【恒心】2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测试卷数学(文科)试题及参考答案

安徽省屯溪一中高三数学第一次质量检测试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21i ai++的实部和虚部相等，则实数a 等于A ．12B ．2-C ．13-D ．32.设全集U R =，集合{}2+2|A x y y x ==，则U C A =A ．)1-+∞⎡⎣，B ．)(1-+∞，C ．(1-∞-⎤⎦，D ．()1-∞-， 3.下列双曲线中，渐近线方程是2y x =±的是A ．2211248y x -= B ．22163y x -= C ．2214x y -= D ．22163y x -= 4.设O 为坐标原点，()1,2M ，若(),N x y 满足{24020x y x y +-≤-+≥，则OM ON ⋅的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．105. 3πα=“”是3sin α=“的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确．．的是7.定义某种运算a b ⊗,运算原理如图所示，则式子1100(131(2))43lne lg tanπ-⊗+⊗的值为 A ．13 B ．11 C ．8 D ．48.在空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AC BD 、的中点，若24CD AB EF AB ==⊥，，则EF 与CD 所成的角为A ．ο90B ．ο60C ．ο45 D ．ο309.对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为m n 、，如果m n +是偶数，则把1a 乘以2后再减去2；如果m n +是奇数，则把1a 除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数2a ，对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a .当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为34，则1a 的值不可能．．．是 A ．0 B ．2 C ．3 D ．410.已知函数()lg()x x f x x a b =+-中，常数101a b a b a b >>>=+、满足，且，那么()1f x >的解集为 A ．(01)， B ．(1)+∞， C ．(110)， D ．(10)+∞， 第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上. 11.已知向量a 是单位向量，若向量b 满足()0-⋅=a b b ，则b 的取值范围是 .12.两圆相交于两点(13)，和(1)m -，，两圆圆心都在直线0x y c -+=上，且m c 、均为实数，则m c += .13.已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是 .14.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012]，内所有“简易数”的和为 .15.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程0.412y x =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，则预报变量开始输入a ，b a ≥b?输出a （b+1） 输出b （a+1）结束是否正视图 侧视图正视图 侧视图y 减少0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量2K 的观测值k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好. 其中正确．．的命题是： （填上你认为正确．．的命题序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos2A =m ，cos 1)2A-，向量(1=n ，cos1)2A+，且21⋅=-m n . (1)求A 的值； (2)若23a =3S =b c +的值．17．（本小题满分12分）在“魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80，90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在[80，100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．18.（本小题满分12分）设函数329(62)f x x x a x =-+-.(1)对于任意实数x ，'()f m x ≥在15（，]恒成立（其中'()f x 表示()f x 的导函数），求m 的最大值； (2)若方程()0f x =在R 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围.19.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面2ABE AE EB BC ===，，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE BE ⊥； (2)求三棱锥D AEC -的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 平面DAE .20．（本小题满分12分） 椭圆22221(0)x y aba b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(P a ，)b 满足212PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点，若直线2PF 与圆22(16(1)3)x y +=+相交于M N 、两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）已知函数2()x f x k kx b=-,(，N )b ∈*，满足(2)2f =，(3)2f >.(1)求k ，b 的值；(2)若各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有14()1n nS f a ⋅-=-，设2n n b a =，求数列{}n n b ⋅的前n 项和n T ；(3)在(2)的条件下，证明：ln(1)n n b b +<.叶茎５ ６ ７ ８ ９６ ８２ ３ ３ ５ ６ ８ ９１ ２ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９５ ８频率 组距0．00850 60 90 100 分数解：（1）∵向量2coscos122()A A =-，m ，向量(1cos1)2A =+，n ，且21⋅=-m n .