2018届高考数学(文)专题复习习题： 第5部分 高考大题规范练 5-2-5 含答案

2018年数学必修五专项练习（含2018高考真题）、选择题i、设七为等差数列.1的前1项和，若「二―-，则；2、已知集合c.{x|x<-l)U[^|x>2}D. {x|x<-l)U{^k^2}3、已知-p-：：?L：-：；+成等比数列，且 J〔一「r 1-「二若「I ,则A. 「疋”：；. B c . J」—D . -I - ■■- ■ ■ - '\£=迈4、 .在/ 中， J 一，，口一1■一，」一「」，则上」A . B. a C .门 D. Jd+h3-c15、一）的内角』，占，e的对边分别为住，b, *.若的面积为^ ，则「（）^+y<5, 2x-y<4f<-x+y<16、设变量人v满足约束条件卩工°，则目示函数2二3x+5y的最大值为(A) 6 (B) 19(B) 3 (D) 98、已知函数(A)/(x)二2设一一比，若关于X的不等式『47 391(B)厂二J ( C) —「在R上恒成立，则a的取值范围是A4+il=IA+I A+2^4 H E N，x<3fr+y池7、若凡y满足Lr兰兀则x+2y 的最大值为(A) 1(C) 5x2-2A+^>0,x+2^-2 >0T x<0,9、设变量扎y满足约束条件则目标函数•二•. I “的最大值为2 3（A）匚（B）1（C） 1 （D） 3\-2y+5<0<A+3>010、已知x, y满足约束条件22,则z=x+2y的最大值是（A） -3 （ B） -1 （ C）1 （ D） 3匸幷+尸工2,11、若x，y满足.y —则x + 2 y的最大值为（A） 1 （ B） 3 （C） 5 （ D） 912、如图，点列｛A｝，｛B｝分别在某锐角的两边上，且(C) 21 (D) 45A . ■- 是等差数列B •匕 是等差数列C .是等差数列是等差数列14、若:\ 满足约束条件 ，则- 的最大值为15、设 是等差数列，且 a 1=3，住+a 5=36，则 的通项公式为r-4,x>4 <216、已知入€ R,函数f (x )= M -4匸+3亦，当入=2时，不等式f (x )<0的解集是 •若函数f (x )恰有2个零点，贝9入的取值范围是17、.在厶ABC 中，角A ，B, C 所对的边分别为 a ，b ，c •若a^ ，b=2, A=60 °，则sin B = 18、若满足约束条件二二 二「则的最小值是，最大值是二，(—立「).二、填空题13、记I 为数列的前辽项和，若19、已知集合」•将」■的所有元素从小到大依次排列构成一个数 列；• •记玄为数列的前n 项和，则使得 2 >12%成立的n 的最小值为若21、 —的面积为—「C 为钝角，则/ B ;的取值范围是20、.在• 中，角所对的边分别为；「_i.F ，丄「的平分线交丄1■于点D,且J则I I.的最小值为 _____________22、若,y 满足* + 15孑兰2*，则2y- ??最小值是 __________________ ,23、厶 ABC 的内角的对边分别为 山 h c ，已知 = 8，则△ABC 的面积为 ___________ .J r-j+l?024、若心卩满足约束条件A 宅°，则"3"卽的最大值为 ________________1+2厂5丸 *工-卽十3M 0f25、 若X 』满足约束条件k-5wo,贝忆二丫町的最大值为 ______________ .2工+y+ 3三山卜-》4鼻0,J26、 若变量° y 满足约束条件i 工-2wu.则3的最大值是 ___________三、简答题27、在平面四边形 ABCD 中,厶DC 二忙 上肛45”，曲=2, BD=5（i ）求」 ___ ；（2）若m 二』，求d .]28、在厶 ABC 中, a =7，b =8，cosB=-..(I)求/ A（H ）求AC 边上的高.29、已知等比数列｛a n ｝的公比q >l ，且a 3+a 4+a 5=28, a+2是a 3, a 5的等差中项.数列｛ bn ｝满足 b i =l ，数列｛ ( 4+1-b n ) a n ｝的前 n 项和为 2n 2+n .(I)求q的值；(H)求数列｛b n｝的通项公式.30、设亠■是等差数列，且-<(I)求；的通项公式；(H)求, a31、已知数列满足11—，,宀* ，设一‘ ■:(1)求：’-':；(2 )判断数列’丨是否为等比数列，并说明理由;(3) 求的通项公式.32、记「为等差数列 !的前「项和，已知< ''.(1 )求「的通项公式；(2 )求■，并求丄的最小值.33、等比数列.—中，I ' I '1 .⑴求「’的通项公式；⑵记〔为「•的前口项和•若’一…，求".。

大题规范练(二)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n＋(－1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24S 7＝7a 1＋7×62d ＝63⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2⇒a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n·(2n ＋1)，∴T n ＝2×(41＋42＋ (4))＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝n－3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝n－3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝n－3－n －2，∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n－3＋n n ＝2k ，k ∈N *n－3－n －n ＝2k －1，k ∈N *2．(本小题满分12分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73 kg(≥73 kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76 kg 的职工被抽取到的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x ＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为s 2＝110×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中的体重不轻于73 kg 的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A 表示“抽到体重为76 kg 的职工”，则A 包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P (A )＝410＝25.3．(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合于点B ，构成一个三棱锥(如图2)．(1)证明：MN ∥平面AEF ； (2)证明：平面ABE ⊥平面BEF .证明：(1)∵翻折后B ，C ，D 重合于B 点，∴MN 是△ABF 的一条中位线， ∴MN ∥AF .又∵MN ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， ∴MN ∥平面AEF .(2)∵AB ⊥BE ，AB ⊥BF ，且BE ∩BF ＝B ， ∴AB ⊥平面BEF ，而AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BEF .4．(本小题满分12分)已知椭圆C 1的焦点在x 轴上，中心在坐标原点；抛物线C 2的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点．在C 1，C 2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：(1)求C 1，C 2(2)已知定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，P 为抛物线C 2上一动点，过点P 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，22也在椭圆上，分别将其代入，得4a 2＝1，2a 2＋12b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.设C 2：x 2＝2py (p ＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C 2的方程，得p ＝1， ∴C 2的标准方程为x 2＝2y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t 2， 由y ＝12x 2知y ′＝x ，故直线AB 的方程为y －12t 2＝t (x －t )，即y ＝tx －12t 2，代入椭圆C 1的方程，整理得(1＋4t 2)x 2－4t 3x ＋t 4－4＝0，Δ＝16t 6－4(1＋4t 2)(t 4－4)＝4(－t 4＋16t 2＋4)＞0， x 1＋x 2＝4t 31＋4t 2，x 1x 2＝t 4－41＋4t 2，∴|AB |＝1＋t216t6＋4t22－t 4－＋4t2＋4t22＝21＋t2－t 4＋16t 2＋41＋4t2， 设点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18到直线AB 的距离为d ，则d ＝|－18－12t 2|1＋t 2＝18·|1＋4t 2|1＋t2， ∴S △ABC ＝12×|AB |×d ＝12×21＋t 2－t 4＋16t 2＋41＋4t 2×18×|1＋4t 2|1＋t 2＝18－t 4＋16t 2＋4＝ 18－t 2－2＋68≤1868＝174，当且仅当t ＝±22时，取等号，此时满足Δ＞0. 综上，△ABC 面积的最大值为174. 5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2(x ＞0，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)当a ＝2时，求证：f (x )＞1；(2)是否存在正整数a ，使得f ′(x )≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当a ＝2时，f (x )＝e x－x 2，则f ′(x )＝e x－2x ， 令f 1(x )＝f ′(x )＝e x－2x ，则f ′1(x )＝e x－2，令f ′1(x )＝0，得x ＝ln 2，又0＜x ＜ln 2时，f ′1(x )＜0，x ＞ln 2时，f ′1(x )＞0， ∴f 1(x )＝f ′(x )在x ＝ln 2时取得极小值，也是最小值． ∵f ′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )＞f (0)＝1.(2)由已知，得f ′(x )＝e x－ax ，由f ′(x )≥x 2ln x ，得e x －ax ≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立，当x ＝1时，可得a ≤e ，∴若存在，则正整数a 的值只能取1,2.