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2019-2020年数学同步优化指导课件：本章整合提升4

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数学同步优化指导(湘教版选修4-4)课件：本章整合提升2 (1)

数学同步优化指导(湘教版选修4-4)课件：本章整合提升2 (1)

解：(1)消去参数 t，得 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2， C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程，得到 C1 的极 坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组
x＝2＋t， 数方程为 y＝kt，
t 为 参 数 ， 直 线 l2 的 参 数 方 程 为
x＝－2＋m， m m 为参数．设 l1 与 l2 的交点为 P， 当 k 变化时， y＝ k， P 的轨迹为曲线 C．
(1)写出曲线 C 的普通方程． (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l3：ρ(cos θ＋sin θ)－ 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极 径． 解：(1)消去参数 t，得 l1 的普通方程为 y＝k(x－2)．
2 2 ρ －2ρsin θ＋1－a ＝0， ρ＝4cos θ.
若 ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0.由已 知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0. ∴1－a2＝0.解得 a＝－1(舍去)，a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上． ∴a＝1.
1 消去参数 m，得 l2 的普通方程为 y＝ (x＋2)． k y＝kx－2， 设 P(x，y)，由题设，得 1 y＝ x＋2. k
消去 k，得 x2－y2＝4(y≠0)． 故曲线 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)． (2)曲线 C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
21 24 － ， 的交点坐标为(3,0)， 25 25.

2020年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)课件：本章整合提升5 .ppt

2020年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)课件：本章整合提升5 .ppt

B．15
C．－15i
D．－51
解析：－21＋i＋1－12i＝－2＋－i2－－i2－i＋1－12＋i21＋i 2i＝
－25－i＋1＋5 2i＝－15＋15i，故虚部为51. 答案：B
复数i3(1＋i)2的虚部为________． 解析：i3(1＋i)2＝i3·2i＝2i4＝2， 故复数i3(1＋i)2的虚部为0. 答案：0
若z1＝a＋2i，z2＝3－4i且zz12为纯虚数，则实数a的值
为________．
解析：
z1 z2
＝
a＋2i 3－4i
＝
a＋2i3＋4i 3－4i3＋4i
＝
3a－8＋4a＋6i 25
＝
3a2－5 8＋4a2＋5 bi.
∵ 答zz案12为：纯38 虚数，∴34aa22－＋55 86＝≠00， .
专题二 纯虚数的概念
复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) 中 ， 当 a ＝ 0 且 b≠0 时 ， 叫 作 纯 虚 数，特别要注意记清“a＝0”这一必备的前提条件．
若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的
值为( )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
解析：由纯虚数的定义，可得aa－2－13≠a＋0.2＝0， 解得a＝2. 答案：B
∴ab＝ ＝11＋ －ii， ， 或ab＝ ＝11－ ＋ii， ， 或ab＝ ＝－ －11＋ －ii， ，
或ab＝ ＝－ －11－ ＋ii，. 【点评】 利用复数相等的充要条件时，一定要先明确它 们的实部、虚部，如果直接得(a＋b)2＝4且－3ab＝－6就错了， 故要先设出a，b的代数形式，再转化处理．
4．共轭复数的概念及性质
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

