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应力状态理论的基础

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材料力学应力状态和强度理论

材料力学应力状态和强度理论

x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2

应力状态的概念

应力状态的概念
建筑力学
应力状态与强度理论\应力状态的概念
应力状态的概念
1.1 一点处的应力状态
在工程中，只知道杆件横截面上的应力是不够的。例如，在铸 铁试件压缩时，沿与轴线大约成45°左右的斜截面发生破坏（如 图），这是由于在与轴线成45°的斜截面上存在最大切应力所引起 的。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
力的影响。
为了分析破坏现象以及解决复杂受力构件的强度问题，必须首
先研究通过受力构件内一点处所有截面上应力的变化规律。我们把
通过受力构件内一点处不同方位的截面上应力的大小和方向情况，
称为一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
1.2 应力状态的表示
为了研究受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点取出一个 微小的正六面体，称为单元体，并分析单元体六个面上的应力。由 于单元体的边长无限小，可以认为在单元体的每个面上应力都是均 匀分布的；且在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。
力状态。例如从地层深处某点取出的单元体，它在三个方向都受到 压力的作用，处于空间应力状态（如图）。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有切应力作
用，称为纯剪切应力状态，例如图所示的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 应力状态也可以按主应力的情况分类。若单元体的三个主应力
如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的应力，则其他任意 截面上的应力都可以通过截面法求得（详见8.2.1），那末该点处的 应力状态就可以确定了。因此，可用单元体的三个互相垂直平面上 的应力来表示一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念

土力学中的有效应力原理

土力学中的有效应力原理

土力学中的有效应力原理有效应力原理是土力学中的重要概念，它是基于有效应力理论的基础，用于描述土体内部颗粒之间的力学状态。

在土力学中，土体的有效应力是指影响土体体积变形和强度特性的部分应力。

有效应力原理的应用可以帮助工程师合理地设计和分析土体的力学性质，从而确保工程的安全可靠。

有效应力原理的基本假设是：土体中的颗粒间存在一定的摩擦力，这种摩擦力会影响土体的力学性质。

在土体受到外部载荷作用时，颗粒之间的摩擦力会使土体内部的颗粒产生相互作用，从而形成一种分布不均匀的应力状态。

有效应力原理认为，只有这种分布不均匀的应力才能真正影响土体的体积变形和强度特性，而与之无关的应力则不会对土体产生影响。

在实际工程中，为了计算和分析土体的力学性质，我们需要确定土体的有效应力。

有效应力的计算是基于有效应力原理进行的。

根据有效应力原理，土体的有效应力等于总应力减去孔隙水压力。

孔隙水压力是指土体中水分所产生的压力，它与土体的饱和度和孔隙水的压力有关。

有效应力原理的应用非常广泛，例如在地基工程中，我们需要考虑土体的有效应力来确定地基的稳定性和承载力。

在岩土工程中，我们需要了解土体的有效应力来评估边坡的稳定性和地下水的渗流规律。

在土石坝工程中，我们需要计算土体的有效应力来评估坝体的变形和破坏机理。

有效应力原理的应用需要考虑土体的物理性质、力学性质以及水分状况等因素。

不同的土体类型和工程环境下的土体特性会对有效应力产生不同的影响。

因此，在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法和模型来计算和分析土体的有效应力。

有效应力原理是土力学中的重要概念，它描述了土体内部颗粒之间的力学状态。

有效应力原理的应用可以帮助工程师合理地设计和分析土体的力学性质，确保工程的安全可靠。

在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法和模型来计算和分析土体的有效应力，以确保工程的顺利进行。

有效应力原理的掌握对于土木工程专业的学生和从事相关工作的工程师来说是非常重要的。

第八章2应力应变状态分析

第八章2应力应变状态分析

第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。

应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。

而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。

针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。

应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。

在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。

线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。

一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。

平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。

二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。

在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。

最常见的是材料的应力-应变曲线。

应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。

在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。

而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。

当应力达到最大值时，材料会发生破坏。

除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。

例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。

剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。

同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。

应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。

通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。

例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。

然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。

首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。

第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论

第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论

第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。

但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。

实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。

例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。

⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。

因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。

即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。

⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。

或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。

下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。

⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。

并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。

⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。

当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。

因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。

上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。

根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。

（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。

应力分析基础理论讲义

应力分析基础理论讲义

CAESARII-管道应力分析软件（系列培训教材）管道应力分析基础理论讲义管道应力分析基础理论管道应力分析主要包括三方面内容：正确建立模型、真实地描述边界条件、正确地分析计算结果。

