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江苏省宿迁市高中数学第1章立体几何初步1.２．4 平面与平面的位置关系教案苏教版必修２编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省宿迁市高中数学第1章立体几何初步 1.２．4 平面与平面的位置关系教案苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4 平面与平面的位置关系一：教学任务分析ﻫ本课三维目标制定如下：ﻫ１、知识与技能:使学生通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理。
２、过程与方法：使学生了解、感受平面与平面平行的判定定理的探究过程、方法,体会数学思想的应用。
3、情感态度价值观：培养学生大胆探索勇于创新的精神。
教学重点：使学生通过直观感知、操作确认,归纳出平面与平面平行的判定定理.ﻫ教学难点:平面与平面平行的判定定理的探究及应用。
二、教学基本流程ﻫ由空间直线之间和直线与平面之间的位置关系引入课题ﻫ↓平面与平面平行的判定定理的探索↓ﻫ平面与平面平行的判定定理的应用↓ﻫ课堂小结与作业(交流学习心得)ﻫ三、教学情境设计ﻫ教学环节教学过程设计意图ﻫ复习引入首先，先让学生回忆直线与直线和直线与平面的位置关系及分类标准。
ﻫ其次,讨论:ﻫ问题１:平面与平面之间有哪些位置关系,它们的分类标准是什么？ﻫ问题2：拿出两本书用书的表面表示一个平面，是探求平面与平面之间有哪些位置关系，它们的分类标准是什么？小结：平面与平面的位置关系有两种,平面与平面平行，平面与平面相交！问题3:请同学们试作出其直观图，并用符号表示问题4：请同学们举几个平面与平面平行与平面与平面相交的例子;并回忆我们以前在什么地方接触过了面面平行的问题!小结：从学生新知识形成的最近发展区出发，复习旧知。
2019-2020年高中数学 第1章《立体几何单元复习》学案 苏教版必修2●知识网络：● 范题精讲：例1、已知：四边形ABCD 中，AB ‖DC ，AB 、BC 、DC 、AD 分别与平面相交于点E 、F、G 、H 。
求证：点E 、F 、G 、H 在同一条直线上。
例2、如图，P 、Q 、R 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，BB 1，DD 1上的三点，试作出过P ，Q ，R 三点的截面图．例3、已知平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，求证： 直线EH 与FG 相交，则它们的交点必在直线BD 上。
α DCB AE F HA 1 AB B 1 D D 1C C 1QP · · ·例4、已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．例5、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是B 1C 1的中点，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，连接AO ，CE ，求异面直线AO 与CE 所成的角的余弦。
●配套练习卷：平面的基本性质，两直线的位置关系本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.A CD C 1 D 1 A 1B 1EOB A第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内 2．在空间中，下列命题正确的是 （ ）A ．对边相等的四边形一定是平面图形B ．四边相等的四边形一定是平面图形C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D ．有一组对角相等的四边形是平面图形 3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是 （ ） A B C D5．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ．90° B ．45°C ．60°D ．30°6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．相交或异面7．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）A ．[30°，90°]B ．[60°，90°]C ．[30°，60°]D ．[60°，120°]8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线；③ CN 与BM 成角； ④ DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C.③④ D ．②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） A ．平行 B ．平行或异面 C ．平行或相交 D ．异面或相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EB ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） A ．BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 B ．EF//平面BCD 且EFGH 是梯形C ．HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 D ．HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形第Ⅱ卷（非选择题）N D C M E A B F二．填空题11．若直线a, b 与直线c 相交成等角，则a, b 的位置关系是 ． 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题（共76分）15．（12分）已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线 .16．（12分）在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足=k .求证：M 、N 、P 、Q 共面.17．