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第二章人寿保险的精算现值

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保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值

保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值

签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0,
vn
,
T n T n
离散型
1
A x:n
表示 n年期生存保险的精算现值。
E nx
1
Ax:n E(Z )
方差为
Var(Z )
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
1
2
30：10 |
30：10 |
0.0431
各种死亡即付趸缴纯保费的公式归纳
n
n
A 1 vt f (t)dt vt p dt
x: n| 0
T
0
tx
xt
Ax
vt p dt
0
tx
xt
m| Ax
m
vt
fT
t
dt
A A A m|
v f (t)dt 1
m1n t
1
x: n|
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
vn ,
K n, n 1,
表示n年期两全保险的精算现值。
方差为
A1 E x: n | n x
Var(Z )2A ( A )2
x
x
两全保险的趸缴纯保费
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内
的死亡，则在死亡年末给付保险金；如果被保险人
生存满n年，则在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
基本函数关系
b 1, k 0,1, k

第二章人寿保险的精算现值

第二章人寿保险的精算现值


100 j1

j 1,2,,100
100 j1
从而可得EZ EZ j 400， VarZ VarZ j 900
• 第二章 人寿保险的精算现值 12
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
ZE Z h E Z 0 P .95 , r Z Var Z Var h400 近似服从于标准正态分 布，则 1 .645 30 故 h400 30 1 .645 449.35( 元 )
2 T 2 2 1 x :n


1 2 x :n
对于投保连续型的保险 金额为 1 个单位的终身寿险， 其趸缴纯保费是 A t)t pxuxtdt x v t pxuxtdt exp(t 0 0
• 第二章 人寿保险的精算现值 7


记A t)t pxuxtdt x exp(-2
t h h 2 n 0 2


2 记 tt px uxtdt h A x exp
Zh A 其现值随机变量 Z 的方差是 Var x hA x
• 第二章 人寿保险的精算现值

2
15

表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴 纯保费分别为
• 第二章 人寿保险的精算1 , t n v , T n t b ,v v , t 0 ,Z t t T 0 , t n 0 , T n
对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿 险 , 其有关函数是

•
第二章 人寿保险的精算现值

社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险

社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险

将来法和过去法
30
责任准备金以将来法计算，是未来给付精算现 值与未来净保费精算现值之差。对不同保单， 根据契约规定的保险责任、保险金额和保费缴 付方式，可以分别计算出计算时点的未来给付 精算现值和未来净保费精算现值。t年末的责任 准备金以tV表示。
过去法责任准备金是过去净保费的累积与过去 保险金累积之差。
社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险 作者
终身寿险
6
在上式中，两边同乘以生命表x岁的存活人数lx
lxAx k1dxk k0
等式表明，lx个x岁的人投保终身寿险的趸缴净 保费总额正好满足按生命表死亡规律在死亡年 末ຫໍສະໝຸດ 单位的赔付。定期寿险7
对(x)的1单位赔付n年定期寿险，其现值随机变 量为：
以nEx表示1单位元n年纯粹生存保险现值：
nEx n n px
2.2.1纯粹的生存保险
21
与在复利下的现值系数νt和累积系数(1+i)t的作 用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系 数， 1/ nEx为在利率和生者利下n年的累积系数。
1/nEx1/nnpx(1i)nlxl xn
它是利率累积因子（1+i）n与生存累积因子之 积。
2.2.2年付一次生存年金的精算现值
22
生存年金是以生存为条件发生的年金。如果被 保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收 付，否则，停止收付。年金保险中，在保险期 内年金的发放以被保险人存活为条件。长期寿 险的缴费通常也采取生存年金的方式，在被保 险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停 止缴费。生存年金有终身年金、定期年金、延 期年金几种基本类型，由首次支付的起点不同 分为期首付年金和期末付年金。
νK+1 k=0,1,2,……n-1

2、社会保障精算(第二章)人寿与年金保险精算(5)

