苏教版数学必修二新素养同步讲义：1.立体几何初步 章末复习提升课

第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？★★答案★★不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？★★答案★★当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．★★答案★★③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.★★答案★★②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.证明 连结BD ，AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，B 1D 1，设正方体的棱长为a ，易证AE ＝CE .∵AO ＝OC ，∴OE ⊥AC .在正方体中易求出D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，∴D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，∴D 1O ⊥OE . ∵D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ，AC ⊂平面ACD 1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．★★答案★★①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．★★答案★★①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.★★答案★★13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．★★答案★★菱形解析如图，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△P AE和Rt△CDE中，P A＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.★★答案★★④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG; ②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF; ④GD⊥平面SEF.★★答案★★①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1; ④AC1⊥BD1.★★答案★★①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．★★答案★★AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)★★答案★★①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，因为m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．★★答案★★ 4 解析 ∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.8．在三棱锥P－ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心★★答案★★垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥P A，PB⊥PC，P A∩PC＝P，∴PB⊥平面P AC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.★★答案★★90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★A1C1⊥B1C1(★★答案★★不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．★★答案★★无数解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为3 2a.∵PM ⊥BC ， ∴PM ＝ ⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22 ＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面P AD ， ∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3，在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)因为P A⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ， 所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．★★答案★★ ①②③解析 因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由P A ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以P A ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD .∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行，相交，异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a ∩α＝∅a ⊂α，b ⊄α， a ∥ba ∥αa ∥α， a ⊂β， α∩β＝b 结论 a ∥αb ∥αa ∩α＝∅ a ∥b(2)面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)面面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α(3)空间中的垂直关系的内在联系5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.6.几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)l V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12ch ′V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(c ＋c ′)h ′ V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 3类型一 空间中的平行关系例1 如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)如图，取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形， ∴OB ∥GE .又∵OB ⊂平面BDD 1B 1， GE ⊄平面BDD 1B 1， ∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，∴HD1∥BF.又∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.反思与感悟(1)判断线面平行的两种常用方法①利用线面平行的判定定理.②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.(2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).跟踪训练1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.解当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：如图，连结BD，和AC交于点O，连结FO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊12PB，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.类型二空间中的垂直关系例2如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC 上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.证明(1)设BC的中点为M，连结B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连结B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1.∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性).②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练2如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴运动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.解(1)如图，取AB的中点E，连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.类型三平行与垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由.(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴DC⊥平面P AC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，∴AB⊥平面P AC，AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，∵E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.反思与感悟平行、垂直也可以相互转化，如图.跟踪训练3在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连结GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.类型四空间几何体的表面积与体积例4如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.解由题意知，S1＝2π×2a×3a＋2π×(2a)2＝(43＋8)πa 2，S 2＝S 1＋πa (3a )2＋a 2－πa 2＝(43＋9)πa 2， ∴S 1∶S 2＝(43＋8)∶(43＋9).反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决. (3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题. (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4 如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求三棱锥A 1－AB 1D 1的高.解 设三棱锥A 1－AB 1D 1的高为h ， 则111A AB D V -＝13h ×34×(2a )2＝3a 2h6.又111A AB D V -＝111B AA D V -＝13a ×12a 2＝a 36，所以3a 2h 6＝a 36，所以h ＝33a .