所谓建立模型就是将所分析管系的力学模型按一定形式离散化，简化为程序所要求的数学模型，模型的真实与否是做好应力分析的前提条件。

应力分析的根本问题就是边界条件问题，而体现在工程问题上就是约束（支架）、管口等具体问题的模拟，真实地描述这些边界条件，才能得到正确的计算结果。

要想能够熟练而正确地分析结果，首先会正确设计支吊架，有一定的相关理论知识如工程力学，流体力学，化工设备及机械等，另外需在一定时间内不断摸索，总结出规律性的问题。

第一章管道应力分析有关内容·§1.1 管道应力分析的目的进行管道应力分析的问题很多CAESARII解决的问题主要有：1、使管道各处的应力水平在规范允许的范围内。

2、使与设备相连的管口载荷符合制造商或公认的标准（如NEMASM23，API610 API617等标准）规定的受力条件。

3、使与管道相连的容器处局部应力保持在ASME第八部分许用应力范围内。

4、计算出各约束处所受的载荷。

5、确定各种工况下管道的位移。

6、解决管道动力学问题，如机械振动、水锤、地震、减压阀泄放等。

7、帮助配管设计人员对管系进行优化设计。

§1.2 管道所受应力分类1.2.1 基本应力定义轴向应力（Axial stress）：轴向应力是由作用于管道轴向力引起的平行管子轴线的正应力，：S L＝F AX/A m其中S L＝轴向应力MPaF AX＝横截面上的内力NA m＝管壁横截面积mm2=π（do2-di2)/4管道设计压力引起的轴向应力为S L＝Pdo/4t轴向力和设计压力在截面引起的应力是均布的，故此应力限制在许用应力[σ]t范围内。

弯曲应力（bending stress）：由法向量垂直于管道轴线的力矩产生的轴向正应力。

材料力学 第七章 应力状态和强度理论


y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。

第10章应力状态概述


sx 三个互相垂直的主平面.
主应力：
sz
主平面上的正应力。
z
x 主应力排列规定：按代数值大小，
s2
s 1s 2 s 3
s1 主应力单元体：
由主平面构成的单元体。
s3
六.应力状态的分类: 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。
s1 17°
x
(e)
解析法：
s max s min
1 2
(s
x
s
y)
1 2
(s x
s y )2
4t
2 x
46.1MPa
26.1MPa
0
1 tg 1 2t x 2 sx sy
16.85o
s 1 46.1MPa, s 2 29MPa, s 3 26.1MPa
t max
s1
s3
2
36.1MPa
t
(c)
s 2 20MPa s 3 26MPa
t
(d)
B
D2
D2
max t
OC
A
s
OC
A
s
D1
s3
s1
D1
s3
s2 s1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。
最大剪应力对应于B点的纵坐标，即
tmax BC 36MPa
作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。
s3
tmax s2
s2
s1
t
s3
s2
s3
s1
s3
s2
s2
s1
s3

材料力学应力状态


2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3

第二章应力状态理论(弹性力学)

