大学物理上课件 6.质心和动量

x
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg = Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
17
2.2 动量守恒定律 一、质点系的动量定理 质点系（内力、外力） 以 F外和 P 表示系统的合外力和总动量， 则： m1 dP
F外
dt
微分形式
F 外dt＝d P
F3
i
r1
O
rC
r2C
r2
m2
质心的位矢随坐标系的选取而变 化，但对一个质点系，质心的位 置是固定的、唯一的。
5
直角坐标系中的分量式：
质量离散分布时： mi xi i xc M 质量连续分布时： xdm xc M ydm yc M
yc
my
i i
i
zc
19
例3.11 一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为M，停在 光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧 顶点由静止下滑。 m R 求：当小物体滑到底时，大物体 M在水平面上移动的距离？ 解： 因为水平方向动量守恒 M 且初态合动量为零
mv( t ) MV ( t ) 0 m v MV x t t m v x dt M Vdt
14
tanα
Iy Ix
0.1148
α 6.54
为I与x方 向的夹角
I x 0.061Ns ；I y 0.007 Ns
t 0.01s
Fx 6.1N
2 x 2 y
Fy 0.7N
F F F 6.14N
这表明冲力来自于挡板给予小球 的正压力和摩擦力之和。
如火箭发动机的燃烧速率1.38104kg/s，喷出气体 的相对速度2.94 103m/s，它受推力的理论值为：
dm F u dt
F 2.94 1.38 10 4.06 10 N
7 7
相当于4000吨海轮所受的浮力。
23
* 多级火箭的各质量比N1、N2 …喷气
速率u1、u2…火箭的最终速度
M i mi zi
M
zc
zdm M
6
如果物体具有一个对称中心，则质心 与对称中心重合；若有一个对称轴， 则质心必在该轴上。
7
例3.7 一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆 形，求此半圆形铁丝的质心。 y 解：取长为dl的铁丝，质量为 dl dm，以λ表示质量线密度， c d dm= dl。因为在x方向质量对 R x o 称分布所以 xC=0 ,分析得质心 应在y轴上。 ydm y dl y R sin ; dl Rd y
v1 u1 ln N1
v 2 - v1 u2 ln N 2
v u1 ln N1 u2 ln N 2
24
作业：
3-3 3-4
25
m 1 2 2 yc R sin Rd R m 0 m 2 m R yc R
c
m

8
二、质心运动定理
drc 1 vc dt M
d ri Fi外 mi 2 dt i i dP dv c F M Mac dt dt
x
x1 x2
M
mx1 Mx2 x1 x2 R
0
0
m x2 R m M
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例3.10’ 火箭飞行原理 设火箭在自由空间飞行，即 不受引力、空气阻力等任何 外力的影响。
v M
v dv u
dm
M dM
x
t
t dt
在t 时刻总动量 Mv 沿x方向
在t +dt时刻总动量:
i
2
9
Mv c mi v i P
dri 1 mi dt M i
mi vi
i
质心运动定理： 系统的总质量和质心加速度的乘积等于质 点系所受外力的矢量和。
F Mac
质心的运动，就好象一个质量等于系统的总 质量的质点，在施于这系统的外力作用下的 运动。

I y Fy dt mv 2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t

m 2.5g
t 0.01s, v1 10m/s , v 2 20m/s
I x 0.061 Ns ；I y 0.007 Ns
I
2 2 Ix Iy 6.14 102 Ns
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例3.9’ 一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平 桌面上，如果把绳的上端放开，绳将 落在桌面上。试证明：在绳下落的过 程中，任意时刻作用于桌面的压力， 等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设 t 时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内 将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以 dx/dt 的速率碰到桌面而停止，它的 ρ dx 动量变化率为：
1.5 从质点到质点系统、质心运动定理 一、质心 二、质心运动定理 §2 动量 动量定理及动量守恒 2.1 动量 动量定理 2.2 动量守恒定律
1
* 两个质点的系统
m1 f F1外
1.5 质心、 质心运动定理 质点系(组)是指由若干个质点组成的系统。
F1外
m1
f
F2外
F1外
* 注意：动量为状态量，冲量为过程量。
F作用时间很短时，可用力的平均值来代替。
I P Ft
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例3.8’质量为2.5g的乒乓球以10m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以 y 20m/s的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们与 板面法线的夹角分别为45o和30o， 求：（1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求 板施于球的平均冲力的大小和方向。
dm(v dv u ) (M dm)( v dv)
dm dM
由动量守恒定律：
dM ( v dv u ) ( M dM )( v dv) Mv
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udM Md v 0
dM dv u M 设火箭点火时的质量为Mi，初速为vi，燃料烧完 后质量为Mf，速度为vf，对上式积分得：
2 d r1 d r2 m1 m2 2 2 dt dt
2
3
* N个质点的系统
由于内力总是成对出现的，所以矢量和 为零。
Fi外
i
d ri mi 2 dt i
2
4
一、质心：质点系的质量中心
rC
m i ri
i
m1
r 1C
c
M
M mi 为质点系的总质量。
m2
f ' F2外
F2外
d ( mv1 ) f dt d ( mv 2 ) f ' dt
2
m2 f'
F1外 f F2外
d (m1v1 ) d (m2 v 2 ) f ' dt dt
f f'
F1外 F2外
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§2 动量 动量定理及动量守恒 2.1 动量 动量定理 一、动量 P mv 大小：mv 方向：速度的方向 单位：kgm/s 二、冲量 t2 t2 I Fdt 大小： | Fdt |

t1
t1
方向：速度变化的方向 单位：Ns 三、动量定理 将力的作用过程与 效果（动量变化）联系在一起。
v2
30o x 45o
n
v1
解：取挡板和球为研究对象，由于作用 时间很短，忽略重力影响。设挡板对球 的冲力为 F 则有：I Fdt ＝mv mv

2
1
13
取坐标系，将上式投影，得乒乓球得到的冲量
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv1 cos 45 ) Fx t
F1

m2

t2
t1
P2 F外dt ＝ d P P P 1
m3
积分形式
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二、质点系的动量守恒定律
dP 当F外 0 时， 0 ， P 常矢量 dt
p
i
i
mi v i 常矢量
i
一个质点系所受的合外力为零时， 这一质点系的总动量就保持不变。 *系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
o
x
X
dP dt
dx dt
dt
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dx ρ dx dP dt 一维运动可用标量 dt dt 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
o
dP 2 F＝ －v 负号表示动量减少 dt
M 2 2 F ρv v 而v 2 gx F 2 Mgx / L L
2
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
11
dP t2 dP Fdt I Fdt F t1 dt P2 t2 t2 dP Fdt P2 P1 I＝ Fdt
P1
I Fdt ＝P
t1
t1
动量定理：质点所受合外力的冲量，等于 该质点动量的增量。
Mi v f v i u ln Mf
火箭在燃料烧完后所增加的速度与喷气速度成正 比，也与火箭的始末质量比的自然对数成正比。
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*如果以喷出气体dm为所考虑系统，它在dt 时间内 的动量变化率为：dm[( v u) v )] udm dt dt
根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭的推 力；所以喷出气体对火箭的反作用力：