下面证明当a ＝2时，不等式恒成立， 设g (x )＝e xx2－2x－ln x ，则g ′(x )＝x －xx3＋2x 2－1x ＝x －x－xx 3，由(1)得e x＞x 2＋1≥2x ＞x ，∴e x－x ＞0(x ＞0)， ∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0；当x ＞2时，g ′(x )＞0. ∴g (x )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴g (x )≥g (2)＝14(e 2－4－4ln 2)＞14×(2.72－4－4ln 2)＞14(3－ln 16)＞0，∴当a ＝2时，不等式f ′(x )≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立， 故a 的最大值是2.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝3＋3t(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为sin θ－3ρcos 2θ＝0.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标．解：(1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0，∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0， 即y －3x 2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝3＋3t代入y －3x 2＝0得，3＋3t －3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t ＝0，从而，交点坐标为(1，3)，∴直线l 与曲线C 交点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立；求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧4≥1x ≤－3，或⎩⎪⎨⎪⎧－4≥1x ≥1(无解)得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－32}．(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]ma x ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ，∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜34.。

大题规范练(五)“17题～19题”＋“二选一”46分练(时间：45分钟 分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知等差数列{a n }中，a 2＝5，前4项的和为S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n，T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋a n －2b 3＋…＋a 2b n －1＋a 1b n ，求T n .【导学号：04024232】解：(1)∵S 4＝a 1＋a 42＝2(a 1＋a 4)＝2(a 2＋a 3)＝28，∴a 2＋a 3＝14.∵a 2＝5，∴a 3＝9，∴公差d ＝4. 故a n ＝4n －3.(2)∵b n ＝2n ，∴T n ＝(4n －3)·21＋(4n －7)·22＋…＋5·2n －1＋1·2n，①∴2T n ＝(4n －3)·22＋(4n －7)·23＋…＋5·2n ＋1·2n ＋1，②②－①得，T n ＝－(4n －3)·2＋4×(22＋23＋…＋2n )＋2n ＋1＝6－8n ＋4×－2n －11－2＋2n＋1＝6－8n ＋(2n ＋3－16)＋2n ＋1＝5·2n ＋1－8n －10.18．如图1所示，在三棱锥A ­BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝CD ＝4，BD ＝42，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，G 为线段BD 上一点，且BE ∥平面AGF . (1)求BG 的长；(2)求四棱锥A ­BCFG 的体积.【导学号：04024233】图1解：(1)连接DE 交AF 于M ，连接GM ，则M 为△ACD 的重心， 且DM ME ＝21. 因为BE ∥平面AGF ，所以BE ∥GM ，所以DG BG ＝21，所以BG ＝423.(2)设BD 的中点为O ，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝22， 所以AO ⊥OC ，AO ⊥BD ，从而AO ⊥平面BCD ， 所以V A ­BCD ＝13×12×4×4×22＝1623.又易知V A ­FDG ＝13V A ­BCD ，所以V A ­BCFG ＝23V A ­BCD ＝3229.19．某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设，推进网络提速降费的指导意见》，对宽带网络进行了全面的光纤改造．为了调试改造后的网速，对新改造的1 000户用户进行了测试，随机抽取了若干户的网速，网速全部介于13 M 与18 M 之间，将网速按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)；…；第五组[17,18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图2所示，已知图中从左到右的前三个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.图2(1)试估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16,17)内的户数； (2)求测试中随机抽取的用户数；(3)若从第一、五组中随机抽取2户的网速，求这2户的网速的差的绝对值大于1 M 的概率.【导学号：04024234】解：(1)网速在[16,17)内的频率为0.32×1＝0.32， 又0.32×1 000＝320，∴估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16,17)内的户数为320. (2)设图中从左到右前三个组的频率分别为3x,8x,19x ， 依题意，得3x ＋8x ＋19x ＋0.32×1＋0.08×1＝1，∴x ＝0.02， 设测试中随机抽取了n 户用户，则8×0.02＝8n，∴n ＝50，∴测试中随机抽取了50户用户．(3)网速在第一组的用户数为3×0.02×1×50＝3，记为a ，b ，c . 网速在第五组的用户数为0.08×1×50＝4，记为m ，n ，p ，q . 从第一、五组中随机抽取2户的基本事件有{a ，b }，{a ，c )，{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，c }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，{m ，n }，{m ，p }，{m ，q }，{n ，p }，{n ，q }，{p ，q }，共21个．其中，抽取的2户的网速的差的绝对值大于1 M 所包含的基本事件有{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，共12个，∴所求概率P ＝1221＝47.(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)22．【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线E 的极坐标方程为ρ＝4tan θcos θ，倾斜角为α的直线l 过点P (2,2)．(1)求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设l 1，l 2是过点P 且关于直线x ＝2对称的两条直线，l l 与E 交于A ，B 两点，l 2与E 交于C ，D 两点，求证：|PA |∶|PD |＝|PC |∶|PB |.【导学号：04024235】解：(1)由题意易得E 的直角坐标方程为x 2＝4y (x ≠0)，l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)证明：∵l 1，l 2关于直线x ＝2对称，∴l 1，l 2的倾斜角互补．设l 1的倾斜角为α1，则l 2的倾斜角为π－α1，把直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α1，y ＝2＋t sin α1(t 为参数)代入x 2＝4y (x ≠0)，并整理得t 2cos 2α1＋4(cos α1－sin α1)t －4＝0，由根与系数的关系，得t 1t 2＝－4cos 2α1，即|PA |·|PB |＝4cos 2α1.同理，得|PC |·|PD |＝4cos 2π－α1＝4cos 2α1， ∴|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |， 即|PA |∶|PD |＝|PC |∶|PB |.23．【选修4－5：不等式选讲】已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (1)求m 的值；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围.【导学号：04024236】解：(1)因为f (x )＝|x ＋3|－m ，所以f (x －3)＝|x |－m ≥0， 因为m >0，所以x ≥m 或x ≤－m .又因为f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 所以m ＝2.(2)因为f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1，所以|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3.令g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|，则g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3＜x ＜12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1，即实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞)．。

