2016届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷(带解析)

2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax 0=1，即． 代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a ，使得f （）•f （e ax ）+f （）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x ）=ax •ln2a ﹣ax •lnx+lnx ﹣ln2a=（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ），其中x ＞0，a ＞0根据条件对任意正数x 恒成立，即（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ）≤0对任意正数x 恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a ，使得f （）•f （e ax ）+f （）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x ）=ax •ln2a ﹣ax •lnx+lnx ﹣ln2a=（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ），其中x ＞0，a ＞0 要使得（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ）≤0对任意正数x 恒成立， 等价于（ax ﹣1）（2a ﹣x ）≤0对任意正数x 恒成立，即对任意正数x 恒成立，设函数，则φ（x ）的函数图象为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。

扬州2016—2017学年度第一学期期末检测试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，，，则A B = ▲ ． 2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5， 则输出的y 的值为 ▲ ． 5．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点， 则弦AB 的长度为 ▲ ．6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率 小于0的概率为 ▲ ．7．若实数,x y 满足10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23zx y =+的最大值为 ▲ ．8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm ），侧面积为8（单位：2cm ）， 则它的体积为 ▲ （单位：3cm ）.9．已知抛物线216y x =的焦点恰好是双曲线222112x y b -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 10．已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．扬州11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲ ．13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则BQ的最小值是 ▲ ．14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2cm ），12条棱长度之和为36（单位：cm ），则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ （单位：3cm ）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长； （2）求tan 2B 的值．（第4题图）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD .17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=.记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米． （1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5tan 34≈） （2）求S 的最小值.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆C 的上顶点A 的直线l :y kx b =+分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP PQ λ=． （1）若点(3,0),P -点(4,1),Q --求椭圆C 的方程； （2）若3λ=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围； （3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）2016—2017学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学 2017.01试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21．（本小题满分10分）已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值. 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4πθ=，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. 23．（本小题满分10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .24．（本小题满分10分）已知010011(1)C ()(1)C ()(1)C (),()n n nn n n n F x f x f x f x n *=-+-++-∈N ()(0)x >， 其中i ()f x {}(i 0,1,2,,)n ∈是关于x 的函数.（1）若ii ()=f x x (i )∈N ，求21F ()，20172F ()的值；（2）若i ()=(i )ixf x x+∈N ，求证：!=(1)(2)()n n F x x x x n +++()()n *∈N .2016-2017学年度高三第一学期期末测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2017．1一、填空题 1．{1,0}-2．03．2004．15- 5． 6．17．889．y x = 101112．48 132314．[16,20] 15.⑴因为cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-，且6AB =，AC =BC 分⑵方法一：在ABC ∆中，6AB =，AC =BC222222cos =210BA BC AC B BA BC +⨯-(-(， --------------------9分 又(0,)B π∈，所以sin B sin 1tan cos 3B B B ==，-------------11分所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3BB B ==--. ---------------------14分 方法二：由6AB =，AC =cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-可得cos =2A -， 又(0,)A π∈，所以34A π=.---------------------8分 在ABC ∆中，sin sin BC ACA B =，所以sin sin AC AB BC⨯===，-----------10分又(0,)4B π∈，所以cos 10B ，所以sin 1tan cos 3B B B ==， 所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分 16. （1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF ∥CD ，又在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF ∥AB ， ---------------------3分又AB ⊂面P AB ，EF ⊄面P AB ，所以EF ∥平面P AB . ---------------------6分⑵证明：在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ， ---------------------10分 又AF ⊂面P AD ，所以CD ⊥AF .①因为P A =AD 且F 是PD 的中点，所以AF ⊥PD ，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD ∩CD =D ，所以AF ⊥平面PCD . -----------------14分 17.⑴方法一：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME =∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， ---------------------2分同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， - --------------------4分所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， --------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理可知：sin sin ME PEPMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ⨯===∠-， ---------------------2分在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PEEPN PNE=∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ⨯++===----------------------4分所以2cos sin cos MN NE ME θθθ=-=+,又点P 到DE的距离为4sin 4d π==， ---------------------6分所以∆PMN 的面积S=21441cos 212cos sin cos sin 222MN d θθθθθ⨯==+++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， ---------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分⑵当242ππθ+=即350,844ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S1)=.---------13分 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米. ---------------------14分 18.（1）由P 在圆222:O x y b +=上得3,b =又点Q 在椭圆C 上得2222(4)(1)1,3a --+= 解得218,a = ∴椭圆C 的方程是221.189x y += --------------------------------------5分 （2）由222y kx b x y b =+⎧⎨+=⎩得0x =或221P kbx k =-+ --------------------------------------7分 由22221y kx bx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0x =或22222Q kba x a k b =-+ --------------------------------------9分 AP PQ λ= ，3λ=，34AP AQ ∴=，2222223241kba kb k a b k ∴⋅=++即222223141a a k b k⋅=++ 222223441a b k e a -∴==- 20k >241e ∴>，即12e >，又01e <<,11.2e ∴<< ----16分19. （1）因为2,n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩ 即21n a n =- --------------------------------------2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+ --------------------------------------4分（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nbb +=，所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--，所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- --------------------------5分因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅--- --------------------------8分所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=---，所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥。