∴221cos sin 222A A -=-， …………………………………………………………………3分 得1cos 2A =-，又(0)A π∈，，所以23A π=. …………………………………………5分 （2）112sin sin 3223ABC S bc A bc π∆===，∴4bc =. ………………………………7分 又由余弦定理得：2222222cos3a b c bc b c bc π=+-=++.……………………………9分 ∴216()b c =+，所以4b c +=. …………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：(1)2'()396f x x x =-+, 15x ∈（，].法一：'()f x m ≥在15（，]恒成立2396m x x ⇔≤-+在15（，]恒成立.…………………3分 由2233'()3963()24f x x x x =-+=--在15（，]的最小值为34-， 所以,得34m ≤-，即m 的最大值为34-. …………………………………………………6分 法二：令()2396g x x x m =-+-，15x ∈（，].19．（本小题满分13分）证明：（1）∵AD ⊥平面ABE ，且//AD BC∴BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥.………………………………………2分又∵BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，且BF 与BC 交于B 点，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ∴AE BE ⊥.………………4分 （2）由第（1）问得AEB ∆为等腰直角三角形，易求得AB 2， ∴1422233D AECE ADC V V --==⨯=.…………………………………………………7分 （3）在三角形ABE 中过M 点作//MG AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作//GN BC 交EC 于N 点，连MN .由比例关系易得13CN CE =.………………………………………………………………9分 ∵//MG AE MG ⊄，平面ADE ,AE ⊂平面ADE ，∴//MG 平面ADE . 同理，//GN 平面ADE ，且MG 与GN 交于G 点， ∴平面//MGN ADE 平面.………………………………………………………………11分 又MN MGN ⊂平面，∴//MN ADE 平面.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.…………………………………………13分 20．（本小题满分12分）解：(1)设12(,0)(,0)(0)F c F c c ->、，因为212PF F F =，22()2a c b c -+=. …………………………………………………………………2分整理得22()10c c a a +-=，得1c a =-(舍)，或12c a =.所以12e =.……………………………………………………………………………………4分 (2)由(1)知2,3a c b c ==，椭圆方程2223412x y c +=，2PF 的方程为3()y x c =-．,A B 两点的坐标满足方程组22234123()x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 并整理，得2580x cx -=.解得1280,5x x c ==.得方程组的解1103x y c =⎧⎨=-⎩，2285335x cy ⎧=⎪⎨⎪=⎩.………………………7分不妨设338(),(0,3)55A cB c -，则2233816()(3)555AB c c c c =++=. 于是528MN AB c ==. 圆心(3)-到直线2PF 的距离3333222c cd ---+==.………………10分 因为222()42MN d +=，所以223(2)164c c ++=，整理得2712520c c +-=.又0n a >得11n n a a --=，且11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即n a n =，2nn b =.2n n nb n ∴=⋅. ………………………………………………………………………………7分 1231122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，由上两式相减得 123122222nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-.1(1)22n n T n +∴=-+. ……………………………………………………………………10分(3)由(2)知2nn b =，只需证ln(12)2n n +<.设()ln(12)2x xf x =+-(1x ≥且x R ∈).。

安徽省黄山市2015届高三上学期第一次质量检测数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题50分）和第Ⅱ卷（非选择题100分）两部分满分150分，考试时间120 分钟． 注意事项：1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答莱无效， 在试题卷、草稿纸上答题无效4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式： 锥体的体积公式1.3V S h =椎底 第I 卷（选择题满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合21{|},{|M y y P y y x====，那么M P =石一A ．（0,+∞）B ．[0,+ ∞）C ．（1,+ ∞）D ．[1,)+∞2 (1)(12)1i i i-++=（ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-ID ．2+i3．不等式10x x->成立的充分不必要条件是（ ）A ．x> -1B ． x>lC ．-l<x<0或x>lD ．x<-1或0<x<l4．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x=x 0处有最小值，则x o =（ ）A ．B ．C ．4D ．35．已知函数2sin(2)2y x πφφ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为（ ）A ．12x π=-B ．6x π=-C ．6x π=D ．12x π=6．等差数列{a n }的通项是112a n =-，前n 项和为S n ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为 A ．—45 B ．—50 C ．—55 D ．—667如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰氏为2的 等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是（ ）A．3 B ．12π C．3D．68．已知函数f （x ）=|2x -1|,a<b<c 且．()()()f a f c f b >>，则下列结论必成立的是（ ） A ．a< 0,b< 0,c<0 B ．a<0,b≥0,c>0C ．2－a <2cD ．2a +2c <29．已知平面上的向量PA 、PB 满足224,2PA PB AB +==，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小位是（ ） A ．1B ．2CD ．310．已知点A 在直线x+2y-1=0上，点B 在直线x+2y+3=0上，线段AB 的中点为P （x o ，y o ），且满足y o >x 。

