福建省龙岩市2018届高三数学下学期教学质量检查2月试题理

017-2018学年龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．4 14 15．98π 16．()1(,]221e e -三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，2221n n n S a S =-，即21221n n n n S S S S --=-，整理得112?n n n n S S S S ---=，所以1112n n S S --= ………2分 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个公差为2的等差数列， 又111a S ==，所以121nn S =-，所以121n S n =-， ………4分 此时10,2n n S S ≠≠符合题意所以1121n n n a S S n -=-=-－321-n ＝2(2)2123n n n -≥--()()． 当1n =时，上式不成立，所以1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112121n n S S n n +⋅=-+（）（）111()22121n n =--+， ………8分所以111111[(1)()()]23352121n T n n =-+-++-=-+12+n n． ………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设一位顾客进店购物结算时间为T ，根据统计图表可知，T 的可能值为10，20，40，60， ……………2分所以(10)0.4,(20)0.2,(40)0.3,(60)0.1,P T P T P T P T ======== 4分 所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为100.4200.2400.3600.126⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）． …………6分（Ⅱ）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况： ①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个； ③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒； ④三40秒． ………9分 所以对应的概率为3221133320.10.1(0.40.20.3)0.1(0.20.30.30.3)0.3P c c c =+⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯+⨯+0.118=．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为0.118． ……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过点D 在平面ABCD 内作//DN BC ，交AB 于点N ，因为2AB CD =，ABC BCD ∠=∠，所以四边形DNBC 为一个底角是60°的等腰梯形， ……………3分 所以BN AN CD ==，所以N 为AB 中点，由题知90BAD ∠=︒，在Rt NAD ∆中，2DN AN =， 又60ABC BCD ∠=∠=︒，所以32BC ND =， 而23BF CE BC ==，所以,E F 为BC 的三等分点，连接EN ，所以////NE AF DC ，又在DEC ∆中，2EC DC =，60BCD ∠=︒， 所以30DEC ∠=︒，所以DE CD ⊥，所以DE AF ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DE ⊥， 因为PAAF A =，所以DE ⊥平面PAF ． ……………6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)m =， ……………7分 又由（Ⅰ）知60,90ABC AND BAD ∠=∠=︒∠=︒， 所以在AND ∆中，AD ==所以D ，150ADC ∠=︒，1(,22C ，(0,0,1)P ，所以1331(,,1),(,2222PC DC ==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，AN BEFDP所以00PC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即102102x y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令x =(3,1,n =-， ……………10分 设二面角P CD A --的平面角为θ，且θ为锐角，所以21cos =7||||n m n m θ=．……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得：1c =，221a b -=，2c =所以 22a =220a -=，解得a b =椭圆的方程22132x y += ………4分 （Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ， ………5分联立222361x y x my ⎧+=⎨=+⎩得22(23)440m y my ++-=则12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++ ………6分 1ABF ∆中AB边上的中线长为11112F A F B+=====………8分 令223t m =+则223m t =-得1112F A F B +== 由22F A F B λ=，得1122,yy y y λλ=--=，22121222112()142223y y y y m y y y y m λλ+---+=++==+ ………10分 12λ≤≤，22142(3)12[0,]232m t m t λλ-+-==∈+………11分 11134,43t t ∴≤≤≤≤，1112F A F B +2]∈1ABF ∆中AB 边上中线长的取值范围是2] ………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，2()(1)(2)x g x x e a x =+-+，得()(2)2(2)(2)2)x x g x x e a x x e a '=+-+=+-（（i ）当0a ≤时，在(,2)-∞-上，()0g x '<，在(2,)-+∞上，()0g x '>2分（ii ）当0a >时，令()0g x '=，解得2x =-或ln(2)x a =．①若212a e =，ln(2)2a =-，()0g x '≥恒成立； ②若212a e>，ln(2)2a >-，在(2,ln(2))a -上，()0g x '<；在(,2)-∞-，(ln(2),)a +∞，()0g x '> ………4分③若212a e<， ln(2)2a <-，在(ln(2),2)a -上，()0g x '<；在（(,ln(2))a -∞,与(2,)-+∞上，()0g x '>．综上，当0a ≤时，()g x 极小值点为2-，无极大值点；当2102a e<<时，()g x 极小值点为2-，极大值点为 ln(2)a ；当212a e>时，()g x 极小值点为ln(2)a ，极大值点为2-；当212a e=时，()g x 无极值点 ………6分（Ⅱ）设22()(22)(22)42x h x x e a x a =--+++,因为2()(42)88x h x x e ax a '=---，得2()88x h x xe a ''=-(0)x ≥,且函数()h x ''在[0,)+∞上单调递增（i ）当80a -≥时，有()0h x ''≥，此时函数()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)28h x h a ''≥=--， ①若280a --≥即14a ≤-时，有函数()h x 在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)0h x h ≥=，符合题意； …………8分②若280a--<即104a -<<时，存在00x >满足()h x '=０0，0(0,),'()0x x h x ∈<，此时函数()h x 在00,)x （ 上单调递减，()(0)0h x h <=不符合题意；（ii ）当80a -<时，有()80h a ''=-<0，存在10x >满足()h x ''=101(0,),x x ∈1h'(x )0<，此时()h x '在10,)x （上单调递减，()(0)820h x h a ''<=--<，此时函数()h x 在10,)x （ 上单调递减，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是14a ≤-． …………12分 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将222cos ,sin ,x y x yρθρθρ===+代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=. ………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由韦达定理知121214cos ,24t t t t α+=-=① ………7分 ∴12,t t 同号 又∵3||||4PA PB =， ∴1234t t =②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=或-cos 2α=±，∴tan 1k α==±， 9分 ∴l 的普通方程为(1)y x =±-. ……10分23．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()5f x ≥，即|1|2|2|5x x -++≥， …………1分∴当2x <-时，1245x x -+--≥，解得83x ≤-， ∴83x ≤- ………2分当21x -≤<时，1245x x -++≥，解得0x ≥，∴01x ≤< ………3分当1x ≥时，1245x x -++≥，解得23x ≥，∴1x ≥. ………4分 综上所述，不等式()5f x ≥的解集为8|03x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. ……5分（Ⅱ）由题意知|1||2|x m x x -++>恒成立， ………6分∴当2x <-时，12x mx m x -+-->， 变形得125222x m x x ->=-+++恒成立， ∴2m ≥- ………7分 当2x =-时，m 可以取任意实数； 当21x -<<时，12x mx m x -++>，变形得215222x m x x ->=-++恒成立， ∴512123m ≥-=+ ………8分 当1x ≥时，12x mx m x -++>，变形得12m x >+，∴11123m >=+ ………9分 综上所述，实数m 的取值范围为1(,)3+∞. ……10分。