大题规范练(二)“17题～19题”＋“二选一”46分练(时间：45分钟 分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知A ，B ，C ，D 为同一平面上的四个点，且满足AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设∠BAD ＝θ，△ABD 的面积为S ，△BCD 的面积为T .(1)当θ＝60°时，求T 的值； (2)当S ＝T 时，求cos θ的值.【导学号：04024217】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos θ＝22＋12－2×2×1×12＝3.在△BCD 中，由余弦定理得 cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝12＋12－32×1×1＝－12.因为∠BCD ∈(0°，180°)，所以∠BCD ＝120°， 所以T ＝12BC ·CD sin ∠BCD ＝12×1×1×32＝34.(2)因为BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos θ＝5－4cos θ，所以cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝4cos θ－32.易得S ＝12AD ·AB sin ∠BAD ＝sin θ，T ＝12BC ·CD sin ∠BCD ＝12sin ∠BCD .因为S ＝T ，所以sin θ＝12sin ∠BCD .所以4sin 2θ＝sin 2∠BCD ＝1－cos 2∠BCD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos θ－322，所以cos θ＝78.18.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取小球的编号为3，则获得奖金100元；若抽取小球的编号为偶数，则获得奖金50元；若抽取的小球是其余编号，则不中奖．现某顾客有放回地抽奖两次．(1)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；(2)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.【导学号：04024218】解：(1)该顾客有放回地抽奖两次，其结果的所有情况如下表：概率为425.(2)两次抽奖获得奖金之和为100元的情况有：①第一次获奖100元，第二次没有中奖，其结果有(3,1)，(3,5)，故其概率P 1＝225；②两次均获奖50元，其结果有(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，故其概率P 2＝425；③第一次没有中奖，第二次获奖100元，其结果有(1,3)，(5,3)，故其概率P 3＝225.所以所求概率P ＝P 1＋P 2＋P 3＝825.19．如图1所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．图1(1)求证：CE ⊥BF ；(2)若AB ＝2，PD ＝3，当三棱锥P ­BCF 的体积等于43时，试判断点F 在线段PD 上的位置，并说明理由.【导学号：04024219】解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE .又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是线段BD 的中点， 所以CE ⊥BD .因为BD ∩PD ＝D ，所以CE ⊥平面PBD ， 而BF ⊂平面PBD ，所以CE ⊥BF .(2)点F 为线段PD 上靠近D 点的三等分点． 理由如下：由(1)可知，CE ⊥平面PBF .又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD . 设PF ＝x .由AB ＝2得BD ＝22，CE ＝2，所以V 三棱锥P ­BCF ＝V 三棱锥C ­BPF ＝13×12×PF ×BD ×CE ＝16×22×2x ＝2x3.由已知得2x 3＝43，所以x ＝2.因为PD ＝3，所以点F 为线段PD 上靠近D 点的三等分点．(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)22．【选修4－4：坐标系与参数方程】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ分别与曲线C 1交于点A ，B ，C ，D (均异于极点O )．(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并求曲线C 1和C 2的直角坐标方程； (2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值.【导学号：04024220】解：(1)由ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ2＝22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由互化公式得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 由互化公式得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝a . 因为曲线C 1关于曲线C 2对称， 所以a ＝1，所以曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1. (2)易知|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ，|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4，于是可得|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.23．【选修4－5：不等式选讲】设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.【导学号：04024221】解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2， 由此可得x ≥3或x ≤－1，故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0，此不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2， 由题意可得－a2＝－1，所以a ＝2.。

大题规范练(一)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2C cos C －sin 3C ＝3(1－cos C )．(1)求角C ；(2)若c ＝2，且sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)由2sin 2C cos C －sin 3C ＝3(1－cos C )， 得sin 2C cos C －cos 2C sin C ＝3－3cos C ， 化简得sin C ＝3－3cos C ，即sin C ＋3cos C ＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝32， 又C 为△ABC 的内角， 所以C ＋π3＝2π3，故C ＝π3.(2)由已知可得，sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ， 可得sin B cos A ＝2sin A cos A . 所以cos A ＝0或sin B ＝2sin A .当cos A ＝0时，A ＝π2，则b ＝23，S △ABC ＝12·b ·c ＝12×23×2＝233.当sin B ＝2sin A 时，由正弦定理得b ＝2a .由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－42·a ·2a ＝12，得a 2＝43，所以S △ABC ＝12·b ·a ·sin C ＝12·2a ·a ·32＝32a 2＝233.综上可知，S △ABC ＝233.2．(本小题满分12分)河南省第十二届人民代表大会常务委员会第二十一次会议通过的《河南省人口与计划生育条例修正案》全面开放二孩政策．为了解人们对于河南省新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，对[5,65]岁的人群随机抽取了n 人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图：(1)求n ，p 的值；(2)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能否有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d解：(1)从[5,15)岁这一年龄段中抽取的人数为40.8＝5，频率为0.010×10＝0.1，∴n ＝50.1＝50.由题可知，第二组的频率为0.2，∴第二组的人数为50×0.2＝10，则p ＝510＝0.5.(2)2×2列联表如下：K 2＝＋＋＋＋≈6.27＜6.635，∴没有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有差异． 3．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，A 1A ＝4，AB ＝AC ＝2.F 为棱AA 1上的动点，D 是BC 1上的点且BD ＝DC 1.(1)若DF ∥平面ABC ，求AFFA 1的值； (2)是否存在点F ，使得四面体A ­BFC 1的体积为32？若存在，求AFFA 1的值；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设BC 的中点为E ，连接AE ，ED ，∵D 是BC 1上的点且BD ＝DC 1，∴DE ∥CC 1且DE ＝12CC 1，∵AF ∥CC 1，∴DE ∥AF ，∵DF ∥平面ABC ，∴DF ∥AE ，∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴AF ＝DE ，∵AA 1＝CC 1，∴AF ＝12AA 1，∴AFFA 1的值为1.(2)设AF ＝t (0＜t ＜4)，∵在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝2，∴点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，连接AC 1，则S △AFC 1＝t ，∴VA ­BFC 1＝VB ­AFC 1＝13×S △AFC 1×3＝33t ＝32，∴t ＝32，∴存在点F ，使得四面体A ­BFC 1的体积为32，且AF FA 1的值为35. 4．(本小题满分12分)已知中心在原点，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2＝x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ＞0且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于M ，N 两点，求弦长|MN |的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则A (－a ，0)，B (0，b )，∴直线AB 的方程为x－a ＋y b＝1，整理得－bx ＋ay －ab ＝0，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，整理得a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－c 2，故a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋d ， 将y ＝kx ＋d 代入椭圆C 的方程中， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8kdx ＋4d 2－12＝0， ∵直线l 与椭圆C 相切，∴Δ＝(8kd )2－4(3＋4k 2)(4d 2－12)＝48(4k 2＋3－d 2)＝0，即d 2＝4k 2＋3. 