22.1.6 函数y=ax2+bx+c的图像与性质

专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。

《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．设计思路一、指导思想新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。

在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。

二、设计理念本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。

使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。

这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。

从而提高课堂教学的效率。

三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。

二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。

四、学情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。