2017_2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课课件苏教版选修2_1

3．1.5 空间向量的数量积[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．知识点一 空间向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律(3)题型一 空间向量的数量积运算例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →. 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →|·|BA →|·cos〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14， 所以EF →·BA →＝14.(2)EF →·BD →＝12|BD →|·|BD →|·cos〈BD →，BD →〉＝12×1×1×cos 0°＝12，所以EF →·BD →＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14，所以EF →·DC →＝－14.(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12(CB →＋CA →)＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14(－12－12＋12－12＋12)＝－18. 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a ·b 计算准确． 跟踪训练1 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________． 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋422＝－13.题型二 利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 解 因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD . 证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12AD →－12AC →)·AB →＝12a 2＋a 2cos 120°＋12a 2cos 60°－12a 2cos 60°＝0， 所以MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . 题型三 利用数量积求距离例3 正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，求EF 的长．解 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2， 且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以EF 2＝|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ·12b ＋12b·c －12a·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF ＝ 5.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段．又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长． 解 ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0， ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)(CA →＋AB →＋BD →) ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×(－12)＝68，∴|CD →|＝217，故CD 的长为217.1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的________条件． 答案 充分不必要解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |＝________. 答案7解析 ∵|a －3b |2＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×cos 60°＋9＝7.∴|a －3b |＝7.3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是________．(填序号) ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 答案 ②解析 对于①，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0； 对于③，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ； 对于④，a ·b ＝a ·c 可以移项整理得a ·(b －c )＝0.4．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左、右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.5．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝________. 答案2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b a ＝0，a ＋bb ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0， ①2a ·b ＋b 2＝0， ②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0， ∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2， 故|b |＝ 2.求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．。

3．空间向量及其线性运算[学习目标] 1.了解空间向量的概念，把握空间向量的几何表示和字母表示.2.把握空间向量的线性运算及运算律，明白得空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一空间向量的概念在空间中，咱们把像位移、力、速度、加速度如此既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二空间向量的加减法(1)加减法概念空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)OB→＝OA→＋AB→＝a＋b；CA→＝OA→－OC→＝a－b.(2)运算律互换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．知识点三空间向量的数乘运算(1)概念实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的|λ|倍．如图所示．(2)运算律分派律：λ(a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ(μa)＝(λμ)a.知识点四共线向量定理(1)共线向量的概念与平面向量一样，若是表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b.(2)充要条件对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.试探(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？(2)零向量没有方向．对吗？(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2)错误．不是没有方向，而是方向任意．(3)正确．题型一 空间向量的概念例1 判定下列命题的真假．(1)空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(4)向量AB →与BA →的长度相等．解 (1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不必然相同．(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不必然相等．(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不必然相同或相反，也能够是任意的．(4)真命题．因为BA →与AB →仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都能够拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个极点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量；(2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个．(2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.(3)|AC 1→|＝3.题型二 空间向量的线性运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是________．(填序号)①A 1D 1→－A 1A →－AB →；②BC →＋BB 1→－D 1C 1→；③AD →－AB →－DD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→.答案 ①②解析 (1)A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；(2)BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；(3)AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；(4)B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→.反思与感悟 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．跟踪训练 2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________．(填序号)①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.答案 ①②③④解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.因此所给四个式子的运算结果都是AC 1→.题型三 空间向量的共线问题例3 设e 1、e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．解 ∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k， ∴k ＝－8.反思与感悟 灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．跟踪训练3 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．试问：A 、B 、D 是不是共线，请说明理由．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2)＝5(e 1＋e 2)，∴BD →＝5AB →，又∵B 为两向量的公共点，∴A 、B 、D 三点共线．1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的________条件．答案 必要不充分解析 a ＝b ⇒|a |＝|b |；|a |＝|b |a ＝b .2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，模与向量A ′B ′→的模相等的向量有________个．答案 7解析 |D ′C ′→|＝|C ′D ′→|＝|DC →|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B ′A ′→|＝|A ′B ′→|.3．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③空间向量的减法知足结合律；④在四边形ABCD 中，必然是AB →＋AD →＝AC →.答案 ②解析 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确信，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不知足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是________．(填序号) ①－12a ＋12b ＋c ②12a ＋12b ＋c ③－12a －12b ＋c ④12a －12b ＋c 答案 ①解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→ ＝－12a ＋12b ＋c . 5．下列命题中正确的个数是________．①若是a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |；②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若a ，b ，c 为任意向量，则(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；④空间任意两个非零向量都能够平移到同一个平面内．答案 3解析 由单位向量的概念知|a |＝|b |＝1，故①正确；因相等向量不必然有相同的起点和终点，因此②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确信一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确信一个平面，这两个非零向量就一起在那个平面内，故④正确．1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都能够结合平面向量明白得．2．向量能够平移，任意两个向量都能够平移到同一个平面内．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，能够利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．。