记M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋d 代入椭圆C 2的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kdx ＋4d 2－36＝0， x 1＋x 2＝－8kd 3＋4k 2，x 1x 2＝4d 2－363＋4k 2，∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝4k 2＋9－d 23＋4k2把d 2＝4k 2＋3代入得|x 1－x 2|＝463＋4k2，∴|MN |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4 6 1＋k23＋4k2＝ 2 61＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1＜1＋13＋4k 2≤43，即26＜2 61＋13＋4k2≤4 2. 综上，弦长|MN |的取值范围为[26，42]．5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a (x 2－1)－ln x . (1)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的值；(2)若f (x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －1x，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝0，a ＝18.经验证，x ＝2是f (x )的极小值点，故a ＝18.(2)f ′(x )＝2ax －1x，①当a ≤0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴当x ＞1时，f (x )＜f (1)＝0，这与f (x )≥0矛盾． ②当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得x ＞12a；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12a. (ⅰ)若12a＞1，即0＜a ＜12，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＜0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减， ∴f (x )＜f (1)＝0，与f (x )≥0矛盾． (ⅱ)若12a≤1，即a ≥12，当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (1)＝0，满足题意． 综上，a ≥12.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos a y ＝sin a(a 为参数)，直线l ：x －y －6＝0.(1)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出最大值；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点之间的距离之积．解：(1)设点P (3cos a ，sin a )，则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos a －sin a －6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－a －62，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－a ＝－1时，d ma x ＝42，此时，3cos a ＝－32，sin a ＝12，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.(2)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1，即x 2＋3y 2＝3，由题意知，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t y ＝22t(t 为参数)，代入x 2＋3y 2＝3中化简得，2t 2－2t －2＝0，得t 1t 2＝－1，由参数的几何意义得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1. 7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x －3|. (1)解不等式f (x )≤5；(2)若不等式m 2－m ＜f (x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－4x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜122，⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤324x －4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞32∴原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜124－4x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜322≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥324x －4≤5，解得－14≤x ＜12或12≤x≤32或32≤x≤94，∴不等式f(x)≤5的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，94.(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－(2x－3)|＝2，∴m2－m＜f(x)min＝2，即m2－m－2＜0，∴－1＜m＜2.故m的取值范围是(－1,2)．。

小题提速练(九)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |2－x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选D.∵A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x ＞2}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(∁R B )＝{0,1,2}，故选D.2．在复平面内，复数z ＝－1＋i2－i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选C.∵z ＝－1＋i2－i ＝－1＋＋－＋＝－3＋i 5＝－35＋i 5，∴z ＝－35－i 5，故z 对应的点在第三象限．3．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg解析：选D.因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝2 017，则输出的i ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.执行框图得a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016≠2 017，∴i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11＋12 016＝2 0162 017≠2 017， ∴i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝2 017＝x ，∴输出的i ＝3.5．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A.依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1，故选A.6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为()A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.7．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( )A ．－7B ．0 C.7D ．7解析：选B.以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB →＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13(AD →2－916AB →2)＝13×(9－9)＝0，故选B. 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D.A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．故选D.10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B.根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：图1可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2所示：图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞时，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B ． 3 C. 5 D ．52解析：选C.如图，设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan∠AOB ＝－tan 2α＝AB OA，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列， ∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ， ∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝AB OA ＝m 34m ＝43， 解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝ 4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C.a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒1tan C ＋1tan B＝2⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tanB tanC (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B ·tan C，即tan A ＋tan B ＋tanC ＝tan A ·tan B ·tan C )⇒tan A ＋2tan B tan C ＝tan A tan B tan C ⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，由△ABC 为锐角三角形知m2m －2＞0，∴m －2＞0令m －2＝t (t ＞0)⇒t ＋2t＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0平分，且与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，则l 的方程为________．解析：依题意可知，直线l 过圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1且斜率k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝014．