所以三棱锥A 1－AB 1D 1的高为33a .1.如图，AE ⊥平面α，垂足为点E ，BF ⊥平面α，垂足为点F ，l ⊂α，C ，D ∈α，AC ⊥l ，则当BD 与l ________时，平面ACE ∥平面BFD .★★答案★★ 垂直解析 当BD ⊥l 时，由BF ⊥l 知，l ⊥平面BDF . 又同理可得l ⊥平面ACE ， 所以平面ACE ∥平面BFD .2.已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.★★答案★★ 15解析 ∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝DEEF .由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，∴AB BC ＝23. 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15.3.设m ，n ，l 是三条不同的直线，α是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是________.(填序号)①若m ⊄α，l ⊥α，则m ∥α； ②若l ⊥n ，则m ⊥n ； ③若l ⊥n ，则m ∥n ； ④若m ∥n ，n ⊂α，则l ⊥α. ★★答案★★ ①解析 若l ⊥m ，l ⊥n ，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，即②③都不正确；由l ⊥m ，m ∥n ，可得l ⊥n ，不一定有l ⊥α，即④不正确；对①，可在l 上取一点P ，过P 作m ′∥m ，则m ′⊥l ，m ′与l 确定一个平面β，β∩α＝a ，由l ⊥α，得l ⊥a .又m ′，a ，l 同在平面β内，则由l ⊥m ′，l ⊥a ，得m ′∥a ，于是m ∥a ，又m ⊄α，所以m ∥α.故填①.4.已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. ★★答案★★ 96π解析 圆锥的侧面积为πrl ＝10πr ＝60π，得r ＝6. 则h ＝l 2－r 2＝102－62＝8，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×62×8＝96π.5.如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的圆O 上，点E 为线段PB 的中点，点M在AB上，且OM∥AC.求证：(1)平面MOE∥平面P AC；(2)平面P AC⊥平面PCB.证明(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥P A.因为P A⊂平面P AC，OE⊄平面P AC，所以OE∥平面P AC.因为OM∥AC，又AC⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，所以OM∥平面P AC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面P AC.(2)因为点C在以AB为直径的圆O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC.因为AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC.因为BC⊂平面PCB，所以平面P AC⊥平面PCB.1.空间中平行关系的转化2.空间中垂直关系的转化3.空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法 ①利用图中已有的平行线平移.②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. ③补形平移.(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.课时作业一、填空题1.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm ，深为8 cm 的空穴，则这个球的半径为________ cm. ★★答案★★ 13解析 冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O ，冰面圆的圆心为O 1，球半径为R ，由图知OB ＝R ，O 1B ＝12AB ＝12，OO 1＝OC －O 1C ＝R －8，在Rt △OO 1B 中，由勾股定理R 2＝(R －8)2＋122， 解得R ＝13(cm).2.用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________. ★★答案★★ 3π2＋92π或3π2＋12π解析 以长为π的边为高时，底面半径为32，S ＝3π2＋2·π·⎝⎛⎭⎫322＝3π2＋92π. 以长为3π的边为高时，底面半径为12，S ＝3π2＋2·π·⎝⎛⎭⎫122＝3π2＋12π. 3.已知l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________.(填序号) ①l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3； ②l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面.★★答案★★②解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3平行或相交或异面，故①不正确；当l1⊥l2，l2∥l3时，l1⊥l3，故②正确；当l1∥l2∥l3，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱所在的直线，故③不正确；当l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱所在的直线，故④不正确.4.如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，则一质点从A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为________.★★答案★★10解析如图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA1展开并拼接，则最短路径为l＝62＋82＝10.5.如图，在四面体P—ABC中，P A＝PB＝13，平面P AB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.★★答案★★7解析取AB的中点D，连结PD，∵P A＝PB，∴PD⊥AB.∵平面P AB⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.连结DC，则△PDC 为直角三角形， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2 ＝82－62＝27，在Rt △DBC 中，DC ＝BC 2＋BD 2＝62＋(7)2＝43， ∴PD ＝P A 2－AD 2＝13－7＝6， ∴PC ＝DC 2＋PD 2＝(43)2＋(6)2＝7.6.一个正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________.★★答案★★ a 24解析 在平面VAC 内作直线PD ∥AC ，交VC 于点D ，在平面VBA 内作直线PF ∥VB ，交AB 于点F ，过点D 作直线DE ∥VB ，交BC 于点E ，连结EF .∵PF ∥DE ，∴P ，D ，E ，F 四点共面，且平面PDEF 与VB 和AC 都平行，则四边形PDEF 是边长为12a的正方形，故其面积为a 24.7.已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为________. ★★答案★★26解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍.在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.8.已知a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列四个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若b ⊂α，a ∥b ，则a ∥α； ③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . 正确命题的序号是________. ★★答案★★ ④解析 当a ∥α，b ∥α时，a 与b 的关系不确定，即①不正确；当b ⊂α，a ∥b 时，a 也可能在α内，即②不正确；当a ⊥c ，b ⊥c 时，a 与b 的关系不确定，即③不正确；由线面垂直的性质定理知④正确.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，则下列结论正确的是________.(填序号)①直线A 1M 与直线B 1C 为异面直线； ②直线BD 1⊥平面AB 1C ； ③平面AMC ⊥平面AB 1C ； ④直线A 1M ∥平面AB 1C . ★★答案★★ ①②③解析 由异面直线的定义，所以①正确；易证明BD 1⊥AB 1，BD 1⊥AC ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，所以②正确；连结BD 交AC 于点O ，连结OM ，可以证明OM ∥BD 1，所以OM ⊥平面AB 1C ，可得平面AMC ⊥平面AB 1C ，所以③正确；由题意，得直线A 1M 与平面AB 1C 相交，所以④不正确.10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则当油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________.★★答案★★ 14－12π解析 设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ， 油桶直立时油面的高度为x ，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为π2，则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π. 二、解答题11.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示.(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6， AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97(79也正确).12.在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝23，M，N分别为BC，AB 的中点.(1)求证：MN∥平面P AC；(2)求证：平面PBC⊥平面P AM；(3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面P AC，若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由.(1)证明因为M，N分别为BC，AB的中点，所以MN∥AC.又因为MN⊄平面P AC，AC⊂平面P AC，所以MN∥平面P AC.(2)证明因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC.因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC.因为AM∩P A＝A，所以BC⊥平面P AM.