（12分）已知：平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα⊂=⋂⊂=⋂求证：b 、c 是异面直线18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD 中，AB =CD =3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，并且BE ∶EC =AF ∶FD =1∶2，EF =，求AB 和CD 所成角的大小.19．（14分）四面体A-BCD 的棱长均为a ，E 、F 分别为楞AD 、BC 的 中点，求异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值．20．（14分）在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.（1）求证：四边形B ′EDF 是菱形； （2）求直线A ′C 与DE 所成的角；21、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异面直线CM 与D 1N所成角的正弦值.(14分)2019-2020年高中数学 第1章《算法》教案 苏教版必修3本章知识结构一、知识点剖析1．算法的定义和特点 掌握要点：算法定义：在数学中指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 教学目标了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．认识圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的机构特征．重点难点 圆柱、圆锥、圆台和球的概念的理解．1．下面几何体有什么共同特点或生成规律？这些几何体都可看做是一个平面图形绕某一直线旋转而成的．2．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．3．圆柱、圆锥、圆台和球的表示．4．旋转体的有关概念．例题剖析 如图，将直角梯形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？例2 指出图1、图2中的几何体是由哪些简单的几何体构成的．例1 A B C D 图1 图2直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，将三角形ABC 分别绕边AB ，AC ，BC 三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是哪一种简单的几何体？或由哪几种简单的几何体构成？巩固练习1．指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成．2．如图，将平行四边形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？课堂小结 圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念及图形特征．例3 A BC D课后训练一 基础题1．下列几何体中不是旋转体的是（ ）2．图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转 360形成，该平面图形是（ ）3．用平行与圆柱底面的平面截圆柱，截面是_____________________________________．4．_____________________可以看作圆柱的一个底面收缩为圆心时，形成的空间几何体．5．用平行于圆锥底面的一平面去截此圆锥，则底面和截面间的部分的名称是_________．6．如图是一个圆台，请标出它的底面、轴、母线，并指出它是怎样生成的．二 提高题7．请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．A B C DA B C DA B三 能力题8．如图，将直角梯形ABCD 绕DC 、AD 边所在直线旋转一周，由此形成的几何体分别是由哪些简单几何体构成的？ A DCB 图1A 图2 DB C。
1.2.2 第7课时异面直线学习目标:1.理解异面直线的概念、画法,培养空间想象能力;2.会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面;3.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角;4.体会空间问题化归为平面问题求解的策略.学习重点:异面直线的判定、异面直线所成角的寻求及其计算.学习难点:异面直线概念的理解.学习过程:一、课前准备:自学课本P25~271.异面直线的定义:.2.异面直线的画法(平面衬托法:3.异面直线判定定理:.符号表示:.证明方法:.4.异面直线所成的角:①定义:.②范围:.③异面直线互相垂直:.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、AB的中点,判断下列各对线段所在直线的位置关系.如果异面,求出所成的角:①AB与CC1 ;②A1B1与DC;③A1C与D1B;④DC与BD1 ;⑤D1E与CF.6.下列命题中,正确的是.①垂直于同一条直线的两条直线平行②有三个角是直角的四边形是矩形③a∥b,a⊥l b⊥l④两条异面直线既不平行也不相交,无法成角7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BD1成异面直线的棱有_________条.二、合作探究:例1.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.变式训练:已知异面直线a与b所成的角为60° (80°,P为空间一定点,则过点P 且与a、b所成的角都是60°的直线有且仅有条.例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:AA1与C1D1所成的角;AA1与B1C所成的角;B1C与BD所成的角.c b O a Q N P M 例3.空间四边形ABCD 中,AD=1 ,BC=3,BD=213,AC=23,且AD ⊥BC . 求:异面直线AC 和BD 所成的角.变式训练:正四面体ABCD 中,E 是BC 的中点,⑴求证直线AE 与BD 异面; ⑵求直线AE 与BD 所成角的余弦值.例4.如图,已知不共面的直线c b a ,,相交于O 点,M ,P 是直线a 上的两点,N ,Q 分别是c b ,上的一点.求证:MN 和PQ 是异面直线.三、课堂练习:课本第27页练习第1~6题.四、回顾小结:1.证两直线异面的方法有 ;2.