已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________． 解析：4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371,6011,7610,1417,7140， ∴所求概率P ＝1－520＝1520＝0.75.答案：0.7515．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前9项和为________．解析：由S n ≤S 5得⎩⎪⎨⎪⎧a 5≥0a 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥0a 1＋5d ≤0，得－94≤d ≤－95，又a 2为整数，∴d ＝－2，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝11－2n ， 1a n ·a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，∴T 9＝－12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤19－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝－19.答案：－1916．在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，∵DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面ADC ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}10A x x =+≥，101x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示人集合为A ．{}1x x ≥- B ．{}1x x <- C ．{}11x x -≤≤- D ．﹛1x x <-或1x ≥﹜ 2.已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．4 3.已知函数()f x 的图象关于原点对称，且在区间[]5,2--上单调递减，最小值为5，则()f x 在区间[]2,5上A ．单调递增，最大值为5B ．单调递减，最小值为5-C ．单调递减，最大值为5-D ．单调递减，最小值为54.已知直线231x +=与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，与直线0x y +=交于点C ，若OC OA OB λμ=+（O 为坐标原点），则λ，μ的值分别为 A ．2λ=，1μ=- B ．4λ=，3μ=- C. 2λ=-，3μ= D ．1λ=-，2μ=5.已知122log 3a =，22log 3b =，1232c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32d e =，则A ．d c a b >>>B ．d b c a >>> C.c d a b >>> D ．a c b d >>>6.已知0a >，0b >，则点()1,2P 在直线b y x a =的右下方是双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围为()3,+∞的A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α，则可以推出//αβ的是 A ．①③ B ．②④ C. ①④ D ．②③ 8.已知直线2y =与函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的相邻两个交点间的距离为6，点()1,3P 在函数()f x 的图像上，则函数()()12log g x f x =的单调递减区间为A ．()()6,26k k k Z ππππ-+∈B ．(),63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C. ()11,63k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()()61,26k k k Z -+∈ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n 的值为4，则输入的x 的取值范围为A ．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,13 C.[)9,33 D ．913,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A ．295937144a ππ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．2959144a ππ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C.29593744a ππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．295937144a ππ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A ．18 B ．1136 C.1564D ．14 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()102f =，则不等式()102x f x e -<的解集为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,+∞ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),0-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,2,2,2,x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()()()3ff f -的值为 ．14.已知命题:P x R ∀∈，()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为 ．15.已知()222210x y a b a b +≤>>表示的区域为1D ，不等式组0,0,0,bx cy bc bx cy bc bx cy bc bx cy bc -+≥⎧⎪--≤⎪⎨+-≤⎪⎪++≥⎩表示的区域为2D ，其中()2220a b c c =+>，记1D 与2D 的公共区域为D ，且D 的面积S 为23，圆2234x y +=内切于区域D 的边界，则椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为 ．16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 22n n n a b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表： 特征量1 2 3 4 5 6 7 x98 88 96 91 90 92 96 y9.98.69.59.09.19.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=，2PD a =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，三棱锥P EAD -的体积为183，求a 的值. 20. 已知动圆C 恒过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线12x =-相切.（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数()()322316f x x a x ax =-++，a R ∈.（1）若对于任意的()0,x ∈+∞，()()6ln f x f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，设函数()f x 在区间[]1,2上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，记()()()h a M a m a =-，求()h a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线11,2:322x t l y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=时，有a b c k ++≤成立.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB二、填空题13.2log 3 14.5,24⎛⎤⎥⎝⎦15.12或32 16.4062.5 三、解答题17.解：（1）由134n n a a +=+， 得()1232n n a a ++=+， 即1232n n a a ++=+，且123a +=,所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以12333n n n a -+=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为()*32n n a n N --∈.（2）由（1）知，23n n a +=，所以3log 333n n n n nb ==. 所以1231231233333n n nnT b b b b =++++=++++.① 234111231333333n n n n nT +-=+++++.② ①-②，得234211111333333n n T =+++++13n n += 11111331113223313nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=--⋅-， 所以332323044343443n n n nn n T +=-=-⋅⋅⋅.故数列{}n b 的前n 项和323443n n n T +=-⋅. 18.解：（1）由题得，98889691909296937x ++++++==. 9.98.69.59.09.19.29.89.37y ++++++==.()()()()198939.99.3niii x x y y =--=-⨯-+∑()()()()88938.69.396939.59.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()91939.09.390939.19.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()92939.29.396939.89.39.9-⨯-+-⨯-=()()()()22221989388939693nii x x =-=-+-+-∑()()()()2222919390939293969382+-+-+-+-=.所以()()()1219.90.1282niii nii x x y y b x x ==--==≈-∑∑. 9.30.1293 1.86a =-⨯=-.所以线性回归方程为0.12 1.86y x =-. （2）由于0.120b =>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.当95x =时，0.1295 1.869.5y =⨯-≈.