2019-2020年数学人教A版必修一优化课件：第三章 章末优化总结

2019-2020年数学人教A版必修一优化课件：第三章 章末优化总结

3×－22－5×－2＋a>0 即a3<－05＋a<0
3×9－5×3＋a>0
解得－12<a<0.
3．已知二次函数 f(x)＝x2－(m－1)x＋2m 在[0,1]上有且只有一个零点，求实数 m 的取值范围． 解析：(1)若方程 x2－(m－1)x＋2m＝0 在[0,1]上有两个相等的实根， 则有
设函数 f(x)＝x3＋bx＋c 是[－1,1]上的增函数，且 f(－12)·f(12)<0，则方程
f(x)＝0 在[－1,1]内( )
A．可能有 3 个实根
B．可能有 2 个实根
C．有唯一的实根
D．没有实根
[解析] 因为 f(x)在[－1,1]上是增函数，
且 f(－12)·f(12)<0，
所以 f(x)在[－12，12]有唯一的实根．
⇒mm－ ＞10＜ ，0，
⇒0＜m＜1.
即所求 m 的取值范围为(0,1)．
7．关于 x 的方程 x2－32x＝k 在(－1,1)上有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围． 解析：解法一：方程 x2－32x－k＝0 在(－1,1)上有两个不
Δf>10>，0， 相等的实数根，当且仅当f－1>0，
所以 f(x)在[－1,1]上有唯一实根．故选 C. [答案] C
1．设 a<b，函数 y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是( )
解析：可得 x＝a，x＝b 为 y＝(x－a)2(x－b)＝0 的两个零点． 当 x<a 时，则 x<b，∴f(x)<0. 当 a<x<b 时，则 f(x)<0，当 x>b 时，则 f(x)>0.选 C. 答案：C

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题5

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题5
第一篇 二轮专题突破
专题五
立体几何
栏
目 导 航
02
解题通法·短平快
01
考题通报·明考情
01
年份
考题通报· 明考情 卷别 小题考查 T5·求圆柱的表面积计算 T19·线面垂直的证明,点面 距的计算 T19·面面垂直的证明,线面 平行的判断,存在性问题
几个规则几何体的体积和或体积差来求解,求体积时距离与体积计算的转换等．
【典例】
如图 , 四棱锥 P-ABCD 中 ,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB ＝ AD ＝ AC ＝
3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB; (2)求四面体N-BCM的体积．
T9·有关几何体的表面上两点之间 全国卷Ⅰ 的最短距离的求解问题
2018 T10·长方体的体积的求解问题 T9·异面直线所成的角 T16·线面角、圆锥体积的计算 T3·三视图的有关问题
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
T12·三棱锥外接球体积的计算
年份
卷别
小题考查 T6·空间直线与平面位置关系的判断
大题考查 T18·面面垂直的证明,四棱 锥体积、侧面积的计算
全国卷Ⅰ T16·三棱锥外接球体积的计算,球表
面积的计算 2017
T6·空间几何体的三视图及体积的计
全国卷Ⅱ 算 T15·长方体外接球表面积的计算 全国卷Ⅲ
T18·线面平行的证明,四棱 锥体积的计算
T9·球的内接圆柱、圆柱体积的计算 T19·线线垂直的证明,四面 T10·空间中线线垂直的判断 体体积的计算
1 (2)解：因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为2 PA． 取 BC 中点 E，连接 AE． 由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5． 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 1 故 S△BCM＝2×4× 5＝2 5． 所以四面体 NBCM 的体积 1 PA 4 5 ❷ VNBCM＝ ×S△BCM× 3 2＝ 3 .

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题3 第1讲

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题3 第1讲

所以其前 n 项和
1 1 1 1 1 1 n Tn＝－1－2＋3－4＋…＋n－n＋1＝－1－n＋1＝－ ， n＋1
40 所以其前 40 项和为 T40＝－41，故选 D．
2．(2018·齐齐哈尔二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2＝4,S4＝30,n≥2时,an＋
2．等比数列的重要规律与推论 (1)an＝a1qn 1＝amqn m；p＋q＝m＋n⇒ap· aq＝am· an．
－ －Байду номын сангаас
(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列． (3)连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的数列是等比数列(注意： 这连续 m 项的和必须非零才能成立)． S偶 (4)若等比数列有 2n 项， 公比为 q， 奇数项之和为 S 奇， 偶数项之和为 S 偶， 则 ＝ S奇 q． (5)对于等比数列前 n 项和 Sn，有：
S1n＝1， an＝ Sn－Sn－1n≥2.
1． (2018· 潍坊二模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝－n 的前 40 项的和为 39 A．40 40 C．41 39 B．－40 40 D．－41
2
2 －n， 则数列 n＋1a n
第一篇 二轮专题突破
专题三
第 1讲
数 列
小题考法——等差数列与等比数列
栏
目 导 航
02
对点自检· 熟生巧
01
基础备查· 快易通
01
基础备查· 快易通
一、主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列 等差数列 通项公式 前n项 和公式 an＝a1＋(n－1)d na1＋an Sn＝ 2 nn－1 ＝na1＋ 2 d 等比数列 an＝a1qn 1(q≠0)