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1}A x y x ==-，{|2,}xB y y x A ==∈，则AB =（ ）A ．(,1)-∞B ．[0,1]C ．(0,1]D ．[0,2) 2.已知函数32()2b f x x x =+，则0b <是()f x 在0x =处取得极小值的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①12z z =；②1212z z z z =；③12z z R +∈；④2212z z <，一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③D ． ①②③ 4.sin ()((,0)(0,))xf x x xππ=∈-大致的图象是（ ）A ．B ． C. D ． 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．14B ．642+．862+ D ．842+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则11x y+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．48.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．99.已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）A B C D10.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．23π C ．2πD ．34π11.在四面体ABCD 中，BCD ∆与ACD ∆均是边长为4的等边三角形，二面角A CD B --的大小为60，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．2089π B ．529π C ．643π D ．523π12.记函数()2xf x ex a -=--，若曲线3([1,1])y x x x =+∈-上存在点00(,)x y 使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．22(,6][6,)e e --∞-++∞ B ．22[6,6]e e --+C ．22(6,6)ee --+ D ．22(,6)(6,)e e --∞-++∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ= ．14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16.已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 是等比数列，且14b =，358b b b =，令2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）已知点H 在线段BD 上，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值. 19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)频数2 250 450 290 8（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2(,)XN ϕσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.20.平面直角坐标系xOy 中，圆222150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P .（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：22y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （Ⅰ）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （Ⅱ）若不等式sin ()2cosxg x ≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB 二、填空题 13. 12-14. 48 15. 6243三、解答题17.解：（Ⅰ）由242n n n S a a =+得211142(2)n n n S a a n ---=+≥， 两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，∴11()()n n n n a a a a --+-12()0n n a a --+=， ∵0n a >，∴12n n a a --=，又由21111442S a a a ==+得10a >得12a =，{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，从而2n a n =.（Ⅱ）设{}n b 公比为q ，则由358b b b =可得247164q q q =， ∴4q =，∴4nn b =，∴数列{}n c 满足4nn c n =⋅，它的前n 项之和23142434n T =⋅+⋅+⋅4nn +⋅⋅⋅+⋅①，2241424n T =⋅+⋅+⋅⋅⋅1(1)44n n n n ++-⋅+⋅②，①-②得2134444n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅14(14)414n n n +-=-⋅-14(41)43n n n +=--⋅， ∴14444399n n n n T +⋅=-⋅+1314499n n +-=⋅+. 18. 解：（Ⅰ）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，由ABCD 为正方形得AC BD ⊥， 又BDDE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ， 又∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BDE .（Ⅱ）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,3)E ，(2,0,2)F ， 设DH DB λ=，则(2,2,0)H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由(2,2,3)BE =--，(2,0,1)EF =-，00n BE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得223020x y z x z --+=⎧⎨-=⎩取1x =得(1,2,2)n =， ∵//AH 平面BEF ，(22,2,0)AH λλ=-，∴2240λλ-+=，13λ=，22(,,0)33H，42(,,2)33FH=--，设FH与平面BEF所成的角为θ，则sin cos,n FHθ=214n FHn FH⋅==147=，∴FH与平面BEF所成角的正弦值为14.19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为x，则2250450(40)0.510001000100020x-++⋅=，解得51x≈，所得样本中位数为5100.（Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P xμσ≥+1(22)2P xμσμσ--<<+=10.95440.02282-==，0.0228650001482⨯=，估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上.（Ⅲ）Y的可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CP YC===，12353815(1)28C CP YC===，21353815(2)56C CP YC===，33381(3)28CP YC===，∴Y 的分布列为012828EY =⨯+⨯2356568+⨯+⨯=.20.解：（Ⅰ）∵P 为线段TM 中垂线上一点， ∴PM PN PM PT +=+4TM ==， ∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为22143x y +=. （Ⅱ）∵22y px =的焦点为(1,0)，2C 的方程为24y x =，当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴182ABCD S AC BD =⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22143x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，12AC x =-=2212(1)34k k +=+.直线2l 的方程为1(1)y x k=--与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则212244BD x x k =++=+，∴四边形ABCD 的面积12S AC BD =222112(1)(44)234k k k +=+⋅+22224(1)34k k +=+. 令234k t +=，则23(3)4t k t -=>， 2324(1)4()t S t t-+=31(2)2t t =++， ∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=， 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞. 21. 解：（Ⅰ）2()2ln F x x x a x ax =--+，22(2)'()x a x a F x x +--=(2)(1)x a x x+-=， ∵()F x 的定义域为(0,)+∞. ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值.②012a <-<即20a -<<时，()F x 在(0,)2a -和(1,)+∞上递增，在(,1)2a-上递减， ()()2aF x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小.③12a-=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增，()F x 没有极值. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和(,)2a -+∞上递增，()F x 在(1,)2a-上递减，∴()(1)1F x f a ==-极大，()()2aF x F =-极小2ln()42a a a a =---.综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()()2aF x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()(1)1F x f a ==-极大，()()2a F x F =-极小2ln()42a a a a =---. （Ⅱ）设sin ()2cos x h x ax x=-+(0)x ≥， 212cos '()(2cos )x h x a x +=-+， 设cos t x =，则[1,1]t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，42(2)(1)'()(2)t t t t ϕ-+-=+32(1)0(2)t t --=≥+， ∴()t ϕ在[1,1]-上递增，∴()t ϕ的值域为1[1,]3-， ①当13a ≥时，'()0h x ≥，()h x 为[0,]+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h ≥=，适合条件.②当0a ≤时，∵1()0222h a ππ=⋅-<，∴不适合条件. ③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-， 令sin ()3x T x ax =-，cos '()3x T x a =-， 存在(0,)2x π∈，使得0(0,)x x ∈时，'()0T x <，∴()T x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0T x T <<，即在0(0,)x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1[,)3+∞.22. 选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）2sin()306πρθ+-=，sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为30x -=，2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在330x +-=中令0y =得(3,0)P ， ∵3k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即3312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=得23350t t -+=，70∆=>，∴方程有两解， 1233t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+1233t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩， 52x ≤-或x φ∈或32x ≥， 解集为53(,][,)22-∞-+∞. （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立，∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩， ∴a 的取值范围是[0,1].。

福建省龙岩市2018届高三下学期教学质量检测(理综)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：理科综合能力测试(考试时间:150分钟;满分:300分)本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。

第I卷为必考题,第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

本试卷共14页。

满分300分,考试时时间150分钟注意事项1.答题前,考生务必先将自己的姓名填写在答题卡上。

2.考生做答时,请将答案填写在答题卡上,在本试卷上答题无效;按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

3.选择题答案必须使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、字迹清楚。

4.做选考题时,请考生按照题目要求作答。

请按照题号在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。

6.可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 O-16 S-32 V-51 Br-80第I卷选择题(共126分)一、选择题:本题共13小题,每小题6分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1.哺乳动物的防御素是一类小分子抗菌多肽,含有三对二硫键,可以在细菌细胞膜上形成多个通道,让防御素和其他胞外分子进入细菌,同时细菌内的重要物质渗出,从而导致细菌死亡。

下列有关分析不正确的是A.防御素的二硫键是在两个氨基酸的R基之间形成B.防御素改变了细菌细胞膜的通透性C.防御素通过协助扩散进入细菌D.细菌的死亡不属于细胞凋亡2.某研究小组利用3%鸡肝匀浆、3%H2O2溶液、pH缓冲液等,在适宜温度下探究pH对过氧化氢酶活性的影响,实验结果如下表。

该实验能得出的结论是A.过氧化氢酶具有高效性B.鸡肝匀浆中过氧化氢酶最适pH一定为7.0C. pH为7.0时提高温度,酶活性会提高D.过氧化氢酶对酸性环境的耐受性较低3.下图是免疫调节过程的部分模式图,下列相关叙述不正确的是A.物质1作用于细胞③,体现了细胞膜具有进行细胞间信息交流的功能B.细胞②和细胞③是造血干细胞受到抗原刺激后增殖、分化形成的C.二次免疫时,细胞④的产生可不需要细胞①、细胞②、细胞③参与D.当物质Ⅱ攻击自身物质时引起的疾病属于自身免疫病4.油菜素甾醇(BR)是一种植物生长调节物质, BRIL是BR的细胞膜受体。

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查理科综合能力测试(考试时间:150分钟;满分:300分)本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。

第I卷为必考题,第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

本试卷共14页。

满分300分,考试时时间150分钟注意事项1.答题前,考生务必先将自己的姓名填写在答题卡上。

2.考生做答时,请将答案填写在答题卡上,在本试卷上答题无效;按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

3.选择题答案必须使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、字迹清楚。

4.做选考题时,请考生按照题目要求作答。

请按照题号在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。

6.可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 O-16 S-32 V-51Br-80第I卷选择题(共126分)一、选择题:本题共13小题,每小题6分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1.哺乳动物的防御素是一类小分子抗菌多肽,含有三对二硫键,可以在细菌细胞膜上形成多个通道,让防御素和其他胞外分子进入细菌,同时细菌内的重要物质渗出,从而导致细菌死亡。