（3）由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有()88,90，()88,91，()88,92，()90,91，()90,92，()91,92，共6种.则这两个人中至少有一个分数在90分以下的情况有()88,90，()88,91，()88,92，共3种. 故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率3162P ==.19.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥. 又四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又PDBD D =，所以AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ， 所以平面EAC ⊥平面PBD .（2）因为//PD 平面EAC ，平面EAC平面PBD OE =.所以//PD OE .又O 为AC 与BD 的交点， 所以O 是BD 的中点，所以E 是PB 的中点. 因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=， 所以取AD 的中点H ，连接BH ，可知BH AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD BH ⊥. 又PDPD D =，所以BH ⊥平面PAD . 由于AB a =，所以32BH a =. 因此E 到平面PAD 的距离11332224d BH a a ==⨯=， 所以3111332183332412P EAD E PAD PAD V V S d a a a a --∆==⨯=⨯⨯⨯⨯==. 解得6a =，故a 的值为6. 20.解：（1）由题意得，点C 与点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离始终等于点C 到直线12x =-的距离.因此由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹为以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，12x =-为准线的抛物线.所以122p =，即1p =. 所以圆心C 的轨迹方程为22y x =. （2）由圆心C 的轨迹方程为22y x =，可设()2112,2A t t ，()2222,2B t t ，()120t t ≠， 则()21323,2PA t t =-，()22223,2PB t t =-，由A ，P ，B 三点花线，可知()()2212232322320t t t t -⋅--⋅=，即()()()()22122231122312123223230230230t t t t t t t t t t t t t t t t --+=⇒-+-=⇒+-=.因为12t t ≠，所以1232t t =-. 又依题得，直线OA 的方程为11y x t =. 令3x =-，得133,M t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 同理可知133,N t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 因此以MN 为直径的圆的方程可设为()()1233330x x y y t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 化简得()22121233930x y y t t t t ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭，即()()212212123930t t x y y t t t t +++++=. 将1232t t =-代入上式，可知()()22123260x y t t y ++-+-=， 在上式中令0y =，可知136x =-+，236x =--，因此以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为12363626x x -=-+++=，为定值. 21.解：（1）因为()()()2616ln f x f x a x x +-=-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以()2ln 1xa x-+≥. 令()2ln x g x x =，0x >，则()'212ln x g x x -=. 令()'0g x =，则x e =.当()0,x e ∈时，()'0g x >，()g x 在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 在区间(),e +∞上单调递减.所以()()max 12g x g e e==， 所以()112a e -+≥，即112a e≤--， 所以实数a 的取值范围为1,12e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦. （2）因为()()322316f x x a x ax =-++， 所以()131f a =-，()24f =.所以()()()()'2661661f x x a x a x x a =-++=--. 令()'0fx =，则1x =或a .①若513a <≤， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0fx >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f ≤，所以()()24M a f -=，()()323m a f a a a ==-+，所以()()()()32324334h a M a m a a a a a =-=--+=-+.因为()()'236320h a a a a a =-=-<，所以()h a 在区间51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以当51,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()h a 的最小值为58327h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若523a <<， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0f x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f >，所以()()131M a f a =--，()()323m a f a a a -=-+.因为()()2'2363310h a a a a =-+=->， 所以()h a 在区间5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以当5,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()58327h a h ⎛⎫>=⎪⎝⎭. ③若2a ≥， 当()1,2x ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,2上单调递减，所以()()131M a f a ==-，()()24m a f -=.所以()()()31435h a M a m a a a =-=--=-，所以()h a 在区间[)2,+∞上的最小值为()21h =.综上所述，()h a 的最小值为827. 22.解：（1）将直线11,2:322x t l y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ， 得3320x y ++-=，故直线l 的普通方程为3320x y ++-=.将曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为()()22124x y -+-=， 即222410x y x y +--+=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=.（2）由（1）可知，圆心()1,2C 到直线:3320l x y ++-=的距离为()23232331d ++-==+. 则222432AB R d =-=-=（R 为圆C 半径）. 所以1123322ABC S AB d ∆=⨯=⨯⨯=. 故所求ABC ∆面积为ABC ∆的面积为3.23.解：（1）由题知，()3,2,21,21,3. 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩所以()2f x ≥，即32,2x -≥⎧⎨<-⎩或212,21x x +≥⎧⎨-≤≤⎩或32,1.x ≥⎧⎨>⎩解得12x ≥. 故原不等式的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为()21213f x x x x x =+--≤+-+=（当且仅当()()210x x +-≥时取等号）， 所以3k =，因此有3a b c ++=. 所以111a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅111333322222a b c a b c +++++++≤++===（当且仅当1a b c ===时取等号）， 故不等式a b c k ++≤得证.。

大题规范练(五)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列{1b n}的前n 项和T n .解：(1)∵6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，∴当n ＝1时，6S 1＝6a 1＝9＋a ， 当n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝(3n ＋1－a )－(3n ＋a )＝2×3n，即a n ＝3n －1，∵{a n }是等比数列，∴a 1＝1，则9＋a ＝6，得a ＝－3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)＝(3n －2)(3n ＋1)， ∴1b n ＝1n －n ＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋1n －n ＋＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝n3n ＋1. 2．(本小题满分12分)如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC ＝BC ＝12AB ＝1，点M 在线段EC 上．(1)证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；(2)若AE ∥平面MDB ，求三棱锥E ­BDM 的体积． 解：(1)∵DC ＝BC ＝1，DC ⊥BC ，∴BD ＝ 2. 在梯形ABCD 中，AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＋12＝2，AB ＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴∠ADB ＝90°. ∴AD ⊥BD .又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，ED ⊂平面ADEF ， ∴ED ⊥平面ABCD .∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥ED . 又AD ∩DE ＝D ，∴BD ⊥平面ADEF . 