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第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
材料力学知识点总结材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
它是工程力学的一个重要分支，对于机械、土木、航空航天等工程领域的设计和分析具有重要意义。
以下是对材料力学主要知识点的总结。
一、基本概念1、外力与内力外力是指物体受到的来自外部的作用力，包括集中力、分布力等。
内力则是物体内部各部分之间的相互作用力，当物体受到外力作用时，内力会随之产生以抵抗外力。
2、应力与应变应力是单位面积上的内力，它反映了材料内部受力的强弱程度。
应变是物体在受力作用下形状和尺寸的相对变化，分为线应变和切应变。
3、杆件的基本变形杆件在受力作用下主要有四种基本变形形式：拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲。
二、拉伸与压缩1、轴力与轴力图轴力是指杆件沿轴线方向的内力。
通过绘制轴力图，可以直观地表示出轴力沿杆件轴线的变化情况。
2、横截面上的应力在拉伸（压缩）情况下，横截面上的应力均匀分布，其大小等于轴力除以横截面面积。
3、材料在拉伸与压缩时的力学性能通过拉伸试验，可以得到材料的强度指标（屈服强度、抗拉强度）和塑性指标（伸长率、断面收缩率）。
不同材料具有不同的力学性能，如低碳钢的屈服和强化阶段，铸铁的脆性等。
4、胡克定律在弹性范围内，应力与应变成正比，即σ ＝Eε ，其中 E 为弹性模量。
5、拉伸（压缩）时的变形计算根据胡克定律，可以计算杆件在拉伸（压缩）时的变形量。
三、剪切1、剪切内力与剪切应力剪切内力通常用剪力表示，剪切应力则是单位面积上的剪力。
2、剪切实用计算在工程中，通常采用实用计算方法来确定剪切面上的平均应力。
四、扭转1、扭矩与扭矩图扭矩是指杆件在扭转时横截面上的内力偶矩。
扭矩图用于表示扭矩沿杆件轴线的变化。
2、圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时，横截面上的应力分布呈线性规律，其最大应力发生在圆周处。
扭转角的计算与材料的剪切模量、扭矩和轴的长度等因素有关。
五、弯曲1、剪力与弯矩弯曲内力包括剪力和弯矩，它们的计算和绘制剪力图、弯矩图是弯曲分析的重要内容。
知识点9：应力状态理论和强度理论一、应力状态理论（一）应力状态的概念１．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。
过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。
２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。
单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。
当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。
截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。
３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。
过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元体，称为主单元体。
它的三个主应力通常用σ１，σ２和σ３来表示，它们按代数值大小顺序排列，即σ１＞σ２＞σ３。
４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。
其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。
5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。
（二）平面应力状态的分析１．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。
２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。
应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。
３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５︒的最大（最小）切应力截面。
４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。
图9-1（a ）所示单元体为平面应力状态的一般情况。
单元体上，与x 轴垂直的平面称为x 平面，其上有正应力σx 和切应力τxy ；与y 轴垂直的平面称为y 平面，其上有正应力σy 和切应力τyx ；与z 轴垂直的z 平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。
平面应力状态也可用图9-1（b ）所示单元体的平面图来表示。
设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90︒所得的方向为正，反之为负。
（a ）（b ）（c ）图9-1图9-1（c ）所示斜截面的外法线与x 轴之间的夹角为α。
规定α角从x 轴逆时针向转到截面外法线n 方向时为正。
α斜截面上的正应力和切应力为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 最大正应力和最小正应力22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=最大正应力和最小正应力是平面应力状态的两个主应力，其所在截面即为两个主平面，方位由下式确定：yx xyσστα--=22tan 0最大切应力和最小切应力22minmax2xy y x τσσττ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±= 最大切应力和最小切应力所在截面相互垂直，且和两个主平面成45︒，其方位由下式确定：xyyx τσσα22tan 1-=（三）平面应力状态分析的图解法１．在σ，τ直角坐标系中，平面应力状态可用一个圆表示，如图9-2所示。
其圆心坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0,2y x σσ，半径为222x yx τσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-。
该圆周上任一点的坐标都对应着单元体上某一个α截面上的应力，这个圆称为应力圆。
图9-2（四）三向应力状态2１．在三向应力状态分析中，通常仅需求出最大（最小）正应力和最大切应力。