下列有关分析不正确的是A.防御素的二硫键是在两个氨基酸的R基之间形成B.防御素改变了细菌细胞膜的通透性C.防御素通过协助扩散进入细菌D.细菌的死亡不属于细胞凋亡2.某研究小组利用3%鸡肝匀浆、3%H2O2溶液、pH缓冲液等,在适宜温度下探究pH对过氧化氢酶活性的影响,实验结果如下表。

该实验能得出的结论是A.过氧化氢酶具有高效性B.鸡肝匀浆中过氧化氢酶最适pH一定为7.0C. pH为7.0时提高温度,酶活性会提高D.过氧化氢酶对酸性环境的耐受性较低3.下图是免疫调节过程的部分模式图,下列相关叙述不正确的是A.物质1作用于细胞③,体现了细胞膜具有进行细胞间信息交流的功能B.细胞②和细胞③是造血干细胞受到抗原刺激后增殖、分化形成的C.二次免疫时,细胞④的产生可不需要细胞①、细胞②、细胞③参与D.当物质Ⅱ攻击自身物质时引起的疾病属于自身免疫病4.油菜素甾醇(BR)是一种植物生长调节物质, BRIL是BR的细胞膜受体。

福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，复数i z -=2，则)21(i z +⋅的共轭复数为（ ） A ．i +2 B ．i 34+ C ．i 34- D ．i 34--2．已知集合}0,0|{2>≤-=a ax x x A ，}3,2,1,0{=B ，若B A I 有3个真子集，则a 的取值范围是（ ）A ．]2,1(B ．)2,1[C ．]2,0(D ．]2,1()1,0(Y3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（ ） A ．152 B ．52 C ．154 D ．514．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥-+4020632x y x y x ，则23+-=y x z 的最大值为（ ）A ．30-B ．2C ．4D ．4-5．执行如图所示的程序框图，若输入c b a ,,的值分别为6，5，1，则输出的结果为（ ）A ．2,3--B ．3-C ．21,31-- D ．方程没有实数根 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 83+πB. 82+πC. 2442++πD. 2443++π7．3log 2,3,2log 2131log 312==-=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c << 8．已知二项式4)211(x x-+，则展开式的常数项为（ ） A ．1- B ．1 C ．47- D ．499．已知以圆4)1(:22=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线2C ：y x 82=上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则||||AB BM -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．8 10．已知)2||,20)(sin()(πϕπωϕω<≤<+=x x f 满足)()1(x f x f =-，且)()2(x f x f -=+，对于定义域内满足23)()(21==x f x f 的任意R x x ∈21,，21x x ≠，当||21x x -取最小值时，)(21x x f -的值为（ ）A ．426-或426+ B ．426+或462- C ．32 D ．2311．设函数R t t tx e x x f x∈+--=,5)3()(.若存在唯一的整数0x ，使得0)(0>x f ，则实数t 的取值范围为（ ）A ．]2,3(2e e --B ．)2,3(2e e --C ．]2,3(2e e -D ．)2,3(2e e -12．如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．322π B ．2552π C ．25169π D ．25338π 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与b 的夹角为060，且32|2|,1||=-=，则=|| .14．已知点)2,1(-P 在直线2+=kx y 上，则圆锥曲线C ：1322=+y kx 的离心率为 .15．在ABC ∆中，若2,3==a bc ，则ABC ∆的外接圆的面积的最小值为 .16．已知)('x f 是函数)(x f 的导函数，在定义域),0(+∞内满足0)()('=--xe x xf x xf ，且e f 2)1(=，若e e af 1)211(≤-，则实数a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，且),2(1222N n n S S a n nn ∈≥-=.（1）若11=a ，求}{n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列}{1+⋅n n S S 的前n 项和n T .18．支付宝自助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务，于是出现了无人超市.无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本.某超市对随机进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如图所示：（时间单位：秒，付款金额RMB ：元）（1）用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率，试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率. 19．已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，06032=∠=∠=∠BAD BCD ABC ，22==CD AB ，BC CE BF 32==.（1）求证：⊥DE 平面PAF ；（2）若AB PA 21=，求二面角A CD P --的余弦值. 20．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,1(),0,1(21F F -，过2F 的直线l 与椭圆交于B A ,两点，若l 的倾斜角为2π时，AB F 1∆是等边三角形. （1）求椭圆的方程；（2）若21|,|||22≤≤=λλB F A F ，求1ABF ∆中AB 边上中线长的取值范围. 21．已知函数2)2()2()(+--=x a e x x f x. （1）求函数x e x f x g 3)()(+=的极值点；（2）当0≥x 时，恒有024)2(≥++a x f 成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为011cos 122=++θρρ. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设)0,1(P ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），已知l 与圆C 交于B A ,两点，且||43||PB PA =，求l 的普通方程. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|2||1|)(++-=x m x x f .（1）2=m 时，求不等式5)(≥x f 的解集；（2）若函数)(x f 的图象恒在直线x y =的图象的上方（无公共点），求实数m 的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．4 14．2 15．98π16．()1(,]221e e - 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，2221n n n S a S =-，即21221n n n n S S S S --=-，整理得112?n n n n S S S S ---=，所以1112n n S S --= 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个公差为2的等差数列， 又111a S ==，所以121n n S =-，所以121n S n =-， 此时10,2n n S S ≠≠符合题意 所以1121n n n a S S n -=-=-－321-n ＝2(2)2123n n n -≥--()()． 当1n =时，上式不成立，所以1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112121n n S S n n +⋅=-+（）（）111()22121n n =--+，所以111111[(1)()()]23352121n T n n =-+-++-=-+L 12+n n． 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设一位顾客进店购物结算时间为T ，根据统计图表可知，T 的可能值为10，20，40，60，所以(10)0.4,(20)0.2,(40)0.3,(60)0.1,P T P T P T P T ========所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为100.4200.2400.3600.126⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）． （Ⅱ）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况： ①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个； ③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒；④三40秒． 所以对应的概率为3221133320.10.1(0.40.20.3)0.1(0.20.30.30.3)0.3P c c c =+⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯+⨯+0.118=．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为0.118． 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过点D 在平面ABCD 内作//DN BC ，交AB 于点N ， 因为2AB CD =，ABC BCD ∠=∠，所以四边形DNBC 为一个底角是60°的等腰梯形， 所以BN AN CD ==，所以N 为AB 中点，由题知90BAD ∠=︒，在Rt NAD ∆中，2DN AN =， 又60ABC BCD ∠=∠=︒， 所以32BC ND =， 而23BF CE BC ==， 所以,E F 为BC 的三等分点， 连接EN ，所以////NE AF DC ，又在DEC ∆中，2EC DC =，60BCD ∠=︒， 所以30DEC ∠=︒，所以DE CD ⊥，所以DE AF ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为PA AF A =I ，所以DE ⊥平面PAF ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，又由（Ⅰ）知60,90ABC AND BAD ∠=∠=︒∠=︒， 所以在AND ∆中，33AD AN ==所以D ，150ADC ∠=︒，1(2C ，(0,0,1)P ，所以11((22PC DC ==u u u r u u u r ， 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，所以00PC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r rg即1021022x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令x =1,n =-r，设二面角P CD A --的平面角为θ，且θ为锐角，所以cos =||||n m n m θ=r u r g r u r g20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得：1c =，221a b -=，2c =所以22a =220a -=，解得a b ==椭圆的方程22132x y += （Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立222361x y x my ⎧+=⎨=+⎩得22(23)440m y my ++-=则12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++ 1ABF ∆中AB边上的中线长为1112F A F B +=u u ur u u u r====令223t m =+则223m t =-得1112F A F B +u u ur u u ur === 由22F A F B λ=，得1122,y y y y λλ=--=， 22121222112()142223y y y y m y y y y m λλ+---+=++==+ 12λ≤≤Q ，22142(3)12[0,]232m t m t λλ-+-==∈+ 11134,43t t ∴≤≤≤≤，1112F A F B +u u ur u u ur 2]4∈ 1ABF ∆中AB边上中线长的取值范围是2] 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，2()(1)(2)xg x x e a x =+-+，得()(2)2(2)(2)2)x xg x x e a x x e a '=+-+=+-（ （i ）当0a ≤时，在(,2)-∞-上，()0g x '<，在(2,)-+∞上，()0g x '> （ii ）当0a >时，令()0g x '=，解得2x =-或ln(2)x a =．①若212a e =，ln(2)2a =-，()0g x '≥恒成立； ②若212a e>，ln(2)2a >-，在(2,ln(2))a -上，()0g x '<；在(,2)-∞-，(ln(2),)a +∞，()0g x '> ③若212a e <， ln(2)2a <-，在(ln(2),2)a -上，()0g x '<； 在（(,ln(2))a -∞,与(2,)-+∞上，()0g x '>．综上，当0a ≤时，()g x 极小值点为2-，无极大值点；当2102a e <<时，()g x 极 小值点为2-，极大值点为 ln(2)a ；当212a e >时，()g x 极小值点为ln(2)a ，极 大值点为2-；当212a e=时，()g x 无极值点 （Ⅱ）设22()(22)(22)42x h x x ea x a =--+++, 因为2()(42)88x h x x e ax a '=---，得2()88x h x xe a ''=-(0)x ≥,且函数()h x ''在[0,)+∞上单调递增（i ）当80a -≥时，有()0h x ''≥，此时函数()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)28h x h a ''≥=--，①若280a --≥即14a ≤-时，有函数()h x 在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)0h x h ≥=，符合题意；②若280a --<即104a -<<时，存在00x >满足()h x '=０0，0(0,),'()0x x h x ∈<，此时函数()h x 在00,)x （ 上单调递减，()(0)0h x h <=不符合题意； （ii ）当80a -<时，有()80h a ''=-<0，存在10x >满足()h x ''=101(0,),x x ∈ 1h'(x )0<，此时()h x '在10,)x （上单调递减，()(0)820h x h a ''<=--<，此时函数()h x 在10,)x （ 上单调递减，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是14a ≤-． 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将222cos ,sin ,x y x yρθρθρ===+ 代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由韦达定理知121214cos ,24t t t t α+=-=①∴12,t t 同号 又∵3||||4PA PB =， ∴1234t t =②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=-解得cos 2α=±，∴tan 1k α==±， ∴l 的普通方程为(1)y x =±-.23．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()5f x ≥，即|1|2|2|5x x -++≥， ∴当2x <-时，1245x x -+--≥， 解得83x ≤-， ∴83x ≤-当21x -≤<时，1245x x -++≥，解得0x ≥，∴01x ≤<当1x ≥时，1245x x -++≥， 解得23x ≥，∴1x ≥. 综上所述，不等式()5f x ≥的解集为8|03x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（Ⅱ）由题意知|1||2|x m x x -++>恒成立， ∴当2x <-时，12x mx m x -+-->， 变形得125222x m x x ->=-+++恒成立， ∴2m ≥-当2x =-时，m 可以取任意实数；当21x -<<时，12x mx m x -++>， 变形得215222x m x x ->=-++恒成立，∴512123m ≥-=+ 当1x ≥时，12x mx m x -++>，变形得12m x >+， ∴11123m >=+ 综上所述，实数m 的取值范。

