高三数学课件：空间向量复习

高三第一轮复习讲义

高三数学总复习讲义—空间向量与立体几何

［课标要求］

1．空间向量及其运算

① 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

2．空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量.

② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.

［命题展望］

向量是一个重要的代数研究对象，同时又是一个几何对象，因为向量本身有方向，有方向就有角度；向量又有大小，有大小 就有长度。空间向量是对平面向量的推广，为处理立体几何问题提供了新的视角，为解决立体几何中的点、线、面的位置关系等提供了十分有效的工具.

从最近几年的高考试题来看，对空间向量的考查一般不单独命题，而主要是在解题中通过解决一些综合性问题来进行考查，如空间中线面关系的论证，空间中角和距离的求解等。一般都要求学生在给出的几何体中建立恰当的空间直角坐标系，并通过空间向量的坐标运算来解决相应的问题，因此应熟练掌握空间向量的概念与运算，特别应注意坐标运算。

在复习中要注意总结各种情况下的空间直角坐标系的建立方法，熟悉点的坐标与向量坐标间的关系，掌握一些常见问题的解法，如平面法向量的求法，垂直、平行问题的证法等，它是空间向量解题思想的基础。解题训练中要注意建立直角坐标系的合理性与可行性，切忌随意建立直角坐标系。

第一讲 空间向量及其坐标运算

[知识梳理]

［知识盘点］

一.空间向量及其加法、数乘运算

1．空间中具有 的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示 或 。空间向量的加减与数乘运算和平面向量同类。

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高三数学平面向量的复习策略

作者：金晔

来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2014年第24期

摘要：平面向量在高考江苏卷中是必考知识点，但由于平面向量自身特点以及教学安排上的原因导致学生步入高三时，此知识体系基础较差，笔者通过分析成因，采取概念——图式——分解的复习模式，提升学生复习平面向量信心，提高解题能力。

关键词：向量;概念;图式;例题;信心

中图分类号：G427文献标识码：A ; ; 文章编号：1992-7711（2014）24-068-1

一、高三复习平面向量的现状与成因

1.平面向量与学生固有知识的差异。

平面向量是高中学习的新内容，不同于度量、数量，是不能直接比较大小的，我们知道，用一个已经掌握的知识迁移出新知识，同学们更容易掌握，比如用一元二次方程引出二次函数再到一元二次不等式的解法，学生可以比较旧知识的同时掌握新学知识，就更容易掌握。然而，平面向量与同学们的固有认知不同，不同是什么，这是造成同学们学习障碍的一个因素。

美国认知心理学家古德曼认为，学习是构建内在心理表征的过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆之中，而是以已有的知识经验为基础，通过与外界的相互作用来构建新的理解。正因为如此，所以高中学生在没有学习解析几何初步的基础上学习向量知识，势必造成知识构建不够完整，那就很难去应用这个知识去进行进一步的推论、搜索与整合，造成解题时思维的断链。因此，笔者在高三复习时，需要做的就是利用学生对向量现有的一些知识片段去重新构建平面向量的知识体系，对原有的支离破碎的知识概念加以整理提升，并以此为基础，培养学生自觉利用向量的代数性质与几何性质解决相关问题的能力。

2.各校调整教学顺序及课时安排的原因。

平面向量在《普通高中数学新课程标准（实验）》（以下称《标准》）中，安排了12课时，《标准》中对平面向量部分的介绍是“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。”这在《标准》中是在必修4中学习的。但各校考虑到各种因素，往往将平面向量知识放在高一第一学期学习，此时的高一学龙源期刊网

2022届高三数学二轮复习综合实践专题

——空间向量求椎体体积

教学目标：1. 带领学生继续巩固立体几何的相关内容

2. 在巩固的基础上教会学生解决几何体外接球问题

实施方法：由老师带领学生先解决已经考过的试题，随后在讲解新方法的同时，回顾原来的旧题并尝试采用新方法解答，在熟练掌握的基础上继续采用新方法解决更多问题。整个活动课程主要以学生讨论的方式为主，做到提高学生思维发散能力.

活动一：问题引入

你熟知的求锥体体积的方法有哪几种？

活动二：例题演练

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形。PA=2，AB=1，BD = 3. E、F为AC、PC的中点，G为PD上靠D的中点。

（1）求四棱锥P—ABCD的体积

（2）求四棱锥P—EFG的体积

P

A B

C D

E F G 在上题中，你能想到几种办法解决第（2）问？

活动三：方法导入

如图，MH为体高（即面PQN的法向量），PQN为底面，MN是几何体M-PQN的一条棱。显而易见：MH = MN·cosθ。让MN对应的方向向量为a，MH对应的为n。

那么就有nanananaMH，也就是说：

体高的长度nanh，其中a为顶点到平面一条棱对应的方向向量。n为平面的法向量。

在得到方法后，再尝试上一题

活动三：小试牛刀

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形形。PA=AD=2，E为PD的中点。求四棱锥A—PCE的体积

M

N

P Q H θ

A B

C D E P 活动四：试题演练

1. 如图，△ABC是边长为3的正三角形，D，E分别在边AB，AC上，且BD=AE=1，沿DE将△ADE翻折至△A’DE位置，使得A’-DE-C为60°，则四棱锥A’-BDEC体积

为 ▲ .

2. 活动单导学案立体几何专题第10，13，17小题

第十三章 空间向量与立体几何

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上空间向量与立体几何 空间向量及其运算

立体几何中的向量方法 空间向量的加减运算

空间向量的数乘运算

空间向量的数量积运算

空间向量的坐标运算 共线向量定理

共面向量定理

空间向量基本定理

平行与垂直的条件

向量夹角与距离

直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角

求空间距离 淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。