北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章 立体几何初步章末复习提升课 含解析

§6 垂直关系 6．1 垂直关系的判定1．直线与平面垂直的判定(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a ∩b ＝A aα，bα⇒l ⊥α (1)二面角及其平面角①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．③二面角的记法以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，如图，记作：二面角α-AB -β．④二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．⑤直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角． (2)平面与平面的垂直①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法：把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)，记作：α⊥β．③两个平面互相垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎬⎫a ⊥βaα⇒α⊥β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面．() (2)如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的任意直线．( )(3)两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．在平面α内 D ．无法确定答案：D3．已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．5对解析：选D.因为DA ⊥AB ，DA ⊥P A ，所以DA ⊥平面P AB ，同理BC ⊥平面P AB ，又AB ⊥平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面AC ，平面P AB ⊥平面AC ，平面PBC ⊥平面P AB ，平面P AB ⊥平面P AD ，平面PDC ⊥平面P AD ，共5对．故选D.4．如图P 是二面角α-l -β内的点，P A ⊥α，PB ⊥β，垂足分别为A ，B .若∠APB ＝80°，则二面角α-l ­β的大小为________．答案：100°1．对直线与平面垂直的判定定理的三点说明(1)定理可表述为“线线垂直，则线面垂直”．(2)“两条相交直线”是关键词，一定不要忽视这个条件，否则将导致结论错误．即“线不在多，相交就行”．(3)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂直即可，不必找所有的直线，至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点无关紧要．2．对面面垂直的判定定理的两点说明(1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”．(2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．直线与平面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.[证明](1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ平面ANQ，所以PB⊥NQ.(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的“三个步骤”①寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直．②确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线．③判定：根据判定定理得出结论．(2)线面垂直的三种判定方法①用定义：证明l和平面α内任意一条直线都垂直．②用定理：证明l与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直．③用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α.1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC .平面与平面垂直的判定如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA . [证明] (1)取EC 的中点F ，连接DF .因为CE ⊥平面ABC ，所以CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，所以CE ⊥DF . 因为BD ∥CE ， 所以BD ⊥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA . 故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ═∥CF . 因为BD ═∥CF ，所以MN ═∥BD ，所以N ∈平面BDM . 因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BN .又因为AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，所以BN ⊥平面ECA . 又因为BN平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面ECA .若本例条件不变，如何证明平面DEA⊥平面ECA呢？证明：因为DM∥BN，BN⊥平面ECA.所以DM⊥平面ECA.又因为DM平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.证明面面垂直的三种方法(1)定义法．(2)判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．(3)利用结论：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．2.(1)空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC(2)如图，四边形ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD.求证：平面PBD⊥平面P AC.解：(1)选D.因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因为AD平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.(2)证明：因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为P A⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以P A⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.又因为BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AC.二面角的求解问题已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，求二面角C1­BD­C的正切值．[解]如图，连接AC，与BD相交于点O，连接OC1.由于ABCD是正方形，所以AC⊥BD，即OC⊥BD.又因为C1B＝C1D，且O是BD的中点，所以C1O⊥BD.因此∠C1OC就是二面角C1­BD­C的平面角．在Rt△C1CO中，tan∠C1OC＝C1COC，而C1C＝a，OC＝22a，所以tan∠C1OC＝ 2.求二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求．3.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面P AC，求二面角P­AC­D的大小．解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD 中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.(2)设正方形边长为a，则SD＝2a，又OD＝22a，所以∠SDO＝60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．由SD⊥平面P AC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，即二面角P-AC-D的大小为30°.易错警示对定理理解不透彻致误设α，β为不重合的两个平面，给出下列说法：①若α内的两条相交直线分别平行于平面β，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与平面α垂直的条件是l与α内的两条直线垂直．上面说法中正确的序号是______(写出所有的正确的序号)．[解析]①平面α内的两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．②平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．③如图所示，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．④直线l与α垂直的条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误．综上所述，正确说法的序号为①②.[答案]①②本题易错选③④，错选③是由a⊥l，aα错误得出a垂直于平面β；错选④是忽视了“相交直线”这一前提条件．一些常见的定理要认真领会，抓住关键字或词，一些判断项中往往不是直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错．1．如图，在立体图形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：选B.由AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，可得DE⊥AC，BE⊥AC，AC⊥平面BED，从而经过AC的面都与平面BED垂直．2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C.由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以OA⊥平面OBC.3.如图，P是二面角α-l-β的交线l上一定点，P A⊂α，PB⊂β，且P A⊥l，PB⊥l，∠BP A＝120°，若点C是半平面α上任意一点，则∠BPC的范围为()A．(0°，120°)B．(0°，90°)C．(90°，120°] D．[90°，120°]解析：选D.当PC与l重合时，∠BPC＝90°，当PC与P A重合时，∠BPC＝120°.故∠BPC 的范围为[90°，120°]．4.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 沿AE 、DE 折起，使点B 与点C 重合于点P .求证：平面PED ⊥平面P AD .证明：由矩形ABCD 知折起前AB ⊥BE ， 所以折起后AP ⊥PE ，同理PD ⊥PE ， 因为PD ∩P A ＝P ，所以PE ⊥平面P AD ， 因为PE平面PED ，所以平面PED ⊥平面P AD ., [学生用书P101(单独成册)])[A 基础达标]1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ) A ．垂直 B ．斜交 C ．平行D ．不能确定解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A 正确． 2．以下命题正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．① B ．①③ C ．②③D ．①②解析：选A.①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b ，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．3．如图，α∩β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且BA ⊥α，BC ⊥β，那么直线l 与直线AC 的关系是( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定 解析：选C.因为BA ⊥α，α∩β＝l ，lα，所以BA ⊥l .同理BC ⊥l .又BA ∩BC ＝B ，所以l ⊥平面ABC .因为AC平面ABC ，所以l ⊥AC .4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1­BD ­C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A.如图，连接AC 交BD 于O ，连接C 1O .因为AB ＝AD ，所以底面为正方形，所以AC ⊥BD . 又因为BC ＝CD ，所以C 1D ＝C 1B ，O 为BD 的中点，所以C 1O ⊥BD .所以∠C 1OC 就是二面角C 1­BD ­C 的平面角．则在△C 1OC 中，CC 1＝2，CO ＝12（23）2＋（23）2＝6，tan ∠C 1OC ＝CC 1CO ＝26＝33， 所以∠C 1OC ＝30°.5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1CB ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．已知P A 垂直于▱ABCD 所在平面，若PC ⊥BD ，则▱ABCD 的形状是________．解析：因为P A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以P A⊥BD.又因为PC⊥BD，P A∩PC＝P，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥AC，所以▱ABCD一定是菱形．答案：菱形7.如图，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CDα，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CDβ，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB平面AEB，所以CD⊥AB.答案：CD⊥AB8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正确命题的序号是________．解析：在这个空间图形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊆/平面ABC，BC平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.10．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC所在平面外一点，P A＝PB＝PC，∠APB ＝∠APC＝90°.(1)求证：PB⊥平面P AC；(2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥平面ABC.证明：(1)如图，由题设易得AB＝AC，因为∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC.因为P A＝PB＝PC，所以△P AB≌△PBC，所以∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.又PB⊥P A，P A∩PC＝P，所以PB⊥平面P AC.(2)取BC的中点D，连接AD，PD，因为PB＝PC，所以PD⊥BC.同理可得AD⊥BC，PD∩AD＝D，所以BC⊥平面P AD.因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.[B能力提升]11．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选C.易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．12.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面AC，且P A＝1，若BC 边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD .所以a 的最小值为2.答案：2 13.已知三棱锥P -ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AB ＝20.D 为AB 的中点，且△PDB 为等边三角形，P A ⊥PC .(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)求二面角D -AP -C 的正弦值．解：(1)证明：在Rt △ACB 中，D 是斜边AB 的中点，所以BD ＝DA .因为△PDB 是等边三角形，所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ，因此△APB 为直角三角形，即P A ⊥BP .又P A ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ，所以P A ⊥平面PCB .因为BC 平面PCB ，所以P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .因为BC 平面ABC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .(2)由(1)知P A ⊥PB 及已知P A ⊥PC ，故∠BPC 即为二面角D -AP -C 的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC .在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角D-AP-C的正弦值为25.14．(选做题)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为D E平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由第二问知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理(一)1．空间图形的基本位置关系的认识(1)空间图形的基本关系主要指的是：空间中点与直线，点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．(2)空间点与直线的位置关系点与直线的位置关系图形表示符号表示点在直线上B∈l点在直线外B∉l(3)空间点与平面的位置关系点与平面的位置关系图形表示符号表示点在平面内B∈α点在平面外A∉α2.空间图形的公理(1)公理1①文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．②图形语言：③推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．④结论：公理1及其推论给出了确定平面的依据．(2)公理2①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．②图形语言：③符号语言：若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα.④直线与平面的位置关系：直线AB在平面α内，即AB平面α；直线AB与平面α相交于点B，即直线AB∩平面α＝B；直线AB与平面不相交，即平行，表示为AB∥平面α.(3)公理3①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．②图形语言：③符号语言：若点P∈α，且P∈β，则存在直线l，使得α∩β＝l，且P∈l.④平面与平面的位置关系：两个平面重合，两个平面相交于一条直线(相交平面)，两个平面不相交(称这两个平面平行)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)四边形一定是平面图形．()(2)两条相交直线确定一个平面．