2、社会保障精算(第二章)人寿与年金保险精算(5)

β
F
=
A (1 ) a x + 1: n − 1
A (1 ) 表示同险种在 x + 1 岁 n – 1 期的趸缴净保费。 期的趸缴净保费。
然后，用下式计算责任准备金（将来法）： 然后，用下式计算责任准备金（将来法）： 责任准备金
F t x
V
=
Ax + t
–
β ⋅ a x + t:n −t
F
【习题】 p.62 第7、8题。 习题】 、 题
V
=
Ax
P ⋅ a x :n
t
= 0
Pax:n
过去净保费
V
Ax +t 将来赔付
0
x
x+n
x+t
时点，净保费已缴清，将来净保费为零 为零， 由于 在x+t 时点，净保费已缴清，将来净保费为零，所以
t
V
=
Ax +t
2 过去法 过去净保费的累积值 过去赔付的累积值 责任准备金 = 过去净保费的累积值 – 过去赔付的累积值 以终身寿险、 年缴费 年缴1次）、死亡年末赔付为例 年缴费（ 死亡年末赔付为例， 以终身寿险、n年缴费（年缴 次）、死亡年末赔付为例，计 算 t 年末的责任准备金 t V ： （1） t < n ）
• 如何修正？ 如何修正？
通常采用“ 通常采用“完全初年定期修正法 (FPT)，方法是： ，方法是： 年修正的净保费为自然保费 第1年修正的净保费为自然保费 α F = A1:1 = vq x 年修正的净保费为 x 以后各年修正的净保费为
β
F
=
பைடு நூலகம்
A (1 ) a x + 1: n − 1

保险精算2人寿保险的精算现值分析

保险精算2人寿保险的精算现值分析

Z Z 0
1
2
Var(Z
)

Var(Z 1
)
Var(Z 2
)

A1 x：n|

A1 x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险
责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。
假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。
Z
b K
v K

0,
其他
表示其趸缴纯保费。
E(Z)
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
n1
A v p q 1
k 1
x ：n|
k x xk
k 0

A v k1 p q
x
k x xk
k 0
A x:n
A1 x:n

A1 x:n
m
Ax

Ax

A1 x:m
A1
k0 0
sk x
xks
补充： 非整数年龄的生命分布假设
年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）
令：S(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) 0 t 1
1、
t qx

s(x) s(x t) s(x)
s(x) [(1 t)s(x) ts(x 1)] s(x) s(x 1) t
同理，
i 1
1
A A x：n|
x：n|
对于两全保险有
A A A 1
1
x：n|
x：n|
x：n|
i1
1
A A x：n|

社会保险精算原理第二章 人寿与年金保险

社会保险精算原理第二章 人寿与年金保险

2.4.1均衡净保费责任准备金
29

责任准备金的提存和计算以净保费为依据，从 未来看，责任准备金是保险人未来的净责任， 用未来给付金现值减去未来净保费现值来衡量， 从过去看，它是保险人过去净保费收入大于赔 付支出的部分，用过去净保费终值减去过去保 险金终值计算。因此，形成了责任准备金的两 种计算方法。
定期寿险
13


1单位元死亡时赔付n年定期寿险，其现 值随机变量为： νT， 0<t≤n Z＝ 0 t>0 n 1 t 精算现值表示为：Ax:n ｜ t px x t

0
变额寿险
14

对死亡时赔付的寿险，如果当(x)在投保当年死 亡赔付1单位元，在第二年死亡赔付2单位元， 第k+1年内死亡赔付k+1单位元的寿险是标准递 增的变额寿险，此时，赔付额bt=[t+1]时，其中， 方括号表示最大整数函数。对于n年定期的死亡 年末赔付标准递增寿险，其精算现值为：
2.3.2总保费
27

