信息光学chap讲义傅里叶分析

定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在x和y方向的空间频率分别为: 1 cos 1 cos cos, cos 为波 fx ; fy 矢的方向余弦 X Y
若波矢在x-z平面(或y-z平面)中, 或 又常用它 们的余角qx (或qy)表示,故: 1 sin q
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
cos cos cos cos A , , z A , ,0 exp( jkz 1 cos2 cos2 )
A f x , f y
A0 f x , f y
按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方 向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位 相取决于相应的角谱
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0)

A(
2 2
z 2
2
2 2 2 2 x y
对任何 x,y,z 均应成立, 故
2 cos cos cos cos d 2 cos cos 2 cos cos A , , z 4 2 dz2 A , , z k A , , z 0
#
2、平面波角谱的传播
角谱沿 z 传播遵循的规律
2 cos cos cos cos d 2 A , , z 4 2 dz2
cos cos 2 cos cos A , , z k A , , z 0

d
gi ( x, y ), gt ( x, y ), f ( x, y )
设A为在入射平行光的振幅。 透镜后光波是会聚球面波，物的前表面复振幅分布：
f
Af k gi ( x , y ) exp i ( x 2 y 2 ) d 2d
暂不考虑透镜和物的孔径大小。物的后表面复振幅：




1 2 2 g ( x0 , y0 ) exp i ( f d1 )( f x f y ) F ( f x , f y ) if


ik 1 d1 2 2 exp (1 )( x0 y0 ) F ( f x , f y ) if f 2 f x0 y0 2 , fy ,k 其中 f x f f
k 2 2 f l ( x, y ) f l ( x, y ) PL ( x, y ) f ( x, y ) exp i ( x y )可以看作是菲涅耳衍射， 其复振幅，（2－4－11）
' k 1 2 2 2 2 g ( x0 , y0 ) exp if ( f x f y ) F f l ( x, y ) exp i ( x y ) if 2f
4-2. 透镜的傅立叶变换性质
会聚透镜最突出的的性质之一就是它固有的进行二维傅立叶变换 的本领。 假定光源是单色的，也就是说我们所研究的系统是相干系统。
我们讨论一下正透镜后面某个特定平面上的复振幅分布。
在一般意义上讨论P2平面上的复振幅分布，计算量非常大，为此 我们只讨论透镜后焦面上的复振幅分布，这种情况下
这正是教材上的3-1-11式，这样我们分两步走，在频域处 理，就避免了复杂的两次卷积积分。 当d1＝f时，即物放置在透镜前焦面时，

成像系统的普遍模型——黑箱模型
复习：（几何光学） 复杂光学系统由多个透镜（正、负、厚、薄不同） 和光阑组成。透镜孔径也构成光阑。 光阑：光学元件的边框和特加的有一定形状开孔的屏统称 光阑。有拦光作用（对成像光束的大小有限制作用）。
#
§5-2 成像系统的一般分析
成像系统的普遍模型——黑箱模型
孔径光阑（孔阑 Aperture Stop）：所有光阑中有一个 对成像光束最终起到实际限制的作用，决定成像光 束截面或立体角，称为孔径光阑。（注意不一定几 何尺寸最小） 入射光瞳（入瞳 Entrance Pupil）：孔径光阑通过它前 面的光具组所成的像。由于物像共轭关系，物方能 通过入瞳的光束，必定能完全通过孔阑。 出射光瞳（出瞳 Exit Pupil）：孔径光阑通过它后面 的光具组所成的像。 所以，通过孔阑的光束在像方能完全通过出瞳。 #
衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射 图样.中心在几何光学理想像点 任意复杂的衍射受限光学成像系统，都可看作线性空不变系统. 像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响 应的卷积。 #
§5-2 成像系统的一般分析 四、非单色照明
光学系统的成像性质与照明方式有密切的关系
实际光源不是严格单色，总有一定的光谱线宽Δ n. 本节讨论准单色照明, 即Δ n << n, n是照明光波的平均频率。 在非单色光照明的情况下，光场扰动可表示为