()(3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.()(4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共点．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．点P在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为()A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα答案：D3．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()答案：D4．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A__________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC__________平面ACD＝AC.答案：∈∉⊆/∩1．从集合角度认识点、线、面之间的关系点、线、面之间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用,⊆/表示．2．公理1的意义及推论(1)意义：公理1及三个推论是空间里确定一个平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，是立体几何中解决一部分问题的主要的思想方法．(2)三点注意：①“确定”的含义和“有且只有”的含义是一样的，“有”表示“存在”，“只有”表示“唯一”．②推论1和2实际上是公理1的等价形式，是由公理1直接推出来的．③推论3要结合初中已学过的平行线的概念和公理1来得出．3．公理2的意义及作用(1)意义：公理2说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它是判断直线在平面内的依据．(2)作用：公理2常常与公理1结合起来证明多线共面问题．应用时，先用公理1确定一个平面，再用公理2证明其他的线也在这个平面内．4．公理3的意义及作用(1)意义：公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法，结合公理2我们知道两个平面只要有了2个交点，就可以确定交线了．(2)作用：公理3也常常用来作为证明“多点共线问题”和“多线共点问题”的依据．即证明“点”在“直线”上时，常常要说明“点”是两个平面的“交点”，而“直线”是两个平面的“交线”．空间图形的基本关系观察长方体ABCD-A′B′C′D′，回答下列问题．(1)直线B′C′和BC；直线AB和BC；直线AB和B′C′，分别是什么关系？(2)直线AB和平面ABCD；直线A′A和平面ABCD；直线A′B′和平面ABCD，分别是什么关系？(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C，分别是什么关系？[解](1)直线B′C′和BC在同一个平面内，但没有公共点，所以B′C′∥BC；直线AB和BC只有一个公共点，所以直线AB和BC相交；直线AB和B′C′不同在任何一个平面内，所以直线AB和B′C′既不平行也不相交．(2)直线AB和平面ABCD有无数个公共点，所以AB平面ABCD；直线A′A和平面ABCD 只有一个公共点，所以A′A与平面ABCD相交；直线A′B′和平面ABCD没有公共点，所以A′B′∥平面ABCD.(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C没有公共点，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C；平面ABCD 和平面BB′C′C不重合，但有公共点，所以平面ABCD和平面BB′C′C相交．(1)空间的两条直线有如下三种关系：①共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作l⊆/α.(3)两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．1.(1)下列说法正确的是()A．线段AB在平面α内，直线AB不在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面(2)①根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：a．A∈α，B∉α；b．lα，m∩α＝A，A∉l.②将“直线l不在平面α内，过l的平面β与平面α交于直线a”表示为符号语言，并画出相应的图形．解：(1)选D.线段AB在平面α内，直线AB一定在α内，故A错；平面α和β若有一个公共点，则平面α和β要么重合，要么相交，故公共点有无数个，B错；若三点共线，则此三点可确定无数个平面，C错，故选D.(2)①a.点A在平面α内，点B不在平面α内，如图所示．b．直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图所示．②符号语言：l⊆/α，lβ，α∩β＝a.图形如图：点、线共面问题已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数．[解]根据公理1的推论3：两条平行直线确定一个平面，又a，b，c两两平行但不共面，故可确定3个平面．若本例中条件改为“直线a，b，c两两平行”，则经过其中2条直线的平面有多少个？解：若三条平行线在同一个平面内，则经过其中2条的平面只有一个；若三条平行线不共面，则经过其中2条直线的平面有3个，故有1个或3个．解决点、线共面问题的基本方法2.已知：如图，直线a ∥b ，直线l ∩a ＝A ，直线l ∩b ＝B .求证：直线a ，b ，l 共面．证明：法一：(纳入法)：⎭⎪⎬⎪⎫直线a ∥b ⇒a ，b 确定平面αl ∩a ＝A ⇒A ∈a l ∩b ＝B ⇒B ∈b⇒⎭⎪⎬⎪⎫A ∈α，B ∈αA ∈l ，B ∈l ⇒lα⇒a ，b ，l 共面．法二：(重合法)：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b ⇒a ，b 确定平面αa ∩l ＝A ⇒a ，l 确定平面βα，β都经过点B 和直线a ，点B ∉a ⇒平面α，β重合⇒a ，b ，l 共面．多点共线、多线共点问题如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、E 、F 分别是棱CD 、AB 、DD 1、AA 1上的点，若MN 与EF 交于点Q ，求证：D 、A 、Q 三点共线．[证明] 因为MN ∩EF ＝Q ， 所以Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ， 又因为M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD平面ABCD ，AB平面ABCD .所以M、N∈平面ABCD，所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．(1)证明多点共线问题的两种常用方法①首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点也在直线上．(2)空间中证明三线共点的两种方法①先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，从而该点在它们的交线上，得到三线共点．②先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于一点，再证这两点重合，从而得到三线共点．3.(1)已知P在平面α外，A，B，C在平面α内且不共线，A′，B′，C′分别在P A，PB，PC上，若直线A′B′，B′C′，A′C′与平面α分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点()A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上(2)如图，α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l交于一点．解：(1)选D.如图，设平面A′B′C′∩平面α＝l，有D∈l，E∈l，F∈l，故D，E，F三点共线．(2)证明：如图，在梯形ABCD中，设AB∩CD＝E，因为ABα，CDβ，所以E∈α，E∈β.又α∩β＝l，所以E∈l，即AB，CD，l交于一点．思想方法分类讨论思想在确定平面问题中的运用两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[解](1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，a，b，c，d在同一平面内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图所示：因为这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，所以cα.同理可证dα.所以a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．(1)分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到引起讨论的原因，确定分类标准，多级分类讨论时，注意分类的层次．(2)分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则．1．下列叙述中错误的是()A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈lB．一点和一条直线只能确定一个平面C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D．圆上三点可以确定一个平面答案：B2．对不重合的平面α，β，下列结论错误的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l⊆/α，A∈l，则A∉αD．若A∉α，A∈l，则l⊆/α解析：选C.C错误，当l∩α＝A时，l⊆/α，A∈l，A∈α.3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个．解析：由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．答案：14.如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：FE，HG，DC三线共点．证明：连接HE，C1B，由题意知HC1═∥EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，故GF═∥12C1B，所以GF∥HE，且GF≠HE，所以HG与EF相交．设交点为K，因为K∈HG，HG平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD.因为K∈EF，EF平面ABCD，所以K∈平面ABCD.因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC.所以K∈DC，所以FE，HG，DC三线共点．,[学生用书P93(单独成册)])[A基础达标]1．若直线aα，直线bα，M∈l，N∈l，且M∈a，N∈b，则()A．lαB．l⊆/αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.由M∈a，N∈b，aα，bα知M∈α，N∈α，由公理2知lα.故选A.2．三个平面可把空间分成()A．4部分B．4或6部分C．4或6或8部分D．4或6或7或8部分解析：选D.由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成4部分；图(2)中的三个平面把空间分成6部分；图(3)中的三个平面把空间分成7部分；图(4)中的三个平面把空间分成8部分．3．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4C．5 D．6解析：选C.如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．给出以下三个命题：①若直线a平面α，直线b平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；②若α∩β＝l，直线a平面α，直线b平面β，且a∩b＝P，则P∈l；③若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①②B．②③C．③D．②解析：选D.对于①，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，a与b 异面；对于②，正确；对于③，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故③错．所以正确的是②.6．文字语言叙述“平面内有一条直线a，则这条直线上一点A必在这个平面内α”用符号表述是________．解析：点与线或面之间的关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合之间的关系，用“”表示．故应表示为⎭⎪⎬⎪⎫aαA ∈a ⇒A ∈α.答案：⎭⎬⎫aαA ∈a ⇒A ∈α7．在空间中：①球面上任意三点可以确定一个平面； ②圆心和圆上任意两点确定一个平面； ③平行四边形是平面图形．正确的说法是________(将你认为正确的说法的序号都填上)．解析：球面上的三点一定不共线，可以确定一个平面，①正确；圆心与圆上两点可能共线，不一定能确定一个平面，②错；平行四边形对边平行，可以确定一个平面，③正确．答案：①③ 8．给出下列说法：①和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是__________．解析：和直线a 都相交的两直线不一定在同一个平面内，故①错误；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故②错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上的三个公共点，这两个平面也不一定重合，故③错误；对于④可以证明，只有④正确．答案：④ 9.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝a ，γ∩α＝b ，若直线a 和b 不平行，求证：a ，b ，c 三条直线必过同一点．证明：因为α∩γ＝b ，β∩γ＝a ，所以aγ，bγ.由于直线a 和b 不平行，所以a ，b 必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为aβ，bα，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P.所以a，b，c三条直线必过同一点．10．如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA，交A1D1于点M；连接GC，交C1D1于点N；连接MN，AC.则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．图①(2)画法：连接EF交DC延长线于点P，交DA延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1即为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．图②[B能力提升]11.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l，又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上均错解析：选C.因为C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，所以R∈γ.而C∈β，lβ，R∈l，所以R∈β，所以点C，点R为γ与β的公共点，所以β∩γ＝CR.故选C.12．平面α，β的公共点多于两个，则以下三个判断中不成立的有________个．①α，β至少有三个公共点；②α，β至少有一条公共直线；③α，β至多有一条公共直线．解析：由条件知当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①成立；②成立；③不成立．故不成立的有1个．答案：113．如图，已知有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，M，N分别是对角线AC，BF上的点，求证：A，C，M，N四点共面，并作出它们所确定的平面与平面CBE的交线．解：连接AN，CN.由题意可知AC∩AN＝A，所以直线AC与直线AN确定平面ACN.又M∈AC，所以M∈平面ACN，即A，C，M，N四点共面，该平面即为平面ACN.要确定两个平面的交线，可以先确定交线上的两个点，然后连接即可得到．延长AN交BE的延长线于点G.因为G∈BE，BE平面CBE，所以G∈平面CBE.又G∈AN，AN平面ACN，所以G∈平面ACN，即G为平面ACN和平面CBE的公共点．又C∈平面CBE，C∈平面ACN，所以CG为两个平面的交线．14．(选做题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，BB1的中点，试作出过M，N，P三点的截面．解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线，如图所示，NQ是平面α与平面A1B1C1D1的交线．设MP∩A1A＝F，则FN是平面α与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD＝H，连接HM，则HM是平面α与平面ABCD的交线，HN是平面α与平面A1D1DA的交线．综上可知，平面PMHNQ就是过M，N，P三点的截面．。

