10.1.2 事件的关系和运算知识点一事件的运算1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )A．E⊆F B．G⊆FC．E∪F＝G D．E∩F＝G2．打靶3次，事件A i＝“击中i次”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )A．全部击中B．至少击中1次C．至少击中2次D．全部未击中3．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么？知识点二事件关系的判断4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事件的是( )A．① B．②④ C．③ D．①③5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与2名全是男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．6．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，事件C表示“两转盘指针所指区域颜色相同”．(1)用样本点表示A∩B，A∪B；(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．7．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E 表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G中任意两个事件均互斥D．E与G对立一、选择题1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )A．A⊆BB．A⊇BC ．A 与B 互斥D ．A 与B 互为对立事件2．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( )A ．至多有一次为正面B ．两次均为正面C ．只有一次为正面D ．两次均为反面3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是 ( )A ．1个白球2个红球B ．2个白球1个红球C ．3个都是红球D ．至少有一个红球4．如果事件A 与B 是互斥事件，则( )A ．A ∪B 是必然事件B.A －与B －一定是互斥事件C.A －与B －一定不是互斥事件D.A －∪B －是必然事件5．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两弹都击中飞机}，B ＝{两弹都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法正确的是( )A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D 二、填空题6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A ∪B 包含的样本点有________．7．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”．其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事件A 表示“第二个路口是红灯”，事件B 表示“第三个路口是红灯”，事件C 表示“至少遇到两个绿灯”，则A ∩B 包含的样本点有________个，事件A ∩B 与C 的关系是________．三、解答题9．掷一枚骰子，有下列事件：A ＝{出现奇数点}，B ＝{出现偶数点}，C ＝{出现点数小于3}，D ＝{出现点数大于2}，E ＝{出现点数是3的倍数}．(1)用样本点表示事件A ∩B ，事件B ∩C ；(2)用样本点表示事件A ∪B ，事件B ∪C ；(3)用样本点表示事件D －，事件A －∩C ，事件B －∪C ，事件D －∪E －.10．如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3，转盘②的四个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A 表示“两数字之积为偶数”，事件B 表示“两数字之和为偶数”，事件C 表示“两数字之差的绝对值等于3”．(1)用样本点表示A ∩B ，A ∪B ；(2)判断事件A 与C ，B 与C 的关系．10.1.2 事件的关系和运算知识点一事件的运算1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )A．E⊆F B．G⊆FC．E∪F＝G D．E∩F＝G答案 C解析根据事件之间的关系，知E⊆G，F⊆G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以E∩F＝∅，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F＝G.故选C.2．打靶3次，事件A i＝“击中i次”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )A．全部击中B．至少击中1次C．至少击中2次D．全部未击中答案 B解析A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1次、2次或3次，故选B.3．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么？解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故C∩A＝A.知识点二事件关系的判断4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事件的是( )A．① B．②④ C．③ D．①③答案 C解析“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与2名全是男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是“1名男生和1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．6．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，事件C表示“两转盘指针所指区域颜色相同”．(1)用样本点表示A∩B，A∪B；(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．解列表如下：由上表可知，共有15种等可能的结果．(1)由上表可知A＝{(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)}，B＝{(红，绿)，(黄，绿)，(蓝，绿)}，A∩B＝{(黄，绿)}，A∪B＝{(黄，绿)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，蓝)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)}．(2)C＝{(蓝，蓝)，(黄，黄)，(红，红)}，因为A∩B＝{(黄，绿)}≠∅，A∩C ＝{(黄，黄)}≠∅，B∩C＝∅，所以事件A与B，A与C不是互斥事件，B与C是互斥事件．课时易错点易错点分不清“互斥事件”与“对立事件”致误7．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E 表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G中任意两个事件均互斥D．E与G对立易错分析解答本题易出现两个错误．一是对互斥事件与对立事件的概念模糊不清，理解不透；二是对“全是、全不是、至多、至少”搞不清楚，从而导致错误．答案 D正解由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．故选D.一、选择题1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )A．A⊆BB．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件答案 C解析由互斥事件的定义知C正确．2．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( ) A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面答案 D解析对于A，“至多有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，“两次均为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于C ，“只有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于D ，“两次均为反面”与“至少有一次为正面”，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是 ( )A ．1个白球2个红球B ．2个白球1个红球C ．3个都是红球D ．至少有一个红球答案 C解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是所取的3个球中没有白球，故事件A 的对立事件是3个都是红球．故选C.4．如果事件A 与B 是互斥事件，则( )A ．A ∪B 是必然事件B.A －与B －一定是互斥事件C.A －与B －一定不是互斥事件D.A －∪B －是必然事件答案 D解析 由互斥事件的意义可知，互斥事件是不能同时发生的事件，它与对立事件不同，它们的补集的和事件一定是必然事件，故选D.5．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两弹都击中飞机}，B ＝{两弹都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法正确的是( )A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D 答案 ABC解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A ⊆D ，故A 正确．由于事件B ，D 是互斥事件，故B ∩D ＝∅，故B 正确．再由A ∪C ＝D 成立可得C 正确．A ∪C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．故选ABC.二、填空题6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪B包含的样本点有________．答案2,4,5,6解析A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，A∪B＝{2,4,5,6}．7．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”．其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．答案②④解析从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是对立事件．故答案为②④.8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C 的关系是________．答案 2 互斥但不对立解析根据题意，画出如图所示的树状图．由图可得A ∩B ＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C ＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A ∩B )∩C ＝∅，故事件A ∩B 与C 互斥，又(A ∩B )∪C ≠Ω，故事件A ∩B 与C 的关系是互斥但不对立．三、解答题9．掷一枚骰子，有下列事件：A ＝{出现奇数点}，B ＝{出现偶数点}，C ＝{出现点数小于3}，D ＝{出现点数大于2}，E ＝{出现点数是3的倍数}．(1)用样本点表示事件A ∩B ，事件B ∩C ； (2)用样本点表示事件A ∪B ，事件B ∪C ；(3)用样本点表示事件D －，事件A －∩C ，事件B －∪C ，事件D －∪E －. 解 由题意可得A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，C ＝{1,2}，D ＝{3,4,5,6}，E ＝{3,6}． (1)A ∩B ＝{1,3,5}∩{2,4,6}＝∅.B ∩C ＝{2,4,6}∩{1,2}＝{2}．(2)A ∪B ＝{1,3,5}∪{2,4,6}＝{1,2,3,4,5,6}，B ∪C ＝{2,4,6}∪{1,2}＝{1,2,4,6}．(3)D －＝{1,2}，A －＝{2,4,6}，A －∩C ＝{2,4,6}∩{1,2}＝{2}，B －＝{1,3,5}，B －∪C ＝{1,3,5}∪{1,2}＝{1,2,3,5}，E －＝{1,2,4,5}，D －∪E －＝{1，2}∪{1,2,4,5}＝{1,2,4,5}．10．如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3，转盘②的四个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“两数字之积为偶数”，事件B表示“两数字之和为偶数”，事件C表示“两数字之差的绝对值等于3”．(1)用样本点表示A∩B，A∪B；(2)判断事件A与C，B与C的关系．解由题意列表如下：转盘②123 4 转盘①1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(1)A＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)}，B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)}，A∩B＝{(2,2)，(2,4)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}．(2)C＝{(1,4)}，A∩C＝{(1,4)}，故A与C能同时发生，不互斥也不对立．B∩C＝∅，B∪C≠Ω，故B与C互斥但不对立．。
