下载文档原格式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第2讲随机事件的关系与运算1第2讲随机事件的关系与运算四川大学四川大学第2讲随机事件的关系与运算3在上一讲第1 讲随机试验样本空间随机事件我们介绍了样本空间、样本点和事件的概念这一讲我们来讲事件的运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算4§1.2样本空间随机事件四川大学第2讲随机事件的关系与运算5（三）随机事件的关系与运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算6回忆事件的概念随机试验E 的样本空间S的子集A 称为E 的随机事件，简称事件。
当A 中某一个样本点出现时，就说事件A 发生了。
由一个样本点e 组成的单点集{e} 称为基本事件。
一般的事件是由基本事件复合而成的，而基本事件是不能再分解的事件。
四川大学第2讲随机事件的关系与运算7一个事件A 是样本空间S的一个子集，因此事件之间的关系以及事件的运算可以用集合之间的关系和集合运算来处理。
设试验E的样本空间为S，而A, B,（k=1, 2,…）是S的子集。
Ak四川大学第2讲随机事件的关系与运算8事件间的关系四川大学第2讲随机事件的关系与运算10第2讲随机事件的关系与运算12四川大学2. 事件的相等如果事件A 包含事件B ( )，事件B 也包含事件A ( ) ，即A 与B 有相同的样本点，则称事件A 与事件B 相等，记作A B=即A B =⇔and A B B A⊂⊂A B ⊃A B ⊂第2讲随机事件的关系与运算13四川大学例如，记A =“考试及格”，B =“考试成绩为90分”记C =“至少有50人排队”，D =“至少有30人排队”抛两颗骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x 和y .记E =“x +y 为奇数”，F =“两次的骰子点数奇偶性不同”{|60100}A x x =≤≤C D ⇒⊂E F⇒=A B ⇒⊃{90}B ={50,51,...}C ={30,31,...}D =事件的运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算14第2讲随机事件的关系与运算16四川大学1kk A ∞=∑1k k A ∞= 12...n A A A n 个事件A 1, A 2, …, A n 中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件，1nkk A == 12...n A A A +++1nkk A ==∑或可列个事件A 1, A 2, …A n , …中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件，或事件的并(和)可以推广到有限或可列个事件。
1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。
随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。
事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。
事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。
1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。
A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。
2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。
A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。
3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。
A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。
比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。
4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。
如果A和B互斥，则它们的交集为空集。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。
事件间的运算包括概率加法和概率乘法。
1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。
2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。
需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。
此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。
1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中，我们需要对其进行运算，以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度，对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括：样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合，记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集，即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件，记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件，记作∅。
随机事件具有以下性质：1. 互斥性：若两个事件A和B之间没有公共结果，则称它们互斥。
2. 相对补集：若事件A的发生导致事件B的不发生，则称事件A是事件B的补事件，记作A的补集，即A^c。
3. 包含关系：若事件A的发生导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中，我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作，用符号“∪”表示。
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作，用符号“∩”表示。
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件，用符号“-”表示。
有关随机事件关系和运算的例析随机事件是概率论中的基础概念，是指在某一实验中可能发生的事件。
在实际应用中，我们常常需要对多个随机事件进行关系和运算，以求得更为准确的结果。
下面，我们将通过一些例子，来深入探究随机事件的关系和运算。
一、事件的关系1. 包含关系当事件A包含事件B时，我们可以表示为 AB。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是2。
显然，事件B包含在事件A中，即 AB。
2. 相等关系当事件A和事件B所包含的样本点完全相同时，我们可以表示为A=B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数不是偶数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点完全相同，即 A=B。
3. 互斥关系当事件A和事件B所包含的样本点没有交集时，我们可以表示为A∩B=。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是奇数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点没有交集，即 A∩B=。
4. 独立关系当事件A和事件B的发生与否互不影响时，我们可以表示为P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数大于3。
显然，事件A和事件B的发生与否互不影响，即 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
二、事件的运算1. 并集运算当事件A和事件B中至少有一个发生时，我们可以表示为 A∪B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是3。
显然，事件A和事件B中至少有一个发生，即 A∪B。
2. 交集运算当事件A和事件B同时发生时，我们可以表示为 A∩B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是4。
显然，事件A和事件B同时发生，即 A∩B。
3. 补集运算当事件A不发生时，我们可以表示为 A'。
一、内容和内容解析内容：事件的关系、事件的运算．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第十章第1节第2课时的内容．事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算两部分内容.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义．由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.为概率的学习打好基础。
并加深对概率思想方法的理解。
从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养．二、目标和目标解析目标：（1）理解并掌握事件的关系和运算．（2）通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．（3）能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．目标解析：（1）概率研究的一个重要方法是建立一些运算法则，用简单事件的概率推算复杂事件的概率．（2）类比集合之间的关系与集合的并、交运算，认识事件的关系与运算，然后由特殊到一般，给出事件之间的包含、互斥、对立的含义，以及事件的并、交运算的含义．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，从特殊到一般的运算定义是进行数学抽象教学的很好机会；同时在实际情境中理解事件的关系与运算，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：理解一个事件发生的意义是本节课的第一个教学问题．解决方案：明确事件是样本空间的子集，事件A发生当且仅当A中的某个样本点出现．2．教学问题二：怎样用符号语言表示是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：类比集合之间的关系与集合的并、交运算，认识事件的关系与运算，先用文字语言描述，再转为符号语言．基于上述情况，本节课的教学难点定为：判断事件的关系、进行事件的运算．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳理解事件的关系与运算，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中结合具体实例进行讲解．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视事件的关系与运算的理解，让学生体会事件的关系与运算，同时，结合具体实例解决问题的过程其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计B学生10：学生课后进行思考，并完成课后练习．【答案】1.B 2.B 3.D 4.事件A，B，C至少有一个发生。