如欲求空间任意斜截面上的应力，则应用截面法求得。
２．在三向应力状态中，如已知一个主应力值和另外两对非主平面上的正应力和切应力，应由两对非主平面上的正应力和切应力分别求出另外两个主应力，然后根据三个主应力的大小分别写出σ1，σ2和σ3。
（五）广义虎克定律与体积变形 1． 广义虎克定律广义虎克定律表示复杂应力状态下的应力应变关系，虎克定律σ＝Ｅε表示单向应力状态的应力应变关系。
工程实际中，常由实验测得构件某点处的应变，这时可用广义虎克定律求得该点的应力状态。
以主应力表示的广义虎克定律[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=)(1)(1)(1213313223211σσμσεσσμσεσσμσεE E E式中σ1，σ2，σ3为代数值，各主应变ε1，ε2，ε3的代数值间相应地有ε1＞ε2＞ε3。
如果单元体的各面上既有正应力又有切应力时，不计切应力对单元棱边的长度变化的影响，广义虎克定律为[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-==+-==+-=GE GE GE zxzx y x z z yzyz x z y y xyxy z y x x τγσσμσετγσσμσετγσσμσε,)(1,)(1,)(12．体积变形图9.3图9-3所示单元体的单位体积变化（即体积变形）为θ＝ε1＋ε2＋ε3设平均主应力σm ＝31（σ1＋σ2＋σ3），则体积改变虎克定律为Kmσθ=式中)21(3μ-=EK ，称为体积弹性模量。
（六）平面应变分析１．本章所指平面应变状态是平面应力所对应的应变状态，不同于弹性力学中的平面应变状态，研究的范围仅限于应变发生在同一平面内的平面应变状态。
切应变为零方向上的线应变称为主应变，各向同性材料的主应力和主应变方向相同。
２．在用实测方法研究构件的变形和应力时，一般是用电测法测出一点处几个方向的应变，然后确定主应变及其方向，进行应变分析。
３．在进行一点的平面应变分析时，首先应测定该点的三个应变分量εx ，εy和γxy 。
由于切应变难以直接测量，一般先测出三个选定方向α1，α2，α3上的线应变，然后求解下列联立方程式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--++=--++=--++=3322112sin 22cos 222sin 22cos 222sin 22cos 22321αγαεεεεεαγαεεεεεαγαεεεεεαααxy y x y x xy y x y x xy y x y x 即可求得εx ，εy 和γxy 。
实际测量时，常把α1，α2，α3选取便于计算的数值，得到简单的计算式，以简化计算。
如选取α1＝０︒，α2＝４５︒，α3＝９０︒，则得到εε=x90εε=y904502εεεγ+-=xy主应变的数值29045245090021)()(222εεεεεεεε-+-±+= 主应变方向90090045022tan εεεεεα---=４．一点的应变分析完成后，可用广义虎克定律求得该点的应力状态。
二、 强度理论（一）强度理论的概念１．杆件在轴向拉伸时的强度条件为[]σσ≤=AN式中许用应力[]nσσ=，σ︒为材料破坏时的应力，塑性材料以屈服极限σs （或σ0.2）为其破坏应力，而脆性材料则以强度极限σb 为其破坏应力。
简单应力状态的强度条件是根据试验结果建立的。
２．材料的破坏形式大致可分为两种类型：一种是塑性屈服；另一种是脆性断裂。
不同的破坏形式有不同的破坏原因。
３．关于材料破坏原因的假说称为强度理论。
这些假说认为在不同应力状态下，材料某种破坏形式是由于某一种相同的因素引起的。
这样，便可以利用轴向拉伸的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。
(二)四种常用的强度理论１．最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素。
第一强度理论的强度条件是σ１≤［σ］２．最大拉应变理论（第二强度理论）这一理论认为：最大拉应变是引起材料断裂破坏的主要因素。
第二强度理论的强度条件是σ１－μ（σ２＋σ３）≤［σ］这一理论假设材料直到断裂前服从虎克定律。
３．最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力。
第三强度理论的强度条件是σ１－σ３≤［σ］４．形状改变比能理论（第四强度理论）这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是形状改变比能。
第四强度理论的强度条件是[]σσσσσσσ≤-+-+-213232221)()()[(21（三）强度理论的应用与相当应力１．运用强度理论解决工程实际问题，应当注意其适用范围。
脆性材料一般是发生脆性断裂，应选用第一或第二理论，而塑性材料的破坏形式大多是塑性屈服，应选用第三或第四强度理论。
２．工程实际中，常将强度条件中与许用应力[σ]进行比较的应力称为相当应力，用σxd 表示。
上述四种强度理论的强度条件，可写成统一的形式σxdi ≤[σ] （i ＝1，2，3，4）四种强度理论的相当应力分别是σxd １＝σ１σxd ２＝σ１－μ（σ２＋σ３） σxd ３＝σ１－σ３2132322214)()()[(21σσσσσσσ-+-+-=xd三、难题解析【例1】 一点处的平面应力状态如图9-4（a ）所示。
已知MPa 60=x σ，MPa 40-=y σ，MPa 30-=xy τ， 30-=α。
试求（1）α 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
（a ）（b ）图9-4解：（1）α 斜面上的应力MPa02.9)60sin(30)60cos(24060240602sin 2cos 22=-+-++-=--++= ατασσσσσαxy yx y xMPaxy yx 3.58)60cos(30)60sin(240602cos 2sin 2-=---+=+-=ατασστα（2）主应力、主平面MPa xy yx yx 3.68)2(222max =+-++=τσσσσσMPa xy yx yx 3.48)2(222min -=+--+=τσσσσσ所以MPa 3.48,0MPa,3.68321-===σσσ 主平面的方位角为6.040606022tan 0=+--=--=yx xyσστα5.150=α5.105905.150=+=α由此可知，主应力1σ方向： 5.150=α，主应力3σ方向： 5.1050=α（3）绘制主应力单元体，如图9-4（b ）所示。
【例2】如图9-5所示圆柱体，在刚性圆柱形凹模中轴向受压，压应力为σ。
试计算圆柱体的主应力与轴向变形，材料的弹性模量与泊松比分别为E 与μ，圆柱长度为l 。
图9-5解：在凹模中的轴向压缩圆柱体，由于其横向变形受阻，其侧面也受压，压强值用p 表示。