4．2空间图形的公理(二)1．公理4文字语言图形语言符号语言平行于同一条直线的两条直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线．4．异面直线所成的角定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角取值范围异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°特例当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.()(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．()(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对答案：B3．垂直于同一条直线的两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：选D.可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可能，故选D.4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为________．答案：60°关于等角定理的两点说明(1)等角定理又常称空间等角定理，是在空间中来证明两个角相等的，在平面中同样成立．(2)应用空间等角定理必须满足条件：一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，所得结论“相等或互补”可以分为以下三种情形：①若角的两边对应方向相同，则两角相等；②若角的两边对应方向相反，则两角相等；③若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角互补．公理4的应用在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形．∥[证明]取B1B的中点P，连接C1P，MP.因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N═∥BN，(*)PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P═又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP═∥A1B1.又由正方体性质知A1B1═∥C1D1，所以MP═∥C1D1，所以四边形D 1MPC 1为平行四边形，所以C 1P ═∥MD 1. 由(*)知MD 1═∥BN ， 所以四边形MBND 1为平行四边形．若本例中的条件不变，求证改为“四边形MBND 1为菱形”，又该如何证？证明：接例题的证明，在Rt △MA 1D 1与Rt △MAB 中，A 1M ＝AM ，A 1D 1＝AB ，∠MA 1D 1＝∠MAB ＝90°，所以△MA 1D 1≌△MAB ，所以MD 1＝MB ， 所以四边形MBND 1为菱形．在空间中遇到线段中点的常用处理方法(1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系．(2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直线的平行关系．1.(1)如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在边CD ，DA 上，且满足CG ＝12GD ，DH ＝2HA ，则四边形EFGH 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形(2)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△P AB 和△PBC 的重心．求证：DE ∥AC ，DE ＝13AC .解：(1)选D.因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ═∥12AC ， 又DH HA ＝21，DG GC ＝21， 所以DH HA ＝DG GC ，所以HG ═∥23AC ， 所以EF ∥HG 且EF ≠HG ， 所以四边形EFGH 为梯形． (2)证明：如图，连接PD ，PE 并延长分别交AB ，BC 于M ，N .因为D ，E 分别是△P AB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC ，且MN ＝12AC .①在△PMN 中，因为PD PM ＝PE PN ＝23， 所以DE ∥MN ，且DE ＝23MN .②由①，②，根据公理4，得： DE ∥AC ，且DE ＝23×12AC ＝13AC .等角定理的应用已知棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[证明] 如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ADC的中位线，所以MN∥AC，由正方体的性质得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1.又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．(2)证明角相等，一般采用三种途径①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PN∥BC.①又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M═∥NC.所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A 1N ∥MC .②由①②及∠PNA 1与∠BCM 对应边方向相同，得∠PNA 1＝∠BCM .异面直线所成的角如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．[解] 如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM . 因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM ═∥12AD ，FM ═∥12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角． 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1， 在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt △MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin ∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD 、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD 、BC 所成的角为60°.(1)求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．(2)注意①作异面直线所成的角时，要选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置上的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点．②平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况．3.如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(2)求异面直线AD′与B′C所成角的大小以及A′C与AB所成角的正切值．解：(1)所在直线与BC′是异面直线的棱有：AA′，DD′，A′B′，DC，AD，A′D′.(2)因为AD′∥BC′，所以AD′与B′C所成的角就是BC′与B′C所成的角．因为BC′⊥B′C，所以AD′与B′C所成的角等于90°.因为AB∥CD，所以∠A′CD就是异面直线A′C与AB所成的角．在△A′CD中，若设正方体的棱长为a，则CD＝a，A′D＝2a，A′C＝3a，因此△A′CD是直角三角形，＝2，于是tan∠A′CD＝2aa即A′C与AB所成角的正切值为 2.规范解答求异面直线上两点间的距离所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．[解]如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，(4分)所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.(6分)当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝12. (9分)当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×34＝32. (12分)(1)解题时，首先在处利用中位线作出异面直线AC和BD所成的角是关键，也是失分点．(2)在处，因为作出的∠EOF不一定就是60°，也可能是120°，此处容易出错，造成后面解答不全面，而出现漏解，失分点．(3)求异面直线上两点间的距离，其重点还是在考查对异面直线所成角的理解和应用，其步骤是：一、作图；二、确定三角形中的已知条件；三、解三角形，求出长度．1．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′() A．一定平行且方向相同B．一定平行且方向相反C．一定不平行D．不一定平行答案：D2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面解析：选D.分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面，如图(1)(2)．3．如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形是________．解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．答案：②④4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有________条．解析：与EF平行的棱为B1C1，BC，AD，A1D1，共4条．答案：4,[学生用书P95(单独成册)])[A基础达标]1．下列命题中，真命题的个数是()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．A．0B．1C．2 D．3解析：选 B.①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．所以结论正确的个数为1.2．已知不同的直线a，b，c，下列说法正确的是()A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c解析：选A.A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B 错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90°角，但AB与BC不平行，D错．3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似解析：选D.由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D.4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C.如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF ∥AC ，GH ∥AC ，所以EF ∥GH ，故选C.5．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN ＜12(AC ＋BD )解析：选D.如图，取BC 的中点H ，连接MH ，HN ，MN ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝12BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝12(AC＋BD )．6.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1分别是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线，(1)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相反． 答案：(1)D 1B 1C 1 (2)A 1D 1B 17．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD . 以上结论中正确的是________(填序号)．解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．答案：①③8．如图，在正方体AC 1中，AA 1与B 1D 所成角的余弦值是________．解析：因为B 1B ∥A 1A ，所以∠BB 1D 就是异面直线AA 1与B 1D 所成的角，连接BD . 在Rt △B 1BD 中，设棱长为1，则B 1D ＝ 3. cos ∠BB 1D ＝BB 1B 1D ＝13＝33.所以AA 1与B 1D 所成的角的余弦值为33.答案：339.在如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别是棱AB ，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：(1)EF ═∥E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF═∥12BD.同理，E1F1═∥12B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1A═∥B1B，A1A═∥D1D，所以B1B═∥D1D.所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD═∥B1D1.所以EF═∥E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M.因为MF1═∥B1C1，B1C1═∥BC，所以MF1═∥BC.所以四边形BCF1M是平行四边形．所以MB∥CF1.因为A1M═∥EB，所以四边形EBMA1是平行四边形．所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1.同理可证：A1F∥E1C.又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.10.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点， 所以EF ∥CD ，所以∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的左右两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与MB 1是异面直线，直线AM 与DD 1是异面直线，故①②错误，③④正确．答案：③④13．如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ.所以EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，所以FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，所以EH ∥FG ， 所以顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内．(1)当λ＝μ时，EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时，EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形． 14．(选做题)如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ═∥12AD ，BE ═∥12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为G ，H 分别为F A ，FD 的中点，所以GH ═∥12AD . 又BC ═∥12AD ，所以GH ═∥BC ， 所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE ═∥12AF ，G 为F A 的中点知，BE ═∥FG ， 所以四边形BEFG 为平行四边形， 所以EF ∥BG .由(1)知BG ═∥CH ，所以EF ∥CH ， 所以EF 与CH 共面．又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。

6．2 垂直关系的性质1．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la αa ⊥l⇒a ⊥β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．( )(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( ) (3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且mαB ．m ∥n ，且n ⊥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ⊥n ，且n ∥β解析：选B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在平面ABC 上的射影H 必在直线________上．答案：AB1．线面垂直的其他性质(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(2)过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面．(5)如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直，那么这条直线与此平面平行．2．对面面垂直的性质定理的两点说明(1)定理可简记为“面面垂直，则线面垂直”，该定理可以作为判断线面垂直的判定方法，即只要两个平面垂直，那么在其中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直．(2)应用面面垂直的性质定理时，要注意以下几点：①两个平面垂直；②直线必须在一个平面内；③直线必须垂直于两个平面的交线．线面垂直的性质的应用如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.[证明]如图，连接AB1、B1C、BD、B1D1.因为DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD.且BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1B1.因为BD1平面BDD1B1，所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.在本例中，若AC与BD的交点为O，DD1的中点为G，证明：GO⊥平面ACB1.证明：在△BDD1中，O是DB的中点，G是DD1的中点，所以GO∥BD1.又由例题解析可知，BD1⊥平面ACB1，所以GO⊥平面ACB1.(1)直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线线、线面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．(2)当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑线面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．1.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：取CE 的中点G ，连接FG 、BG 、AF (图略)． 因为F 为CD 的中点，所以GF ∥DE 且GF ＝12DE .因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， 所以AB ∥DE ，所以GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，所以GF ＝AB .所以四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . 因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， 所以AF ⊥CD .因为DE ⊥平面ACD ，AF平面ACD ，所以DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . 因为BG ∥AF ，所以BG ⊥平面CDE . 因为BG平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .面面垂直的性质的应用如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AF ∥BE ，AF ⊥EF ，AF ＝EF ＝12BE .求证：EA ⊥平面ABCD .[证明] 设AF＝EF＝a，则BE＝2a.过A作AM⊥BE于M.因为AF∥BE，所以AM⊥AF.又因为AF⊥EF，所以AM∥EF，所以四边形AMEF是正方形．所以AM＝a，EM＝MB＝a，所以AE＝AB＝2a，所以AE2＋AB2＝EB2，所以AE⊥AB.又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE平面ABEF，所以EA⊥平面ABCD.利用面面垂直性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2.如图，△ABC是边长为2的正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，且BD⊥CD.求证：AE∥平面BCD.证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为A E平面BCD，DM平面BCD，所以AE∥平面BCD.线线、线面、面面垂直的综合应用已知：如图，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明](1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.因为平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面P AC.因为P A平面P AC，所以DF⊥P A.同理可证，DG⊥P A.因为DG∩DF＝D，所以P A⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.因为BH∩AE＝E，所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB.又因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB.因为P A∩PC＝P，所以AB⊥平面P AC.所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．