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面P AM.(3)解存在.过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为P A⊥平面ABC，ME⊂平面ABC，所以P A⊥ME.又因为ME⊥AC，AC∩P A＝A，所以ME⊥平面P AC.因为在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，M为BC的中点，所以ME ＝32. 13.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ， 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 连结BM .由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD . 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以P A ⊥平面ABCD . 从而P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD . 三、探究与拓展14.如图，三棱锥V －ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中一定成立的是________.①AC ＝BC ；②VC ⊥VD ；③AB ⊥VC ；④S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO . ★★答案★★ ①③④解析 因为VA ＝VB ，AD ＝BD ，所以VD ⊥AB . 因为VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以VO ⊥AB . 又VO ∩VD ＝V ， 所以AB ⊥平面VCD .又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD .又AD ＝BD ， 所以AC ＝BC (线段垂直平分线的性质). 因为VO ⊥平面ABC ， 所以V V －ABC ＝13S △ABC ·VO .因为AB ⊥平面VCD ， 所以V V －ABC ＝V B －VCD ＋V A －VCD ＝13S △VCD ·BD ＋13S △VCD ·AD ＝13S △VCD ·(BD ＋AD ) ＝13S △VCD ·AB ， 所以13S △ABC ·VO ＝13S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO . 故①③④正确.15.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′—ABCFE 的体积. (1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14. 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92. 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.。

第2课时两平面垂直的判定学习目标1.了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理．知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？★★答案★★二面角．思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？★★答案★★二面角的平面角．梳理(1)二面角的概念①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形．②相关概念：(ⅰ)这条直线叫做二面角的棱；(ⅱ)每个半平面叫做二面角的面．③画法：④记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(2)二面角的平面角①定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．②表示方法：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA⊂α，OB⊂β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？★★答案★★都是垂直．梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一面面垂直的判定例1如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明 如图，连结AC ，与BD 交于点F ，连结EF . 因为F 为平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，所以F 为AC 的中点．又E 为SA 的中点，所以EF 为△SAC 的中位线，所以EF ∥SC . 又SC ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EBD ， 所以平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟 (1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角．跟踪训练1 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.类型二与面面垂直有关的探索性问题例2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.在CD上确定一点E，使得平面PBE⊥平面P AB.解取CD的中点E，连结PE，BE，BD.由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，所以BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面P AB.反思与感悟存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题．需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系．跟踪训练2如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．(1)证明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连结GH，FH，由已知得ABCE 为矩形，且G ，F 分别为AD ，EC 的中点， ∴GH ∥BD ，FH ∥BC .∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴GH ∥平面BCD . 同理，FH ∥平面BCD ， 又GH ∩FH ＝H ， ∴平面FHG ∥平面BCD ， ∵GF ⊂平面FHG ， ∴GF ∥平面BCD .(3)解 取线段AE 的中点R ， DC 的中点M ，DB 的中点S ， 连结MS ，RS ，BR ，DR ，EM . 则MS ∥12BC ，MS ＝12BC ，又RE ∥12BC ，RE ＝12BC ，∴MS ∥RE ，MS ＝RE ， ∴四边形MERS 是平行四边形， ∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点， ∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ， ∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.★★答案★★③解析①中，α与β还可能平行或相交且不垂直，所以①不正确；因为由平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，得α⊥β，所以②④不正确，③正确．2．已知P A⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有________对．★★答案★★5解析∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB.又AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD.∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．3.如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.★★答案★★③解析由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，从而AC⊥平面BDE，故③正确．4.点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A—D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．★★答案★★①②④解析连结BD交AC于点O，连结DC1交D1C于点O1，连结OO1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P —AD 1C 的体积不变．又因为1P AD C V -三棱锥＝1A D PC V -三棱锥，所以①正确； 因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， 所以A 1P ∥平面ACD 1，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， 所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1， 所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确．5．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E ，F 是PB 的中点．求证： (1)EF ∥平面PCD ； (2)平面PBD ⊥平面P AC .考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵P A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．一、填空题1．在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列判断正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ADC; ②平面ABC⊥平面ADB；③平面ABC⊥平面DBC; ④平面ADC⊥平面DBC.★★答案★★④解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．(填序号)★★答案★★②④解析①不符合二面角定义；③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．3.如图所示，已知P A垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中互相垂直的平面共有______对．★★答案★★3解析∵P A⊥平面ABC，P A⊂平面P AC，P A⊂平面P AB，∴平面P AC⊥平面ABC，平面P AB⊥平面ABC.又BC⊥AC，P A⊥BC，∴BC⊥平面P AC.又BC⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面P AC.∴共3对．4.如图，已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中正确的是________．