T
2
Hale Waihona Puke T 2U i xi , yi ; t U i xi , yi ; t dt


T
2
T
2
dt U 0 x0 , y0 ; t h( xi , yi ; x0 , y0 )dx0 dy0

P1 p2 p3
p4
P2 面的光场为 f (x, y) 对入射光的菲涅耳衍射：
UP2
U P1
h，h
1 i z
（略去相位因子 e e ikz
ik ( x2 y2 ) 2z
ikz
ei
）
UP2
1 d1
f (x, y) ei (x2 y2 ) ，
k 2d1
P3 面场分布：（U P2 乘以 P2 (x, y) ）
1 i f
ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
F
(
f
x
,
fy)
透镜后焦面物的傅立叶谱含有一位相位因子 ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
，（空间频谱
按一定比例缩放）。
2，物置于透镜前的傅立叶变换关系。
首先作向化处理：
a，忽略透镜孔径影响， P(x, y) =1。
b，单位振幅平面波垂直照明，在透镜后焦面观察衍射场。
d2 f ；
则，
g(x, y)
1
i (1 d1 )( x2 y2 )
e f f
i2 ( x y )
f ( ,)e f f d d
存在位相弯曲。

（下面讨论特殊情况）
a，物置于透镜前焦面时。
d1
f
， g(x, y) 1
i f
F( fx,
f y ) ，（
fx
x f
，
fy
y f
）
位相弯曲消失：得到准确的傅立叶变换。☆
b，物紧贴透镜前表面。
d1 0
g(x, y)
1 i f

为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪

谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
F ( f x , f y )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j( f x , f y )
F( fx, fy)
( fx, fy)
2
F( fx, fy)
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f (x, y) F( fx , f y ) exp j2 ( fx x f y y) dfxdf y = F -1{F ( f x , f y )}
但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
4、平移特性
F f ( x x0 , y y0 ) exp j2 ( fx x0 f y y0 ) F ( fx , f y )
F exp j2 ( fx0 x f y0y) f (x, y) F ( fx fx0 , f y f y0 )
f (x, y)
f
f (x x0, y y0)
（1）互相关定理
F f ( x , y ) ★g( x , y ) F( fx, fy ) G( fx , f y )

1、一些常用函数
函数的常用性质 a) 筛选性质

x x , y y x, y dxdy x , y
0 0 0 0
b) 对称性
( x) ( x)
1 | | x0
c) 比例变化性质
(x x0 )
(x
矩形函数
三角形函数 sinc函数 高斯函数 圆域函数 描述不同类型的“图像”信号
***图像信息的体现：强度分布、颜色
脉冲函数（函数）
梳状函数
1、一些常用函数 1）阶跃函数 (Step function) 定义
1 x 0 1 step x x0 2 x0 0
相位板的振幅透过率
1、一些常用函数 3）矩形函数 (Rectangle function) 定义 应用
1 x rect a 0
2 others
x a
常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透 过率；它与某函数相乘时，可限制 该函数自变量的范围，起到截取的 作用，故又常称为“门函数”。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
ramp ( x x0 ) b
slope=1/b
slope=1/2
ramp (
x 1 ) 2
1
0 x0 x0+b -4 -3 -2

x
z
y
z
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换. 能否在有限远处观察和利用? 可以用透镜实现. 几何光学中,透镜是折射成像 元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远 物理光学中,透镜是实现位相 变换的元件, 其前后表面的光 场复振幅分布不同. 本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距
1 1 f (n 1) R R 2 1
1
仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
x2 y2 不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为 exp jk 2f 此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
m为整数
令ar02 = u, 则复振幅透过率是u的周期函数, 周期为2p. 方波, 可以展开为复指数 1 1 sgn(cosu ) cn exp( jnu ) 形式的傅里叶级数: n (1)求出傅氏系数cn, 2 2 (2)讨论n为奇数和偶数的情形 (3)与上例的结果相比较.
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 讨论
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换 三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/a和 p/a. 当单色平面 波垂直入射时, 有三部分出射光束 (1)直接透过,循原方向传播 (2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/a (3)从透镜前焦点p/a处发散的球面波 正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差. 只有用单色光照明,才能得到清晰的像 三个衍射级不能完全分开
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较 f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波; f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波 这与几何光学的结果相同 若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) 1 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), 0

a
0
x2 + y2 circ a
1.1.7 高斯函数
Gaussian Function
Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即 各阶导数均连续.
Gaus(x)
x
0
二维情形:
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
1.1.8复指数函数 Complex exponential function
Aexp(j)=Acos + jAsin
w = 2p
A 0 对于简谐振动， = 2p t

：振子的位相角
推广到二维：
Aexp[j 2p (fxx+fyy)]
注意
以上定义的函数，其宗量均无量纲。在处理实际 问题时，要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例: 以 rect(x) 代表单缝。若x单位为cm，则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝。若x单位为mm， 则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝。