总保费是在净保费的基础上增加附加保费的值， 对不同的费用项目通常采取不同的附加方式。 根据不同的附加方式，在总保费现值等于保险 金现值和附加保费现值之和的等式下可以估计 每年的总保费。设每次缴费的总保费为G，如果 以总保费的比例表示的附加保费为总保费的比 例k，以固定数额表示的附加保费为C，以保险 金额的比例表示的附加保费部分为保险金额的g 比例，则有平衡公式
V P qxt pxt t 1V
2.4.2责任准备金的递推公式
32

公式表明，t年末的责任准备金加上t+1年初的净 保费，正好等于t+1年的死亡给付在t年末的现值 与t+1年末责任准备金在利率和生者利下在t年末 的现值。这一递推公式对所有保险形式均适用， 以Pt表示t+1年初的净保费，bt表示t年末的死亡 给付金额，则一般递推公式可以表示为：

寿险精算现值

寿险精算现值
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用 需要的缴费部分。
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax



vk 1d xk
或者
n
Ax

Ax

A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx

vd x
v2dx1

vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x

第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)

第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)

fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1． 证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm

保险精算李秀芳1-5章习题答案

保险精算李秀芳1-5章习题答案

第一章生命表1．给出生存函数()2 2500xs x e-=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。

(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。

(3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s ss sqsP X ssps<<=--=>==2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)3. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=，Pr ［T(60)＞5］=，求q 65。

()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s s q p s s s s q s -====-∴==4. 已知Pr ［T(30)＞40］=，Pr ［T(30)≤30］=，求10p 60Pr ［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S （30）= S （70）=×S(30) Pr ［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)= S(60)=×S(30) ∴10p 60= S(70)/S （60）==5.给出45岁人的取整余命分布如下表：k求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。

(1)5q 45=（++++）=6.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人(1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（+）≈11（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500××=1500×≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。

寿险精算实务精华版

寿险精算实务精华版

寿险精算实务讲义第一章 人寿保险的主要类型1.1传统的人寿保险1.1.1 定期寿险定期寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为固定年限的人寿保险。

1.1.2 终身寿险终身寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为终身的人寿保险。

1.1.3 终身寿险两全保险是指在保险期限内以死亡或生存为支付保险金条件的人寿保险。

1.1.4 年金保险年金保险指以生存为支付保险金条件，按约定分期支付生存保险金，且分期支付生存保险金的间隔不超过一年（含一年）的人寿保险。

1.2 新型人寿保险1.2.1分红保险 1.2.2投资连结保险第二章 保单现金价值与红利2.1 保单现金价值2.1.1 保单现金价值的含义现金价值又称解约金、退保金、不丧失保单利益、不丧失价值或不丧失现金价值。

现金价值是指投保人或保险公司解除保险合同时，由保险公司向投保人退还的那部分金额。

现金价值往往特指以现金方式支付的不丧失保单利益。

,0kk k k CV V SC CV =-≥一般情况下，现金价值不大于责任准备金，主要原因是费用在毛保费中重新调整造成的。

其他原因：①财务风险；②死亡率风险；③效益风险；④退保成本。

2.1.2 保单现金价值的计算⑴ 调整保费法 ....()()()()k k C V A k P a k V P P a k αα=-=--, 1..A E P aα+=根据NAIC1941年规则：10.4m in(,0.04)0.25m in(,,0.04)0.02x E P P P ααα=++； 1980年规则：1 1.25m in(,0.04)0.01E P =+优点：是计算现金价值的主要方法，详细定义了费用的确定，得到的不丧失价值更为准确公平； 缺点：计算相对复杂。

⑵ 准备金比例法 k k k C V f V =⨯优点：①简单，便于管理；②不受公司定价假设的影响；③准备金是保单责任的保守估计，对客户较为公平；④能够及时地反映定价时市场利率的变化。