又BD ⊂平面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ADEF .(2)如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接MO ，∵平面EAC ∩平面MBD ＝MO ，AE ∥平面MDB ，AE ⊂平面EAC ， ∴AE ∥OM .又AB ∥CD ，∴EM MC ＝AO OC ＝ABCD＝2，S △EDM ＝23S △EDC ＝23×12×1×2＝23. ∵ED ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BC . ∵AB ∥CD ，AB ⊥BC ，∴BC ⊥CD . 又ED ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面EDC .∴V E ­BDM ＝V B ­EDM ＝13S △EDM ·BC ＝13×23×1＝29.3．(本小题满分12分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下)．(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率．解：(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)． 所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×3040＝750(人)．(2)设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M ，记体育成绩在[60,70)的数据为A 1，A 2，体育成绩在[80,90)的数据为B 1，B 2，B 3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．而事件M 的结果有7种，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，因此事件M 的概率P (M )＝710.4．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解：(1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线MN 的方程为：y ＝x －p2，代入y 2＝2px (p ＞0)中，得x 2－3px ＋p 24＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p ，∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x 中，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0， 即(2b －4)2－4b 2＝0， 解得b ＝1，∴l ：y ＝x ＋1. 由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝－4， ∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4·x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝ 2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值－14.5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋ax，其中a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值范围． 解：(1)h (x )＝x ＋1＋a x－a ln x ，h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －＋ax2＝x ＋x －＋ax 2，①当a ＋1＞0，即a ＞－1时，在(0,1＋a )上h ′(x )＜0，在(1＋a ，＋∞)上h ′(x )＞0， 所以h (x )在(0,1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增． ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上h ′(x )＞0， 所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，即存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＜0成立，即函数h (x )＝x ＋1＋ax－a ln x 在[1，e]上的最小值小于零．由(1)可知：①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，h ′(x )＜0，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )在[1，e]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋a e －a ＜0可得a ＞e 2＋1e －1，因为e 2＋1e －1＞e －1，所以a ＞e 2＋1e －1.②当1＋a ≤1，即a ≤0时，h (x )在[1，e]上单调递增， 所以h (x )的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋a ＜0可得a ＜－2.③当1＜1＋a ＜e ，即0＜a ＜e －1时，可得h (x )的最小值为h (1＋a )，因为0＜ln(1＋a )＜1，所以0＜a ln(1＋a )＜a ，故h (1＋a )＝2＋a －a ln(1＋a )＞2＞0，不合题意．综上可得，所求a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝2a sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋a y ＝45t(t 为参数)．(1)若a ＝2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长为26，求a 的值．解：(1)由ρ2＝4ρsin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4. 将直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝－43(x －2)，令y ＝0，得x ＝2，即点M 的坐标为(2,0)．又圆C 的圆心坐标为(0,2)，半径r ＝2，则|MC |＝22， 所以|MN |的最大值为|MC |＋r ＝22＋2.(2)因为圆C ：x 2＋(y －a )2＝a 2，直线l ：4x ＋3y －4a ＝0， 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|3a －4a |5＝|a |5，所以2a 2－a 225＝26，即465|a |＝26， 解得a ＝±52.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式f (x )≥4－|x －1|即为|x －2|≥4－|x －1|， ①当x ≤1时，原不等式化为2－x ≥4＋(x －1)，得x ≤－12，故x ≤－12；②当1＜x ＜2时，原不等式化为2－x ≥4－(x －1)，得2≥5，故1＜x ＜2不是原不等式的解； ③当x ≥2时，原不等式化为x －2≥4－(x －1)，得x ≥72，故x ≥72.综合①②③知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.(2)证明：由f (x )≤1得|x －a |≤1，从而－1＋a ≤x ≤1＋a ，∵f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a ＝0，1＋a ＝2，得a ＝1，∴1m ＋12n＝a ＝1.又m ＞0，n ＞0，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n m ＋m 2n ≥2＋22n m ·m 2n ＝4，当且仅当2n m ＝m 2n ，即m ＝2n 时，等号成立，此时，联立1m ＋12n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，则m ＋2n ＝4，故m ＋2n ≥4，得证．。

2018届全国高三原创试卷（五）数学（文科）试卷本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|40}B x x =-≥，则AB =（ ）A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4} 2.已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1 B．1± D．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若368,54a S ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．924.同理3已知实数,x y 满足103101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．45.已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，则点P 到直线:250l x y --=的距离的最小值是（ ）A ．4 B1 D16.同理5设向量(,1)a x =，(1,3)b =-，且a b ⊥，则向量3a b -与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC.23π D ．56π7.若函数())cos(2)f x x x θθ+++是偶函数，则θ的最小正实数值是（ ） A ．6πB ．3πC.23π D ．56π 8.已知命题:p “若20x x ->，则1x >”；命题:q “若,x y R ∈，220x y +=，则0xy =”，则下列命题是真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．p q ∨ C.p q ∧ D ．()()p q ⌝∧⌝9.同理8执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为14，则空白判断框中的条件可能为（ ）A ．2k <B ．3k < C.4k > D ．5k < 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．22π+B ．322π+C.2π+ D ．22π+11.抛物线24y x =上有112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 三点，F 是它的焦点，若||,||,||AF BF CF 成等差数列，则（ ）A ．32323131()()()()y y y y y y y y -+=-+B ．21213131()()()()y y y y y y y y -+=-+ C.32322121()()()()y y y y y y y y -+=-+D ．233131y ()()y y y y =+-12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()f x x f x x<-，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C.