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题6 第2讲

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题6 第2讲

2．绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式; (2) 转 化 最 值 ： f(x)>a 恒 成 立 ⇔ f(x)min>a;f(x)<a 恒 成 立 ⇔ f(x)max<a;f(x)>a 有 解 ⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a; (3)得结论．
考向二 含绝对值的不等式的证明问题
1 1 【典例】 (2016· 全国卷Ⅱ)已知函数fx＝|x－2|＋|x＋2|，M 为不等式 f(x)＜2 的解 集． (1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|＜|1＋ab|．
1 1 1 [ 规范解答] (1)当 x＜－2时，f(x)＝2－x－x－2＝－2x❶＜2， 1 解得－1＜x＜－2， 1 1 1 1 当－2≤x≤2时，f(x)＝2－x＋x＋2＝1❶＜2 恒成立， 1 1 ❶ 当 x＞2时，f(x)＝2x＜2 ，解得2＜x＜1， 综上可得，M＝{x|－1＜x＜1}. (2)当 a，b∈(－1,1)时，有(a2－1)(b2－1)＞0❷， 即 a2b2＋1＞a2＋b2， 则 a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2❸， 则(ab＋1)2＞(a＋b)2， 即|a＋b|＜|ab＋1|.
不等式选讲是高考的选 考内容之一,考查的重 点是不等式的证明、绝 对值不等式的解法等, 命题的热点是绝对值不 等式的解法,以及绝对 值不等式与函数的综合 问题的求解.
02
典例感悟· 提能力
考向一 含绝对值的不等式的解法及应用
【典例】 (2017· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，gx＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式fx≥gx的解集； (2)若不等式fx≥gx的解集包含[－1，1]，求 a 的取值范围．

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题1 第1讲


( A )
B．|a|＝|b| D．|a|>|b|
∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2．
3 → → 1 3 1 12．(2016· 全国卷Ⅲ)已知向量BA＝ ， ，BC＝ ， ，则∠ABC＝ ( A ) 2 2 2 2
A．30° C．60°
D
B．－6
所以a＋b＝(4,m－2)．
因为(a＋b)⊥b,所以(a＋b)·b＝0,所以12－2(m－2)＝0,解得m＝8．
方法二 因为(a＋b)⊥b,所以(a＋b)·b＝0,即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－ 2m＝0,解得m＝8．
11．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a＋b|＝|a－b|,则
A．a⊥b C．a∥b
解析 方法一 ∴a2＋b2＋2a· b＝a2＋b2－2a· b． ∴a· b＝0.∴a⊥b.故选 A． 方法二 利用向量加法的平行四边形法则． → → 在▱ ABCD 中，设AB＝a，AD＝b， → → 由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b.故选 A．
D项,i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i,不是纯虚数． 故选C．
7．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于 A．第一象限 C．第三象限 解析 B．第二象限 D．第四象限
( C )
∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i,∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－
1,－2),位于第三象限．故选C．
02
真题精选· 明考向
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4},B＝{2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为 ( B ) A．1 C．3 ∴A∩B中元素的个数为2.故选B． B．2 D．4

2019-2020年数学人教A版选修2-2优化课件：第一章 章末优化总结


1．曲线
y＝sin
sin x x＋cos
x－12在点
Mπ4，0处的切线的斜率为(
)
A．－12
1 B.2
C．－
2 2
2 D. 2
解 析 ： 本 小 题 考 查 导 数 的 运 算 、 导 数 的 几 何 意 义 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ． y′ ＝
cos
xsin
x＋cos sin
(2015·高考山东卷)设函数 f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中 a∈R. (1)讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x＞0，f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围． [解析] (1)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝x＋1 1＋a(2x－1)＝a2x－1x＋x1＋1＋1＝2ax2＋xa＋x＋1 1－a， 设 g(x)＝2ax2＋ax＋1－a， 当 a＝0 时，g(x)＝1，f′(x)＝x＋1 1＞0，函数 f(x)在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．
(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1. ∴xy00＝＝－1，14， 或xy00＝＝－－118，. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.
点 P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又 y1＝f(x1)，② 由①②求出 x1，y1 的值， 即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程．
已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． [解析] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32.