保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳

保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳

第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

保险精算中的人寿保险的精算现值的模型

保险精算中的人寿保险的精算现值的模型

保险精算中的人寿保险的精算现值的模型一、人寿保险简介保险精算学主要分为两大类：一个是所谓的人寿保险（寿险精算），另一个是非人寿保险。

前者主要以人的寿命、身体或健康为“保险标的”的保险。

非人身保险主要包括：汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保证保险等。

而这次我们主要讨论人寿保险。

狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。

它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。

人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。

（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。

（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分分为：非延期保险和延期保险。

（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。

人寿保险的特点1：保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。

2：保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。

被保险人的死亡时间是一个随机变量。

这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。

3：被保障人群的大多数性保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。

人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。

假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。

假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。

2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。

而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。

人寿保险精算现值

人寿保险精算现值

其精算现值以 m A x 表示，有
x1
mAx E(Z) vk1kqx km
显然有 Ax A1x:mmAx
5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起 的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为
0 , K 0 ,1 ,2 , ,m 1 Z vK 1 ,K m ,m 1 , ,m n 1
A 4 10:35%k 40vk1kq40k 401.01 5k1dl44 00 k
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s(x) 1 x , 105
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
注: 在符号 A 1 中，令n=1，即得 A 1 ，在
A A1 A 1
35 :5
35 :5
35 :5
4
v k 1 k q35 v 5 5 p35
k0
1 l35
4
( v k 1d 35k
k 0
v5l40 )
4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为
0, K0,1,2,L,m1 Z vK1, Km ,m1,L
机变量为 ZvK1 ，它的期望就是其精算现值.
因为 所以
P (Kk) kpxqx k kqx
A xE (Z)k x0 1vk 1kqxl1 xk x0 1dxkvk 1
●赔付现值随机变量的方差：
V(a Z )r E (Z 2) [E (Z )2 ]
E(Z2)
v2(k1)kqx
e q 2(k1) kx
vk1, k0,1,2,,n1 Z

人寿保险的精算现值

人寿保险的精算现值
每年的赔付支出及其折现值如表所示：
年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值
（1） （2）
(3)=1000×(2) (4)
(5)= (3) ×(4)
11
1000
1.03-1
970.87
22
2000
1.03-2
1885.19
33
3000
1.03-3
2745.43
44
4000
1.03-4
3553.95
px qx 1
400 000 (1 i)3
px
px1qx2
36829(元)
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35
死亡年末给付趸缴净保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax
vk 1 k
px
qxk
A1 x:n|
n| Ax
k 0
A1
m x:n
k
bk+1
qk+1
0
300 000
0.02
1
350 000
0.04
2
400 000
0.06
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
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34
例3.5答案
300 000vqx 350 000v2 1| qx 400 000v3 2| qx
300 000 1 i
qx
350 000 (1 i)2
第三章
人寿保险的 精算现值
2021/4/21
1
本章结构
人寿保险的 精算现值
离散型寿险的精算现值 连续型寿险的精算现值