(1)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键．(2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若P A ＝PD，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得到平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：(1)证明：取AD的中点O，连接PO，BO，BD，因为P A＝PD，所以PO⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，又O是AD的中点．所以AD⊥OB，又OB∩OP＝O，所以AD⊥平面POB，因为PB平面POB，所以AD⊥PB.(2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC，因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，所以DO∥CE，DO＝CE，所以四边形DOEC是平行四边形，设DE∩OC＝M，所以M是OC的中点，连接FM，又因为F是棱PC的中点，所以FM∥PO；因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，又因为FM平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.规范解答平行与垂直的综合应用(本题满分12分)如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．求证：(1)GF∥平面ABC；(2)平面EBC⊥平面ACD.[证明](1)如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE.(2分)又因为四边形ADEB为正方形，所以DE∥AB，从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又HF∩HG＝H，HF，HG平面HGF，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC. (6分)(2)因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC. (10分)又因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD. (12分)(1)解决本题的两个关键点：处证明线线平行时，找中点，作辅助线得平行关系，是解题的关键．处证明垂直时，往往是通过对已知条件得出的结果进行判断，故立体几何的有关证明可采用作图、计算、证明的混合模式．(2)解决该类问题的一般思路a．线面垂直与平行的相互转化：空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．b．转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质定理判定定理线线平行．(3)在解决平行和垂直的综合问题时，一定要把线面垂直、面面垂直的性质和判定方法掌握准确，应用时所具备的条件要罗列清楚，明确题目中的关键点，为后面的计算或解答明确目标．1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B.当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在．2．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选B.过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.又BC平面BCD，所以BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BC⊥AD.又因为AD∩AE＝A，且AD，AE平面ABD，所以BC⊥平面ABD，又AB平面ABD，所以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形．3．已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．解析：由线面垂直的判定定理得，a⊥平面α，b⊥平面α.又由线面垂直的性质定理得a∥b.答案：平行,[学生用书P103(单独成册)])[A基础达标]1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又mα，故α⊥β，故B对；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ，故C错；若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，故D错．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D.如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D.4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D.因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC平面P AC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．6.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以∠ADO＝45°.答案：45°7．如图，已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，若AF＝2，CD＝3，则CE＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，CD平面ABCD.所以DE⊥CD.因为DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝22＋32＝13.答案：138．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：因为侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 59.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是AP，AD的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明：(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊆/平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.10.在斜三棱柱A1B1C1­ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.若D是BC的中点．(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.证明：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥CC1.(2)如图，取BC1的中点E，连接ME，DE.因为D为BC的中点，所以DE∥CC1，DE＝12CC1.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，且M为AA1的中点，所以AM∥CC1且AM＝12CC1.所以DE∥AM，DE＝AM，所以四边形ADEM是平行四边形，所以EM∥AD.因为AD⊥平面BB1C1C，所以EM⊥平面BB1C1C.又EM截面MBC1，所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.[B能力提升]11．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A.7 B．27C．37 D．2 3解析：选B.连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.12．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________cm.解析：如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，所以AD＝122＋42＝410(cm)．又因为α⊥β，CA ⊥AB ，CA α，所以CA ⊥β，CA ⊥AD . 所以△CAD 为直角三角形． 所以CD ＝CA 2＋AD 2＝32＋42×10＝169＝13(cm)．答案：13 13.已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD? 解：(1)证明：因为AB ⊥平面BCD ， 所以AB ⊥CD .因为CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ， 所以CD ⊥平面ABC . 又因为AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)， 所以不论λ为何值，恒有EF ∥CD ， 所以EF ⊥平面ABC . 又EF平面BEF .所以不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD ， 所以BE ⊥AC .因为BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，AB ⊥平面BCD ， 所以BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6， 所以AC ＝AB 2＋BC 2＝7，由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67， 所以λ＝AE AC ＝67，故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .14．(选做题)如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点． (1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .解：(1)证明：由ABCD -A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，得BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形．所以B 1D 1∥BD . 而BD平面A 1BD ，B 1D 1平面A 1BD ，所以B 1D 1∥平面A 1BD .(2)证明：因为BM ⊥平面ABCD ，AC平面ABCD ，所以BM ⊥AC .又因为BD ⊥AC ，且BD ∩BM ＝B ，所以AC ⊥平面BMD . 而MD平面BMD ，所以MD ⊥AC .(3)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN，因为N是DC的中点，BD＝BC，所以BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，所以BN⊥平面DCC1D1.又O是NN1的中点，所以BM∥ON，且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.。

图 1－4
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．

第一章一、选择题1．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n B．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥n，m⊥n，则l∥mC对于选项C，若l∥β，则在β内必有直线n与l平行，从而n⊥α，于是α⊥β.2．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．2 3C．2 D． 3B本题考查了立体几何中的三视图知识及考生的空间想象能力．根据俯视图画出直观图如图所示设侧棱长和底面边长为a，则体积V＝34a2·a＝23，∴a3＝8，a＝2.∴左视图矩形ABCD的面积S＝32·a·a＝2 3.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A，C，B1，D1为顶点的正三棱锥的表面积为43，则正方体的棱长为()A． 2 B．2C．4 D．2 2A设正方体的棱长为a，则侧面的对角线长为2a，∴正三棱锥B1－ACD1的棱长为2a，它的全面积为4×34·(2a)2＝43，∴a2＝2，a＝ 2.4．(广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m α，n β，则m ⊥ nB ．若α∥β，m α，n β，则m ∥nC ．若m ⊥ n ，m α，n β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βD本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系．m ⊥α，m ∥n∴n ⊥α，又n ∥β，由面面垂直的判定定理知：α⊥β.二、填空题5．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________． 16 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则V 长方体＝abc ，VB 1－A 1BC 1＝VA 1－BB 1C 1＝13×12bc ×a ＝16abc ，即VB 1－A 1BC 1＝16V 长方体． 6．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是________．1设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋π2l 2＝3π，2πr ＝πl ，解得r ＝1，l ＝2. 7．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.4考查三视图和三棱锥的体积公式．该几何体直观图如图所示，其中AB ＝4，PF ＝2，CE ＝3.V P －ABC ＝13·S △ABC ·PF ＝13×12×4×3×2＝4. 三、解答题8．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝PA ＝2.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ；(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由；(3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积．(1)证明：∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE .又∵△ABC 是正三角形，E 为AC 中点，∴BE ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面PAC .∴平面PBE ⊥平面PAC .(2)解：取DC 中点F ，则F 即为所求．∵E 、F 分别是AC 、DC 的中点，∴EF ∥AD .又A D ⃘平面PEF ，EF 平面PEF ，∴AD ∥平面PEF .(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝13S △BEF ·PA ＝13×12×34×34×22×2＝34.。

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第一章立体几何初步学习目标 1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3。

掌握几何体的三视图与直观图,能计算几何体的表面积与体积.1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面＿______＿＿＿＿_，其余各面都是_＿_____＿__，并且每相邻两个四边形的公共边都＿____＿___＿S侧＝Ch,C为底面的周长，h为高Ｖ＝Sh棱锥有一个面是____＿____＿，其余各面都是_________＿＿___＿_的三角形S正棱锥侧=错误!Ch′，Ｃ为底面的周长,h′为斜高V＝13Ｓh，h为高棱台用一个＿_＿______＿___＿＿＿的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分Ｓ正棱台侧=＼f（1,2)(Ｃ+C′）h′，Ｃ,Ｃ′为底面的周长,h′为斜高Ｖ＝错误!（S上＋S下＋错误!)h,h为高旋转体圆柱以＿__＿___＿＿_＿_＿___所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，ｒ为底面半径,ｈ为高V=Sh=πｒ2ｈ圆锥以直角三角形的__________＿___所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧=πrl，r为底面半径,h为高V＝错误!Sh＝错误!πr2h圆台用_＿＿___＿___＿_______的平面去截圆锥,＿______＿＿___之间的部分S侧=π（r1＋r２）ｌ,r１,r2为底面半径,l为母线Ｖ＝错误!(S上＋Ｓ下+S上S下)h=错误!π(ｒ错误!＋r错误!＋r1r２)h 球以__＿_______所在直线为旋转轴，＿_＿_＿＿__旋转一周形成的旋转体S球面=4πR2,R为球的半径V＝错误!πＲ3２。