求两条异面直线所成的角的步骤:作—证—算—答.五、课外作业:课本P27习题1.2:第5~12题课课练六、自我测试:1.若a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是 .2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 .3.下列命题中,正确的是 .①平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; ②过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE, 则∠BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角;③四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形; ④两条异面直线所成的角指的是过空间任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角;⑤过两条异面直线中一条上的一点作与另一条平行的直线,这两条相交直线所成的锐角或直角就是两条异面直线所成的角.4.空间四边形ABCD 中,AB,BC,CD 的中点分别是P,Q,R ,且PQ=2 ,QR=5,PR=3 ,那么异面直线AC 和BD 所成的角是 .5.在空间四边形ABCD 中,AB=CD=8,M,N 分别是BC,AD 的中点,如异面直线AB 与CD 成60°角,求MN 的长.§1.2.3 第8课时直线与平面平行(1学习目标:1.理解直线与平面平行的定义,了解直线与平面的位置关系,能够正确画出直线与平面各种位置关系的图形;2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.学习重点:直线与平面平行的判定定理的应用.学习难点:直线与平面平行的判定定理的反证法证明.学习过程:一、课前准备:自学课本P28~30线面平行判定定理:.判定定理的符号表示:.3.下面命题正确的是.①直线在平面外,则直线与平面相交或平行;②若直线l上有无数个点不在平面α内, 则l∥α;③若l∥α,则l与平面α内有任意一条直线都平行;④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行;⑤若直线l与平面α平行, 则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.4.下列四个命题中,正确的是.①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②直线上有两点到平面的距离相等,则直线与平面平行;③直线与平面内的任一条直线不相交,则直线与平面平行;④直线与平面内无数条直线不相交,则直线与平面平行.5.过直线外一点,与该直线平行的直线有_________条;过直线外一点,与该直线垂直的直线有_________条;过直线外一点,与该直线平行的平面有_________个;过平面外一点,与该平面平行的直线有_________条.二、合作探究:例1.如图,在△ABC所在平面外有一点P,M,N分别是PC和AC上的点,过MN 作平面平行于BC,画出这个平面与其他各面的交线,并说明理由.例2.已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB,M,N 分别是AC,BF 上的点且AM=FN. 求证:MN//平面BCE.例3.已知E,F,G,H分别是四面体的棱AD,CD,BD,BC的中点,求证:AH∥平面EFG.三、课堂练习:课本第31页练习第1、3题.四、回顾小结:1.注意:直线在平面外包含直线与平面相交、平行两种情形;2.直线与平面平行的判定定理,可以简记为“线线平行则线面平行”;3.判定定理使用时,三个条件缺一不可.五、课外作业:课本P36习题1.2:第3题课课练六、自我测试:1.如果a∥α,b∥α,那么a,b的位置关系是.2.直线a∥b,b⊂α,则a与α的位置关系是.3.过两条异面直线中的一条可作个平面与另一条平行.4.P是两条异面直线a、b外的一点,过点P可作个平面与a、b都平行.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,CC1的中点.求证:平面BDF∥平面B1D1E.6.已知:AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.求证:AC∥平面EFG,BD∥平面EFG.AC。
苏科版高中数学章节教案
章节：苏科版第一册第一章立体几何
教学目标：
1. 理解三维空间中的点、直线、平面等基本概念。
2. 掌握立体图形的表示方法和性质。
3. 掌握直线与平面的位置关系和交点的性质。
教学内容：
1. 立体几何基本概念：三维空间、点、直线、平面等。
2. 立体图形的表示方法：欧氏空间、剖面、投影等。
3. 直线与平面的位置关系：平行、垂直、交点等。
教学步骤：
1. 导入：通过展示三维立体图形，引入立体几何的概念，让学生感受到立体空间的存在和重要性。
2. 概念讲解：介绍点、直线、平面等基本概念，并与平面几何进行对比，帮助学生建立起立体几何的概念框架。
3. 实例演练：通过例题演练，让学生掌握立体图形的表示方法和性质，培养学生解决实际问题的能力。
4. 练习巩固：设计一些练习题，让学生熟练运用直线与平面的位置关系和交点的性质，检验他们的掌握程度。
5. 小结：总结本节课的重点内容，强调立体几何在日常生活和工作中的重要性，激发学生对数学的兴趣和学习动力。
教学过程中，教师要注重启发学生的思维，引导他们从具体问题中找到抽象规律，培养他们的逻辑推理能力和问题解决能力。
同时，教师要及时给予学生反馈和指导，帮助他们建立正确的数学思维方式和解题方法。
通过本节课的学习，学生将能够掌握立体几何基本概念和性质，为今后的数学学习打下坚实的基础。
同时，他们也将意识到数学在工程、建筑等领域中的应用和重要性，为未来的学习和职业规划提供参考和启示。
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