安徽省黄山市屯溪一中、歙县中学、休宁中学联考2015年高考)文科(数学模拟试卷．安徽省黄山市屯溪一中、歙县中学、休宁中学联考2015年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的）点位于（第二．第一象限． B A 第四C．第三象限象限 D．象限复数的代数表示法及其几何意义．考点：计算题；数系的扩充和复数．专题：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出分析：结论．，对应复平面上的）（解：解答：=i1+i=1+i ﹣点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．设U=R，M={x|x﹣x≤0}，函数的定2）M∩N=（义域为N，则{1}．．A D交集及其运算．考点： M∩N．再计算分析：先分别计算出集合M，N，，≤1}x解：∵解答： M={x|x﹣x≤0}={x|0≤2 1}，N={x|x＜|f，都有∴M∩N=上的两个函数，若对任意的x∈）在上是（x）和f（xg，则称））﹣（xg（x|≤1=xx“密切函数”，称为“密切区间”，设f（）2在上是“密切函数”，3﹣（﹣3x+4与gx）=2x 则它的“密切区间”可以是（）．A ．B C． D ．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式|x﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到2它的“密切区间”．解答：解：因为f（x）与g（x）在上是“密切函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1即|x﹣3x+4﹣（2x ﹣3）|≤12即|x﹣5x+7|≤1，2化简得﹣1≤x﹣5x+7≤1，因为x﹣5x+7的△＜022即与x轴没有交点，由开口向上得到x﹣5x+7＞02＞﹣1恒成立；所以由x﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“密2切区间”是故选B点评：考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求学生会解绝对值不等式．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x+2xf′（2），则f′（5）=6．2导数的运算．考点：计算题．专题：）看出常数利用导数的运算法则′（2 将f分析：，）f′（xf′（2）代入求出求出f′（x），令x=2 ．5）令x=5求出f′（ 2）x）=6x+2f′（′（解答：解：f x=2得令12 ﹣=′（2）f24 ﹣x）=6x∴f′（24=6 =30）﹣∴f′（56故答案为：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值点评：求出导函数值．°，则边C=60，的面积为．若△ABC，BC=212．2的长度等于AB考点：正弦定理．解三角形．专题：利用三角形面积公式列出关系式，把已知分析：的值，再利用余的值代入求出b面积，a，sinC c的值即可．弦定理求出，BC=a=2解：∵△ABC的面积为，解答：°，C=60 ，即b=2，absinC=∴，4=4=ac+b﹣2abcosC=4+4﹣由余弦定理得：222，则AB=c=22故答案为：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，点评：熟练掌握余弦定理是解本题的关键．，则输b=113．阅读下面的流程图，若输入a=6，出的结果是2．考点：设计程序框图解决实际问题．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量x的值，模拟程序的运行，并将运行过程的各变量的值列表进行分析，不难得到最终输出的结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a b x 是否继续循环循环前 6 1∥第一圈∥5 是第二圈 4 6 2 否故输出的结果为：2故答案为：2．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结点评：果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法，从流程图（或是：：①分析流程图（或伪代码）伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，②建立数也可使用表格对数据进行分析管理）?学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．上的一点，是曲线y=1nx+14．已知M的锐处的切线的倾斜角是均不小于M若曲线在的取值范围是a≤2角，则实数a．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则曲线在M点处的切线的不小于1，即曲线在M点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：设M（x，y），f（x）=1nx+=1nx+x）（∵fa﹣a）≥3﹣+x∴f′（）=（1的锐处的切线的倾斜角是均不小于∵曲线在M角，1 ∴3≥﹣a2≤∴a2故答案为：a≤本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用点评：导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本 a不等式构造关于的不等式是解答本题的关键．．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视15图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任个顶点，它们可能是如下各种几何形体4意选择个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结4的．①③④⑤论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．考点：由三视图还原实物图；简单空间图形的三视图．专题：综合题；压轴题．分析：由题意可知三视图复原的几何体是正四棱柱，从正四棱柱中选择四个顶点，不难判断①②③④⑤的正误，顶点正确结果．解答：解：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的正四棱柱；这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则其一定是矩形．①正确；②不正确；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；如图中H﹣ABC四点的几何体；④每个面都是等腰三角形的四面体；如图中的EGDB四点就满足题意．