7．2柱、锥、台的体积柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)×hS上、S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．()(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．()(3)锥体的体积是柱体体积的13.()(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为0.5 m，里面水高度为0.8 m，现在有一个不规则几何体放进水缸，并且完全浸入水中，水面上升到1.2 m，则此不规则几何体体积约为(精确到0.1，π取3.14)()A．0.4 m3B．0.2 m3C．0.3 m3D．0.8 m3解析：选C.由水面上升0.4 m得体积V＝π·0.52×0.4＝0.1π≈0.3(m3)．3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是() A.23π3B．23πC.73π6D．73π3解析：选D.设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr′2＝π，πr2＝4π，π（r′＋r）·l＝6π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r′＝1，r＝2，l＝2.圆台的高h ＝l 2－（r －r ′）2＝3，所以V 圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ， 则V ＝3×⎝⎛⎭⎫12×2×a ＝33， 所以a ＝ 3. 答案： 3求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．柱体、锥体的体积如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，求该几何体的体积．[解] 由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝ 22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9， 所以其体积V ＝9 3.在本例中，几何体的体积还可以怎样解？解：以▱A 1ABB 1所在平面为底面，变成一个直棱柱，由主视图及俯视图可得A 1E ＝3，S ▱A 1ABB 1＝33，V 柱＝33×3＝9 3.求柱体、锥体体积常用的方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．1.(1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥． ①求剩余部分的体积；②求三棱锥A -A 1BD 的体积及高．解：(1)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，所以h ＝1， 所以斜高h ′＝12＋（3）2＝2，所以S 侧＝6×12×2×2＝12.故填12.(2)①V 三棱锥A 1­ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1-ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3. ②V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A 1-ABD＝16a 3. 设三棱锥A -A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A 1-ABD ＝13·S △A 1BD·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a . 台体的体积设圆台的高为3，其轴截面(过圆台轴的截面)如图所示，母线A 1A 与底面圆的直径AB 的夹角为60°，在轴截面中A 1B ⊥A 1A ，求圆台的体积V .[解] 设AB的中点为O ，连接A 1O ，作A 1D ⊥AB ，易知A 1D ＝3， 因A 1B ⊥A 1A ，则在Rt △A 1AB 中，A 1O ＝12AB ＝AO .又因∠A 1AB ＝60°，所以△A 1AO 为等边三角形． 所以在△A 1AO 中A 1D ＝32AO ＝3，得AO ＝2 3.设圆台的上、下底面半径分别为r ，R . 所以R ＝AO ＝23，r ＝12A 1B 1＝12OB ＝12AO ＝DO ＝ 3. 由V ＝13π×3×(12＋23×3＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圆台体积为21π.(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地，把高放在直角梯形中求解．(2)“还台为锥”是一种求解台体的重要思想．借助相似等手段以及相关知识求解．2.(1)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．(2)正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．解：(1)由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为S 上＝63，S 下＝243，高h ＝2，所以V 六棱台＝13h (S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝13×2×(63＋243＋123)＝28 3.故填28 3.(2)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 分别是两底面的中心．因为A 1C 1＝2，AC ＝52，所以A 1O 1＝22，AO ＝522， 所以O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎫522－222＝1，V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)． 组合体的体积如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．[解] 过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．因为AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°， 所以在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. 因为AD ∥BC ，所以∠DAE ＝∠ABC ＝60°， 所以在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8，所以AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4， 所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE ·FC )－13π·AE ·DE 2＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·5 3 ]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3)， 故所得的旋转体的体积为248π cm 3.解组合体的体积的步骤第一步：弄清组合体的构成；第二步：求出各部分简单几何体的体积；第三步：把第二步解出的体积相加或者相减，得组合体的体积．3.(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：(1)此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋1π×12×3＝(6＋π)m3.3(2)圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1＝Sh＝π×22×4＝16π；被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的长方体，其体积V2＝22×4＝16.故该几何体的体积是V＝V1－V2＝16π－16.答案：(1)6＋π(2)16π－16规范解答几何体体积求解(本题满分12分)如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好分别过AC，BC，A1C1，B1C1的中点E，F，E1，F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？[解]当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于四棱柱ABFE-A1B1F1E1的体积，V＝V四棱柱＝S梯形ABFE·H. (4分)当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积V＝S△ABC·h. (6分)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以S△CEF＝14S△ABC，所以S梯形ABFE＝34S△ABC. (9分)由S梯形ABFE·H＝S△ABC·h，即34S△ABC ·H＝S△ABC·h，得h＝34H，(11分)故当底面ABC水平放置时，液面高为34H.(12分)失分点，此处易误认为是棱台导致解错．明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点．解题步骤要完整，此结论易漏掉．在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型．在研究两个几何体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率．1．圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为()A．36πB．18πC．45πD．12π解析：选D.设圆锥的高为h，则h＝52－32＝4，故圆锥体积V＝13πr2h＝13π×32×4＝12π.2．已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A．2πB．4πC．8πD．16π解析：选D.由已知得圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为π×22×4＝16π.3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ，那么三棱台AEF -A 1B 1C 1的体积为________(用V 表示)．解析：设△ABC 的面积为S ，则S △AEF ＝14S ，所以V 台＝13⎝⎛⎭⎫S ＋S ·14S ＋14S ·h ＝13×74Sh ＝712V . 答案：712V4．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)解：设水面下降的高度为x cm ，因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)，小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)．所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6(cm)．则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm., [学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．33π C.3πD ．32π 解析：选B.设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm解析：选B.设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)． 3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A.12 B ．32C ．1D ．13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A.839B ．439C.239D ．439或839解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B.这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－14×π×12×2×2＝8－π.故选B.6．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 67．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π·(22＋2×1＋12)×1＝7π3.答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. 所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1， 高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图： (1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5 cm，作BD⊥AC于D，则BD＝125cm，得S底＝5×125×12＝6(cm2)，高h＝6 cm，得V＝13×6×6＝12(cm3)．[B能力提升]11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2πB．3πC ．5πD ．7π解析：选B.由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a . 答案：32a 13.如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A ′­ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′­BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC -A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD ­A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .14．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ， 所以AH AG ＝EH BG .因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为 V 水＝13π·3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)． 所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。

5．2平行关系的性质1．直线与平面平行的性质定理性质定理文字语言图形语言符号语言直线与平面平行如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行⎭⎬⎫l∥αlβα∩β＝b⇒b∥l2.平面与平面平行的性质定理性质定理文字语言图形语言符号语言平面与平面平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊆/α，那么b∥α.()(2)如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n.()(3)若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.()答案：(1)√(2)√(3)√2．如果直线a平行于平面α，则下列说法正确的是()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内任一条直线都与a平行解析：选B.由线面平行的性质定理知，经过直线a的平面与α相交，则a与交线平行，因为经过直线a的平面有无数个，所以平面内有无数条直线与a平行．故选B.3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面()A．必定可以并且可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作解析：选C.直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行1．对直线与平面平行的性质定理的三点说明(1)如图，在应用直线a与平面β平行的性质定理时，需要三个条件：①a∥β，②aα，③α∩β＝b，这三个条件缺一不可．(2)在应用性质定理时，往往会出现这样的易错点：“a∥β，bβ，所以a∥b”，在应用时要谨慎．(3)若a∥β，则直线a与平面β内的直线有两种位置关系：平行、异面，所以过直线a 作辅助平面α，使α与已知平面β交于b，这样直线a，b在同一个平面α内，所以才有直线a∥b.结合公理4知，平面β内与直线b平行的直线都与a平行．2．对平面与平面平行的性质定理的三点说明(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a，③β∩γ＝b，这三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，其结论可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义：分别在两个平行平面内的直线没有公共点，但又同时在第三个平面内，故两直线平行．线面平行的性质定理的应用如图所示，四边形EFGH 为空间四面体ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围． [解] (1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形， 所以EF ∥HG ， 因为HG平面ABD ，E F ⊆/平面ABD ，所以EF ∥平面ABD . 因为EF平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， 所以EF ∥AB . 所以AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)设EF ＝x (0<x <4)， 由(1)知，CF CB ＝x4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. 从而FG ＝6－32x .所以四边形EFGH 的周长 l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋6－32x ＝12－x ， 又0<x <4，则有8<l <12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8，12)．利用线面平行的性质定理解题的步骤1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明：连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以AP∥OM.又OM平面BMD，AP⊆/平面BMD，所以AP∥平面BMD.因为平面P AHG∩平面BMD＝GH，AP平面P AHG，所以AP∥GH.面面平行的性质定理的应用如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外一点(不在α与β之间)，直线PB 、PD 分别与α、β相交于点A 、B 和C 、D .(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知P A ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长． [解] (1)证明：因为PB ∩PD ＝P ， 所以直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，所以AC ∥BD .(2)由(1)得AC ∥BD ，所以P A AB ＝PCCD .所以45＝3CD ，所以CD ＝154.所以PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．在本例中，若P 在α与β之间，在第(2)问的条件下求CD 的长．解：如图所示，因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定了一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ， 又α∥β， 所以AC ∥BD . 所以∠P AC ＝∠PBD ， ∠PCA ＝∠PDB ， 所以△P AC ∽△PBD ，所以PB P A ＝PDPC， 即PB 4＝PD 3. 又PB ＝AB －P A ＝1，则PD ＝34，所以CD ＝PC ＋PD ＝3＋34＝154(cm)．面面平行性质定理的两个主要应用(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．(2)判断线面平行：其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2.(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，作截面EFGH (如图)交C 1D 1，A 1B 1，AB ，CD 分别于E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的形状为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．梯形(2)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为________．解析：(1)因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面EFGH 交平面ABCD 于GH ，交平面A 1B 1C 1D 1于EF ，则有GH ∥EF ，同理EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．(2)由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 答案：(1)A (2)4∶25平行关系的综合应用在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，如图． (1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明：A 1E ＝EF ＝FC .[解] (1)证明：因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ═∥B 1C 1， 所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D . 又因为C 1D平面C 1BD ，AB 1⊆/平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD . 同理B 1D 1∥平面C 1BD . 又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1平面AB 1D 1，B 1D 1平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD . (2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接A 1C ，连接AO 1与A 1C 交于点E . 