金版学案高中数学第1章立体几何初步章末知识整合苏教版必修2一、函数与方程思想函数与方程思想是一种重要的数学思想．在立体几何中，若一个量未知求另一个量的最值时，可利用函数思想去解决．[例1] 如图所示，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC -A 1B 1C 1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径，AA 1＝AC ＝CB ＝2.(1)证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；(2)设E ，F 分别为AC ，BC 上的动点，且CE ＝BF ＝x (0<x <2)，问当x 为何值时，三棱锥C -EC 1F 的体积最大，最大值为多少？(1)证明：因为BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC ， 又BC ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面B 1BCC 1， 而AC ⊂平面A 1ACC 1， 所以平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1.(2)解：因为CE ＝BF ＝x ，所以CF ＝2－x .VC -EC 1F ＝VC 1-ECF ＝13S △ECF ·CC 1＝13·12x ·(2－x )·2＝13(2x －x 2)＝13[－(x －1)2＋1]，又0<x <2，所以当x ＝1时，三棱锥C -EC 1F 的体积最大，最大值为13.规律总结将几何中的最值问题转化为二次函数是立体几何与代数相结合的典范，应体会此方法思想的应用技巧．[变式训练]1．圆锥的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值． 解：如图所示，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，S 圆柱侧＝2π·lr .因为r 2＝4－l 4，所以l ＝4－2r .所以S 圆柱侧＝2π·lr ＝2π·r ·(4－2r ) ＝－4π(r －1)2＋4π≤4π.所以当r ＝1时，圆柱的侧面积最大且S max ＝4π cm 2. 二、转化与化归思想的应用转化与化归就是处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决的问题，最终使问题得到解答的一种数学思想．转化与化归思想是立体几何中重要且常用的数学思想．[例2] 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.(1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； (2)求AB 1与平面B 1D 1DB 所成的角； (3)求三棱锥B -ACB 1的体积．分析：(1)证明AC ⊥BB 1且AC ⊥BD 即可． (2)结合(1)求解，关键是先作出所求的角． (3)利用VB -ACB 1＝VC -ABB 1求解．(1)证明：因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以BB 1⊥AC .又AC ⊥BD ，BB 1∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面B 1D 1DB . (2)解：设AC 与DB 的交点为O ，连接B 1O ， 由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ，所以B 1O 就是AB 1在平面B 1D 1DB 上的射影． 所以∠AB 1O 就是所求的角． 因为AB 1＝2，AO ＝22，∠AOB 1＝90°， 所以∠AB 1O ＝30°.(3)解：VB -ACB 1＝VC -ABB 1＝13CB ·S △ABB 1＝16.(1)空间中线线、线面、面面三者之间相互转化的关系如下： 线线平行↔线面平行↔面面平行； 线线垂直↔线面垂直↔面面垂直．有关线面位置关系的论证往往就通过这种联系和转化得到解决． (2)通过添加辅助线或辅助面将立体几何问题转化为平面几何问题．(3)空间角的求解．通常将空间的角(异面直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹角，通过三角形求解，即立体问题平面化．[变式训练]2．已知圆柱的高为5π，底面半径为23，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA ＝π，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q ＝2π，则圆柱侧面上P ，Q 两点间的最短距离为________．解析：如图甲所示，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形(如图乙所示)，过点P 作PE ∥AB 交BB 1于点E ，令PA ＝a ，B 1Q ＝b ，则PE ＝AB ＝12×2πR ＝πR ＝23π，QE ＝h －a －b ＝2π.所以PQ ＝PE 2＋QE 2＝（πR ）2＋（h －a －b ）2＝4π. 答案：4π三、整体思想的应用整体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想在解数学问题中的具体运用．[例3] 一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可． 解：设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，对角线长为l ，则由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2（xy ＋yz ＋zx ）＝11，4（x ＋y ＋z ）＝24.由4(x ＋y ＋z )＝24得x ＋y ＋z ＝6，从而由长方体对角线性质得：l ＝x 2＋y 2＋z 2＝（x ＋y ＋z ）2－2（xy ＋yz ＋zx ）＝规律总结整体思想就是在探究数学问题时，研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征做出整体性处理．整体思想的含义很广，根据问题的具体要求，可以对代数式做整体变换，或整体代入，也可以对图形做整体处理．[变式训练]3.如图所示，长方体三个面的对角线长分别是a ，b ，c ，求长方体对角线AC ′的长．解：设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意得： 对角线AC ′＝x 2＋y 2＋z 2，而⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2， ①x 2＋z 2＝b 2， ②y 2＋z 2＝a 2. ③由①②③得：x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 22，所以对角线：AC ′＝x 2＋y 2＋z 2＝122（a 2＋b 2＋c 2）.