(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0.30.9a =，0.31.2b =， 1.2log 0.3c =，则,,a b c 的大小关系为 ．14.已知双曲线经过点(2,3)，其一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程为 ．15.已知0,0,22a b a b >>+=，若24a b m +>恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 16.各面均为等边三角形的四面体ABCD 的外接球的表面积为3π，过棱AB 作球的截面，则截面面积的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C sin 2cos C c c A =+⋅. （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆,b c .18.某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制，已知高三学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表.为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.（1）求n 和频率分布直方图中的x 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若该校高三学生共1000人，求竞赛等级在良好及良好以上的人数；（3）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取2名学生进行学习经验介绍，求抽取的2名学生中优秀等级的学生恰好有1人的概率.19.如图，AB 为圆O 的直径，点E F 、在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2,1AB AD EF ===.（1）求证：平面AFD ⊥平面CBF ； （2）求几何体EFABCD 的体积.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>倍，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）OAB ∆的顶点,A B 在椭圆上，OA 所在直线斜率为1k ，OB 所在的直线斜率为2k ，若2122b k k a⋅=-，求OA OB ⋅的最大值.21.已知函数()ln f x x ax =-，e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x ≥时，ln ()1(1)x xf x x e x ≤-++恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当(0,)απ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求||PQ 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||1|1f x x x =-++-. （1）求()1f x x ≤+的解集； （2）若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDACD 6-10:DBBBA 11、12：CD二、填空题13.c a b << 14.2213y x -= 15.4m < 16.2π 三、解答题17.（1sin 2cos C c c A =+⋅sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠2cos A A =+，即sin()16A π-=.又0A π<<，所以5666A πππ-<-<； 所以62A ππ-=，故23A π=.（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A =4bc =.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 故22()30b c a bc -=-=，故b c =，② 由①②解得2b c ==.18.（1）由题意可知，样本容量5500.0110n ==⨯，10110(0.0040.010.0560.012)0.18x =-⨯+++=，∴0.018x =.（2）样本中等级在良好以上的频率为0.72，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，则该校高三学生竞赛等级在良好以上的概率为0.72，该校高三学生共1000人，所以竞赛等级在良好以上的人数为10000.72720⨯=.（3）原始成绩在80分以上的学生有(0.120.04)508+⨯=人，优秀等级的学生有3人，设为,,A B C ，另外5名学生为,,,,a b c d e .从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取2名学生的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b A c ，(,),(,),(,),(,)A d A e B C B a ，(,),(,),(,),(,)B b B c B d B e ，(,),(,),(,),(,)C a C b C c C d ，(,),(,),(,),(,)C e a b a c a d ，(,),(,),(,),(,)a e b c b d b e ，(,),(,),(,)c d c e d e 共28个，抽取的2名学生中优秀等级的学生恰好有1人的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d A e ，(,),(,),(,),(,),(,)B a B b B c B d B e ，(,a),(,),(,),(,),(,)C C b C c C d C e 共15个，每个基本事件被抽到的可能性是均等的，所以抽取的2名学生中优秀等级的学生恰好有1人的概率为1528. 19.（1）证明：由平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥， 平面ABCD平面ABEF AB =，得CB ⊥平面ABEF ，而AF ⊂平面ABEF ，所以AF CB ⊥. 又因为AB 为圆O 的直径，所以AF BF ⊥， 又BFCB B =，所以AF ⊥平面CBF .又因为AF ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面CBF .（2）过点F 作FG AB ⊥于G ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以FG ⊥平面ABCD ，所以1233F ABCD ABCD V S FG FG -=⋅=. 因为CB ⊥平面ABEF ，所以13F CBE C BFE BFE V V S CB --∆==⋅=111326EF FG CB FG ⋅⋅⋅=. 连接,OE OF .∵//EF AB ，且112EF AB ==.∴OEF ∆为等边三角形，∴GF =∴几何体EFABCD体积56F ABCD F CBE V V V FG --=+==. 20.（1）由题意得222421a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆的标准方程为22184x y +=. （2）设1222(,),(,)A x y B x y ，不妨设120,0x x >>.由212212b k k a ⋅=-=-，∴2111(0)2k k k =-≠， 直线,OA OB 的方程分别为1y k x =，2112y k x x k ==-. 联立122184y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，12212184y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1x =2x . ∵12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=⋅11122||||k k ==≤=+.当且仅当1||k =时等号成立.所以OA OB ⋅的最大值为2. 21.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，11'()axf x a x x-=-=.若0a ≤时，则'()0f x >，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增. 若0a >时，则由'()0f x =，∴1x a=. 当1(0,)x a∈时，'()0f x >，∴()f x 在1(0,)a上单调递增；当1(,)x a ∈+∞时，'()0f x <，∴()f x 在1(,)a+∞上单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减. （2）由题意得：ln ln 1(1)x xx ax x e x -≤-++对1x ≥时恒成立，∴ln 11(1)x a x e x ≥+++对1x ≥时恒成立. 令ln 1()(1)1(1)x g x x x e x =+≥++，∴2111ln '()(1)xe x g x x -+-=+. 令11()1ln (1)h x x x e x =-+-≥，∴211'()0h x x x =--<对1x ≥时恒成立， ∴11()1ln h x x e x =-+-在[1,)+∞上单调递减；∵11()1ln 0h e e e e=-+-=，∴[1,]x e ∈时，()0h x ≥，∴'()0g x ≥，()g x 在[1,]e 上单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0h x <，∴'()0g x <，∴()g x 在[,]e +∞上单调递减. ∴()g x 在x e =处取得最大值ln 11()1(1)e g e e e e e=+=++. ∴a 的取值范围是1[,)e+∞.22.（1）∵4cos()3πρθ=-，∴4(cos cossin sin )33ππρθθ=+2(cos )θθ=.∴22(cos sin )ρρθθ=.∴222x y x +=+，∴曲线C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=.（2）由（1）可知圆心坐标为(1C ，半径为2，直线过点A ，∴||1CA =， ∴CA PQ ⊥时，||PQ的最小值为 23.（1）由()1f x x ≤+得|1||1|2x x x -++≤+，即1112x x x x ≥⎧⎨-++≤+⎩或11112x x x x -<<⎧⎨-++≤+⎩或1112x x x x ≤-⎧⎨---≤+⎩， 即有12x ≤≤或01x ≤<或x ∈∅，解得02x ≤≤， 所以()1f x x ≤+的解集为[0,2].（2）|1||2a 1|||a a +--=1111|1||2||12|3a a a a +--≤++-=，当且仅当11(1)(2)0a a+-≤时，取等号.由不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得|1||1|13x x -++-≥及，即|1||1|4x x -++≥，即124x x ≥⎧⎨≥⎩或1124x -<<⎧⎨≥⎩或124x x ≤⎧⎨-≥⎩，解得2x ≤-或2x ≥，故实数x 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞.。