【2019秋人教必修2】第八章立体几何初步章末复习课

第八章立体几何初步一、凸多面体的概念1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．1）分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；2）常见几何体平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．2）常见几何体正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球）1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．三、常见几何体的表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S2(斜棱柱底''=+S c l S c为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r lπππ一、知识点明晰锥体12正棱锥底'=+S nah S2()圆锥=+=+S r rl r r l πππ台体1()2正棱台上下'=+++S n aa h S S22)圆台（''=+++S r r r l rl π球24=S R π体积公式体积柱体柱=V Sh锥体 13锥=V Sh台体1()3台''=++V S SS S h球343=V R π四、空间几何体的直观图1、斜二测画法（主要步骤如下）1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不Sh变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 2、常用结论：1）直观图和平面图形的面积比为22S S =原直。

师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感；在方法技术上，将实物模型观察、课件演示、思维导图展示、投影、小组竞赛等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，同时还可以体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。

■六、教学过程设计教学环节（一）回顾知识强化记忆教学内容师生活动设计意图回顾平行与垂直的相关知识，展示平行与垂直在空间位置关系之间的的地位以及知识之间的联系完成三种语言转化表格问题1：请同学们完成以下表格！学生完成学案上三种语言的转化表格，师生共同浏览幻灯片回顾知识；并和学生一起核对答案学生通过浏览了解整个小节知识框架和地位，培养学生看待问题的整体意识和联系意识的习惯。

学生通过完成表格方式替代老师念读或幻灯片放映，既强化了对知识的理解和记忆，同时也在这样的学习习惯中养成自主学习意识.请大家核对答案教学环节（二）分析强调、深化理解教学内容师生活动设计意图课堂演练1、判断正误（一道5分）（1）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。

（）（2）若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。

（）（3）若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行。

（）（4）若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，学生自主完成后，小组交流讨论，并把讨论的最终答案交上来老师逐题询问，考查学生对空间的认知能力，并掌握判断空间位置的方法则这两条直线互相垂直。

（ ）学生分析后，给出答案教学环节（三）一题多问，空间平行、垂直之间的转化2、解答题：如图，已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，PA 平面,点是的中点，点是的中点问题1.求证：//平面P ABCD ABCD M CD N PB MN PAD-⊥学生自主完成后，小组交流讨论，并把解题思路整理出来，以抢答的形式，小组派代表展示，有需要时老师适当引导。

知识系统整合规律方法收藏1．对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图．2．在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题．3．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可．4．判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义；②利用判定定理；③与平行关系联合运用，即若a∥b，且a⊥α，则b⊥α.5．两平面相交成直二面角时，两平面垂直．作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础．同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一．对于本节内容及相关问题应引起足够重视．6．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两条边分别与二面角的棱垂直．准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法．这里要注意角的顶点的恰当选取；②垂面法；③垂线法．当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角．7．面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理．8．转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．学科思想培优空间几何体的结构特征1．空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础，理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别．2．旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也就掌握了它们各自的性质．[典例1]给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②棱柱的上下底面全等；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案 B空间几何体的直观图空间几何体的直观图是空间几何体的表现形式，是学好空间几何的基础和关键，只有正确作出空间几何体的直观图，才能分析其中各元素及各组成部分之间的关系．[典例2]画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4，OC⊥OB，AD⊥OB)．解以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图1.作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图2.空间几何体的体积与表面积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．[典例3] 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 的体积的最大值为36，则球O 的表面积为多少？解 如图所示，当点C 位于垂直于平面OAB 的直径顶端时，三棱锥O －ABC 的体积最大．设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －OAB ＝13×12R 2×R ＝R 36＝36.∴R ＝6.∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.空间中的位置关系1．空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧ 相交平行异面2．空间中线与面的位置关系⎩⎨⎧ 线在面内线面平行线面相交3．两个平面的位置关系⎩⎨⎧平行相交[典例4] 已知m ，n 是不同的直线α，β是两个不重合的平面．给出下列结论：①若m ∥α，则m 平行于平面α内任意一条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中正确的结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析 若m ∥α，则m 平行于过m 的平面与α相交的交线，并非所有的直线，故①错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ∥n ，也可能m ，n 异面，故②错误．③④正确．答案 ③④平行问题立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：[典例5] 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．解 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.垂直问题1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[典例6]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1⊂平面BCC1B1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .线线角、线面角和二面角问题1．两条异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到．2．直线和平面所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角．当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为90°时，直线与平面垂直．3．如果求两个相交平面所成的二面角．除垂直外，均有两个答案，即θ或180°－θ.具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：(1)定义法；(2)垂面法．4．求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．[典例7] 如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PD ＝DC ＝2，BC ＝2 2.(1)求PB 与平面ADC 所成角的大小；(2)求异面直线PC ，BD 所成角的正弦值．解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 即为PB 与平面ADC 所成的角．因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥DC ，所以BD ＝23，tan ∠PBD ＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝30°，即PB与平面ADC所成角的大小为30°.(2)取P A的中点G，连接OG，DG，如图．显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC，BD所成的角．因为OG＝12PC＝2，OD＝12BD＝3，DG＝12P A＝3，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝306，所以异面直线PC，BD所成角的正弦值为306.[典例8]如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面P AC；(2)求二面角B－P A－C的余弦值.解(1)证明：如图，连接OC.∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO.∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD.又AC ⊂平面P AC ，∴平面POD ⊥平面P AC .(2)在平面POD 中，过点O 作OH ⊥PD 于点H .由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，且交线为PD ，OH ⊂平面POD ， ∴OH ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥OH . 在平面P AO 中，过点O 作OG ⊥P A 于点G ， 连接HG ，则有P A ⊥平面OGH ，∴P A ⊥HG . 故∠OGH 为二面角B －P A －C 的平面角．∵C 是的中点，AB 是直径，∴OC ⊥AB .在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PD ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105. 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA P A ＝PO ·OAPO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 又GH ⊂平面P AC ，∴OH ⊥GH .在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155. ∴cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105.故二面角B －P A －C 的余弦值为105.。