又因为AO 1平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内，所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．证明A 1E ＝EF ＝FC 的过程如下：因为平面A 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝EO 1， 平面A 1C 1C ∩平面C 1BD ＝C 1F ， 平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，所以EO 1∥C 1F .在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点，所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF ； 同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点， 即CF ＝FE ， 所以A 1E ＝EF ＝FC .(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．3.(1)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.(2)如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.①求证：l∥BC；②MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．解：(1)连接FH，由题意知，HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，且HN∩FH＝H，所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.故填M∈线段HF.(2)①证明：因为BC∥AD，BC⊆/平面P AD，AD平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，BC平面PBC，所以l∥BC.②平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE ═∥AM . 所以四边形AMNE 为平行四边形， 所以MN ∥AE . 又因为AE平面P AD ，MN ⊆/平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .思想方法 函数思想在线面平行中的应用如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大．[解] 因为AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH ， 所以AB ∥FG ，AB ∥EH ，所以FG ∥EH .同理可得EF ∥GH ，所以截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α(α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BGBC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a －x )，所以S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )＝b a sin α⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24(0<x <a )．所以当x ＝a2时，S ▱EFGH 最大＝ab sin α4， 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时，截面面积最大．(1)对于立体几何中的有关最值问题，当利用几何性质不能断定时，常转化为考虑函数方法求解．(2)利用函数思想解立体几何问题时，首先应把立体几何问题转化为平面问题，再利用函数的有关知识解决相应问题．1．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面解析：选D.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AA 1∥BB 1，A 1D ∩A 1B ＝A 1，AD 1与A 1B 是异面直线．故选D.2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点解析：选D.因为l ⊆/α，所以l ∥α或l ∩α＝A ，若l ∥α，则由线面平行性质定理可知，l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，所以由公理4可知，a ∥b ∥c …；若l ∩α＝A ，则A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，a ∩b ∩c ∩…＝A ，故选D.3．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，由线面平行的性质可得EF ∥AC ，而E 为AD 的中点，所以F 也为CD 的中点， 即EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.答案： 2 4.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，则A 1EEC 1的值为________．解析：连接BC 1交B 1D 于点F ，连接EF ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF . 因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B 平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF ， 所以A 1E EC 1＝BF FC 1.因为BC ∥B 1C 1， 所以△BDF ∽△C 1B 1F ，所以BF FC 1＝BD B 1C 1.因为D 是BC 的中点，所以BD B 1C 1＝12， 所以A 1E EC 1＝12.答案：12, [学生用书P99(单独成册)])[A 基础达标]1.如图，在三棱锥S -ABC 中，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则( ) A ．EF 与BC 相交 B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面 D ．以上均有可能解析：选B.因为EF ∥平面ABC ，BC 平面ABC ，EF平面SBC ，平面ABC ∩平面SBC ＝BC ，所以EF ∥BC .2．若α∥β，aα，bβ，下列几种说法中正确的是( )①a ∥b ；②a 与β内无数条直线平行；③a 与β内的任何一条直线都不垂直；④a ∥β. A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③④解析：选B.序号 正误 原因分析 ① × a 与b 可能异面② √ 过a 的平面与β的交线都与a 平行 ③×在β内与a 垂直的直线有无数多条④√因为aα，α∥β，所以a与β无公共点，所以a∥β3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为()A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定解析：选B.由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形EFGH为平行四边形．4．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()A．D1B1∥平面ABCD B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1解析：选D.A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D1B1∥l，l与B1C1所成角是45°.5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面解析：选D.如图，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 的中点E ，连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′.则CE ∥AA ′，所以CE ∥α， C ′E ∥BB ′，所以C ′E ∥β. 又因为α∥β，所以C ′E ∥α. 因为C ′E ∩CE ＝E ， 所以平面CC ′E ∥平面α. 所以CC ′∥α.所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上． 6．若直线l 不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l 与平面α的关系为________．解析：若直线l 与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l 相交，故要使l 不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l ∥α.答案：l ∥α 7.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________．解析：EF 可看作直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，因为a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AFAC ，所以EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 答案：328．如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PFFC＝________． 解析：连接AC 交BE 于点G ，连接FG ，因为P A ∥平面EBF ，P A平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝FG ， 所以P A ∥FG ，所以PF FC ＝AGGC .又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点， 所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.答案：129.如图，在△ABC 所在平面外有一点P ，点D ，E 分别为PB ，AB 上的点，过D ，E 作平面平行于BC ，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法依据．解：过D ，E 作平面，设所画平面为α，因为BC ∥α，且BC 平面PBC ，BC平面ABC ，则平面α与平面PBC 和平面ABC 的交线都与BC 平行，据此作平面α如下： 连接DE ，过D 作DG ∥BC ，交PC 于G ，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，连接GF ，平面DEFG 即为平面α.10.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，E，F，H分别是AB，CD，PD的中点，连接BD，BD∩EC＝M，BD∩AF＝N.求证：PM∥HN.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC，因为PC平面PCE，FH⊆/平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，而CE平面PCE，AF⊆/平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH平面AFH，AF平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.而平面PBD∩平面AFH＝NH，平面PBD∩平面PEC＝PM.所以NH∥PM.[B能力提升]11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q 三点的截面是()A．邻边不相等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．矩形D．正方形解析：选B.如图所示，设经过P 、B 、Q 三点的截面为平面γ，由平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1；平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，知γ与两组平面的交线平行，所以截面为平行四边形．又因为△ABP ≌△CBQ ， 所以PB ＝QB .知截面为菱形．又PQ ≠BD 1，知截面不可能为正方形．故选B. 12.如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 是△ABC 的重心，N 是△ADC 的中线AF 上的点，并且MN ∥平面BCD .当MN ＝43时，BD ＝________．解析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，EF ，则点M 在AE 上，并且AM ∶AE ＝2∶3. 因为MN ∥平面BCD ， 所以MN ∥EF . 所以MN ∶EF ＝2∶3.而EF ＝12BD ，所以BD ＝3MN ＝4.答案：4 13.如图，在棱长为a 的正方体中，点M 为A 1B 上任意一点，求证：DM ∥平面D 1B 1C . 证明：由正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，知A 1B 1═∥AB ，AB ═∥CD ，所以A 1B 1═∥CD . 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形， 所以A 1D ∥B 1C . 而B 1C平面CB 1D 1，所以A 1D ∥平面CB 1D 1. 同理BD ∥平面CB 1D 1， 且A 1D ∩BD ＝D .所以平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. 因为DM平面A 1BD ，所以DM ∥平面CB 1D 1. 14．(选做题)如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， 所以OD 1∥BC 1. 又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⊆/平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 因此BC 1∥D 1O ， 同理AD 1∥DC 1.所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD.又因为A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即AD DC ＝1.。

姓名，年级：时间：§4 空间图形的基本关系与公理4．1 空间图形基本关系的认识4．2 空间图形的公理（一）1．空间图形的基本位置关系的认识（1)空间图形的基本关系主要指的是:空间中点与直线,点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．（2）空间点与直线的位置关系点与直线的位置关系图形表示符号表示点在直线上B∈l点在直线外B∉l （3)空间点与平面的位置关系点与平面的位置关系图形表示符号表示点在平面内B∈α点在平面外A∉α（1）公理1①文字语言：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．②图形语言:③推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．④结论：公理1及其推论给出了确定平面的依据．（2）公理2①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．②图形语言：③符号语言：若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α,则lα.④直线与平面的位置关系:直线AB在平面α内，即AB平面α;直线AB与平面α相交于点B,即直线AB∩平面α＝B；直线AB与平面不相交,即平行，表示为AB∥平面α。

(3)公理3①文字语言:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．②图形语言：③符号语言：若点P∈α,且P∈β,则存在直线l，使得α∩β＝l,且P∈l.④平面与平面的位置关系:两个平面重合，两个平面相交于一条直线（相交平面），两个平面不相交（称这两个平面平行）．1．判断正误．（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）四边形一定是平面图形．( )（2）两条相交直线确定一个平面．( ）（3）若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.（）(4）若两个平面平行,则在两个平面内的直线一定没有公共点．( )答案：（1）×(2)√(3）×(4）√2．点P在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为( ）A．P l，lαB．P∈l,l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα答案：D3．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是（）答案：D4．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A__________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC__________平面ACD＝AC.答案：∈∉错误!∩1．从集合角度认识点、线、面之间的关系点、线、面之间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系,点与平面之间的关系用符号∈，∉表示,直线与平面之间的关系用,错误!表示．2．公理1的意义及推论(1）意义：公理1及三个推论是空间里确定一个平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，是立体几何中解决一部分问题的主要的思想方法．(2)三点注意：①“确定”的含义和“有且只有”的含义是一样的,“有”表示“存在”,“只有”表示“唯一”．②推论1和2实际上是公理1的等价形式，是由公理1直接推出来的．③推论3要结合初中已学过的平行线的概念和公理1来得出．3．公理2的意义及作用（1）意义：公理2说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它是判断直线在平面内的依据．（2)作用：公理2常常与公理1结合起来证明多线共面问题．应用时,先用公理1确定一个平面，再用公理2证明其他的线也在这个平面内．4．公理3的意义及作用(1）意义：公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法，结合公理2我们知道两个平面只要有了2个交点，就可以确定交线了．（2)作用：公理3也常常用来作为证明“多点共线问题"和“多线共点问题”的依据．即证明“点”在“直线”上时，常常要说明“点”是两个平面的“交点”，而“直线"是两个平面的“交线"．空间图形的基本关系观察长方体ABCD.A′B′C′D′，回答下列问题．（1)直线B′C′和BC；直线AB和BC；直线AB和B′C′，分别是什么关系?（2）直线AB和平面ABCD；直线A′A和平面ABCD;直线A′B′和平面ABCD，分别是什么关系？(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C,分别是什么关系？［解] （1）直线B′C′和BC在同一个平面内,但没有公共点,所以B′C′∥BC；直线AB 和BC只有一个公共点，所以直线AB和BC相交；直线AB和B′C′不同在任何一个平面内，所以直线AB和B′C′既不平行也不相交．(2）直线AB和平面ABCD有无数个公共点，所以AB平面ABCD;直线A′A和平面ABCD只有一个公共点，所以A′A与平面ABCD相交；直线A′B′和平面ABCD没有公共点,所以A′B′∥平面ABCD。

设正四棱柱高为 h，底面正方形边长为 a，则 DE＝ 22a. ∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE.
