1＞0，∴a ＞1， 故选：B ．12．【详解详析】设P 在右支上，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ﹣n ＝2a ， 又因为sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2=c a =m n ，可得c−a a=m−n n，所以2a n =c−a a，所以n =2a 2c−a ＞c ﹣a ，即c 2﹣2ac ﹣a 2＜0，即e 2﹣2e ﹣1＜0，解得1−√2＜e ＜1+√2， 由于e ＞1，所以可得1＜e ＜1+√2， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解详析】由约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0作出可行域如图，联立{x =3x −y +1=0，解得B （3，4）．化目标函数z ＝x ﹣2y 为y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过B （3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．【详解详析】圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1， AB 为圆M 的直径，可得MB →=−MA →， 椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则PA →⋅PB →=（PM →+MA →）•（PM →+MB →）＝（PM →+MA →）•（PM →−MA →）＝|PM →|2﹣|MA →|2＝|PM →|2﹣1，又P 为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得|PM →|2﹣|MA →|2≤（a +c ）2﹣1＝15，当P 为椭圆的左顶点（﹣a ，0），上式取得等号， 则a +c ＝4，又c ＝1，可得a ＝3． 故答案为：3．15．【详解详析】（x +y +z ）6表示6个因式（x +y +z ）的乘积，其中有3个因式都取x ，得C 63⋅x 3，另外的三个因式取y 或z ，即可得到形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项． 而（y +z ）3的各项系数和为23，故所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为C 63•23＝160，故答案为：160． 16．【详解详析】f′(x)=−cosx sin 2x+8sinx cos 2x=8sin 3x−cos 3x (sinxcosx)2=(2sinx−cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)(sinxcosx)2，由f ′（x ）＝0可得cos x ＝2sin x 即tan x =12， 又因为0＜x ＜12π，根据导数与单调性的关系可知，当tan x =12时，函数取得最小值，此时sin x =5cos x =5，故f （x ）min ＝5√5．故答案为：5√5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【详解详析】（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． 由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ． 化为b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，∵A ∈（0，π）， ∴A =π3． （2）∵A =π3， ∴a 2＝b 2+c 2﹣bc ≥(b+c)22−（b+c 2）2=(b+c)24，∴（b+c a）2≤4，∴b+c a≤2，可得b+c a的最大值为2，又b +c ＞a ， ∴b+c a的取值范围为（1，2]．18．【详解详析】（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2， ∴AD 1＝AB 1＝2，连结A 1C 1，B 1D 1，交于点O ，连结AO ， ∵∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°．∴AO ⊥B 1D 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1， ∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D 1⊥A 1C ．（2）解：在△AB 1D 1中，AO =√2，A 1O =√2，AA 1＝2， ∴AO 2+A 1O 2=A 1A 2，∴AO ⊥A 1O ， ∵AO ⊥B 1D 1，∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴AO ⊥OC 1，∴AC 1=√AO 2+OC 12=2． （3）解：由（2）知AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，OA 1为x 轴，OB 1为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，√2），B 1（0，√2，0），C 1（−√2，0，0）， AB 1→=（0，√2，−√2），AC 1→=（−√2，0，−√2），设平面AB 1C 1的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AB 1→=√2y −√2z =0m →⋅AC 1→=−√2x −√2z =0，取x ＝1，得m →=（1，﹣1，﹣1）， 平面AB 1D 1的法向量n →=（1，0，0）， 设二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33， ∴二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值为√33．19．【详解详析】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝λ，（λ≠0）， 点（2，2）代入得：λ＝12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝12， 即x 23−y 212=1，（2）∵F 1，F 2是双曲线x 23−y 212=1的左右焦点，过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，则OP =∥12F 1Q ，由角的平分线定理可得：|AQ |＝|AF 2|，∴|F 1Q |＝|AF 1|﹣|AQ |＝|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，∴|OP |＝a =√3，由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 为圆心，√3为半径的圆，所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2＝3．20．【详解详析】（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=1x −a =1−ax x，（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，（ii ）当a ＞0时，由f ′（x ）＞0可得，0＜x ＜1a ，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0可得，x ＞1a ，此时函数单调递减，（2）当x ≥1时，g （x ）＝（x +1）（lnx ﹣ax +a ）﹣lnx ＝xlnx ﹣ax 2+a ，g ′（x ）＝lnx +1﹣2ax ， 令h （x ）＝lnx +1﹣2ax ，则h ′（x ）=1x −2a ，（i ）当a ≤0时，h ′（x ）＞0恒成立，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0， 即g ′（x ）》0，故g （x ）在[1，+∞）上单调递增，g （x ）≥g （1）＝0，不合题意；（ii ）当0＜a ＜12时，h （x ）在[1，12a ]上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0，此时g （x ）在[1，12a ]上单调递增，所以g （12a ）＞g （1）＝0，不合题意；（iii ）当a ≥12时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以h （x ）≤h （1）＝1﹣2a ＜0，故g ′（x ）≤0， 所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以g （x ）≤g （1）＝0，所以g （x ）≤0恒成立． 21．【详解详析】（1）由题意得ξ的取值为0，1，2， P （ξ＝0）=23×23×23=827，P （ξ＝1）=13×1×23+23×13×1+23×23×13=1627，P （ξ＝2）=13×1×13=19， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P827162719∴E （ξ）=0×827+1×1627+2×19=2227． （2）（i ）由题意可知，a 1=0，a 2=13，a n =13(1−a n−1)，n ≥2，∴a n −14=−13（a n−1−14），（n ≥2）， ∴a n −14=（a 1−14）×（−13）n ﹣1， ∴a n =14−14×(−13)n−1．11 （ii ）由（i ）可知，当n →+∞时，a n →14， ∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1−14）÷3=14，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是14． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）直线l 的参数方程为 {x =1+t y =3+2t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程y ＝2x +1，曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ，即8ρ2sin 2θ+ρ2＝9，∴x 2+y 2+8y 2＝9，∴曲线C 的直角坐标方程为x 29+y 2＝1；（2）直线的参数方程改写为 {x =1+√55t y =3+2√55t（t 为参数）， 代入x 29+y 2＝1，375t 2√5t +73＝0，t 1+t 2=−√5375，t 1t 2=73375， 1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2t 1t 2|=√5×73=22√573． ∴当直线l 与曲线C 相交时，1|PA|+1|PB|=22√573． [选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6＝|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣3|，f （x ）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f （x ）min ＝f （3）＝2，∴c ＝2．（2）∵a +b ＝2，∴a 2a+1+b 2b+1=14[（a +1）+（b +1）]（a 2a+1+b 2b+1）； =14[a 2+b 2+(b+1)a 2a+1+(a+1)b 2b+1]≥14（a 2+b 2+2ab ）=14（a +b ）2＝1；当且仅当{a +b =2(b+1)a 2a+1=(a+1)b 2b+1，即{a =1b =1时，有最小值1．。

