2021新高考数学二轮总复习课件：专题六(付,296)

母题突破4探究性问题母题(2023·廊坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b21(a >b >0)经过点A (－2,0)，且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设P ，Q 为椭圆C 上两个不同的点，直线AP 与y 轴交于点E ，直线AQ 与y 轴交于点F ，且P ，O ，Q 三点共线．其中O 为坐标原点．问：在x 轴上是否存在点M ，使得∠AME ＝∠EFM ？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析❶代入点，结合面积求方程和离心率❷设点P ，Q ，表示出直线AP ，AQ 的方程❸求出E ，F 的坐标,❹由∠AME ＝∠EFM 得ME →·MF →＝0,❺利用向量运算求点M 的坐标解(1)依题意可得a ＝2，12×2c ×2b ＝4，又c 2＝a 2－b 2，解得b ＝c ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1，则离心率e ＝c a ＝22.(2)因为P ，O ，Q 三点共线，根据椭圆的对称性可知P ，Q 关于O 点对称，如图，设点P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，－y 1)(x 1≠±2)，所以直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线AQ 的方程为y ＝－y 1－x 1＋2(x ＋2)，所以点假设存在M 使∠AME ＝∠EFM ，因为∠MOE ＝∠FOM ＝90°，所以∠OMF ＝∠OEM ，又∠OEM ＋∠OME ＝90°，所以∠OME ＋∠OMF ＝90°，即ME ⊥MF ，所以ME →·MF →＝0，设M (m ,0)，则ME →mMF →m 所以ME →·MF →＝m 2＋－2y 1－x 1＋2·2y 1x 1＋20，即m 2＋－4y 214－x 21＝0，又x 214＋y 212＝1，所以x 21＋2y 21＝4，所以m 2－2＝0，解得m ＝±2，所以M (±2，0).故在x 轴上存在点M (±2，0)，使得∠AME ＝∠EFM .[子题1](2023·西安模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点T (3，0)的直线交该椭圆于P ，Q 两点，若直线PQ 与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在定点S (s ,0)，使得∠PST ＝∠QST 恒成立？若存在，求出s 的值；若不存在，请说明理由．解假设在x 轴上存在定点S (s ,0)，使得∠PST ＝∠QST 恒成立，设直线PQ 的方程为x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，＋y 23＝1，ty ＋3，得(3t 2＋4)y 2＋63ty －3＝0，则y 1＋y 2＝－63t 3t 2＋4，y 1y 2＝－33t 2＋4，因为∠PST＝∠QST，所以k PS＋k QS＝0，即y1x1－s＋y2x2－s＝0，整理得(x2－s)y1＋(x1－s)y2＝0，即(ty2＋3)y1＋(ty1＋3)y2－s(y1＋y2)＝0，所以2ty1y2＋(3－s)(y1＋y2)＝0，则2(3－s0，解得s＝43 3，故在x轴上存在定点∠PST＝∠QST恒成立．[子题2]已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4)．(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q两点，与线段AB交于点N(N，D不重合)，PM→＝λPN→，MQ→＝λQN→均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)由题意知C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，点A的坐标为(6,4)，得c＝4，不妨设焦点F1(0,4)，F2(0，－4)，则2a＝|AF2|－|AF1|＝62＋82－6＝4.所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，故C的方程为y24－x212＝1.(2)如图，设l的方程为y＝2m(m>1)，则D(0,2m)，故M(0，m)，由已知得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，故2直线PQ 的方程与双曲线方程联立得(3k 2－1)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，由已知得3k 2≠1，Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PM →＝(－x 1，m －y 1)，PN →x 1，2m －y MQ →＝(x 2，y 2－m )，QN →x 2，2m －y 则x 1＋x 2＝－6km 3k 2－1，x 1x 2＝3m 2－123k 2－1，由PM →＝λPN →，MQ →＝λQN →，得x 1＝1x 2＝消去λ得x 1x x 即2x 1x 2－m k(x 1＋x 2)＝0，代入得k (m 2－2)＝0，解得m ＝2，故存在定直线l ：y ＝22满足条件．规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，点P (2,8)在抛物线上，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)求点P 到抛物线焦点的距离；(2)是否存在实数k 使得NA →·NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解(1)将点P (2,8)代入抛物线方程，解得p ＝14，x 2＝12y ，抛物线焦点F点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，则|PF |＝8＋18＝658.(2)如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)．把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，Δ＝k 2＋16>0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1.∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴点N假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知，y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝k 24＋2，∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168，又|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12k 2＋1k 2＋16，∴k 2＋168＝14k 2＋1k 2＋16，即k 2＋16＝2k 2＋1，两边同时平方得k 2＋16＝4(k 2＋1)，解得k ＝±2，即存在k ＝±2，使得NA →·NB →＝0.2.