(填序号)①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面ABC.★★答案★★①②④解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴①正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE.∴DF⊥平面P AE，∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)．∴②④正确．5．以下所给角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有________个．★★答案★★1解析异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．★★答案★★平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理知，平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n分别是平面α与平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)★★答案★★①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n⊂α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β.∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④⇒①.8．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED＝________.考点二面角题点求二面角的大小★★答案★★90°解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连结AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.9．如图，在三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC1与B1E是异面直线；②直线AC⊥平面ABB1A1；③直线A1C1与平面AB1E不相交；④∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角．★★答案★★④解析CC1与B1E都在平面BB1C1C内，即①不正确；若AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，与△ABC是正三角形矛盾，即②不正确；若直线A1C1与平面AB1E不相交，则A1C1∥平面AB1E，取B1C1的中点E1，则A1E1∥平面AB1E，又A1C1∩A1E1＝A1，于是平面A1B1C1∥平面AB1E，这与平面A1B1C1和平面AB1E都过点B1矛盾，所以③不正确；由已知可得AE⊥平面BCC1B1，所以∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角，即④正确．10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)★★答案★★DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析连结AC.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.又P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD.又AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.二、解答题11.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A ＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .12.如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，BC ⊥BD ，∠BAD ＝60°，SD ＝AD ＝AB ，E 是SB 的中点．求证：(1)BC⊥DE；(2)平面SBC⊥平面ADE.证明(1)∵SD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SD.又∵BC⊥BD，SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SBD，∵DE⊂平面SBD，∴BC⊥DE.(2)∵SD＝AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴SD＝BD，∵E为SB的中点，∴DE⊥SB，又∵BC⊥DE，SB∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC，又DE⊂平面ADE，∴平面SBC⊥平面ADE.13.如图所示，在三棱台DEF—ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.三、探究与拓展14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为________．考点二面角题点求二面角的大小★★答案★★2解析如图所示，连结AC交BD于点O，连结A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.15.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面P AD；(2)平面EFG⊥平面EMN.证明 (1)如图，取P A 的中点H ，连结EH ，DH .因为E 为PB 的中点，H 为P A 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A .又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC . 又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .。

1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？★★答案★★将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．如图所示：知识点二球思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？★★答案★★以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．梳理球的结构特征知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(√)2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×)3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(×)类型一旋转体的基本概念例1判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．反思与感悟(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误．跟踪训练1下列说法正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球面上任意三点可能在一条直线上．★★答案★★④解析①以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；球面上任意三点一定不共线，故⑥错误．类型二旋转体中的有关计算例2一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解 将圆台还原为圆锥，如图所示．O 2，O 1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，则⎩⎨⎧h ＋h 1h＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.类型三 复杂旋转体的结构分析例3直角梯形ABCD如图所示，以DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．解以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．引申探究若本例中直角梯形分别以AB，BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．解以AB为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以BC为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体．如图②所示．反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．跟踪训练3如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．1．下列说法正确的是________．(填序号)①圆锥的母线长等于底面圆的直径；②圆柱的母线与轴平行；③圆台的母线与轴平行；④球的直径必过球心．★★答案★★②④解析圆锥的母线长与底面圆的直径无联系；圆台的母线与轴不平行．2．可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________．★★答案★★④3．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.★★答案★★103解析h＝20cos 30°＝10 3 (cm)．4．下列说法正确的有________个．①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．★★答案★★2解析①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．5．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？考点圆锥的结构特征题点圆锥的概念的应用解图(1)，(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、填空题1．下列说法正确的是________．(填序号)①一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成；②一个圆台可以由两个圆台拼合而成；③一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成；④一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成．★★答案★★①②④解析用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故②④的说法是正确的；若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故①的说法是正确的．2．下列说法中正确的是________．(填序号)①将正方形旋转不可能形成圆柱；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．★★答案★★③解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以①错误；②中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以②错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以④错误，故★★答案★★为③. 3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积为3，则这个圆锥的母线长为________．