2019年高考数学《优化指导》PPT教学课件第1篇 专题2

第一篇 二轮专题突破
专题二
三角函数、解三角形
栏
目 导 航
02
解题通法· 短平快
01
考题通报· 明考情
01
年份
考题通报· 明考情
卷别 小题考查 大题考查 —
T8·同角三角函数的基本关系与三角函数的性质
全国卷Ⅰ T11·同角三角函数的基本关系与三角恒等变换 T16·正、余弦定理与三角形的面积公式 T7·三角恒等变换与余弦定理的应用 2018 全国卷Ⅱ T10·三角恒等变换与三角函数的性质 T15·利用三角恒等变换求值 T6·同角三角函数的基本关系、三角恒等变换与三角 全国卷Ⅲ 函数的性质 T11·三角形的面积公式及余弦定理的应用
1 3 3 π (2)由已知得2absin C＝ 2 .又 C＝3，所以 ab＝6． 由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7， 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，即 a＋b＝5． 所以△ABC 的周长为 5＋ 7． ❶变式：利用正弦定理把已知等式中的边 a，b，c 变为 sin A，sin B，sin C． ❷变角：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理把等式中 sin Acos B＋sin Bcos A 变为 sin(A＋B)再变为 sin C．
3 3 (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为 2 ，求△ABC 的周长． [ 解题示范] (1)由已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c 及正弦定理得 2cos C(sin Acos
B＋sin Bcos A)＝sin C，❶ 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故 2cos Csin C＝sin C．❷ 1 π 可得 cos C＝2，所以 C＝3．
—
全国卷Ⅲ T6·三角恒等变换的求值问题

2020年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)课件：本章整合提升3 .ppt


(2)函数极大值的概念 ①函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其 他点的函数值都大； ②f′(b)＝0； ③在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0； 则点x＝b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x) 的极大值； 极小值点与极大值点统称为极值点，极小值与极大值统称 为极值．
设函数 f(x)的导数为 f′(x)，若 f(x)＝ax3－ax2＋ 12f′1－1x，a∈R.
(1)求 f′(1)； (2)函数 f(x)在 R 上不存在极值，求 a 的取值范围． [思路点拨] (1)求出 f′(x)，解关于 f′(1)的方程，求得 f′(1)，(2)要使 f(x)在 R 上不存在极值，可假定存在极值求出 a 的取值范围，然后取补集即为所求范围．
以上过程用框图表示如下：
专题一 求函数的单调区间 讨论函数的单调性及求单调区间的方法有三种：①根据图
像；②根据函数的单调性的定义；③利用导数． 利用导数讨论单调性和求单调区间具有普遍的指导意
义．应注意：①确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只 能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单 调区间；②在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等 于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点；
意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使
f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点 比较，也可以知道这就是最大(小)值．
(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变 量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定 义区间．
(1)当 a＝1 时，f′(x)＝1x－1＝1－x x. 令 f′(x)>0 时，解得 0<x<1， ∴f(x)在(0,1)上单调递增． 令 f′(x)<0 时，解得 x>1， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
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1(y≥0)的一部分与直线y＝x，以及定积分的几何意义，从而简
化了运算．这也是数形结合思想的又一体现．运用定积分的几
何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力和分析能力．
计算下列定积分：
2
(1)0x(x＋1)dx； (2)21e2x＋1xdx；
π
(3)0sin2xdx.
2019/7/18
最新中小学教学课件
23
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
• ②对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下 限，用定积分表示其面积；
• ③计算各个定积分，求出所求的面积．
• 关键环节：a.认定曲边梯形，选定积分变量；b.确 定被积函数与积分上、下限．
专题一 求定积分的方法
• (1)利用定义求定积分(定义法)．
• (2)利用微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)求定 积分，步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)．需要注意的是：由于[F(x)＋C]′＝ F′(x)＝f(x)，故导数为f(x)的原函数有无数个．在用微 积分基本定理求定积分时，只写一个最简单的，不再
加任意常数C．
(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形的面积
容易求得时，可以通过求出曲边梯形的面积求定积分，例如：
1
定积分