⑤每个面都是直角三角形的四面体．如图中EABC四点的几何体满足题意．故答案为：①③④⑤．点评：本题是基础题，考查正四棱柱的结构特征，基本知识的掌握的熟练程度，考查空间想象能力，做到心中有图，灵活应用．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过或演算步骤.）16．已知向量（ω＞0），，且f（x函数）图象上一个最高点的坐标，与之相邻的一个最低点的坐标为为．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C 所对的边，且满足a+c﹣b=ac，求角B的大小以及f222（A）的取值范围．考点：三角函数的最值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦定理．专题：综合题．分析：（1）由已知中向量（ω＞0），函数，根据向量的数量积公式，结合辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据f（x）图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．我们求出函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值即可 x）的解析式；f得到（的大小，=ac 又）a+c﹣b由余弦定理及求出B（2222的范围，根进而根据三角形内角和为π确定A）的取值A据正弦函数的图象和性质即可求出f（范围．）∵向量1解答：解：（∴=ωx=cosx+=sinω﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵f（x）图象上一个最高点的坐标为，与．之相邻的一个最低点的坐标为∴，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣π，于是∴T=﹣﹣﹣﹣（5分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣b=ac）∵（2a+c222﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7﹣分又0＜B＜π，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵．于是，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以f（A）∈．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦型函数解析式的确定，余弦定理，其中（1）的关键是根据已知条件确定函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值，（2）的关键是根据已知的形式，选择使用余弦定理做为解答的突破口．17．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在=2n+﹣＜2n+．∴2n＜c+c+…+c＜2n+成立．n21熟练掌握公式、“错位相点评：减法”、基本不等式的性质和“裂项求和”是解题的关键．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=x+ax﹣x+2．23（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，）的解析式；（x求函数g（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P （﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．（II）求出g（x）的导数在x=﹣1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．解答：解：（I）g′（x）=3x+2ax﹣1由题意3x+2ax22﹣1＜0的解集是即3x+2ax﹣1=0的两根分别是．2代入方程3x+2ax﹣1=0得或将x=1a=﹣1．2∴g（x）=x﹣x﹣x+2．（4分）23（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x﹣2x﹣1，∴g′2（﹣1）=4，∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）（III）∵2f（x）≤g′（x）+2即：2xlnx≤3x+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立2可得对x∈（0，+∞）上恒成立，则设令h′（x（舍））=0，得当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）0＜∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）点评：解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．。

2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 设i 是虚数单位，z ¯是z 的共轭复数，若1+i z=2−i ，则z ¯的虚部是（ ）A 15B 35C −35D 35i2. 双曲线x 22−y 2=−1的离心率为（ ） A √33B √62C √3D 323. 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A m ⊂α，n // m ⇒n // αB m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC m ⊂α，n ⊂β，m // n ⇒α // βD n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β4. 执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A 2B 3C 4D 15. 若x ，y 满足{x +y −2≤22x −y +2≥0y ≥0，则z =y −x 的最大值为（ ）A 2B −2C 1D −16. 设a ∈R ，则“a =1”是“直线l 2:ax +y −1=0与直线l 2:x −ay −3=0垂直”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7. 数列{a n }前n 项和S n =n 2+2n −2，对数列{a n }的描述正确的是（ ）A 数列{a n }为递增数列B 数列{a n }为递减数列C 数列{a n }为等差数列D 数列{a n }为等比数列8. 在同一直角坐标系中，函数f(x)=log a x(a >0, a ≠1)与函数g(x)=a x (a >0, a ≠1)的图象可能是（ ）A ①②B ①③C ①④D ②④9. 某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ŷ=9x+10.5，则m为（）A 54 B 53 C 52 D 5110. 方程lnxx =x2−2ex+e2+12e（e为自然对数的底）的根的个数是（）A 1B 0C 2D 3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为________．