(2023·池州模拟)如图，点A 为椭圆E ：x 24＋y 2＝1的上顶点，圆C ：x 2＋y 2＝1，过坐标原点O 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点．(1)求直线AM ，AN 的斜率之积；(2)设直线AM ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，AN 与圆C 分别交于点P ，Q ，记直线MN ，PQ 的斜率分别为k 1，k 2，探究是否存在实数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，－y 0)，则直线AM ，AN 的斜率之积k AM ·k AN ＝1－y 0－x 0·1＋y 0x 0＝1－y 20－x 20＝14x 20－x 20＝－14.(2)由(1)知，直线AN 的方程为y ＝－14kx ＋1.直线AM y 2＝1，kx ＋1，消去y 可得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，因为A ，M 均在椭圆E 上，所以0＋x 0＝－8k 1＋4k2，即x 0＝－8k 1＋4k 2，所以y 0＝kx 0＋1＝－8k 21＋4k 2＋1＝1－4k 21＋4k2，所以k 1＝y 0x 0＝1－4k 21＋4k 2－8k 1＋4k 2＝4k 2－18k.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，2＋y2＝1，＝kx＋1，消去y可得(1＋k2)x2＋2kx＝0，因为A，P均在圆C上，所以0＋x1＝－2k1＋k2，即x1＝－2k1＋k2，所以y1＝kx1＋1＝－2k21＋k2＋1＝1－k21＋k2.所以点PP坐标中的k换成－14k，可得x21＝8k16k2＋1，y21＝16k2－116k2＋1，所以k2＝y2－y1x2－x1＝16k2－116k2＋1－1－k21＋k28k16k2＋1＋2k1＋k2＝4k2－15k，所以k1k2＝4k2－18k4k2－15k＝58，即存在实数λ＝58，使得k1＝58k2.专题强化练1．(2023·郑州模拟)过点M(t,0)(t<0)，斜率为33的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)相切于点N，且|MN|＝4 3.(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为－33的直线与C 交于与点N 不重合的点P ，Q ，判断是否存在直线l ′，使得点Q 关于l ′的对称点Q ′恒与P ，N 共线，若存在，求出l ′的方程，若不存在，说明理由．解(1)由题意得直线l 的方程为y ＝33(x －t )，即x ＝3y ＋t ，设N (m ，n )，与y 2＝2px 联立并消去x 得y 2－23py －2pt ＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以(－23p )2＋8pt ＝0，整理得3p ＋2t ＝0，代入y 2－23py －2pt ＝0，解得n ＝3p ，m ＝(3p )22p ＝3p 2，因为|MN |＝|3p 2－t |32＝43，所以3p 2－t ＝6，2t ＝0，t ＝6，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得N (3,23)，假设存在直线l ′，使得点Q 关于l ′的对称点Q ′恒与P ，N 共线，则直线NP ，NQ 关于l ′对称，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝－3y ＋b ，与y 2＝4x 联立并消去x 得y 2＋43y －4b ＝0，则Δ＝(43)2＋16b >0，b >－3.y 1＋y 2＝－43，y 1y 2＝－4b .所以直线PN 的斜率k 1＝y 1－23x 1－3＝y 1－23y 214－3＝4y 1＋23，所以直线NQ 的斜率k 2＝y 2－23x 2－3＝y 2－23y 224－3＝4y 2＋23，k 1＋k 2＝4y 1＋23＋4y 2＋23＝4(y 1＋y 2)＋163(y 1＋23)(y 2＋23)＝－163＋163(y 1＋23)(y 2＋23)＝0，所以直线NP ，NQ 关于直线x ＝3或y ＝23对称，所以存在直线l ′，使得点Q 关于l ′的对称点Q ′恒与P ，N 共线，且l ′的方程为x ＝3或y ＝2 3.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过点P (0，m )(m ＞0)且斜率为1的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点且AP →＝3PB →，OA →·OB →＝3.(1)求双曲线C 的方程；(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M ，使得∠QFM ＝2∠QMF ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由双曲线离心率为2知c ＝2a ，b ＝3a .于是，双曲线方程可化为x 2a 2－y 23a2＝1.又直线l ：y ＝x ＋m ，与双曲线方程联立得2x 2－2mx －m 2－3a 2＝0，①设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2－3a 22.②因为AP →＝3PB →，所以(－x 1，m －y 1)＝3(x 2，y 2－m )．故x 1＝－3x 2.结合x 1＋x 2＝m ，解得x 1＝32m ，x 2＝－12m .代入②式得－34m 2＝－m 2－3a 22⇒m 2＝6a 2，又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－3a 2＝3a 2＝3，从而a 2＝1.此时m ＝6，代入①式并整理得2x 2－26x －9＝0.显然，该方程有两个不相等的实根．因此，a 2＝1符合要求．故双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)假设满足条件的点M (t ,0)(t <0)存在．由(1)知双曲线右焦点为F (2,0)．由双曲线的对称性，不妨设点Q (x 0，y 0)在第一象限，当x 0≠2时，tan ∠QFM ＝－k QF ＝－y 0x 0－2，tan ∠QMF ＝k QM ＝y 0x 0－t.因为∠QFM ＝2∠QMF ，所以－y 0x 0－2＝2y 0x 0－t 1.将y 20＝3x 20－3代入上式并整理得(4＋2t )x 0－4t ＝－2tx 0＋t2＋3，＋2t ＝－2t ，4t ＝t 2＋3，解得t ＝－1.当x 0＝2时，∠QFM ＝90°，而当t ＝－1时，∠QMF ＝45°，符合∠QFM ＝2∠QMF .所以满足条件的点M (－1,0)存在．。