当n=k，二者定义域和值域都一样。左边＝右边。 证毕。 例题2：写出下图函数g (x)的表达式。
g(x)
1
………
b 0 x0
……….
x
写出第一个δ函数的表达形式: 写出第n个δ函数的表达形式:

d ( x - x0 )
d ( x - x0 - nb)
0
写出g(x)的表达形式:
n -
d (x - x
一维矩形函数定义
x - x0 1 x - x0 1, rect ( ) a 2 a 0, 其它

~ h xi , yi exp j 2 f x x f y y dxi dyi


(h = h/M)
C M c M c M



2 xi yi dd exp j 2 f x x f y y dxi dy P , exp j d i
-1
0
1
2
我们仍可不考虑高频振荡部分，而仅考虑其复振幅U (x,y,t), 它既是空间函数又是时间函数, 随时间缓慢变化,可看成频率 为 的单色光波的包络。
#
§5-2 成像系统的一般分析 四、非单色照明
在同一时刻t,像的复振幅与物的复振幅之间应满足叠加积分：
U i xi , yi , t U 0 x0 , y0 ; t h xi , yi ; x0 , y0 dx0 dy0

2


1 lim t T T


T
T 2
U 0 x0 , y0 ; t U 0 * x0 ' , y0 ' ; t dt
dx0 dy0 dx0 ' dy0 ' h( xi , yi ; x0 , y0 )h * ( xi , yi ; x0 ' , y0 ' ) U 0 x0 , y0 ; t U 0 * x0 ' , y0 ' ; t
筛选性质(乘积积分性质): x, y x x0 , y y0 dxdy x0 , y0
Hc fx, f y


取反射坐标系: (对称光瞳自然成立)
P , d i f x , d i f y dd P d i f x ,d i f y P d i f x , d i f y

x
, f y ) exp[ j 2p ( f x x f y y )]df x df y
即: 把U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合, 各分 量的权重因子是A(fx, fy).
A( f x , f y ) U ( x, y ) exp[ j 2p ( f x x f y y )]dxdy
fx
X

l
;
fy
Y

s单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
U ( x, y ) A exp[ j 2p ( f x x f y y )]
#
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 1
单位振幅的单色平面波, 波矢量k与x轴夹 角为30, 与y轴夹角为60. (1)画出z = z1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)画出y = y1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.
§3-1 光波的数学描述
单色光波场的复振幅表示
将光场用复数表示,有利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] }
复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt不重要: n ~1014Hz, 无法探测 n为常数,线性运算后亦不变 对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P):
l
l

l
l
cosa cos b 称为xy平面上复振幅分布的 A( , )
l

1
1
其它
其他频率 分量全通
H(f)
-1/4
0 1/4 -1
f
H(f) = 1-2rect(2f)
线性不变系统 例
H(f) = 1-2rect(2f)
脉冲响应: h( x)
-1
x H ( f ) d ( x) sinc 2
h(x)
x -2 0 2
线性不变系统 H(f) = 1-2rnc50 f sinc( f )
只要知道各个脉冲响应函数, 系统的输出即为脉冲响应函数 的线性组合. 问题是如何求对任意点的脉冲d 响应h(x,
y; xh)
§2-1 线性系统简介
脉冲响应函数h(x, y ; x h )的求法:
对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点 点不同的
例如,
{d(x)}= h (x)=1 {d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2px) h (x;1) h (x-1)=1
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h) 则此线性系统称为空间不变系统或位移 不变系统.
线性不变系统的脉冲响应:
h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)
观察点 输入脉冲 坐标 坐标 二个坐标的 相对间距
线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化.
§2-2 线性不变系统: 例
•低通滤波器: 允许通过的频率有一上限—截止频率 例2.1中的传递函数的性质：在|频率| < b的区间 内信号能无畸变地通过,此外全部阻塞. 这种系统的作用 是低通滤波器. • 高通滤波器: 允许通过的频率有一下限 • 带通滤波器: 只通过某特定频带内的频率分量 • 其它滤波器: 位相滤波器, 匹配滤波器等等