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∵AO＝R，SO＝ 3R，
2 ∴ 2Ra＝ 3R3－R h，∴h＝ 3R－ 26a.
∴S 表＝2a2＋4ah＝2a2＋4a
3R－ 26a.
整理得 S 表＝(2－2
6)a－
63－R12＋
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截面问题
【例 4】 如图，已知正三棱锥 S-ABC，过 B 和侧棱 SA，SC 的中点 E， F 作一截面，若这个截面与侧面 SAC 垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积 之比．
[思路探究] 构建截面，利用几何知识巧妙判断各棱之间的关系．
31
[解] 取 AC 的中点 M，连接 SM，设 SM∩EF ＝D.
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1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图 确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题 要注意衔接部分的处理．
3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
7
[跟进训练] 1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半 径是 2 的圆，则这个几何体的体积是________．
连接 EG，GH， ∵H 为 BC 的中点， ∴GH 綊21AB.
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不 好哦~
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又 EF 綊12AB，
∴EF 綊 GH，
∴四边形 EFHG 为平行四边形， ∴EG∥FH，∵EG 平面 EDB，FH 平面 EDB， ∴FH∥平面 EDB.

2.直观图的绘制方法
①斜二测画法是绘制直观图的一种常用方法，通过画出斜二测视图来表示三维图形。
②绘制直观图的步骤包括：确定视点、画出主视图、画出侧视图、连接主视图和侧视图的顶点、整理图形等。
③绘制直观图时需要注意的问题：保持图形的比例关系、避免出现错误的线条和角度等。
3.直观图在立体几何中的应用
①直观图可以用来解决立体几何中的计算问题，如计算体积、表面积等。
3.情感态度与价值观：学生们在绘制直观图的过程中，体验到了数学的乐趣和实际应用的价值。他们更加积极主动地参与课堂讨论和实践活动，提高了学习数学的兴趣和自信心。
4.合作与交流：学生们在小组讨论和课堂练习中，培养了团队合作和交流沟通能力。他们学会了与他人分享自己的想法和解决问题的方法，提高了自己的表达和倾听能力。
（2）直观图绘制方法的掌握：学生对于如何正确地绘制直观图存在困难，特别是对于一些复杂的三维图形，学生难以准确地绘制其直观图。
（3）直观图在实际问题中的应用：学生难以将直观图应用于解决实际问题，如计算立体图形的体积、表面积等。教师需要通过具体的案例，引导学生理解和掌握直观图在实际问题中的应用。
教学资源
（1）画出一个水平的矩形，代表立方体的底面。
（2）在底面的左右两侧，分别画出两个垂直于底面的矩形，代表立方体的侧面。
（3）连接底面和侧面的顶点，得到立方体的直观图。
2.题型二：直观图与原图形的对应关系
题目：给出一个直观图，判断其对应的原图形是什么。
解答：根据直观图的性质，我们可以通过观察和分析直观图来推断原图形的形状。具体步骤如下：
（2）根据交点的位置关系，判断直观图与坐标轴的平行、垂直或斜交等关系。
（3）根据判断结果，得出直观图与坐标轴的具体关系。

§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积1．侧面积把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2．柱、锥、台的侧面积简单几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝2πrl，其中r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥侧＝πrl，其中r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)l，其中r1、r2分别为上、下底面半径，l为侧面母线长正棱锥S正棱锥侧＝12ch′，其中c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形的高直棱柱S直棱柱侧＝ch，其中c为底面周长，h为高正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)h′，其中c、c′分别为下、上底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．( )(2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形．( ) (3)空间几何体的侧面积即是表面积．( ) (4)圆台的侧面展开图是一个扇环．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24D ．48 解析：选D.因为正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，所以S 侧＝4×12×6×4＝48.3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C.底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ，则l ＝12(r ＋R )，又32π＝π(r＋R )l ＝2πl 2，所以l 2＝16，所以l ＝4.答案：41．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 (1)圆柱如图①，在矩形OO 1BA 中，OO 1＝AB ＝h ＝l ，AO ＝r .圆柱的侧面展开图是一个矩形，在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝2πr ，BD ＝l 2＋4π2r 2.BD 是从B 点绕圆柱侧面一周到A 点的最短距离．(2)圆锥如图②，在Rt △OP A 中，l 2＝h 2＋r 2.圆锥的侧面展开图是一个扇形，在扇形P AA ′中，AA ′︵＝C ＝2πr .AA ′为从A 点出发绕圆锥侧面一周再回到A 点的最短距离．(3)圆台如图③，在直角梯形OO ′A ′A 中，l 2＝h 2＋(r －r ′)2.圆台侧面展开图是一个扇环，在扇环AA ′B ′B 中，A ′B ′︵＝C ′＝2πr ′，AB ︵＝C ＝2πr . 2．多面体的侧面积(1)对于正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积求解也可以用“一个侧面的面积”ד面数”来解，不一定非要用公式求解．(2)不规则的多面体求侧面积时，要把每个侧面的面积解出来，再相加． (3)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积的关系：S 正棱锥侧＝ch ′――→令c ′＝c S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→令c ′＝0S 正棱锥侧＝12ch ′旋转体的侧面积、表面积如图△ABC为等腰三角形，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，求所成几何体的表面积．[解]过A向BC作垂线，如图，在Rt△ABD中，AB＝2，∠ABD＝60°，得AD＝3，在Rt△ACD中，∠ACB＝30°，所以AC＝2AD＝2 3.△ABC旋转后，AC旋转形成圆锥的侧面积：S1＝πrl1＝π×3×23＝6π，AB旋转形成圆锥的侧面积：S2＝πrl2＝π×3×2＝23π，几何体的表面积为6π＋23π＝(6＋23)π.在本例条件不变的前提下，若将△ABC绕直线AC旋转一周，求所成几何体的表面积．解：由题意，旋转后得到的几何体是大小完全相同的圆锥组成的组合体，过B向AC作垂线，如图，在Rt△ABH中，BH＝12AB＝1，故所求几何体的表面积S＝2πrl＝2π×1×2＝4π.总结圆柱、圆锥、圆台侧面积的求法，可以发现，这些空间几何体的侧面积都是通过展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法求得的．这种化空间为平面的思想方法是一种常用的数学方法，在解决问题过程中具有重要作用．1.(1)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4，下底长为10，高等于4的等腰梯形，则该圆台的侧面积等于________．(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：(1)设圆台的上、下底面半径分别为r 1，r 2，高为h ，母线长为l ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2r 1＝4，2r 2＝10，h ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝2，r 2＝5，h ＝4.l ＝h 2＋（r 2－r 1）2＝42＋（5－2）2＝5，于是该圆台的侧面积是S ＝π×(2＋5)×5＝35π.故填35π.(2)如图，设圆台的上底面周长为C . 因为扇环的圆心角是180°， 所以C ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20 cm ， 同理可得SB ＝40 cm ， 所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.简单多面体的侧面积、表面积正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，高是12 cm.求这个棱台的侧面积和表面积．[解] 如图，由已知可得O 1M 1＝12×4＝2(cm)，OM ＝12×16＝8(cm)，OO 1＝12 cm.在Rt △M 1NM 中，M 1M ＝M 1N 2＋NM 2＝122＋（8－2）2＝65(cm)．即该正四棱台的斜高h ′＝6 5 cm. 于是该棱台的侧面积S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(16＋64)×65＝2405(cm 2)； 该棱台的表面积S 表＝S 侧＋S 1＋S 2 ＝2405＋42＋162＝(272＋2405)cm 2.(1)求直棱柱的侧面积，即求底面周长和高的乘积，解题时可逐个求解，也可以把积作为一个整体求解．(2)对于正棱锥，正棱台的表面积，求侧面的高是解题的关键．(3)要分清四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体等几何体的区别与联系． 四棱柱――→侧棱垂直底面直四棱柱――→底面为矩形长方体――→底面为正方形正四棱柱――→各棱相等正方体． (4)正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是由全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形组成．2.(1)如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，A 1B 1＝2，AA 1＝4，则该几何体的表面积为( )A ．6＋3B ．24＋ 3C ．24＋2 3D ．32(2)已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积等于________cm2.(3)已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：(1)选C.由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，其底面边长为2，侧棱长为4，因此其侧面积S1＝3×2×4＝24，其两个底面的面积S2＝2×32＝23，于是其表面积S4×2＝S1＋S2＝24＋23，故选C.(2)如图，正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE＝12×4＝2(cm)，∠OPE＝30°，所以PE＝OE＝4(cm)．sin 30°所以S侧面积＝12)．2×4×4×4＝32(cm故填32.(3)如图，正三棱台ABC-A1B1C1中，O，O1为两底面的中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．由已知可得A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，则OD＝5 3 cm，O1D1＝1033cm.