南京市2018届高三数学考前综合题(学生)

A

B

N

M

D C B A 南京市2018届高三数学考前综合题

一．填空题

1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；

②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）

2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ．

3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．

4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →

，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ．

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则d

aq

的值是 ．

6．已知函数f (x )＝－34x ＋1

x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最

大值是 ．

7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与

圆

O ：x 2＋y 2＝

b 2

4

相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ．

9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →

＝ ．

10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →

，

则r 的取值范围是 ．

11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ．

12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，

任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ．

13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值

为 ．

14．已知函数f (x )＝x 3

－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，

g (x )，f (x )＜g (x )，

有三个零点，则实数a 的取值

范围是 ． 二．解答题

15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．

（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期； （2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π

4)的值．

16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0． （1）求角B 的大小；

（2）若b ＝23，试求AB →·CB →

的最小值．

17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．

求证：（1）P A ⊥平面PCD ；

（2）求点C 到平面PBD 的距离．

18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时

的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．

（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，

试求运动员游泳速度的最小值；

（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小

船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．

P

A

B

C

D

A

B

C

岸边

30°

r

r h

19. 某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π

3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底

面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.

20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为

第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．