o o 0 o o
U H ℱ O ℱ R O f x , f y f x , f y F F O R

到达记录平面的光复振幅是它们的傅里叶频谱之和：


O ( x
o
, yo ) exp [ - j 2 ( f x xo f y yo ) ] d xo d yo Ro exp [ j 2 f x b]
§7-6 平面全息图
2、傅里叶变换全息图
物光波：O ( xo , yo ) = O0 ( xo , yo ) exp [ jfo ( xo , yo ) ] 参考光: 可利用置于前焦面上的点光源产生，设其位置坐标为 (-b,0)，数学表述为δ 函数： ( x , y ) = R δ ( x + b , y ) R
A
B
例题：P160, 5.2题
解1：采用近轴近似。设点源A、B发出 的球面波在记录平面上的复振幅分布分 别为UA和UB， 并且写为：
UA aA exp jkzA exp ( jk / 2 z A ) ( x - x A ) 2 ( y - y A ) 2 2



x z
A
a U B B exp jkzB exp ( jk / 2 z B ) ( x - xB ) 2 ( y - yB ) 2 2
y
U 曝光光强为 : I ( x , y ) = U ( x , y )· * ( x , y ) =∣O∣2 +∣R∣2 + O· + O*· R* R 全息图的透过率函数tH 与曝光光强成正比：
tH ( x , y ) =|O∣2 +∣R∣2 + O· + O*· R* R

§8-2光学频谱分析系统和空间滤波 4、空间滤波的傅里叶分析
若栅状物总宽度为B，上式还应多乘一个因子
T ( x1 ) = {(1/d) · rect(x1/a) * comb(x1/d)} · (x1/B) rect
将物置于4f系统输入面上，可在频谱面上得到 它的傅里叶变换
T ( f x ) = ℱ [ t ( x1 ) ] = ( aB / d ) { sinc ( B fx ) 零级谱 + sinc(a/d) · sinc[B( fx–1/d )] + sinc(a/d) · sinc[B( fx+1/d)] + …} 正、负一级谱 高级频谱
1873年阿贝 1906年波特
物平面采用正交光 频谱面：放 栅（即细丝网格状 置滤波器 改变物的 物） 频谱结构
像面：可观察到各 种与物不同的像
§8-2光学频谱分析系统和空间滤波 2、阿贝—波特（Abbe—Porter）实验
由实验结果归纳出几点结论如下： (1)实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：像的结 构直接依赖于频谱的结构，只要改变频谱的组分，便 能够改变像的结构 (2)实验充分证明了傅里叶分析的正确性
§8-2光学频谱分析系统和空间滤波 4、空间滤波的傅里叶分析
滤波器采用狭缝或开孔式二进制(0 , 1)光阑，置于频谱面上
(1) 滤波器是一个通光孔，只允许零级通过
1 F fx 0 fx 1 B f x 为其他值
T ( f x ) = ℱ [ t ( x1 ) ] = ( aB / d ) { sinc ( B fx ) + sinc(a/d) · sinc[B( fx–1/d )] + sinc(a/d) · sinc[B( fx+1/d)] + …} 在滤波器后，仅有T ( fx )中的第一项通过，其余项均被挡住， 因而频谱面后的光振幅为 T ( fx ) · ( fx ) = ( aB / d ) sinc ( B fx ) F

更具意义的是：衍射斑的光学特征反映了余弦光栅作为一种典型结构 的特征。
▲特征表
余弦光栅的组合 （1） 平行密接 组合 G 1 · G 2 ：
共有9 个衍射斑，分布于x′轴上，方向角分别为
（2） 正交密 接
组合 G 1 · G 2 ：
(3) 复合光栅 设某光栅其屏函数含有两种频率成分：
屏函数曲线图
在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数， 不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函 数的傅里叶变换。
6.1 衍射系统 波前变换
光源：脉冲光源：发光短暂，激发一个波包而在空间传播。 连续光源：稳定地持续发光。激发一个长波列而在空间推移。
波场中的各点以与光源同样的时间特性稳定地持续 发生扰动，且扰动的基本形式是简谐式振荡。
)
z(1
2w04 2 z 2
)
1 2
有效 z 半 o ,w (0 ) 径 w 0 达 ； 到 腰 最 粗 小
曲率半径：各等相面的曲率中心不重合于一点，是 随光束的传播而移动。
（ 1 ） 知 腰 位 w 0 置 w (z)r,(、 z) U ~ 腰 (x,y,z)粗 （ 2 ） 知w 某 、 r 一 w 0 、 z处 的
波前相因子分析法：根据波前函数的相因子，来判断其波场的 类型、分析其衍射场的主要特性。
两类典型相因子函数：
1.波前函数的相因子：平面波前与球面波前（系可供选择的两种基元成分）
（1）平面波 U ~ (x ,y ) A e i( ks 1 x i s n i2 n y ) 1
其空间角频率为
其空间频率为
特点：振幅A 为常数 ，与场点坐标无关。
位相因子是场点直角坐标的线性函数——线性相因子。
2. 单色球面波复振幅:

点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r k = | k |=2 /l , 为波数. 表
(P(x,y,z))
k : 传播矢量
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明
y
(r
球面波: k//r 了光场变化的“空间频率”
k
则P点处的复振幅:
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距 离处的光振
幅
球面波的等位相面: kr=c 为球面
源点S
z
0 x k: 传播矢量
#
球面波 : 空间分布
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
(P(x,y,z)) y (r
二、线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数 ➢ 线性系统的脉冲响应（点扩散函数）为：
h(x2 , y2; , ) L{ (x1 , y1 )}
➢ 对于线性平移不变系统
L{ (x1 , y1 } h(x2 , y2; , ) h(x2 M , y2 M )
如果对输入、输出的取适当的标度，可使M＝1，则
h(x2 , y2; , ) L{ (x1 , y1 } h(x2 , y2 )
h(x2 , y2 ) 称为线性平移不变系统的脉冲响应。
系统的输出： g(x2, y2 ) f ( , )h(x2 , y2 )dd f (x2, y2 ) * h(x2, y2 ) 其中h(x2, y2 )是系统对输入面坐标原点的点脉冲 (x1, y1)的输出响应。

P , dd
2



∴P*()= P(), P()2= P(), ∫∫P()2d d = 光瞳总面积
#
§ 5-4 衍射受限的非相干成像系统的频率响应 三 .OTF的计算.
? fx, f y

P , P d f , d f dd Px, y dxdy
i x i y

f ,f
x y
两个错开光瞳的重叠面积s f x ,f y 光瞳总面积s0
两个错开光瞳的相对位置, 与指定空频分量相对应.
光瞳为简单函数时,OTF可以直接计 算,复杂情况时要用面积仪或计算机.
§ 5-4 衍射受限的非相干成像系统的频率响 应三 .OTF的计算 例1.出瞳为边长l 的正方形
§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应 二．相干传递函数 例3.
Ug
3
h
Ui
*
0
=
-1
xi
每个狭缝产生会聚球面波,将孔径(单缝)的F.T.投射到像平面上. 产生的位移的衍射图样相干叠加. Gg Gi
f
1
Hc
-1/d 0 1/d
fx
f0
0
-f0
=
-1/d 0 1/d
fx
#
§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应 二．相干传递函数 例3.
相干传递函数:
Hc fx , f y


(d f ) 2 (d f ) 2 i x i y circ l/2
circ
2 2 fx fy f0
l f0 2d i
为沿各个方向的 截止频率(像面截止频率) #

1 k 2 2 exp( jkz) exp j ( x y ) jz 2z k 2 2 ( x0 y0 ) U ( x0 , y0 ) exp j 2z
这种表示特别适合球面波照明的情况.
fx x y , fy z z
F.T.
U(x, y)
fx x y , fy z z
##
§3-4 菲涅耳衍射
二、例
例1: 泰伯效应—周期性物体自成像
周期性物体, 单色平面波垂直照明, 会在物体后 特定距离zT的整数倍距离上,周期性地自成像
n g ( x) cn exp j 2 d n 其振幅透过率可展开成傅氏级数: n 0, 1, 2,.......
#
Fresnel Diffraction: Summary
菲涅耳衍射的三种表示
孔径平面
空域
脉冲响应
观察平面
U(x0, y0)
F.T.
*
h( x, y)
hF(x, y)
F.T.
=
U(x, y)
F.T.
1 k exp(jkz) exp j ( x 2 y 2 ) jz 2z
菲涅耳衍射的传递函数: 输出频谱：
1 f0 d
H ( f x ) exp(jkz) exp( jzf x2 )
此传递函数对平面波分量只引起相移
b 2 T ' ( f x ) a ( f x ) ( f x f 0 ) ( f x f 0 ) exp( jkz) exp( jzf x ) 2
b 2 exp( jkz)a ( f x ) exp( jzf 0 ) ( f x f 0 ) ( f x f 0 ) 2 z x 故： t ' x exp( jkz) a b exp( j 2 ) cos 2 2