四、分类讨论思想的应用由于图形的类型或位置不确定引起分类讨论．[例4] 用互相平行且距离为27的两个平面截球，两个截面圆的半径分别为r 1＝15，r 2＝24，试求球的表面积．分析：应分两个平行截面位于球心的同侧或两侧进行讨论．解：设球的半径为R ，球心O 到两平行截面的距离为OO 1＝d 1，OO 2＝d 2. (1)当两个平行截面位于球心O 的两侧时，如图①所示，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝152＋d 21，R 2＝242＋d 22，d 1＋d 2＝27，解得d 1＝20，d 2＝7，R ＝25. 故S 球＝4πR 2＝2 500π.图① 图②(2)当两个平行截面位于球心O 的同侧时，如图②所示，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝152＋d 21，R 2＝242＋d 22，d 1－d 2＝27，解得d 1＝20，d 2＝－7，不符合题意，即这种情况不存在． 综上可知，球的表面积2 500π. 规律总结当在已知条件下存在多种可能的情况时，须分类讨论每一种可能的情况，综合得出结果．本题虽然第(2)种情形不成立，但也必须考虑到．[变式训练]4．一张长为10 cm ，宽为5 cm 的纸，以它为侧面卷成一个圆柱，求该圆柱的体积． 解：有两种情况：(1)以5 cm 的边为圆柱的母线，则形成的圆柱的底面周长为10 cm ，故底面半径为r ＝5πcm ，因此V 圆柱＝πr 2h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5＝125π(cm 3)．(2)以10 cm 的边为圆柱的母线，则形成的圆柱的底面周长为5 cm ，故底面半径为r ＝52πcm ， 因此V 圆柱＝πr 2h ＝π·⎝⎛⎭⎪⎫52π2·10＝1252π(cm 3)．故圆柱的体积为125πcm 3或1252πcm 3.。
1.1.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标：1.认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.了解棱柱、棱锥和棱台的概念；3.初步培养学生的空间想象能力和抽象括能力．学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥和棱台的结构特征．学习难点：棱柱、棱锥和棱台的结构特征的概括．学习过程：一、课前准备：自学课本P4～71.基本概念：①棱柱：由的空间几何体叫做棱柱．叫做棱柱的底面,叫做棱柱的侧面．棱柱的特点：两个底面是 ,且 ,侧面都是．②棱锥：当时,得到的几何体叫做棱锥．棱锥的特点：底面是 ,侧面是．③棱台：用 ,另一个叫做棱台．即．棱台的特点：两个底面是 ,侧面是 ,侧棱．④多面体：由的几何体叫做多面体．2.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是．3.下列说法中,正确的有．①棱柱的侧面可以是三角形②正方体的各条棱都相等③棱柱的各条侧棱都相等④正方体和长方体都是特殊的四棱柱⑤用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形4.已知一长方体,根据图中三种状态所显示的数字,可推出“”处的数字是．5.有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱②棱锥③棱台④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥6.构成多面体的面最少是个,该多面体称为或．二、合作探究：例1.棱柱的特点是：⑴两个底面是全等的多边形,⑵多边形的对应边互相平行,⑶棱柱的侧面都是平行四边形．反过来,若一个几何体具备上述三点,能构成棱柱吗或者说,上面三点能作为棱柱的定义吗例2.三棱柱有个面, 个顶点, 条棱,可以称为五面体；还有其他五面体吗试举一些六面体．例3.仿照教材讲解,画一个三棱柱、四棱台和五棱锥,并归纳作图方法、步骤．例4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm,一只蚂蚁从A到C1点,沿着表面爬行的最短距离是多少变式训练：四面体P-ABC中,PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°,一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周,再回到A点,蚂蚁经过的最短路程是多少三、课堂练习：课本第8页练习第1、2、3题．四、回顾小结：1.本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的概念和画法；2.棱柱、棱锥和棱台有怎样的关系3.空间图形中,实线和虚线分别表示什么作辅助线时,要注意什么五、课外作业：课本P16习题：第1题课课练六、自我测试：1.设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底面都是正三角形的三棱锥正四面体．2.下列命题正确吗为什么①有两个面互相平行,其他各面都是梯形的多面体是棱台；②棱锥的侧棱长与底面边长相等,则该棱锥可能是六棱锥；③各个面都是三角形的几何体是三棱锥；④用一个平面去截棱锥,得到一个棱锥和一个棱台．§1.1.2 第2课时圆柱、圆锥、圆台和球学习目标：1.初步理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念,掌握它们的生成规律；2.了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义；3.了解一些复杂几何体的组成情况,初步学会用类比的思想分析和解决问题．学习重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．学习难点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的概括．学习过程：一、课前准备：自学课本P8～101.基本概念：①圆柱：将 ,形成的几何体叫做圆柱．圆柱的特点：两底面是 ,轴截面是 ,母线．②圆锥：将 ,形成的几何体叫做圆柱．圆锥的特点：底面是 ,轴截面是 ,母线．③圆台：将 ,形成的几何体叫做圆柱．圆台的特点：两底面是 ,轴截面是 ,母线．