应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
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0 0
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
例题
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生 屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
σx
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σα =
σx
2
+
σy
2
cos 2α
R= ( 60 − (−40) 2 − 30 − 30 2 ) +( ) = 58.31MPa 2 2
d (9.02,−58.3)
主应力单元体：
σ3
αo
σ1
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
例题
边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F=14kN作用。已知，μ=0.3，假设钢模的变形以及立 方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各 个面上的正应力。
2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
5、应力圆的应用 （4）面内最大剪应力 对应应力圆上的 最高点的面上切应力 最大，称为“ 面内 最大切应力”。
τ
τmax a
o B1 d
c
2α o
σ
A1
例题 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。 图中应力的单位为MPa。 τα
e
2.2
σx τx
σ
σx
σy τy
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
σy
D
τx
Α
σx
τ
a
τy
o B 1 d
c
2α 0
σ
A1
主平面：τ = 0,
与应力圆上和横轴交点对应的面
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力 拉(压): ( ):
F
σ
F σ = ≤ σ A
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
扭转:
τ max
M max = ≤ [τ ] WP
40
D
Α
α
30 MPa 60 MPa
解： 用应力圆解法
40
σ 3 = −48 .3MPa
a(−40,30)
τ
σ 1 = 68.3MPa
30 MPa
α
60 MPa
(10 , 0 )
f
2αo
σ
b(60,−30)
e
o c
60o
tg2θ p = −
2τ xy
σ x −σ y
= 0.6
∴θ p = 15.48o
σ min
τ
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σ α = −τ sin 2ατΒιβλιοθήκη = σ max σ x −σ y
2 sin 2α + τ x cos 2α
α = ±450
σ 45 = σ ∪ = −τ ⊗
0
τ α = τ cos 2α
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即45 螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
30 MPa
60 MPa
+
主应力 σ 3 的方向：αo = 105 5o
40 MPa
30 MPa
+
例题
图示应力单元体，试求斜面ab和bc上的应力。
30 MPa
n1
σα =
0
σ x +σ
2
y
+
σx − σy
2
2α − τ x sin 2α
a
20MPa
σ −60 =
30o
10MPa
10 + 30 10 − 30 10 + 30 cos−− 120 )0− 20 sin (− 120 )0= 42.32 MPa 10 ( 30 + σ 300 = + cos 60 0− 20 sin 60 0= −2.32 MPa 2 2 2 2
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
σ
M
M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
中性轴
σ
=
M (x ) W
≤ σ
τ max
τ∪ = … ©
FQ S z I zb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5
FP l Mz = 4
σα − σx + σ y
2
2
+ y 2 = R2 是一个圆心在(a.0), σx − σy 2 2 2 + τα = + τ x是个应力圆的方程
2
x−a
2
y
τ
R =
σx − σy
2
2
+ τ 2 xy
R
a0
x
R
σx + σy
2 0
σ
2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应 力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元 体任意斜截面 α 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 α 上的应力相互 制约在圆周上变化。
（1）α斜面上的应力
40
30 MPa
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α − τ xy sin 2α
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
60 MPa
= 9.02 MPa
τα = σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2 sin 2α + τ xy cos 2α
τ
σy
τy
B A
σx
O
c
b(σy ,τy)
a(σx ,τx)
σ
τx
5、应力圆的应用
（1）对基本变形的应力分析
σx
B
x' y y'
τ
b
A
2×45º
45º x
D
d o
σ
a
c
2×45º
E
σx
e
单向拉伸
σx
B E
σ45o τ45
o
B
x' y'
τ−45
σ−45o
o
E
σx
可见：
单向拉伸
45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不 是最大值，切应力却最大。
τ
主应力排序： a
τ
σ
oσ 2 d
c
2θ p
σ
σ1
σ3 o
σ1
τ
σ2 o
σ
σ3
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 σ2 σy τ 主方向的确定
σ1
D
τxy
Α
a (σx ,τxy)
σ
σx
αo σ1
τyx
σ2
oσ
2
c
d
2α o g σ1
tg2αo = −
σx −
τ xy σx + σ y
例题
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,ν=0.3. 现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为ε=5.2×10-4,试 求圆轴所承受的扭矩.
T
45
0
σ1 = τ
σ2 = 0
σ 3 = −τ
T τ= Wp
1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E
σ3
σ1
FP
S’平面
课堂练习 绘图示梁S 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4 S’ 平 面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S’平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
= −58 .3MPa
（2）主应力
∪ σ x +σ y … σ ∪= © ± ⊗ 2 ⊃
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+τ
2 xy
30 MPa
60 + 40 2 + (−30)2 2
60 MPa
68 3 = MPa − 48 3
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
b
c
60o
τα =
10 − 30
0 0
σ x −σ y
2
2
sin 2α