★★答案★★2解析设母线长为x，则3＝34x2，故x＝2.4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是________．(填序号)★★答案★★①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时可截得③，当截面过正方体对角面时可截得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角面时可截得①，但无论如何都不能得出④.5．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________． ★★答案★★ 两个圆锥解析 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．6．将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为____ cm 2. ★★答案★★32π解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π，∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π，∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上，圆锥的轴截面的面积为32πcm 2.7．已知圆台两底面的半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________ cm 2. ★★答案★★ 63解析 如图所示，作出轴截面，过点A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)， ∴S 梯形ABCD ＝12×(4＋10)×9＝63(cm2)．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算★★答案★★3解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝ 3.9．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中说法正确的序号是________．考点简单组合体的结构特征题点与拼接、切割有关的组合体★★答案★★①②10．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．★★答案★★ ①⑤解析 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.11．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是____ cm. ★★答案★★ 5π2＋42解析 圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后E ′F ＝12·2π·52＝5π2(cm)，所以E ′G ＝E ′F 2＋GF 2＝5π2＋42(cm)．二、解答题12.如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征．解如图①，过A，B分别作AO1⊥CD，BO2⊥CD，垂足分别为O1，O2，则Rt△CBO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，Rt△ADO1绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥(如图②所示)．13．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5， θ·(l ＋20)＝2π×10， 解得θ＝π2，l ＝20 cm.∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm. ∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50(cm)． 即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ， 则PQ 为所求的最短距离． ∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 三、探究与拓展14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号) ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． ★★答案★★ ①②③⑤解析 可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．。

1.1.4直观图画法学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×)类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示．(3)所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③所示．反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可．跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．★★答案★★2 2解析正方形的直观图如图所示．由直观图的画法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，过点A′作A′D′⊥O′C′，垂足为D′，∴点A′到x′轴的距离为A′D′＝O′A′·sin 45°＝2 2.又A′B′∥x′轴，∴点B′到x′轴的距离也是2 2.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．★★答案★★菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2. 在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________．★★答案★★2解析 直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2. 类型三 简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图．解 (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”．跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.使P′O′＝PO.(3)成图．连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴(被遮挡的部分为虚线)，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的________．(填序号)★★答案★★③解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________．★★答案★★16或64解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3．有一个长为 5 cm，宽为 4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算★★答案★★52解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________．(填序号)★★答案★★③解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或与y轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连结AA′，BB′，CC′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．一、填空题1．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．★★答案★★(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形．★★答案★★直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形．3．一个长方体的长、宽、高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________．★★答案★★4,4,4解析根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.4．下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．(填序号)★★答案★★③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________．(填序号)★★答案★★①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确．6．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.★★答案★★矩形8解析由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________．(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点．★★答案★★①③④解析根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直．8．如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________．★★答案★★OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO. 9．给出以下说法，其中不正确的是________．(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．★★答案★★①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确．10．如图所示，四边形OABC是上底为2 cm，下底为6 cm，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________ cm.★★答案★★2 2解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)， ∴OD ＝CD ＝2 cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)． 二、解答题11．如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 由已知，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图形的面积为2 2.12.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.