湖南省雅礼中学2021届高三第六次月考试题（语文）试卷说明：雅礼中学2014届高三第六次月考试题语文一．语言文字运用（12分，每小题3分）1.下列词语中字形和加点字的读音全部正确的一项是A.绷脸bēng 落泊bó节骨眼jiē 甘冒不韪强弩之末pù泡桐pāo 缉边儿qī gé 数九shù眯了眼mípó挣脱zhèng 馏馒头liùběng，C.数shǔ，D.妄―枉)2.下列各句中，加点的词语使用不恰当的一项是A.难为她居然从我所编造的那一句话里做出冠冕堂皇的文章来了。

她的确是个冰雪聪明的女孩。

B.王教授对网络语言不仅不赞一词，反而苛评有加。

他认为这不仅无助于学生语言素养的提高，并且对汉语的规范发展也极为不利。

C.这个律师收受贿赂，舞文弄墨，极力为这个穷凶极恶的犯罪嫌疑人摆脱罪责。

D.当主任问起这件怪事的缘由时，毛泼皮比手划脚，说得头头是道。

2.B(A.冠冕堂皇形容公开或不加掩饰；也可以形容体面或气派大。

B.不赞一词原指文章写得很好，别人不能再添一句话；现也指一言不发。

C.舞文弄墨指玩弄文字技巧，也可以指歪曲法律条文。

D.比手划脚形容轻率指点，妄加评论指责，含贬义；也可以形容说话是兼用手势示意，中性)3.下列各句中没有语病的一项是A.针对“三农”问题，全国政协组织专题调研组分赴东北三省等地，与全国13个产粮大省的政协联合调研，提出了对于拉动农村消费，增加农民收入，不变粮食生产的建议。

B.“城市让生活更美好”，这个“更美好”就表现在一座城市的办理者能够安身城市自身自然资源和人文资源，不竭提升城市品位，让百姓真切感受到城市环境日益优美，城市形象日渐改善，城市生活日益便当，市民本质不竭提高。

C.一个在你面前小心翼翼，低眉顺眼，战战兢兢地与你扳谈的人，总比一个人居高临下，颐指气使甚至作威作福地与你扳谈要舒服得多。

D.科学家们建议每人每天的卡路里总摄入量傍边糖所占比例最好不要超过25%，因为大量实验表白，低于这个标准的食物不会给人的身体带来明显的变化。