由其侧面积等于两底面面积的和可得12(60＋90)·DD 1＝34(202＋302)， 解得DD 1＝1333(cm)．在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－（OD －O 1D 1）2 ＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，即棱台的高为4 3 cm.组合体的侧(表)面积如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)[解] 由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，正四棱柱的高为4 m ，底面为边长为3 m 的正方形，圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝9π＋15π＝24π(m 2)；四棱柱的一个底面积为9 m 2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39)(m 2)．所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8)(kg)．(1)求组合体的表面积的三个基本步骤 ①要弄清楚构成它的基本几何体及组成形式． ②根据组合体的组成形式设计计算思路． ③根据公式计算求值． (2)求组合体的表面积的解题策略①对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响． ②对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．3.(1)如图，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为________．(2)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内，过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求所得旋转体的表面积．解：(1)由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积．故其表面积S ＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.故填24＋1.5π.(2)如图所示，所得几何体为一个圆柱内除去一个圆锥．在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，AB ＝(2a －a )·tan 60°＝3a ，DC ＝2a －acos 60°＝2a .又DD ′2＝DC2＝a ，所以S 表＝S 圆环＋S 圆柱侧＋S 圆C ＋S 圆锥侧＝[π·(2a )2－πa 2]＋2π·2a ·3a ＋π·(2a )2＋π·a ·2a ＝(9＋43)πa 2.思想方法函数思想在求几何体面积最值中的应用圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．[解] 如图，设圆柱的高为x ，其底面半径为r ，则r R ＝h －xh ，所以r ＝R （h －x ）h .圆柱的侧面积S 侧＝2πrx ＝2πRh ·x (h －x )＝－2πR h(x 2－hx )＝－2πR h ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －h 22－h 24＝－2πR h ⎝⎛⎭⎫x －h 22＋πhR2. 当x ＝h 2时，S 侧最大值＝πhR 2，即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为h 2，此时侧面积的最大值为πhR 2.(1)在遇到旋转体的问题时，经常通过轴截面、侧面展开图来解决问题，体现了“以面代体”．(2)几何体的面积最值问题经常利用函数思想求解，而几何体表面及截面长度最小值问题常转化为平面问题利用几何性质加以解决．1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372解析：选C.由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．因为下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232， 上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152， 又因为长方体表面积重叠一部分，所以几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是( )A ．6 cm 2B ．π cm 2C ．4π2 cm 2D ．6π cm 2解析：选D.该几何体是底面半径为1 cm ，母线长为3 cm 的圆柱，则其侧面积为2πrl ＝2π×1×3＝6π(cm 2)．3．正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，高为12a ，则正三棱台的侧面积为________．解析：如图所示，O 1，O 分别为上，下底面的中心，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点， 在直角梯形ODD 1O 1中，OD ＝13×32×2a ＝33a ，O 1D 1＝13×32a ＝36a ，所以DE ＝OD －O 1D 1＝36a . 在Rt △DED 1中，D 1E ＝a2，则D 1D ＝⎝⎛⎭⎫36a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝112a 2＋a 24＝33a ， 所以S 棱台侧＝3×12(a ＋2a )·33a＝332a 2. 答案：332a 24．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)．求该几何体的表面积．解：该几何体的底座是一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体，上面是一个长、宽、高分别为1，1，2的长方体，故所求表面积S ＝2(1×2＋1×2＋1×1)＋2(1×1＋1×2＋2×1)－2×1×1＝18(m 2)．, [学生用书P105(单独成册)])[A 基础达标]1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：选D.设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2， S 侧＝πa ×2a ＝2πa 2，所以S 侧＝2S 底．2．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( )A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4解析：选B.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表＝2πr2＋2πrl，面积所以S侧面积∶S表面积＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3，故选B.3．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台OO′的侧面积是() A．54πB．8πC．4πD．16π解析：选A.S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.4．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为()A．8＋ 5 B．5＋ 5C．5＋2 5 D．4＋ 5解析：选B.由三视图可知该几何体是一个直四棱柱，底面是一个直角梯形，不垂直于底边的腰长为（2－1）2＋22＝5，于是侧面积S侧＝(1＋2＋2＋5)×1＝5＋ 5.5.如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点B 处的食物．当圆柱的高等于12 cm，底面半径为3 cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A．12 cm B．15πcmC.144＋9π2cm D．18 cm解析：选C.如图所示，在圆柱的侧面展开图中，BC的长为底面圆周长的一半，即BC ＝12＋（3π）2＝144＋9π2cm.2×2π×3＝3π，蚂蚁所走路程为AB＝12所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是144＋9π2 cm.6．已知圆柱的侧面积为S ，底面周长为c ，则圆柱的母线长为________． 解析：设圆柱的母线长为l ，则S ＝cl ，所以l ＝Sc .答案：S c7．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm ，4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.解析：棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4 ＝72(cm 2)． 答案：728．如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是________．解析：如图，该几何体为底面为等腰直角三角形的直棱柱．由图知AB ＝AC ，BC ＝22，AB ⊥AC .所以S 表＝2·AB ·AC2＋2×2×2＋2×22＝12＋4 2.答案：12＋4 29．一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积．解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是长方体，上面是圆锥的简单组合体，长方体底面长为3，宽为2，高为1，圆锥底面半径为1高为3，母线长为10，表面积为：S＝πrl＋2(2×1＋2×3＋1×3)－πr2＝π×1×10＋22－π＝22＋(10－1)π.10．已知正三棱锥V-ABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图(如图)，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2 3.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD＝VB2－BD2＝42－（3）2＝13，则S△VBC＝12×VD×BC＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，所以，三棱锥V -ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．[B 能力提升]11．在一个长方体上钻一个圆柱形的孔，则钻孔后得到的几何体的表面积与原几何体相比( )A ．变大了B ．变小了C ．相等D ．不确定解析：选D.所得几何体的表面积为长方体的表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积，由于长方体形状不确定，钻去的圆柱形状不确定，因此圆柱的两底面积和侧面积不确定，故选D.12．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为________．解析：如图，由题意知O 1A 1∶O 2A 2∶OA ＝1∶2∶3，以O 1A 1，O 2A 2，OA 为底面半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5. 答案：1∶3∶513．一个正四棱台上、下两底面边长分别为m 、n ，侧面积等于两个底面面积之和，求这个棱台的高．解：如图，设O 1、O 分别为棱台上、下底面中心，M 1、M 分别为B 1C 1、BC 的中点，连接O 1O 、M 1M 、O 1M 1、OM ，则M 1M 为斜高．过M 1作M 1H ⊥OM 于H 点， 则M 1H ＝OO 1， S 侧＝4×12(m ＋n )·M 1M ，S 上底＋S 下底＝m 2＋n 2.由已知得2(m ＋n )M 1M ＝m 2＋n 2， 所以M 1M ＝m 2＋n 22（m ＋n ）.在Rt △M 1HM 中，MH ＝OM －O 1M 1＝12(n －m )，所以M 1H ＝O 1O ＝M 1M 2－MH 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2＋n 22（m ＋n ）2－14（m －n ）2＝mnm ＋n . 14.(选做题)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．解：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．所以S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36.所以该几何体的表面积为36.。