福建省龙岩市2018届高三毕业班教学质量检查数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解二次不等式可得：，则，由Venn图可知图中阴影部分为：.本题选择D选项.2. 复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则复数（为虚数单位）的虚部为.本题选择B选项.3. 设，满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标还是的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，其最小值为：.本题选择A选项.4. 如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】频率分布直方图中，考查最高的条形图可知该班学生成绩的众数为，设中位数为，由题意可得：，求解关于实数的方程可得：.综上可估计该班学生成绩的众数、中位数分别为，.本题选择D选项.5. 函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】整理函数的解析式有：结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：，求解不等式可得函数的单调递增区间是.本题选择B选项.6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中两个小矩形面积相等，则该“堑堵”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的侧面积S==4+4，故选：C．7. 已知直线：与：，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则或，经检验，当时，与重合，∴，故是充分不必要条件，故选A．8. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入s=0，n=1＜2018，s=0，n=2＜2018，s=﹣1，n=3＜2018，s=﹣1，n=4＜2018，s=0，n=5＜2018，…，由2018=504×4+2得，输出s=0，故答案为：C．9. 函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，表示函数在点处切线的斜率，表示函数在点处切线的斜率，表示直线的斜率，结合所给的函数图像可知：，即.本题选择A选项.10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，当点位于第二象限时，过点作，轴于点，由抛物线的定义可得：，由平行线的性质结合相似三角形的性质可得：，据此有：，则，直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程有：.结合焦点弦公式可得：.结合对称性可知，当点位于第三象限时仍然有.综上可得：.本题选择C选项.11. 已知向量，满足，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，，两式相加可得：如图所示，在平面直角坐标系中，，以坐标原点为圆心，为半径绘制单位圆，为圆的直径，则为满足题意的向量，其中，据此可得：，，据此可得：，，据此可得：，结合三角函数的性质可得：当时，，当时，，综上可得：的取值范围是.本题选择D选项.12. 已知正方体的棱长为，点是底面的中点，点是正方形内的任意一点，则满足线段的长度不小于的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，正方形内与点距离相等的点组成的轨迹为圆，该圆与点P构成一个圆锥，如图所示，满足题意时，圆的半径，如图所示，正方形内满足题意的点构成图中的阴影部分，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择B选项.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.13. 函数在区间上的最大值为__________．【答案】8【解析】由函数的解析式可知函数是定义在区间上的单调递减函数，则函数的最大值为：.14. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于__________．【答案】3【解析】不妨考查焦点到准线的距离：，由题意结合双曲线的性质有：，求解方程组可得：，则此双曲线的焦距为：.15. 如图，中，，为边上的一点，，，，则__________．【答案】【解析】在△BCD中应用正弦定理有：，则，，则，在△ACD中，由余弦定理有：.16. 已知函数，则的值为__________．【答案】3027【解析】考查函数有：，则，，两式相加有：，函数关于点中心对称，则，则，，两式相加有：，据此可得的值为：.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是数列的前项和，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.解：（Ⅰ）因为①，所以②，②-①得：，即，又，所以.（Ⅱ），令，则，所以.18. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：年份储蓄存款（千亿元）为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令，），得到下表：时间储蓄存款（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出关于的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程，其中，.解：（Ⅰ），，，，，，∴.（Ⅱ），，代入得到：，即.（Ⅲ）∴，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.19. 已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.（Ⅰ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥的体积.解：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求.证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴，又为中点，∴，又，，∴.∴.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当直线绕点运动时，试求的取值范围.解：（Ⅰ）∵的周长为，∴，又，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，两点坐标分别为，，当直线与轴重合时，点与上顶点重合时，，当直线与轴重合时，点与下顶点重合时，，当直线斜率为时，，当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，联立，得，则有，①②设，则，代入①②得③④∴，即，解得，综上，21. 已知，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.解：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求.解：（Ⅰ），化为，即的普通方程为，消去，得的普通方程为.（Ⅱ）在中令得，∵，∴倾斜角，∴的参数方程可设为即，代入得，，∴方程有两解，，，∴，同号，.23. 已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集包含，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）时，或或，或或，解集为.（Ⅱ）由已知在上恒成立，∵，，∴在上恒成立，∵的图象在上递减，在上递增，∴，∴的取值范围是.。