解(1)过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于点D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中，在x轴上取两点E，D，使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴的平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′，连结OB，OC，BC，并擦掉辅助线及x轴，y轴，即画出原△ABC.13.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．解方法一画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6(cm)， 故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝32(cm)， 所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)． 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.方法二 △ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)． 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)．三、探究与拓展14．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算★★答案★★73 2解析由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为73 2.15．用斜二测画法画出正三棱柱ABC—A′B′C′的直观图．解(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，使得AA′＝BB′＝CC′.(4)成图．顺次连结A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．。

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质学习目标1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系．知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？★★答案★★没有．平行四边形．梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．(2)平面的画法(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？★★答案★★点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？★★答案★★前者不在，后者在．思考2观察图象，你能得出什么结论？★★答案★★不共线的三点可以确定一个平面．梳理1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．(×)2．空间不同三点确定一个平面．(×)3．一条直线和一个点确定一个平面．(×)类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作________．(填序号)①A∈b∈β；②A∈b⊂β；③A⊂b⊂β；④A⊂b∈β.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化★★答案★★②类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．跟踪训练2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，如图所示．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．类型三点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上．跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC ⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．命题角度2线共点问题例4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．证明 如图，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ， ∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， CE ⊂平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ，即CE，D1F，DA相交于一点．反思与感悟证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪训练4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈(α∩γ)＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______．★★答案★★A∈l，l⊄α解析∵点A在直线l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l⊄α.2．平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点．★★答案★★无数解析由公理2可得．3．下图中图形的画法正确的是________．(填序号)★★答案★★①③④⑤4．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．★★答案★★1或3解析若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面．5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面．证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内．因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．一、填空题1．下列推理正确的是________．(填序号)①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，α与β不重合，则α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，则l⊂α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合．★★答案★★①②④解析由公理1可知①正确；由公理2可知②正确；若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；由公理3可知④正确．2．下列说法中正确的是________．(填序号)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形．★★答案★★②④解析因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确．3.如图所示，用符号语言可表示为________．(填序号)①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.★★答案★★①解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故填①.4．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.★★答案★★PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5．空间任意4点最多可以确定的平面个数为________．★★答案★★4解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题★★答案★★三点共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．★★答案★★P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8．下列命题中正确的是________．①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可以只有一个交点．★★答案★★①解析借助三棱柱，可知②错误；借助正四面体，可知③错误；由公理2，可知④错误；由推论1，可知①正确．9．在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．★★答案★★5解析如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条．10．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．★★答案★★ 34a 解析 延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连结GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体经过P ，Q ，R 的截面图形是________．★★答案★★ 正六边形解析 如图，连结B 1D 1，作RG ∥B 1D 1交C 1D 1于G ，连结QP 并延长与CB 的延长线交于M ，连结MR 交BB 1于E ，连结PE ，则PE 为截面与正方体的交线．同理，延长PQ 交CD 的延长线于N ，连结NG 交DD 1于F ，连结QF .∴截面PQFGRE 为正六边形．二、解答题12.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共面．证明因为D∉l，所以l与D可以确定一个平面α，因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD ⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即直线AD，BD，CD共面．13.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．解由题意得点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连结SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．三、探究与拓展14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．考点 平面的基本性质题点 平面基本性质的其他简单应用★★答案★★ 36解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．15.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点．证明 如图，连结EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ，所以EH ，FG 共面，且EH ，FG 不平行．不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD .因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD .又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ，所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .。