大学物理质心、动量

yOyO第十章 质心运动定理 动量定理 习题解[习题10-1] 船A 、B 的重量别离为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。

设船B 上有一人，重N 500，使劲拉动船A ，使两船靠拢。

若不计水的阻力，求当两船靠拢在一路时，船B 移动的距离。

解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。

因为质点系在水平方向不受力。

即：0=∑ixF，设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。

由质点系的动量定理得：t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+=tsm m t s m B A)(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=-s s )5.03.1()6(4.2+=-s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.3724m s ==[习题10-2] 电动机重1P ，放置在滑腻的水平面上，还有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置而且系统静止。

试求电动机的水平运动。

rC 3C v →y解：以电动机、匀质杆和球组成的质点系为研究对象。

其受力与运动分析如图所示。

匀质杆作平面运动。

→→→+=1212C C C C v v v ωl v r C =212cos C x C v t l v -=ωω→→→+=1313C C C C v v v ωl v r C 23=13cos 2C x C v t l v -=ωω因为质点系在水平方向上不受力，所以0==∑ix x F F由动量定理得：t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωωt m m m m m l v C ωωcos )(321321+++=At m m m m m l dtdx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l dx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l x C ωωcos )(321321⎰+++=)(cos )(321321t td m m m m m l x C ωω⎰+++=t m m m m m l x C ωsin )(321321+++=t P P P P P l x C ωsin )(321321+++=这就是电动机的水平运动方程。

质心运动及质点系统中的动量与能量守恒质心运动和质点系统中的动量与能量守恒是物理学中非常重要的概念。

在研究物体的运动和相互作用时，这两个概念可以帮助我们更好地理解和描述物体的行为。

首先，我们来了解一下质心运动。

质心是指一个物体或系统的总质量在空间中的平均位置。

在不受外力作用的情况下，质心会保持静止或匀速直线运动。

这是因为根据牛顿第一定律，一个物体在没有外力作用下会保持其运动状态。

质心的运动可以通过质量和位置的加权平均来计算。

当一个物体或系统受到外力作用时，质心会发生加速度，但这个加速度是由外力和质量的乘积决定的。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。

因此，质心运动的加速度与外力无关，只与质量有关。

这意味着，无论物体受到多大的外力作用，质心的运动都不会改变。

接下来，让我们来讨论质点系统中的动量守恒。

动量是描述物体运动状态的物理量，定义为物体的质量乘以其速度。

在一个封闭的系统中，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。

这可以通过动量守恒定律来解释，即系统内部的相互作用力的合力为零。

当一个质点系统中的物体发生碰撞或相互作用时，动量可以在系统内部转移。

根据动量守恒定律，系统的总动量在碰撞或相互作用前后保持不变。

这意味着，如果一个物体的动量增加，那么其他物体的动量就会减少，以保持系统的总动量不变。

动量守恒定律在很多实际应用中都非常有用。

例如，在交通事故中，当两辆车相撞时，它们的总动量在碰撞前后保持不变。

这个原理可以帮助我们分析事故发生的原因和结果。

除了动量守恒，能量守恒也是质点系统中的重要概念。

能量是物体的运动和相互作用能力，可以分为动能和势能两种形式。

动能是由于物体的运动而具有的能量，与物体的质量和速度的平方成正比。

势能是由于物体的位置而具有的能量，与物体的质量和重力势能的高度成正比。

在一个封闭的系统中，当没有外力做功时，系统的总能量保持不变。

这可以通过能量守恒定律来解释，即系统的总能量在相互转化时保持恒定。

第十章 质心运动定理与动量定理思 考 题10-1 分析下列陈述是否正确：（１） 动量是一个瞬时的量，相应地，冲量也是一个瞬时的量。

（２） 将质量为m 的小球以速度向上抛，小球回落到地面时的速度为。

因与的大小相等，所以动量也相等。

　1v 2v 1v 2v （３） 力F 在直角坐标轴上的投影为、、，作用时间从t ＝０到t ＝t x F y F z F １，其冲量的投影应是111,,t F I t F I t F I z z y y x x ===。

（４） 一物体受到大小为10 N 的常力F 作用，在t ＝3 s 的瞬时，该力的冲量的大小I = Ft = 30 N ·s。

10-2 当质点系中每一质点都作高速运动时，该系统的动量是否一定很大？为什么? 10-3 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则质心的轨迹为一抛物线。

炮弹在空中爆炸后，其质心轨迹是否改变?又当部分弹片落地后，其质心轨迹是否改变?为什么?10-4 质量为的楔块A 放在光滑水平面上。

质量为的杆BC 可沿铅直槽运动，其一端放在楔块A 上。

在思考题10-４附图所示瞬时，楔块的速度为，加速度为，求此时系统质心的速度及加速度。

1m 2m A v Aa思考题10-4附图 思考题10-5附图 10-5 质点系由三个质量均为m 的质点组成。

在初瞬时，这三个质点位于思考题10-5 附 0t 图所示位置，并分别具有初速度。

已知CO BO AO v v v ,,,235.1,200k j i v k v ++==B A i v 30=C 。

试 求此时质点系质心的位置及速度。

长度单位为m ，时间单位为s 。

6-6 试求思考题10-6附图所示各均质物体的动量，设各物体质量均为m 。

思考题10-6附图10-7 两个半径和质量相同的均质圆盘A,B ，放在光滑的水平面上，分别受到力 的作用，如思考题10-7附图所示，且B A F F ,B A F F =。

设两圆盘受力后自静止开始运动，在某一瞬时两圆盘的动量分别为。

动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。

用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。

式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。

(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。

如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。

上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。

(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。