6、子空间的交与和
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高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
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a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
高等代数§6.6 子空间的交与和
也为V的子空间，称为 V 1 , V 2 , , V s 的交空间.
二、子空间的和
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V 2 { a1 a 2 | a1 V1 , a 2 V 2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
事实上， 0 V 1 , 0 V 2 , 0 0 0 V 1 V 2
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0 b x b x b x 0 12 2 1n n 11 1 b t 1 x 1 b t 2 x 2 b tn x n 0
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
一、子空间的交
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V 2 { a | a V1且 a V 2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间. 事实上， 0 V 1 , 0 V 2 , 0 V 1 V 2 任取 , V 1 V 2 , 即 , V 1 , 且 , V 2 , 则有 V 1 , V 2 , V 1 V 2 同时有 k V 1 , k V 2 , k V 1 V 2 , k P 故 V 1 V 2 为V的子空间.
证：设 d im V 1 n 1 , d im V 2 n 2 , d im (V 1 V 2 ) m 取 V 1 V 2 的一组基 1 , 2 , , m 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
子空间及其交与和的基的统一求法
子空间及其交与和的基的统一求法
空间是一个抽象的概念，它可以指实际的物理空间，也可以指抽象的概念空间。
空间的交与和是指两个空间的交集和并集。
空间的交与和可以用来描述两个空间之间的关系，也可以用来描述空间的结构。
空间的交与和可以用来求解复杂的数学问题，例如求解多元函数的最大值和最
小值。
空间的交与和也可以用来求解物理问题，例如求解物体的运动轨迹。
此外，空间的交与和还可以用来求解统计学问题，例如求解样本的均值和方差。
空间的交与和可以用来求解复杂的空间问题，例如求解空间的维数、空间的结构、空间的变换等。
空间的交与和也可以用来求解复杂的几何问题，例如求解几何图形的面积、周长等。
空间的交与和可以用来求解复杂的概率问题，例如求解概率分布的期望值、方
差等。
空间的交与和也可以用来求解复杂的信息论问题，例如求解信息熵、信息增益等。
空间的交与和是一种统一的求法，它可以用来求解各种复杂的数学、物理、统计、几何、概率和信息论问题。
空间的交与和可以帮助我们更好地理解复杂的空间结构，从而更好地解决复杂的问题。
子空间的交与和
§6.子空间的交与和类比引入：向量空间V 的子空间12,V V 也是两个集合，集合的运算有交集、并集、差集，那么子空间12,V V 之间有哪些类似的运算？ 定义1 12,V V 是V 子空间，记子空间的“交”：}{1212|V V V V ααα=∈∈ 且； 子空间的“并”：{}2121V V V V ∈∈=ααα或 ；子空间的“和”：}{12121122|,,V V V V αααααα+==+∈∈.思考：12,V V 是V 的非空子集，若对V 中的“加法”“数乘”运算封闭，则它们构成子空间.那么12V V ，21V V ，12V V +显然也是V 的非空子集，它们是子空间吗？ 结论：1. 12V V 是V 的子空间. 分析：i) 120V V ∈≠∅ ii)12112212,,V V V V V V V V αβαβαβαβ∈+∈⎫⎧→→+∈⎬⎨+∈⎩⎭ （）子空间 同理12()a V V α∈ 2. 21V V 不是V 的子空间. 3. 12V V +是V 子空间. 分析：i) 12V V +≠∅1211221212121212()(),()()V V V V a a a V V ααααβαβαβαββββααα=++=+++∈+⎧⎧∈+→→⎨⎨=+=+∈+⎩⎩例：3V 中,1V 表示过原点一条直线，2V 表示过原点且与1V 垂直的平面，那么{}121230,V V V V V =+= 都是V 的子空间，而21V V 不是V 的子空间. 性质：1.⎧⎨⎩加法交换律子空间和运算性质加法结合律12211212212112212112,,,,V V V V V V V V V V V V V V V V αααααα+=+∀=+∈+=+∈++⊆++⊆+则同理2.12,,V V W 是V 子空间1122W V W V V W V ⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭3. 12,,V V W 是V 子空间1122V W V V W V W ⊂⎫⇒+⊂⎬⊂⎭4. 12,V V 是V 子空间12121122V V V V V V V V ⊂⇔=⇔+=5. ￡()12,,S ααα+ ￡()12,,,t βββ= ￡()1212,,,,,,,s t αααβββ 类比集合A,B 元素个数()()card A B cardA cardB card A B +=+-维数公式：121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-Note ：1) 和的维数往往比维数之和小.2) 若n 维线性空间V 中两个子空间12,V V 的维数之和大于n ，则12,V V 必含有非零的公共向量.分析：121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12,V V 是V 子空间，则12dim()0V V > 则12V V 含非零向量。
6子空间的交与和
§6子空间的交与和定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221V V V V =(交换律)，)()(321321V V V V V V =（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：si is V V V V 121==,它也是子空间.定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221V V V V +=+(交换律)，)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和∑==+++si is V V V V 121 .它是由所有表示成),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论：1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n tn t t n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0,0,0,022*******1122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 的解空间.例3 在一个线性空间V 中，有),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.。
第六节子空间的交与和
定理 6 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间， 那么V1 V2 也是 V 的子空间。
注意：1）子空间的交与和满足交换律和结合律，即 交换律： V1 V2 = V2 V1 ， V1 V2 = V2 V1 结合律： (V1 V2 ) V3 = V1 (V2 V3 ) ， (V1 V2 ) V3 = V1 (V2 V3 ) ；
例 5 在 P[x]4 中， 已知 f1 ( x) x x 2 x 3 ，f 2 ( x) 3x x 3 ，f 3 ( x) x 2 3x 3 ， 试求包含这 5 个多项式的最小 f 4 ( x) 2 x x 2 2 x 3 ， f 5 ( x) 5x 2x 2 6x 3 ， 的线性空间 W 的一组基及维数，并写出 f i (x) 被 W 的基线性表出的表达式。
二、维数公式
定理 7 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1 ,V2 的维数之和大 于 n ，那么 V1 ,V2 必含有非零的公共向量。
例 4 在 P 4 中，设 V1 L(1 , 2 ) ， V2 L(1 , 2 ) ， 其中 1 (1,1,1,1) ， 2 (1,2,1,0) ， 1 (2,1,0,1) ， 2 (1,1,3,7) ， 求 P 4 的子空间 V1 V2 与 V1 V2 的基和维数。
§6 子空间的交与和
一、子空间的交与和
定理 5 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间， 那么它们的交V1 V2 也 是 V 的子空间。
定义 9 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，集合{1 2 | 1 V1 , 2 V2 } 称为 V1 与 V2 的和，记作 V1 V2 。
注意：1）子空间的交与和满足交换律和结合律，即 交换律： V1 V2 = V2 V1 ， V1 V2 = V2 V1 结合律： (V1 V2 ) V3 = V1 (V2 V3 ) ， (V1 V2 ) V3 = V1 (V2 V3 ) ；
例 5 在 P[x]4 中， 已知 f1 ( x) x x 2 x 3 ，f 2 ( x) 3x x 3 ，f 3 ( x) x 2 3x 3 ， 试求包含这 5 个多项式的最小 f 4 ( x) 2 x x 2 2 x 3 ， f 5 ( x) 5x 2x 2 6x 3 ， 的线性空间 W 的一组基及维数，并写出 f i (x) 被 W 的基线性表出的表达式。
二、维数公式
定理 7 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1 ,V2 的维数之和大 于 n ，那么 V1 ,V2 必含有非零的公共向量。
例 4 在 P 4 中，设 V1 L(1 , 2 ) ， V2 L(1 , 2 ) ， 其中 1 (1,1,1,1) ， 2 (1,2,1,0) ， 1 (2,1,0,1) ， 2 (1,1,3,7) ， 求 P 4 的子空间 V1 V2 与 V1 V2 的基和维数。
§6 子空间的交与和
一、子空间的交与和
定理 5 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间， 那么它们的交V1 V2 也 是 V 的子空间。
定义 9 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，集合{1 2 | 1 V1 , 2 V2 } 称为 V1 与 V2 的和，记作 V1 V2 。
第六节 子空间的交与和
可以定义多个子空间的交：
s
V1 V 2 V s
V
i 1
i
,
它也是子空间.
§6.6 子空间的交与和
二、子空间的和
1. 定义
定义 2 间, 称 V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 } 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
的解空间.
§6.6 子空间的交与和
例4
在一个线性空间 V 中，有 L(1 , 2 , …, s ) + L(1 , 2 , …, t )
=L(1 , …, s , 1 , …, t )
§6.6 子空间的交与和
五、子空间的交与和的维数
定理 3 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空间
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 子空间.
§6.6 子空间的交与和
所以V1 ∩V2 是 V 的
证毕
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律
2) 结合律
V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
(V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
为V1 ，V2 的和.
§6.6 子空间的交与和
2. 性质 定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间. 证明 首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知 0 V1
+ V2 ，因而 V1 + V2 是非空的. 其次 , 如果 ,
W V1 与 W V2 可推出 W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 . 性质 2 等价的： 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
线性相关性若干问题的分析和研究
线性相关性若干问题的分析和研究摘要：线性相关性是线性代数的重点和难点，该文主要针对线性相关性判定，以及与线性相关性密切联系的线性空间和线性变换的几个重要问题，即向量组极大无关组、秩、基、维数，齐次线性方程组的基础解系，线性空间的子空间的求法，子空间的交与和，线性变换的值域与核等问题进行了深入细致的分析和研究。
关键词：线性相关线性无关向量极大无关组线性相关性[1]是线性代数的重点和难点，所涉及的内容包括行列式、矩阵、线性方程组，并为向量组的极大无关组以及向量组的基和维数，齐次线性方程组的基础解系奠定了基础，也是学习高等代数[2]中线性空间、线性变换和欧氏空间的一个重要工具。
对于此部分以及相关部分的学习是一个难点，它的抽象性是记忆犹新的，尤其是在学习这些部分的在校大学生也肯定体会到它们的重点和难点[3]，因此我们的确有必要对线性相关性有关的代表性问题进行深入细微的分析及研究。
本文所涉及的问题对正在学习和复习这部分读者可能会有帮助，这也正是笔者所期待的。
问题１向量组线性相关性的判定[4]方法。
对于向量组的线性相关性的判定有以下三种不同的方法：第一：用定义判定线性相关性：注：（1）一般如果向量是具体的向量可以用矩阵的秩来判断最简单，如果含有字母且当含向量个数和维数相同时可用行列式的方法，但有时不是具体向量组，而是向量组与向量组的关系，已知一组向量的线性相关性，来判断另一组向量的线性相关性，则用定义。
(2)这样分三种方法来判断向量组的线性相关性，根据题目的类型来选择方法，对这类问题就迎刃而解了，具体例题可以参照文献[5]。
问题２求解向量组极大无关组、秩、基、维数。
对于向量组的极大无关组、基、向量组的秩之间的关系对于很多读者来说是一个容易混淆的，分不清楚它们的联系，也是与线性相关性紧密结合的几个概念，所以有必要在这里提出。
实际上对于向量组的极大无关组、基实质是一样的。
向量组的极大无关组与线性相关性的关系就是向量组中找到r个向量线性无关而r+1向量线性相关，则r个向量就是向量组的极大无关组，极大无关组可以作为向量空间或线性空间的基，r就是向量组的秩也是向量空间或线性空间的维数。
第六节子空间的交与和
第六节子空间的交与和在线性代数中，子空间的概念十分重要。
子空间是向量空间的重要子集，它具有向量空间的基本性质。
一个向量空间的子空间是指这个向量空间的一个非空子集，在同一个加法和标量乘法下仍然满足向量空间的公理。
本节将介绍子空间的交与和，这些概念对于研究向量空间中的基础性质（比如维数）非常重要。
一、子空间的交两个子空间的交是两个子空间的交集，也是一个子空间。
这是非常显然的，因为对于两个向量空间的子空间，它们都包含零向量，所以它们的交集也包含零向量。
根据向量空间的加法和标量乘法的封闭性，两个子空间的交集在加法和标量乘法下也是封闭的，因此，它们的交是一个子空间。
两个子空间的交在数学上可以表示为：$$S_1 \cap S_2 = \{\boldsymbol{v} \in V | \boldsymbol{v} \in S_1 \text{ 且 } \boldsymbol{v} \in S_2\}$$其中，$S_1$ 和 $S_2$ 是向量空间 $V$ 的两个子空间。
在这个定义中，$S_1$ 和$S_2$ 的交集被称为 $S_1$ 和 $S_2$ 的交。
两个子空间的交在实际应用中非常有用。
比如，在线性方程组中，我们可以使用两个子空间的交来描述解空间。
例如，对于一个齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{0}$，我们可以找到其系数矩阵 $A$ 的零空间和增广矩阵 $\begin{bmatrix} A \ \boldsymbol{0} \end{bmatrix}$ 的零空间的交集，这个交集就是线性方程组的解空间。
两个子空间的和是指这两个子空间的所有向量的线性组合的集合。
如果一个向量$\boldsymbol{v}$ 可以表示为两个子空间 $S_1$ 和 $S_2$ 中的向量的线性组合，那么$\boldsymbol{v}$ 属于两个子空间的和。
通常情况下，两个子空间的和并不一定是一个子空间，因为两个子空间的和不一定包含零向量。
子空间的交并和关系证明题
子空间的交并和关系证明题1. 引言子空间是线性代数中的重要概念，它可以理解为一个向量空间中的子集，并且保持向量加法和标量乘法的性质。
子空间的交并和关系证明题是线性代数中常见的问题，通过证明子空间的性质，可以进一步深入理解向量空间的结构和性质。
本文将介绍子空间的定义、交并运算的性质以及如何进行关系证明题的推导。
2. 子空间的定义向量空间V的一个非空子集W，如果满足以下三个条件，则称W为向量空间V的子空间：•零向量0属于W；•对于任意的向量u、v属于W，其和u+v也属于W；•对于任意的向量u属于W和任意的标量c，其乘积cu也属于W。
满足这些条件的子空间可以理解为向量空间中的闭集，即经过加法和标量乘法运算后，结果仍然在子空间中。
3. 子空间的交运算给定两个子空间W1和W2，它们的交集W1∩W2定义为同时属于W1和W2的向量的集合。
根据子空间的定义，交集W1∩W2也是一个子空间。
为了证明交集W1∩W2是子空间，我们需要验证以下三个条件：•零向量0属于W1∩W2；•对于任意的向量u、v属于W1∩W2，其和u+v也属于W1∩W2；•对于任意的向量u属于W1∩W2和任意的标量c，其乘积cu也属于W1∩W2。
证明：•零向量0属于W1和W2，因此0属于W1∩W2，满足条件1；•对于任意的向量u、v属于W1∩W2，由于u属于W1且v属于W2，根据子空间的定义，u+v也属于W1和W2，因此u+v属于W1∩W2，满足条件2；•对于任意的向量u属于W1∩W2和任意的标量c，由于u属于W1和W2，根据子空间的定义，cu也属于W1和W2，因此cu属于W1∩W2，满足条件3。
综上所述，交集W1∩W2是向量空间V的子空间。
4. 子空间的并运算给定两个子空间W1和W2，它们的并集W1∪W2定义为属于W1或W2的向量的集合。
根据子空间的定义，对于并集W1∪W2，我们需要验证以下三个条件：•零向量0属于W1∪W2；•对于任意的向量u、v属于W1∪W2，其和u+v也属于W1∪W2；•对于任意的向量u属于W1∪W2和任意的标量c，其乘积cu也属于W1∪W2。
62 子空间
的非空子集。 Mn (F) 的非空子集。又中 Mn (F)的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法， 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵， 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以， 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 一个子空间。 是 Mn (F) 的 一个子空间。 W = {A∈ Mn (F) | | A |≠ 0}不是 Mn (F) 的子空间，因 的子空间， 阶单位矩阵I及 为n阶单位矩阵 及 – I ∈W，但 I + (−I ) = O ∉W 阶单位矩阵 ， 例3 在空间V 在空间 2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V 的一个子空间。在间间V 向量空间作成 2的一个子空间。在间间 3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V 的子空间(6.1,例1)。 作成 3的子空间 例 。
所以 X1 + X 2 ∈VA,0 ，对于任何 a ∈ F, X ∈VA,0 ,
有A(aX ) = a( AX ),即aX ∈VA,0 。故 VA,0 对于 F n的两种
运算封闭， 的一个子空间。 运算封闭， VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
的时候， （2）可以知道，在β≠0 的时候， VA不一定是 F n ）可以知道， 的 ,β 子空间。 都有A 子空间。因为对任何 X ,Y ∈VA，都有 (X + Y) = AX ,β +AY =β+β≠β，故 ，
两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子 空间的情形.设 的子空间.容易证 空间的情形 设W1,W2,…，Wn是V 的子空间 容易证 ， 的向量作为V 的一个子空间, 明,一切形如 ∑αi,αi ∈Wi 的向量作为 的一个子空间 一切形如
§6-6子空间的交与和
§6-6子空间的交与和复习 集合的交、集合的并定理5:如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的交21V V ⋂也是V 的子空间.(给出证明)子空间的交满足下列运算规律:(交换律和结合律)1221V V V V ⋂=⋂ ; )()(321321V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂ 定理5可推广到有限个子空间的交的情形.给出子空间的和的概念定义8: 设V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间, V 1和V 2的和是指所有形如221121,;V V ∈∈+αααα的向量组成的子集合,记为21V V +.定理6: 如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的和21V V +也是V 的子空间.(给出证明)子空间的和满足下列运算规律:1221V V V V +=+ 交换律)()(321321V V V V V V ++=++结合律多个子空间的和∑==+++si i s V V V V 121 是由形如i i s V ∈+++αααα;21 的元素组成.◎关于子空间的交与和有以下结论:1. 对V 的任意两个子空间V 1,V 2来说，}0{21⊃⋂V V ; V V V ⊂+212. 设V 1,V 2,W 都是V 的子空间,那么由21,V W V W ⊂⊂可推出21V V W ⋂⊂ 而由21,V W V W ⊃⊃可推出21V V W ⋂⊃ 3. 对于子空间V 1和V 2,以下三个论断等价:1)21V V ⊂; 2) 121V V V =⋂; 3) 221V V V =+ 例1:在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求21V V ⋂，和21V V ⋃。
答案：21V V ⋂是原点、21V V ⋃是整个空间R 3。
例2：在线性空间P n中V 1表示齐次线性方程组A m×n X=0的解空间，V 2表示B s×n X=0的解空间，则21V V ⋂是齐次线性方程组0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X B A 的解空间。
复旦大学精品课程《线性代数》课件,子空间的交、和与直和课件复习精品资料
线性代数
子空间的交、和与直和
张祥朝
复旦大学光科学与工程系
2013-5-9
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间
10:34则集合
也是一个线性子空间，
proof
性子空间的和的定义很容易看出：(3) 多个子空间的和：
10:34
以上4 个线性子空间都是2 维的10:34
引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof proof
10:34
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组10:34
基础解系:
10:34
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.必要性是显然的, 下证充分性.
10:34
10:34
10:34
证明：
所以W 是线性子空间。
10:34
证明:由定义, 有10:34
引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以
这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩
性无关的向量组, 直到不能扩充为止．
10:34
证明:
10:34注意到
只要证明线性无关
设
有
10:34所以
即
有
back
明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。
证明(1)与(2)的等价性。
10:34
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，
它的补子空间是不唯一的。
10:34
证明:
10:34
=0所以
其中则有
于是
={0}所以
10:34。
6.6 子空间的交与和
a11x1 a12 x2
ba1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
bt1x1 bt2 x2
a1n xn 0
asn xn 0 b1n xn 0
btn xn 0
的解空间.
例3 在线性空间V中，有以下公式成立：
例3V1 V2 L(1, 2, , m, 1, , , n1m 1, , n2 m )
V1 β1,···,βn1-m
V1∩V2
V2
α1 ,α2,···,αm γ1, ···, γn2-m
V1 + V2
下面证明： 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m 线性无关
设 k11 k 22 k mm p11 p n1m n1m q11 qn2 m n2 m 0
m
n1 m
n2 m
→ kii pjj qt t V1, V2 V1 V2 ，即 可由基
qn2 m n2 m 0 →
qn2m 0 →
m
n1 m
kii pjj 0 由1, 2 ,
i=1
j=1
, m , 1,
, n1m是V1的基可知
k1 k m p1 pn1m 0 ，即 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m
证明： 0 0 0 V1 V2 V1 V2 V .
, V1 V2 , 1 2, 1 2, 1, 1 V1, 2, 2 V2 →
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ), 1 1 V1, 2 2 V2
高代 第六章知识点
第六章知识点
1、集合，映射：def, 单射/满射，双射
2、线性空间：def, 加法和数乘（八条运算规则），四条简单性质
考查点：检验给定空间能否构成线性空间？P267（T3）
3、维数、基、坐标：线性组合，线性相关、无关，维数，基，坐标
考查点：1、考察向量之间的线性关系
2、求给定空间的维数和基（T8）
3、求已知向量在某组基下的坐标（T7）；
4、基变换，坐标变换：一组基向量组在另一组基下的坐标按列排构成过渡矩阵；向量
在不、同基下的坐标之间的关系依赖于基之间的过渡矩阵考查点：1、求基之间的过渡矩阵，2、求已知向量在不同基下坐标之间的关系式
（T9-10）
5、线性子空间：def, 平凡子空间，非平凡，生成子空间；TH3-4;
考查点：1、线性子空间的检验，求符合条件的子空间以及基和维数（T13,14,16,17）
2、证明子空间相互之间关系（理论依据：TH3，T12，补充T4-5）
6、子空间的交与和：def, 性质；TH7（维数公式），推论
考查点：1、计算：求子空间的交与和空间的维数和基（T18）
7、直和：def, 与之等价的三个充要条件；多个子空间直和def, 充要条件
考查点：1、证明空间之间的直和关系（三个充要条件的应用，T19-22，补充T3）
计算重点：1、求线性空间的维数和基，向量在某组基下的坐标
2、求基变换的过渡矩阵，向量在不同基下的坐标变换关系式
3、求子空间基和维数，包括一般线性子空间、子空间的和，子空间的交
证明重点：1、向量组线性无关
2、子空间的相互关系
2、直和。
高等代数6-6子空间的交与和
所以，有
V1+ V2 L(1,2 , ,m , 1, 2, , n1m , 1, 2 , , n2m ) 下证 1,2 , ,m , 1, 2, , n1m , 1, 2 , , n2m
线性无关. 假设有等式
k11 kmm p11 q1 1 q n2m n2m 0
pn1m n1m
故，
X
x11 0
0 0
从而，W1
W2
x0 00
xP
再求 W1 W2 .
因为，W1
x
1 0
0 0
y
0 1
1 0
x, y P
L
1 0
0 0
,
0 1
1 0
W2
x
1 0
0 0
y
0 0
0 1
x, y P
L
1 0
0 0
,
0 0
0 1
所以，
W1 W2 L
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2, 则 W V1 V2. 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
二、子空间的和
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1,a2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
事实上， 0V1 ,0 V2, 0 0 0 V1 V2
任取 , V1 V2, 设 1 2, 1 2 , 其中，1, 1 V1,2, 2 V2, 则有
子空间的交与和
= dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2 )
§6.6 子空间的交与和
注意 从维数公式中可以看到，子空间的和的维数 从维数公式中可以看到，
往往比子空间的维数的和要小. 往往比子空间的维数的和要小 例如， 例如，在R3中，设子空间 V1 = L(ε 1 , ε 2 ), V2 = L(ε 2 , ε 3 ) 其中，ε 1 = (1,0,0), ε 2 = (0,1,0), ε 3 = (0,0,1) 其中， 则，dimV1 = 2,
§6.6 子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和
即 α 可被 α1 ,α 2 ,⋯ ,α m 线性表出 令 α = l1α1 + l2α 2 + ⋯ + lmα m , 则 l1α1 + l2α 2 + ⋯ + lmα m = − q1γ 1 − ⋯ − qn2 − mγ n2 − m 即 l1α1 + l2α 2 + ⋯ + lmα m + q1γ 1 + ⋯ + qn2 − mγ n2 − m = 0 线性无关， 由于 α1 ,α 2 ,⋯ ,α m , γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n2 − m 线性无关，得
= L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α s , β 1 , β 2, ⋯ , β t )
4、维数公式(dimension formula) （定理7） 、维数公式( formula) 定理7
为线性空间V的两个子空间 的两个子空间， 设 V1 ,V2 为线性空间 的两个子空间， 则 dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 ) 或 dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2 )
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即有 V1 L(1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m )
V2 L(1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m )
§6.6 子空间的交与和
所以，有
V1 + V2 L(1 , 2 , , m , 1 , 2, , n1 m , 1 , 2 , , n2 m )
l1 l2 lm q1 qn2 m 0,
因而 0. 从而有
§6.6 子空间的交与和
k11 km m p1 1 pn1 m n1 m 0
由于 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m 线性无关，得
证：设 dimV1 n1 , dimV2 n2 , dim(V1 V2 ) m 取 V1 V2的一组基 1 , 2 ,, m 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m
它也可扩充为V2的一组基
1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m
则有 V1 且 V2，于是有 V1 V2 .
§6.6 子空间的交与和
即 可被 1 , 2 ,, m 线性表出 令 l11 l2 2 lm m , 则 l11 l2 2 lm m q1 1 qn2 m n2 m 即 l11 l2 2 lm m q1 1 qn2 m n2 m 0 由于 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m 线性无关，得
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
§6.6 子空间的交与和
注意
从维数公式中可以看到，子空间的和的维数
往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间 V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ) 其中， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1) 则，dimV1 2,
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
§6.6 子空间的交与和
(1)V1 V2 (2)V1 V2 V1 (3)V1 V2 V2
§6.6 子空间的交与和
3、 1 , 2 ,, s ; 1 , 2, , t 为线性空间V中两组向量，
则 L(1 , 2 ,, s ) L( 1 , 2, , t )
L(1 , 2 ,, s , 1 , 2, , t )
§6.6 子空间的交与和
注意
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {(a ,0,0) a R}, V2 {(0, b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {(a ,0,0),(0, b,0) a , b R} {(a , b,0) a , b R 且a , b中至少有一是0}
并不是R3的子空间.
§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
（1）若 W V1 ,W V2 , 则 W V1 V2 . （2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2、设V1 ,V2 为线性空间V的子空间，以下三条件等价:
k1 k2 km p1
pn1 m 0
所以，1 , 2 , , m , 1 , 2, , n1 m , 1 , 2 , , n2 m 线性无关. 因而它是 V1 V2 的一组基. ∴ dim(V1 V2 ) m ( n1 m ) ( n2 m ) n1 n2 m
4、维数公式(dimension formula) （定理7）
设 V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间， 则 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 或 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
§6.6 子空间的交与和
二、子空间的和
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1 , a2 V2 }
也为V的子空间， 称之为V1与V2的和空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
§6.6 子空间的交与和
2、推广
多个子空间的和
V1 ,V2 ,,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
Vi V1 V2 Vs i 1
1 2 s | i Vi , i 1,2,3, , s
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 ,,Vs 的和空间.
若 dimV1 dimV2 n ，则 V1 ,V2 必含非零的公共向量. 即 V1 V2 中必含有非零向量. 证： dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 又 V1 V2 是V的子空间，∴ dim(V1 V2 ) n 若 dimV1 dimV2 n, 则 dim(V1 V2 ) 0. 故 V1 V2 中含有非零向量.
§6.6 子空间的交与和
2、推广
多个子空间的交
V1 ,V2 ,,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 Vs Vi | Vi , i 1,2,3, , s
i 1
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 ,,Vs 的交空间.
§6.6 子空间的交与和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、子空间的交
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 }
也为V的子空间， 称之为V1与V2的交(intersection) 空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
§6.6 子空间的交与和
dimV2 2
但， V1 V2 L( 1 , 2 ) L( 2 , 3 ) L( 1 , 2 , 3 ) R 3
dim(V1 V2 ) 3 dim(V1 V2 ) 1, V1 V2 是一直线.