2018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1iz =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 345C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合}{1A x x =≥-，1,2x B y y x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩，则A B =IA ．}{12x x -≤≤B ．}{2x x ≥C ．}{02x x <≤ D ．∅3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为 A ．1 BCD4．设,x y 满足约束条件12324x y x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．72 B ．92 C ．132D ．152 5．将函数1sin()24y x π=+图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数俯视图正视图()y f x =的图象，则函数()4y f x 3π=+的一个单调递增区间是 A ．(,0)2π-B ．(0,)2πC ．(,)2ππD ．3(,2)2ππ6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C 为正态分布(2,1)N 的密度曲线)与直线0,x =1x = 及0y =围成的封闭区域内点的个数的估计值为(附:若X2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=)A ．2718B ．1359C ．430D ．2157． 已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，P 是C 上的一点，Q 是C 的准线上一点．若ΔPQF 是边长为2的等边三角形，则该抛物线的方程为A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x = 8．已知锐角,αβ满足sin 2cos αα=，1cos()7αβ+=，则cos β的值为 A ．1314 B ．1114CD9．已知O 是坐标原点，12,F F 分别是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）的左、右焦点，过左焦点1F 作斜率为12的直线，与其中一条渐近线相交于点A ．若2||||OA OF =，则双曲线C的离心率e 等于 A ．54B ．53CD ．210．世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的《张丘建算经》中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人．用现代方程思想，可设,,x y z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的数量，则不定方程为53100,3100.z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩如图是体现张丘建求解该问题思想的框图，则方框中①，②应填入的是 A ．3?t <，257y t =- B ．3?t ≤，257y t =-C ．5?t <，255y t =-D ．5?t ≤，255y t =- 11．底面边长为6的正三棱锥的内切球半径为1，则其外接球的表面积为A ．49πB ．36πC ．25πD ．16π12．设函数()ln()f x x k =+，()e 1x g x =-．若12()()f x g x =，且12x x -有极小值1-，则实数k的值是 A ．1- B ．2-C ．0D ．22018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．边长为2的正三角形ABC 中，12AD DC =，则BD AC ⋅=___________． 14．()22344(1)x x x -++的展开式中，3x 的系数是___________．（用数字填写答案）15．B 村庄在A 村庄正西10km ，C 村庄在B 村庄正北3km ．现在要修一条从A 村庄到C 村庄的公路，沿从A 村庄到B 村庄的方向线路报价是800万元/km ，沿其他线路报价是1000万元/km ，那么修建公路最省的费用是___________万元． 16．在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且满足2DAC π∠=，1sin 3BAD ∠=．若13ABD ADC S S ∆∆=， 则C ∠的余弦值为___________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，若4(1)n n n c b b =+，求证：123n c c c +++<．18．（12分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，112BC DC AB ===． O 是AB 的中点，PO ⊥底面ABCD ．O 在平面PAD上的正投影为点H ，延长PH 交AD 于点E ． （1）求证: E 为AD 中点；（2）若90ABC ∠=，PA =BC 上确定一点G ，使得HG //平面PAB ，并求出OG 与面PCD 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224:5O x y +=相切．（1）求椭圆M 的方程；（2） 已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．21．（12分）已知函数221()()ln ()2f x x x x ax a =++∈R ，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直．（1）求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若λ是整数，当0x >时，总有2211()(3)ln 24f x x x x x λλ-+->+，求λ的最大值． 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2(4cos )4r ρρθ-=-，曲线2C的参数方程为4cos ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）当r 变化时，设1,C 2C 的交点M 的轨迹为3C ．若过原点O ，倾斜角为3π的直线l 与OHEDCBAP曲线3C 交于点,A B ，求OA OB -的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知实数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式225x x y -++≤；（2）若,0x y >，证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．23- 14．8 15．9800 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解:（1）由题设132n n S a +=-， 当2n ≥时，132n n S a -=-，两式相减得13n n n a a a +=-，即14n n a a += . …………………2分又1a =2，1232a a =-，可得28a =， ∴214a a =. ………………………………3分 ∴数列{}n a 构成首项为2，公比为4的等比数列，∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分 （没有验证214a a =扣一分）（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- ， ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∵2n ≥时，211n n -≥+，∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ ， ………9分 ∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ (11)分3<. ………………………………12分解法三：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∴2n ≥时，22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- ， ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解法一：（1）当2040t <≤时，0.1215y t =+ ………………………………1分 当4060t <≤时，.y t t=⨯+-+. ………………………………2分 得：0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩………………………………3分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分 ξ可取0，1，2，3.03032327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2232336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为……………7分27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………8分 或依题意2(3,)5B ξ，23 1.25E ξ=⨯= ……………………………8分（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间21820102535455542.650505050t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟），……………10分 每次上下班租车的费用约为0.242.611.820.32⨯+=（元）. ……………11分 一个月上下班租车费用约为20.32222894.081000⨯⨯=<，估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分解法二：（1）（2）同解法一； （3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为2182010(150.1225)(150.1235)(11.80.245)(11.80.255)20.51250505050+⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=（元）……………10分一个月上下班租车费用约为20.512222902.5281000⨯⨯=<……………11分估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）连结OE . 2,AB O =是AB 的中点，1CD =，OB CD ∴=，//AB CD ，∴ 四边形BCDO 是平行四边形， 1OD ∴=.………………1分PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， PO AD ∴⊥，………………2分 O 在平面PAD 的正投影为H ， OH ∴⊥平面PAD ，OH AD ∴⊥.………………3分又OH PO O =，AD ∴⊥平面POE ，AD OE ∴⊥，………………4分 又1AO OD ==，E ∴是AD 的中点. ………………5分 （2）90ABC ∠=，//OD BC ，OD AB ∴⊥，OP ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，………………6分(0,0,0)O ∴，(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，2PA =，OP AB ⊥，1PO ∴OA OD OP ∴==，∴H ∴是ADP ∆的的外心，AD PD AP ==H ∴是ADP ∆的的重心，OH OP PH ∴=+23OP PE =+111(,,)333=-.………………8分设BG BC λ=，(,1,0)OG BC OB λλ∴=+=，141(,,)333GH OH OG λ∴=-=--，又(1,0,0)OD =是平面PAB 的一个法向量，且//HG 平面PAB ， 0GH OD ∴⋅=，103λ∴-=，解得13λ=，1(,1,0)3OG ∴=，………………9分OHECBAP设(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量，(1,0,1)PD =-，(0,1,0)CD =-，0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z y -=⎧⎨=⎩ 取1,x =则1,0z y ==，(1,0,1)n ∴=.………………11分cos ,||||n PGn PG n PG ⋅∴<>=⋅13==， ∴直线OG 与平面PCD 所成角的正弦值为………………12分 解法二：（1）同解法一；（2）过H 作HM EO ⊥，交EO 于点M ，过点M 作//GM AB ，分别交,OD BC 于,Q G ，则//HG 平面PAB ，………………6分 证明如下：//,MG AB AB ⊂平面,PAB MG ⊄平面PAB ，//MG ∴平面PABPO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ABCD ，PO EO ∴⊥， ∴在平面POD 中，//PO MH ，PO ⊂平面,PAB HM ⊄平面PAB ，//MH ∴平面PABMG MH M =，∴平面//MHG 平面PABGH ⊂平面MHG ，//HG ∴平面PAB .………………7分,OM PH OM ME HE =∴=， 1,3BG OQ ∴===………………8分 在OD 上取一点N ，使23ON =， CN OG ∴==，………………9分 作NT PD ⊥于T ，连结CT .∵,CD OD ⊥,CD OP OD OP O ⊥=，CD ∴⊥平面POD ， NT CD ∴⊥，PD CD D =, NT ∴⊥平面PCD ,NCT ∴∠就是OG 与平面PCD 所成的角.………………10分DN DPNT PO =, NT ∴，………………11分 TNQ PAB CD E HOMGsinNTOTNCN∴∠===, 即直线OG与平面P C D所成角的正弦值为………………12分解法三：（1）同解法一.（2）过E作//EQ AB，交BC于点Q，连结PQ，过H作//HM EQ交PQ于点M，过点M作//GM PB，交BC于G，连结HG，则//HG平面PAB，………………6分证明如下：//,MG PB PB ⊂平面,PAB MG⊄平面PAB，//MG∴平面PAB同理://MH平面PABMG MH M=，∴平面//MHG平面PAB．GH ⊂平面MHG，//HG∴平面PAB，………………7分2BG PM PHGQ MQ HE∴===，E是AD的中点，∴Q是BC的中点，1133BG BC∴==，………………8分取PD的中点N，连结ON，再连结OG并延长交DC的延长线于点T，连结NT，OP OD=，N是PD中点，ON PD∴⊥，OB OD⊥，,OB OP OD OP D⊥=，OB∴⊥平面PODOB ON∴⊥，//OB CD，ON CD∴⊥，PD CD D=，ON∴⊥平面PCD，OTN∴∠就是OG与平面PCD所成的角.BG OBGC CT=，2CT∴=，OT∴12ON DP=………………11分sinONOTNOT∴∠===，即直线OG与平面PCD所成角的正弦值为………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．TNGMQOHED CBAP解法一：（1）根据题意，可得：1224,21122a b ab ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,ab =⎧=………………………………………………………2分 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为2214x y +=．………………………………………………………5分（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5m n +=，………………………………6分 从而[)20,4m ∈.又1121(2)2S n y y =+-，2121(2)2S n y y =--，∴1212121(2)(2)2S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………………7分将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(4)240m y mny n +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+． (8)∴12y y -.∴12S S n -===85， 当20m =时，1285S S -=；………………………………10分当2(0,4)m ∈时，122S S -=，………………………………11分且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设:l x =，此时直线l与椭圆的交点为，12182)(225S S ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.点,A B 分别到直线l 的距离为1d =2d =.将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(14)8440k x kbx b +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -⋅=+． (7)分∴12PQ x =-.………………………8分 ∴121212S S d d AB-=-⋅=b =b ===2=， 且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭． (12)分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一: （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()(1)ln (2)12f x x x a x '=++++，……………………………………………………………1分依题意可得， (1)1f '=， 12122a ∴++=，14a ∴= .……………………………………………………………………2分 ()(1)ln (1)f x x x x '∴=+++=(1)(ln 1)x x ++令()0f x '=，即(1)(ln 1)0x x ++=，10,x x >∴=，……………………………………3分 ()f x ∴的单调递增区间是1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e .………………………………5分（2）由（Ⅰ）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++，2211()(3)ln 24f x x x x x λλ∴-+->+ln 31x x x x λ-⇔>+，………………………………6分 设ln 3()1x x xh x x -=+， ∴只要min ()h x λ>，……………………………………………7分2(1ln 3)(1)(ln 3)()(1)+-+--'=+x x x x x h x x22ln (1)x xx -+=+，…………………………………………………………………8分令()2ln u x x x =-+， 1()10u x x'∴=+>()u x ∴在(0,)+∞上为单调递增函数， (1)10u =-<， (2)ln 20=>u∴存在0(1,2)x ∈，使0()0u x =，……………………………………………………9分当0(,)x x ∈+∞时，()0u x >，即()0h x '>， 当0(0,)x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<， ()h x ∴在0x x =时取最小值，且000min 0ln 3()1-=+x x x h x x ，………………………………10分又0()0u x =， 00ln 2x x ∴=-， 000min 00(2)3()1--∴==-+x x x h x x x ，……………………………………………………11分00(1,2),(2,1)x x ∈∴-∈--又min ()h x λ<，max 2Z λλ∈∴=-. …………………………………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++2211()(3)ln 24f x x x x λλ∴-+->+ln 30x x x x λλ⇔--->.…………………………6分 设()ln 3g x x x x x λλ=---，∴只要min ()0g x >，………………………………………7分 则()1ln 3g x x λ'=+--ln 2x λ=--令()0g x '=，则ln 2x λ=+，2x e λ+∴=.…………………………………………………8分 当2(0,)x e λ+∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2(,)x e λ+∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，2min ()()g x g e λ+∴=222(2)3e e e λλλλλλ+++=+---2e λλ+=--.…………………………9分设2()h e λλλ+=--，则()h λ在R 上单调递减，………………………………………10分 (1)10,(2)120h e h -=-+<-=-+>，………………………………………………11分 0(2,1)λ∴∃∈--，使0()0h λ=，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解法一：（1）由1C ：2(4cos )4r ρρθ-=-， 得224cos 4r ρρθ-+=，即222440x y x r +-+-=， ………………………………………………………2分 曲线2C 化为一般方程为：222(4)3x y r -+=，即2228163x y x r +-+=，………4分 化为极坐标方程为：228cos 1630r ρρθ-+-=．………………………………5分（2）由224cos 4r ρρθ-+=及228cos 1630r ρρθ-+-=，消去2r ，得曲线3C 的极坐标方程为22cos 20()ρρθρ--=∈R ． …………………………………………………7分将θπ=3代入曲线3C 的极坐标方程，可得220ρρ--=，…………………8分 故121ρρ+=，1220ρρ=-<，…………………………………………………9分 故121OA OB ρρ-=+=．…………………………………………………10分 （或由220ρρ--=得0)1)(2(=+-ρρ得1,221-==ρρ，…………………9分 故211-=-=OA OB …………………………………………………10分） 解法二：（1）同解法一；（2）由22244x y x r +-+=及2228163x y x r +-+=，消去2r ，得曲线3C 的直角坐标方程为2222x y x +-=． ………………………………………………………………7分设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），………………………………8分与2222x y x +-=联立得2213244t t t +-=，即220t t --=，………………………………………………………………9分故121t t +=，1220t t =-<，∴121OA OB t t -=+=．……………………………………………………10分 （或由220t t --=得，,0)1)(2(=+-t t 得1,221-==t t ，∴211-=-=OA OB ．……………………………………………………10分）23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（1）1,x y +=|2||1|5x x ∴-++≤，………………………………………1分当2x ≥时，原不等式化为215x -≤，解得3x ≤，∴23x ≤≤；………………………………………………2分 当12x -≤<时，原不等式化为215x x -++≤，∴12x -≤<；………………………………………………3分 当1x <-时，原不等式化为215x -+≤，解得2x ≥-，∴21x -≤<-；………………………………………………4分 综上，不等式的解集为{}23x x -≤≤．.……………………5分 （2）1,x y +=且0,0x y >>，2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅……………7分222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y=++225x y y x=++………………………………8分59≥=. 当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分 解法二：（1）同解法一；（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222221111(1)(1)x y x y x y --∴--=⋅………………………………6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅………………………………7分 1x y xyxy+++=………………………………8分21xy =+2219()2x y ≥+=+当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解二次不等式得集合A，由集合的运算得阴影部分.详解：由题意，，∴阴影部分为.故选C.2. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由诱导公式求得，再由同角关系式求得，最后由二倍角公式得.详解：，∵，∴，∴，故选A.点睛：本题考查的恒等变换，三角函数的诱导公式、同角间的三角函数关系、两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式是解这类题常要用到的公式，需要熟练掌握．另外需要观察“已知角”和“未知角”之间的关系，寻找它们之间的联系，从而确定选用什么公式进行变形、化简．3. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A. 1215B. 135C. 18D. 9【答案】B【解析】分析：由二项式系数和求出指数，再写出展开式通项后可求得常数项．详解：由题意，，∴通项为，令，，∴常数项为，故选B.．点睛：在展开式中二项式系数为，所有项的系数和为．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数有关，而所有项系数和还与二项式中的系数有关．4. 执行如图的程序框图，若输出的值为55，则判断框内应填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的值可得结论.详解：程序运行中变量值依次为：；；；；；；；；；，此时应结束循环，条件应为.故选C.点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解题时可模拟程序运行，由其中变量值的变化结论.，本题也可由程序得出其数学原理，然后研究得出.本题程序实质是求数列的和：，当为偶数时，，当为奇数时，，计算后可得＝10时，，程序运行后＝11，从而得出判断条件.5. 等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（ ）A.B. C. D.【答案】A 【解析】分析：先为基底，把用基底表示后再进行数量积的运算. 详解：由已知，，故选A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.6. 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球. 详解：.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.7. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（ ）参考数据:，，，，.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，，∴，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.8. 设满足约束条件且的最大值为8，则的值是（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：作出可行域，作出直线，平移直线可得最优解，由最优解可解值.详解：作出可行域，如图内部（含边界），作出直线，易知向上平移直线时，增大，所以当过点时，取最大值，由得，∴，解得.故选B.点睛：本题考查简单的线性规划问题，其解法如下：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解.9. 函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式详解：当，，又∵，则，即，，由得，，∴，解得，综上.故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：，增区间：，零点：，对称轴：，对称中心：，.10. 已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数研究函数的单调性，由指数函数与对数函数的性质得的大小，然后可得结论.详解：，当时，，递减，当时，，递增，∴是的最小值，又，∴且，∴，∴，故选C.点睛：比较函数值的大小，通常是利用函数单调性，象本题这种函数的单调性一般通过导数来研究，11. 抛物线的准线与轴的交点为，直线与交于两点，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由抛物线的焦点弦性质知，这个结论必须先证明（可用几何方法也可用代数方法），然后把用直线的倾斜角表示后求出，从而得斜率，还要注意对称性，应该有两解.详解：直线过抛物线的焦点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，又，∴，而，∴∽，∴，即，设直线的倾斜角为，若，则，，，由对称性也有. 故选D.点睛：关于的证明方法还可用代数方程证明：设方程为，代入得，设，则，，∴直线关于轴对称，即，由面积法或角平分线定理得.这实质是任意的抛物线的过焦点的弦的性质之一.12. 已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】分析：由导数得是增函数，则有且只有一解，因此方程有两解，则有两解，再由与性质可得结论.详解：，当时，，当时，，∴在上恒成立，∴是上的增函数.令，则有且只有一解，则要使方程有两解，只要有两解即可.由于在和上都是增函数，因此当时，有两解，设解为且，则，，，（如图），，，，令，，易知时，，时，，即时取得极小值也是最小值.故选D.点睛：本题考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质，首先利用导数判断出函数是单调函数，从而方程有且只有一解，因此问题转化为方程有两个解，通过的图象得出两解的范围与表达式及的范围，然后可以把表表示出来，再由导数求出此关于的函数的最小值.本题还考查了逻辑思维能力、转化与化归思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则等于__________．【答案】【解析】分析：可先求出，再根据复数模的定义求出模．详解：由题意，则．故答案为．点睛：复数，由，本题也可根据模的性质求解：，．14. 斜率为2的直线被双曲线截得的弦恰被点平分，则的离心率是__________．【答案】【解析】分析：设出弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差可得的关系式，从而求得离心率．详解：设直线的与双曲线的两个交点为，则，两式相减得，即，又由已知，，∴，即，，所以．故答案为．点睛：设斜率为的直线与双曲线交于两点，弦的中点为，则，即．证明方法可用“点差法”．15. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是__________．【答案】2【解析】分析：由三视图还原出几何体，分析结构图即可．详解：如图是原几何体，其在正方体中的位置，正方体棱长为2，则该四面体高的最大值为2.故答案为2.点睛：本题考查由三视图还原几何体问题，解题时必须掌握基本几何体的三视图，再由基本几何体得出一些组合体的三视图．16. 等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：引入一个参数，设，利用正弦定理把用表示，这样可把也用表示出来，然后由三角函数的性质可求得最大值．详解：设，则，外接圆半径为，在中，，同理，，，则.当时，的最大值为.点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是建立三角函数的模型，题中点P在劣弧AB上移动，因此选为变量，把面积和表示的函数，结合三角函数知识求得最大值．解决此类问题必须掌握两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识，本题同时考查了学生的运算求解能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和．详解：（1）（法一）由，令，得到∵是等差数列，则，即解得：由于∵，∴（法二）∵是等差数列，公差为，设∴∴对于均成立则，解得，（2）由18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为的中点，.（1）证明:平面平面；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）在直角梯形中，由已知得是等边三角形，这样结合可得，再有，因此有平面，从而可证面面垂直；（2）只要作于点，则可得平面，从而得是中点，，计算得，以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值．详解：（1）证明：由是直角梯形，，可得从而是等边三角形，，平分∵为的中点，，∴又∵，∴平面∵平面，∴平面平面（2）法一：作于,连,∵平面平面,平面平面∴与平面平面∴为与平面所成的角，，又∵,∴为中点,以为轴建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量，由得，令得，又平面的一个法向量为，设二面角为，则所求二面角的余弦值是.解法二：作于点,连，∵平面平面，平面平面∴平面∴为与平面所成的角,又∵,∴为中点，作于点,连,则平面，则，则为所求二面角的平面角由，得,∴,∴.点睛：在立体几何中求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）常常是建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，由空间向量的夹角与空间角的关系，采用向量法求得空间角．19. 某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）【答案】（1）3.95；（2）见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元) 点睛：本题考查统计与概率的相关知识，如频率分布直方图，随机变量的分布列，期望，分布表等，考查数据处理能力，运用数据解决实际问题的能力．20. 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为的上顶点，的内切圆面积为. （1）求的方程；（2）过的直线交于点，过的直线交于，且，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由离心率得，由圆面积得圆半径，而的面积，一方面等于，另一方面等于，两者相等得，再结合可解得，得椭圆方程；（2）利用可求得两直线交点的轨迹是单位圆，单位圆在椭圆内部，即点M在椭圆内部，因此有，下面分两类求面积，一类是中有一个斜率不存在，求得面积为6，第二类是中斜率都存在，设为，，由直线与椭圆方程联立消元后可得，，同理方程为，得，这样就表示为的函数，变形注意先把作变整体变形，然后用换元变为的函数，最后可求得的范围．详解：（1）设内切圆的半径为，则，得设椭圆的焦距，则，又由题意知，所以，所以，结合及，解得，所以的方程为.（2）设直线的交点为，则由知，点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为.该圆在椭圆内，所以直线的交点在椭圆内，从而四边形面积可表示为.①当直线与坐标轴垂直时，.②当直线与坐标轴不垂直时，设其方程为，设，联立，得，其中，，所以.由直线的方程为，同理可得.所以.令，所以，令，所以，从而.综上所述，四边形面积的取值范围是.点睛：本题以椭圆与直线的位置关系为背景，以椭圆的轨迹方程为主要考查内容，考查观察分析、推理论证、数学运算等数学能力，考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想．对直线与椭圆相交问题，本题中的解法常称为“设而不求”．21. 设函数，.（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；（2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），再结合图象可得的范围；（2）首先题意说明，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．详解：（1) ）当时，，，所以有两个极值点就是方程有两个解，即与的图像的交点有两个.∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值又因为时，；当时，.当时与的图像的交点有0个；当或时与的图像的交点有1个；当时与的图象的交点有2个；综上.（2）函数在点处的切线与轴平行，所以且，因为，所以且；在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当时，恒成立，即，令，∴设，，因为，所以，∴，∴在单调递增，即在单调递增，∴，当且时，，所以在单调递增；∴成立当，因为在单调递增，所以，，所以存在有；当时，，单调递减，所以有，不恒成立；所以实数的取值范围为.点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想．解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解：当时，，，令，①时，，∴在单调递增，不符合题意；②时，令，，∴在单调递增；令，，∴在单调递减；令，∴又因为，，且，所以时，有两个极值点.即与的图像的交点有两个.22. 在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将曲线，曲线消去参数可得普通方程，然后利用即可得的极坐标方程；（2）将分别代入的极坐标方程可得，，，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.详解：（1），∵，故的极坐标方程：.的直角坐标方程：，∵，故的极坐标方程:.（2）直线分别与曲线联立，得到，则，，则，∴令，则所以，即时，有最大值.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 已知函数，其中.（1）求函数的值域；（2）对于满足的任意实数，关于的不等式恒有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）将函数，写成分段函数形式，判断函数的单调性，利用单调性可得函数的值域；（2）先利用作差法证明，再由，利用基本不等式可得，结合（1）可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴∴故.（2）∵，∴，∵，∴，∴.当且仅当时，，∴关于的不等式恒有解即，故，又，所以.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将“任意实数，关于的不等式恒有解”转化为“”是解题的关键.。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}{}260,1,2,3,4A x x x B =--<=，则Venn 图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 2.已知4sin ,025πααπ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253.若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．1215B ．135C ．18D ．94.执行如图的程序框图，若输出S 的值为55，则判断框内应填入（ ）A ．9?n ≥B ．10?n ≥C ．11?n ≥D ．12?n ≥5.等边ABC ∆的边长为1，,D E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE ⋅等于（ ）A ．1318 B ．34 C ．13D ．326.从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）A ．15B ．14C ．13D ．127.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：21212S ⨯⨯=⨯弦矢+矢.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：12V =⨯圆面积⨯矢312+⨯矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为180002m ，建筑容积约为3400003m ，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（ ）参考数据: 3321800032608768+⨯=，3341800034651304+⨯=，3361800036694656+⨯=， 3381800038738872+⨯=，3401800040784000+⨯=.A ．()32,34B ．()34,36C ．()36,38D ．()38,40 8.设,x y 满足约束条件0,20,0,x y x y a x -≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩且3z x y =+的最大值为8，则a 的值是（ ）A ．16-B ．6-C ．2-D ．29.函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log a b c ==，则（ ） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f a f c f b << D ．()()()f c f b f a <<11.抛物线2:4E y x =的准线与x 轴的交点为K ，直线():1l y k x =-与E 交于,A B 两点，若:3:1A K B K =，则实数k 的值是（ ）A ．33±B ．1±C ．2±D ．3± 12.已知函数()3sin f x x x =+，()()11,0,2ln 1,0,x x g x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩若关于x 的方程()()0f g x m +=有两个不等实根12,x x ，且12x x <，则21x x -的最小值是（ ）A ．2B ．3ln 22-C ．4ln 23- D ．3ln2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数z 满足()31i z i -=，则z 等于 ．14.斜率为2的直线l 被双曲线2222:10,0()x y C a b a b -=>>截得的弦恰被点()2,1M 平分，则C 的离心率是 ．15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是 ．16.等边ABC ∆的边长为1，点P 在其外接圆劣弧AB 上，则PAB PBC S S ∆∆+的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 满足()212,n n a n n k k R +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，,3,22AB BC AB BC AD ⊥===，E 为CD 的中点，PB AE ⊥.（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）若,PB PD PC =与平面ABCD 所成的角为4π，求二面角B PD C --的余弦值. 19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如图所示. 用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩； 方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用）20.椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 为E 的上顶点，12F PF ∆的内切圆面积为3π. （1）求E 的方程；（2）过1F 的直线1l 交E 于点,A C ，过2F 的直线2l 交E 于,B D ，且12l l ⊥，求四边形ABCD 面积的取值范围. 21.设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()x g x e ex =-. （1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABCA 6-10: DBBCC 11、12：DD二、填空题13.22 14.2 15. 2 16.12三、解答题17. 解：（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =， 得到12331021,,234k k ka a a +++===∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k+++=+解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+ ∵10n +≠，∴21n a n =-（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+- ∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++- ∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立 则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =- （2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭11111111111111112323525722121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n nn n n +=+=++ 18.（1）证明：由ABCD 是直角梯形，3,22AB BC AD ===， 可得2,,23DC BCD BD π=∠==从而BCD ∆是等边三角形，3BCD π∠=，BD 平分ADC ∠∵E 为CD 的中点，1DE AD ==，∴BD AE ⊥ 又∵,PB AE PB BD B ⊥⋂=，∴AE ⊥平面PBD ∵AE ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD （2）法一：作PO BD ⊥于O ,连OC ,∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥与平面平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角，4PCO π∠=，又∵PB PD =,∴O 为BD 中点,,3OC BD OP OC ⊥== 以,,OB OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,3B C D P - ()()0,3,3,1,0,3PC PD =-=--，设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =， 由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得33030y z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =得()3,1,1n =-，又平面PBD 的一个法向量为()0,1,0m =， 设二面角B PD C --为θ，则15cos 551n m n mθ⋅===⨯⋅ 所求二面角B PD C --的余弦值是55. 解法二：作PO BD ⊥于点O ,连OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥ 平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角4PCO π∠=,又∵PB PD =,∴O 为BD 中点，,3OC BD OP OC ⊥== 作OH PD ⊥于点H ,连CH ,则PD ⊥平面CHO ，则PD HC ⊥， 则CHO ∠为所求二面角B PD C --的平面角 由3OC =，得32OH =,∴152CH =,∴5cos 5CHO ∠=. 19.（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=(万元) （2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为3010049006600⨯+⨯=(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为()2560000.26600.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=0(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600⨯+⨯=(辆） 可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为 2560000.270000.376000.55002008040045500()⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元) 20.解：（1）设12F PF ∆内切圆的半径为r ，则23r ππ=，得33r =设椭圆E 的焦距122F F c =，则()12122F PF S c b bc ∆=⋅⋅=，又由题意知122PF PF a +=， 所以()12121212F PF S PF PF F F r ∆=⋅++⋅=()()13322233a c a c ⋅+⋅=+，所以()33a c bc +=， 结合2ce a==及222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，所以E 的方程为22143x y +=.（2）设直线,AC BD 的交点为M ，则由12MF MF ⊥知，点M 的轨迹是以线段12F F 为直径的圆，其方程为221x y +=.该圆在椭圆E 内，所以直线,AC BD 的交点M 在椭圆E 内，从而四边形ABCD 面积可表示为12S AC BD =⋅⋅. ①当直线AC 与坐标轴垂直时，12S AC BD =⋅⋅22122262b a b a =⋅⋅==.②当直线AC 与坐标轴不垂直时，设其方程为()10x ty t =-≠，设()()1122,,,A x y C x y ， 联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，其中()()()()222643491441t t t ∆=--⨯+⨯-=+，12122269,3434t y y y y t t -+==++， 所以()()()222121221211434t AC t y y y y t +⎡⎤=++-=⎣⎦+.由直线BD 的方程为11x y t =-+，同理可得()2222112112143134t t BD t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 所以()()()()()222222221211217211234433443t t t S t t t t +++=⋅⋅=++++()()()2222721311411t t t +=⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦()()()222222227217211121111211t t t t t +==⎛⎫+++--++ ⎪++⎝⎭.令()21,0,11m m t =∈+，所以222211121211m m t t ⎛⎫-++=-++ ⎪++⎝⎭， 令()()212,0,1g m m m m =-++∈， 所以()4912,4g m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，从而288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述，四边形ABCD 面积的取值范围是288,649⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.解：法一：（1）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-，令()ln 2p x x ax =-，()1122ax p x a x x-'=-= ①(],0a ∈-∞时，()0p x '>，∴()p x 在()0,+∞单调递增，不符合题意；②()0,a ∈+∞时，令()0p x '>，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()p x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；令()0p x '<，1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴()p x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； 令1ln 2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又因为()120p a =-<，22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且211124a a <<， 所以10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ln f x x x ax x =--有两个极值点. 即2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有两个. 法二：（1) ）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-，所以()2ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有两个. ∵()21ln x m x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.()m x 有极大值1e又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<. 当1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个； 当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图象的交点有2个； 综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2f x x ax b '=-+， 所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角， 即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220x x e ax a e +-+->，令()ln 22x t x x e ax a e =+-+-，∴()12x t x e a x '=+- 设()12x x e a x ϕ=+-，()21x x e x ϕ'=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，即()t x '在()1,+∞单调递增，∴()()112t x t e a ''>=+-，当12e a +≤且1a ≠时，()0t x '≥， 所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在()1,+∞单调递增；∴()()10t x t >=成立 当12e a +>，因为()t x '在()1,+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<，()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->， 所以存在()01,ln 2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++所以13t =，即3sin 3α=±时，OB OA 有最大值433. 23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴223333b c -≤+≤. 当且仅当33b c ==时，()max 233b c +=，∴()max 323b c +=⎡⎤⎣⎦ 关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即223a +≥，故232a ≥-，又0a >，所以232a ≥-.。