④球面：形成的曲面叫做球面．的几何体叫做球体球．⑤旋转面：叫做旋转面．旋转体：叫做旋转体．⑥轴、底面、侧面、母线…2.圆柱的侧面展开图是 ,圆锥的侧面展开图是 ,圆台的侧面展开图是．3.将直角三角形绕它的一边旋转一周,形成的几何体一定是圆锥吗直角梯形绕它的一条腰旋转一周,形成的几何体一定是是圆台吗为什么4.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,下面的几个截面图中,必定错误的是．A． B． C． D．二、合作探究：例1.圆的定义为：；请你把它改写为球面的定义：；你能说出圆面、球体的定义吗例2.下列命题正确吗为什么①圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线；②圆台的任意两条母线必相交；③圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形；④与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形；⑤圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．例3.边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 求从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离．例4.用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥,截得圆台的上、下底面半径之比是1 : 4, 截去的小圆锥的母线长是3 cm,求圆台的母线长．三、课堂练习：课本第10页练习第1～4题．四、回顾小结：1.圆柱、圆锥和圆台有怎样的关系2.在解决圆台的问题时,常将圆台转化为圆锥的问题,即化台为锥；3.从轴截面中,可以得到旋转体所有信息．五、课外作业：课本P16习题：第2题课课练六、自我测试：1.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是．A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都可能2.图⑴是由哪个平面图形旋转得到的．⑴ A B C D2,∠C=90°,以直线AC为轴将△ABC旋转一周3.在直角三角形ABC中,已知AC=2,BC=3得到一个圆锥,求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.。
第一章 立体几何初步学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.1.四个公理公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是__________________.公理3：经过________________________的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________. 2.直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧，，异面直线：不同在一个平面内，没有公共点.3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论a ∥αb ∥α a ∩α＝∅ a ∥b判定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的____直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，________a⊥αa∥b，______ b⊥α性质a⊥α，______a⊥ba⊥α，b⊥α文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相______，那么在一个平面内垂直于它们______的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a，b所成的角.②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个________________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作______________的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.6.几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝ch V＝Sh正棱锥S侧＝12ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(c＋c′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝4πR2V＝43πR3类型一空间中的平行关系例1 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.反思与感悟(1)判断线面平行的两种常用方法①利用线面平行的判定定理.②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.(2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).跟踪训练1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.类型二空间中的垂直关系例2 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性).②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练2 如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB 以AB为轴运动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.类型三平行与垂直的综合应用例3 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由. 反思与感悟平行、垂直也可以相互转化，如图.跟踪训练3 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.