0
1－x2
dx的几何意义是求单位圆的面积的
1 4
，则
1

0
1－x2dx＝π4.
1
求定积分0( 1－x－12－x)dx的值．
1
解：

0
解：(1)∵x(x＋1)＝x2＋x，且13x3′＝x2，12x2′＝x，
2
∴0x(x＋1)dx
2
2
2
＝0(x2＋x)dx＝0x2dx＋0xdx
＝13x3|20＋12x2|20
＝13×23－0＋12×22－0＝134.
设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图
形为M.求：
• (1)M的面积；
• (2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：(1)如下图，解方程组yy＝＝－x2，x2＋2x，
得xy11＝ ＝00， ，
x2＝1， y2＝1.
故交点为(0,0)和(1,1)．
1
1
∴M的面积为S＝
• 2．利用定积分求平面图形的面积
• 将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须 确定被积函数，积分变量，积分上、下限．一般步骤 如下：
• (1)画图；
• (2)确定要素(找到所属基本型，确定被积函数的积 分上、下限)； • (3)转化求值． • 要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负， 因此，需对其定积分取绝对值．
• 3．求定积分的方法 • (1)根据定义求定积分．
• 步骤：①分割；②近似代替；③作和；④求极 限．
b
(2)利用微积分基本公式求定积分af(x)dx. 步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (3)求平面图形面积的一般步骤： ①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；
(2)∵12e2x′＝e2x，(ln x)′＝1x， ∴21e2x＋1xdx ＝21e2xdx＋211xdx＝12e2x|21＋ln x|21 ＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1＝21e4－21e2＋ln 2.
(3)∵12sin 2x′＝cos 2x， ∴π0sin2xdx＝π012－12cos 2xdx ＝π012dx－0π12cos 2xdx ＝12x|π0－1212sin 2x|π0 ＝π2－0－2112sin 2π－12sin 0＝π2.
第四章 定积分
本章整合提升

曲边梯形的面积
定积分非匀速运动物体走过的路程
的概念定积分的概念

定积分的性质
定积分
微积分基本定理微微积积分分基基本本定定理理的的含应义用
定积分的简单应用平简面单图几形何的体面的积体积
• 1．求定积分
• 求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分 的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在 求出原函数后，可利用求导与积分互为逆运算的关系 进行验证．
•
由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹
簧的伸长量成正比．现已知1 N的力能使一个弹簧伸
长0.01 m，求把弹簧拉长0.2 m所做的功．
解：由胡克定律知F(x)＝kx(k为常数)．
∵F(0.01)＝1，∴k＝0.101＝100(N/m)．∴F(x)所做的功为W＝
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
(
1－x－12 －x)dx表示圆(x－
1)2＋y2＝1(y≥0)的一部分与直线y＝x所围
成的图形(如右图所示)的面积．
1
故0(
1－x－12－x)dx＝π×4 12－12×1×1＝π4－12.
【点评】 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求
1
解都比较麻烦，由

0
(
1－x－12 －x)dx联想到圆(x－1)2＋y2＝

0
100xdx＝50x2
|
0.2 0
＝
2(J)．∴将弹簧拉长0.2 m所做的功为2 J.
•阶段质量评估(四)
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
• 【点评】 根据求导数与求原函数互为逆运算， 若能找到被积函数的一个原函数，则可利用微积分基
本定理代入求值．若被积函数较复杂，则可以先化简
再求定积分．
专题二 定积分及其应用
• 定积分是解决不规则图形的面积、变速直线运动 的路程及变力做功等问题的方便且有用的工具，我们 应熟练掌握，灵活运用．
•

0
[(－x2＋2x)－x2]dx＝

0
(－2x2＋2x)dx＝
－2×13x3＋x2|10＝13.
(2)旋转体的体积为
1
1
V1
＝π

0
[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx＝π

0
(－4x3＋4x2)dx＝
π－x4＋43x3|10＝π3.
专题三 求变力做功问题
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/18
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