12. 直线kx+y+k+1=0与圆x2+y2+2x−2y−2=0相切，则k=________．13. 已知函数f(x)={lnx,x>1e x，x≤1，则f（f(2)）=________．14. 设0<α<π2，向量a→=(cos4α, sin4α)，b→=(1, −1)，若a→⋅b→=13，则tanα=________．15. 已知集合M=|(x, y)|y=f(x)|，若对任意P1(x1, y1)∈M，均不存在P2(x2, y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M为“好集合”，给出下列五个集合：①M={(x, y)|y=1x}；②M={(x, y)|y=lnx}；③M={(x, y)|y=14x2+1}；④M={(x, y)|(x−2)2+y2=1}；⑤M={(x, y)|x2−2y2=1}．其中所有“好集合”的序号是________．（写出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 某学校共有30至50岁之间的（包括30与不包括50）数学教师15人，其年龄分布茎叶图如图所示，从中选取3人参加支教．(I)若教师年龄分布的极差为15，求教师的平均年龄；(II)若选出的3人中有2名男教师1名女教师，将他们分配到两所学校，每校至少有一人，则2名男教师分在同一所学校的概率为多少？17. 已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB．（1）求A；（2）若a=√3，b=1，求c．18. 直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AB=2BC=2，D、E分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使△ADE沿DE折起，使△ADC为等边三角形，如图所示．(I)求证：面ADC⊥面ABC；(II)求四棱锥A−BCDE的体积．19. 已知函数f(x)=e xx −a(1x+lnx)（a为常数且a>1，e为自然对数的底），试讨论函数f(x)的单调性．20. 数列{a n}是公比为12的等比数列，且1−a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n；数列{b n}是等差数列，b1=8，其前n项和T n满足T n=nλ⋅b n+1(λ为常数，且λ≠1)．（1）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（2）比较1T1+1T2+1T3+...+1T n与12S n的大小．21. 设抛物线x2=2py(p>0)的焦点F，过焦点F作y轴的垂线，交抛物线于A、B两点，点M(0, −p2)，Q为抛物线上异于A、B的任意一点，经过点Q作抛物线的切线，记为l，l与MA、MB分别交于D、E．（1）求证：直线MA、MB与抛物线相切；（2）求证S△QABS△MDC=2．2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. C3. D4. B5. A6. A7. A8. C9. A10. C11. 2312. 013. 214. √2215. ①④⑤16. 解：(1)极差为15，所以40+x−30=15，所以x=5−−−−−−−−−−−−−−−−x¯=30+32+32+34+35+36+36+37+37+40+41+42+44+4515=37−−−−−(2)基本事件为：总数为6个---------------2名男教师分在同一所学校的概率p=26=13−−−−−−−−−−−−−−−−17. 解：（1）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA=bcosC+ ccosB由正弦定理可知2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，可得sin2A=sin(B+C)，∴ 2A=B+C，又A+B+C=180∘得A=60∘−−−−−−−−−−−−−−−−（2）由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosC可得3=c2−c+1，解得c=2．----------------18. 证明：(1)∵ D、E是边AC、AB的中点，即DE是VABC的中位线，∴ DE⊥AC，∵ DE⊥DC，∴ DE⊥平面ADC，∵ DE // BC，∴ BC⊥平面ADC，∴ 面ADC⊥面ABC；(2)过点A作AM⊥CD，∴ AM⊥平面CBED，∵ M是DC的中点，AM=34，∴ 四棱锥A−BCDE的体积V=13×34×12+12×√32．=3√332．19. 解：f′(x)=(e x−a)(x−1)x2−−−−−−−−−−−−−−−−当a >e 时，列表当1<a <e 时，列表当a =e 时f′(x)=(e x −a)(x−1)x 2≥0，y =f(x)在(0, +∞)单调递增------------20. 解：（1）由题意，可得(1−a 2)2=a 1(1+a 3)， 即(1−12a 1)2=a 1(1+14a 1)，解之得a 1=12， ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =12•(12)n−1=12n，又∵ T n =nλ⋅b n+1，∴ 分别取n =1、2，可得{T 1=λb 2T 2=2λb 3，∵ 数列{b n }是等差数列，b 1=8，∴ 设{b n }的公差为d ，可得{8=λ(8+d)16+d =2λ(8+2d)，解之得{λ=12d =8或{λ=1d =0，∵ λ为常数，且λ≠1，∴ λ=12； （2）由（1）知：S n =12(1−12n )1−12=1−12n，∴ 12S n =12−12n+1≥14−−−−−−−−−−−−−①． 又∵ 等差数列{b n }的首项b 1=8，公差d =8， ∴ {b n }的前n 项和T n =nb 1+n(n−1)2×8=4n 2+4n ，可得1T n=14n 2+4n=14(1n −1n+1)∴ 1T 1+1T 2+1T 3+...+1T n=14[(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)<14−−−−−−②根据①②可知：1T 1+1T 2+1T 3+...+1T n<12S n ．21. （1）解：y A=y B=p2，x A=−p，x B=p−−−−−−−−−k AM=−1．k MB=−1−−−−−−−−−l AM:y=−x−p2，l MB:y=x−p2−−−−−−−−−l AM:y=−x−p2，代入x2=2py，可得x2+2px+p=0，∴ △=0∴ 直线AM与抛物线相切，同理直线BM与抛物线相切---------（2）证明：设Q(x1, y1)，切线l:=x1p x−x122p，S△QAB=|x12−p2|2−−−−−−−−−l AM:y=−x−p2与切线l:=x1px−x122p联立，可得D(x1−p2, −x12)，同理E(x1+p2, x12)，---------∴ |DE|=√p2+x12，∵ M到直线DE的距离d=|x12−p2|2√x1+p2−−−−−−−−∴ S△MDC=12√p2+x12⋅|x12−p2|2√x1+p=|x12−p2|4∴ S△QABS△MDC=2．---------。