§6.6 子空间的交与和
推论 设 V1 ,V2 为 n 维线性空间V的两个子空间，
假设有等式
k11 km m p1 1 pn1 m n1 m
q1 1 qn2 m n2 m 0
令 k11 km m p1 1 pn1 m n1 m
q1 1 qn2 m n2 m
V2 L(1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m )
§6.6 子空间的交与和
所以，有
V1 + V2 L(1 , 2 , , m , 1 , 2, , n1 m , 1 , 2 , , n2 m )
l1 l2 lm q1 qn2 m 0,
因而 0. 从而有
§6.6 子空间的交与和
k11 km m p1 1 pn1 m n1 m 0
由于 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m 线性无关，得
证：设 dimV1 n1 , dimV2 n2 , dim(V1 V2 ) m 取 V1 V2的一组基 1 , 2 ,, m 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m
它也可扩充为V2的一组基
1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m
则有 V1 且 V2，于是有 V1 V2 .
§6.6 子空间的交与和
即 可被 1 , 2 ,, m 线性表出 令 l11 l2 2 lm m , 则 l11 l2 2 lm m q1 1 qn2 m n2 m 即 l11 l2 2 lm m q1 1 qn2 m n2 m 0 由于 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m 线性无关，得
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
§6.6 子空间的交与和
注意
从维数公式中可以看到，子空间的和的维数
往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间 V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ) 其中， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1) 则，dimV1 2,
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
§6.6 子空间的交与和
(1)V1 V2 (2)V1 V2 V1 (3)V1 V2 V2
§6.6 子空间的交与和
3、 1 , 2 ,, s ; 1 , 2, , t 为线性空间V中两组向量，
则 L(1 , 2 ,, s ) L( 1 , 2, , t )
L(1 , 2 ,, s , 1 , 2, , t )
§6.6 子空间的交与和
注意
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {(a ,0,0) a R}, V2 {(0, b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {(a ,0,0),(0, b,0) a , b R} {(a , b,0) a , b R 且a , b中至少有一是0}
并不是R3的子空间.
§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
（1）若 W V1 ,W V2 , 则 W V1 V2 . （2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2、设V1 ,V2 为线性空间V的子空间，以下三条件等价:
k1 k2 km p1
pn1 m 0
所以，1 , 2 , , m , 1 , 2, , n1 m , 1 , 2 , , n2 m 线性无关. 因而它是 V1 V2 的一组基. ∴ dim(V1 V2 ) m ( n1 m ) ( n2 m ) n1 n2 m
4、维数公式(dimension formula) （定理7）
设 V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间， 则 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 或 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
§6.6 子空间的交与和
二、子空间的和
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1 , a2 V2 }
也为V的子空间， 称之为V1与V2的和空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
§6.6 子空间的交与和
2、推广
多个子空间的和
V1 ,V2 ,,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
Vi V1 V2 Vs i 1
1 2 s | i Vi , i 1,2,3, , s
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 ,,Vs 的和空间.
若 dimV1 dimV2 n ，则 V1 ,V2 必含非零的公共向量. 即 V1 V2 中必含有非零向量. 证： dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 又 V1 V2 是V的子空间，∴ dim(V1 V2 ) n 若 dimV1 dimV2 n, 则 dim(V1 V2 ) 0. 故 V1 V2 中含有非零向量.
§6.6 子空间的交与和
2、推广
多个子空间的交
V1 ,V2 ,,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 Vs Vi | Vi , i 1,2,3, , s
i 1
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 ,,Vs 的交空间.
§6.6 子空间的交与和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、子空间的交
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 }
也为V的子空间， 称之为V1与V2的交(intersection) 空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
§6.6 子空间的交与和
dimV2 2
但， V1 V2 L( 1 , 2 ) L( 2 , 3 ) L( 1 , 2 , 3 ) R 3
dim(V1 V2 ) 3 dim(V1 V2 ) 1, V1 V2 是一直线.
§6.6 子空间的交与和
推论 设 V1 ,V2 为 n 维线性空间V的两个子空间，
假设有等式
k11 km m p1 1 pn1 m n1 m
q1 1 qn2 m n2 m 0
令 k11 km m p1 1 pn1 m n1 m
q1 1 qn2 m n2 m