类型四空间几何体的表面积与体积例4 如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4 如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1－AB1D1的高.1.如图，AE ⊥平面α，垂足为点E ，BF ⊥平面α，垂足为点F ，l ⊂α，C ，D ∈α，AC ⊥l ，则当BD 与l ________时，平面ACE ∥平面BFD .2.已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.3.设m ，n ，l 是三条不同的直线，α是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是________.(填序号)①若m ⊄α，l ⊥α，则m ∥α； ②若l ⊥n ，则m ⊥n ； ③若l ⊥n ，则m ∥n ； ④若m ∥n ，n ⊂α，则l ⊥α.4.已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3.5.如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的圆O 上，点E 为线段PB 的中点，点M 在»AB 上，且OM ∥AC .求证： (1)平面MOE ∥平面PAC ； (2)平面PAC ⊥平面PCB .1.空间中平行关系的转化2.空间中垂直关系的转化3.空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法①利用图中已有的平行线平移.②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.③补形平移.(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.答案精析知识梳理1．两点经过这个公共点的一条直线不在同一条直线上平行2．平行相交任何3．(1)a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b(2)α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b 4．(1)任意m∩n＝Oa⊥αb⊂αa∥b(2)垂线垂直交线5．(1)①锐角(或直角) (2)①平面内的射影(3)①两个半平面②垂直于棱题型探究例1 证明(1)如图，取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形， ∴OB ∥GE .又∵OB ⊂平面BDD 1B 1，GE ⊄平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF . 连结HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形， ∴HD 1∥BF .又∵HD 1⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF . ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H . 跟踪训练1解 当点F 是PB 的中点时， 平面AFC ∥平面PMD .证明如下：如图，连结BD ，和AC 交于点O ，连结FO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点．∴OF ∥PD .又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ，∴OF ∥平面PMD .又MA 綊12PB ， ∴PF 綊MA .∴四边形AFPM 是平行四边形，∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD ，∴AF ∥平面PMD .又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ∥平面PMD .例2 证明 (1)设BC 的中点为M ，连结B 1M .∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连结B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1.∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.跟踪训练2 解 (1)如图，取AB的中点E，连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.例3 (1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.跟踪训练3 证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC 的中点为I ，连结GI ，HI .在△CEF 中，因为G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥DB ，所以GI ∥DB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .例4 解 由题意知，S 1＝2π×2a ×3a ＋2π×(2a )2＝(43＋8)πa 2， S 2＝S 1＋πa3a 2＋a 2－πa 2 ＝(43＋9)πa 2，∴S 1∶S 2＝(43＋8)∶(43＋9)． 跟踪训练4 解 设三棱锥A 1－AB 1D 1的高为h ，则VA 1－AB 1D 1＝13h ×34×(2a )2 ＝3a 2h 6. 又VA 1－AB 1D 1＝VB 1－AA 1D 1＝13a ×12a 2＝a 36， 所以3a 2h 6＝a 36，所以h ＝33a . 所以三棱锥A 1－AB 1D 1的高为33a . 当堂训练1．垂直 2.15 3.① 4.96π5．证明(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA. 因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC.因为OM∥AC，又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC.(2)因为点C在以AB为直径的圆O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.。