人寿保险的精算现值

人寿保险的精算现值

t
e6 0 t 1 d t 1 e 6 0
0
60
60
（ 2） V a r ( zT ) 2 A x ( A x )2
60 0
e 2t
1 60
dt
( Ax)2
1 e 120 (1 e 60 )2
120
60
例2.7答案
(3) Pr(zT 0.9) Pr(vT 0.9)
= Pr(T
因为
所以
z1 z2 0
V a r (z 3 ) V a r (z 1 ) V a r (z 2 ) A x 1 :nA x :1 n
例2.8
设
S(x)1 x , 0x100 100
i0.1
计算
（ 1 ）A 30:10
(2)Var(zT)
例2.8答案
由例2.6已知：
A1 0.092 30:10
1 100
x
A1 30:10
10 vt
0
f30 (t )dt
101.1t 1 dt
0
70
1
1.1t
0 10
0.092
70 ln1.1
（2）Var(zT )
2 A1 30:10
( A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922 0.055
人寿保险的精算现值
第二章中英文单词对照一
趸缴纯保费 精算现时值
死亡即刻赔付保险 （连续模型）
死亡年末给付保险 （离散模型）
定额受益保险
Net single premium
Actuarial present value
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第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人寿保险的精算 现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
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第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
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第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
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第二章 人寿保险的精算现值
一般情况下，统称bt为保额函数。相应地，用vt记贴现函数， 即将bt贴现到保险开始时的函数。通常假设贴现因子中的利率 为常数。
对于一份新发行的保单，因为保险事故发生的时间由随机变量 T(x)来描述，而保险利益的支付时间及其价值均与T(x)有关， 所以，可以定义相应的现值随机变量如下：
Z= bTvT
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第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
• 本节讨论的寿险模型 , 其保险金是在被保险人的未来寿命 T= T(x) 时给付 , 即在被保险人死亡时立即给付。在寿险实务中 几乎所有保险都是如此。这 就是所谓的连续型的人寿保险 模型
• 死亡保险:
勇于开始，才能找到成
功的路
假设被保险人在投保 ( 或签单 ) 时的年龄为x 岁 , 保险金
[ 例] 设有 100 个相互独立的年龄都是 x 岁的被保险 人均投保保险金额为 10 元的连续型终身寿险 , 死力为 =0.04, 保险金将从按利力 =0.06 计息的投资基金 中支付。 试计算该项基金在最初 (t=0) 时 , 其数额至 少有多大 , 才能保证从该项基金中足以支付每 个被保 险人死亡保险金的概率近似为 95%。
• 例，设(x) 的未来寿命T=T(x)的密度函数是
勇于开始，才能找到成 功的路
解 : 依题意 , 则有
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第二章 人寿保险的精算现值
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第二章 人寿保险的精算现值
保险金给付现值的随机变量 ZT 的方差 , 对于 考虑经营该险种业务的财务稳定性具有重要的 指导意义。
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
• 表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年 期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴纯保 费分别为
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
• 例考察保险金额为 1 个单位的延期 5 年的终身寿险 , 设年 龄为 x岁的被保险人 , 其死力为常值μ =0.04, 利力 =0.10,Z 表示给付现值随机变量。试求 :
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第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
所谓等额保险，是指保险利益的金额在保险开始时 就已经固定，只是支付的时间不确定而已，支付时 间与保险事故发生的时间有关。
定期死亡保险 终身寿险 生存和两全保险 延期保险
定期死亡保险：考虑n年期定期死亡保险，这种保 险只有被保险人在保险开始后n年内死亡，保险公 司才对被保险人进行支付。
在被保险人未来寿命 T= T(x) 时的给付金额为 bt, 而 vt 是
在时刻 t 时给付 1 个单位金额在签单时的利息贴现系
数 ,ZT 是给付金额在签单时的现值。则现值随机变量
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
死亡保险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿险 , 其有关函数是
期望值 E(Z);(2) 方差 Var(Z);(3)中位数
解 : 依题意可知 , 未来寿命 T=T(x)的密度函数是
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第二章 人寿保险的精算现值
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第二章 人寿保险的精算现值
变额保险
对于连续型的非均衡给付保险 , 本文仅讨论递增非均衡 给付和递减非均衡给付中的两种特殊情形:1. 按算术数 列续年递增的终身寿险 ; 2. 按算术数列续年递减的终 身寿险。
本章的目的就是讨论各种人寿保险的模型和方法。
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第二章 人寿保险的精算现值
§2.1 连续型保险
所谓连续型保险，指的是在保险事故出现后立即支付保险利益 的保险，因为人寿保险一般以被保险人的死亡为保险事故，所 以有时又叫做在死亡即刻支付的保险。
在保险事故出现后，保险公司向被保险人（或其收益人）支付 的保险金为保险利益，保险利益一般为从保险开始（保单生效 ）后到保险事故出现之间的时间长度的函数，根据上一章的记 号，用t来记时间变量，相应的保险利益记为bt。
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第二章 人寿保险的精算现值
两全保险与延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年期两全保险 , 其给 付现值的随机变量
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的终身寿 险 , 其给付现值的随机变量是