江苏省扬州市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·枣阳开学考) 不等式x（x+2）≥0的解集为（）A . {x|x≥0或x≤﹣2}B . {x|﹣2≤x≤0}C . {x|0≤x≤2}D . {x|x≤0或x≥2}2. （2分）已知，为虚数单位，若，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·珠海月考) 为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n ＝（）A . 13B . 12C . 10D . 94. （2分）直线xcosα+ y+2=0的倾斜角的取值范围（）A . [0， ]B . [ ，）∪（， ]C . [ ， ]D . [0，]∪[ ，π）5. （2分）如图，阴影是集合在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在正项数列{an}中，a1=2，点（，）（n≥2）在直线x﹣y=0上，则数列{an}的前n项和Sn等于（）A . 2n﹣1﹡B . 2n+1﹣2C . 2 ﹣D . 2 ﹣7. （2分）执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）A . 2B . -2C . 4D . -49. （2分） (2016高一下·南充期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B . 8C . 12D .10. （2分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A . 0B . -1C . 1D . -211. （2分） (2019高一下·蛟河月考) （）A .B .C .D .12. （2分）已知函数.若，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·湖南理) （）6的二项展开式中的常数项为________（用数字作答）．14. （1分）已知锐角三角形ABC，下列三角函数值为负数的有________ 个．① ，② ，③tan（A+B），④cos（﹣B）15. （1分） (2016高一上·澄海期中) 已知函数f（x）=（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为________16. （1分） (2019高一下·上海月考) 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列,则实数的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高一下·汪清期末) 在中，角的对边分别为（1）已知，求的大小；（2）已知，求的大小．18. （10分） (2016高二下·漯河期末) 某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲81240328芯片乙71840296（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．19. （10分） (2018高三上·凌源期末) 已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.（1）求证: ；（2）若平面，且，求的值.20. （10分）(2018·保定模拟) 椭圆的离心率为，且过点 .（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，是椭圆的左、右顶点，点满足 .①证明：为定值；②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值.21. （10分）(2018·广元模拟) 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）证明：22. （10分）(2017·长沙模拟) 在平面直角坐标系xoy中，点，圆F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0，以动点P为圆心的圆经过点F1 ，且圆P与圆F2内切．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线l过点（1，0），且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23. （10分） (2019高三上·日喀则月考)（1）解不等式；（2）设正数满足，求证：，并给出等号成立条件.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。

2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）sin240°=．2．（5分）复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．（5分）不等式的解集为．5．（5分）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．（5分）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．（5分）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=．8．（5分）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=．9．（5分）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C 上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．（5分）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．12．（5分）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．（14分）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C 于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．（16分）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．22．（10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n 为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2010•湛江一模）sin240°=．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．2．（5分）（2016秋•扬州期中）复数z=i（1﹣i）的虚部为1．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•扬州期中）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程的应用，属于基础题．4．（5分）（2015•广东校级三模）不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．（5分）（2016秋•扬州期中）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．6．（5分）（2016秋•扬州期中）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．7．（5分）（2016秋•扬州期中）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=﹣2或1．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016秋•扬州期中）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．10．（5分）（2016秋•扬州期中）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：27【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，考查计算能力．11．（5分）（2016秋•扬州期中）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．12．（5分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是[﹣2，0）．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．【点评】本题考查函数的图象的作法，考查数形结合以及转化思想的应用．13．（5分）（2016秋•扬州期中）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g （x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力．三角函数的图象平移变换规律．属于中档题．16．（14分）（2016秋•扬州期中）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…（2分）若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…（4分）所以A∩B=（2，4]；…（6分）（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…（10分）因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．17．（14分）（2016秋•扬州期中）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）（2016秋•扬州期中）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…（3分）所以sin∠ABC=．…（5分）（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…（9分）设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…（11分）令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…（14分）此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…（16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•扬州期中）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y 轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …（3分）∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（6分）（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…（10分）则，代入得：=，=，∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，解得：c2=，∴c2=4，…（14分）∴椭圆方程为：．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2分）（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …（5分）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（8分）（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…（12分）当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…（16分）【点评】本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）（2016秋•扬州期中）已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．【点评】本题考查矩阵特征值的性质，考查矩阵特征多项式的应用，属于基础题．22．（10分）（2016秋•扬州期中）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．则ξ0 1 2P∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．【点评】本题考查了“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2016秋•扬州期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…（2分）=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（4分）（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…（6分）设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…（8分）令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…（10分）【点评】本题考查线线面的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．24．（10分）（2016秋•扬州期中）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…（1分）设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…（2分）设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（4分）（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…（5分）假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1={a1，a2}当A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…（9分）所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…（10分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和数学归纳法的合理运用．。

江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高三上·建平期中) 设函数的定义域是，为全体实数集，则________2. （1分）(2019·天津) 是虚数单位，则的值为________.3. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 过点（2，2）且与﹣y2=1有相同渐近线的双曲线方程为________．4. （1分）(2017·成都模拟) 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．5. （1分） (2020高三上·静安期末) 如图，在平行四边形中，， ,则的值为________.6. （1分） (2018高二上·遂宁期末) 执行如右图所示的程序框图，若输入x=3，则输出的值为________．7. （1分）已知函数f（x）= （a∈R，b＞0）的定义域和值域相同，则a的值是________．8. （1分） (2017高二下·和平期末) 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是________．9. （1分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________10. （1分）计算：cos42°sin18°+sin42°cos18°=________11. （1分）(2016·潮州模拟) 已知数列{an}的前n和为Sn ， a1=2，当n≥2时，2Sn﹣an=n，则S2016的值为________．12. （1分）已知⊙C：x2+y2﹣2x+my﹣4=0上有两点M、N关于2x+y=0对称，直线l：λx+y﹣λ+1=0与⊙C 相交于A、B，则|AB|的最小值为________．13. （1分）(2017·吉安模拟) 对于函数g（x）= ，若关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1 ， x2 ，则x1+x2=________．14. （1分） (2019高二上·遵义期中) 已知实数满足，则的最大值为________。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分，共70分.1.已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂N M __________． 【答案】}10|{<≤x x考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件,明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.复数i(1i)z =+(i 是虚数单位)在复平面内所对应点的在第__________象限． 【答案】二 【解析】试题分析:i(1i)z =+1i =-+在复平面内所对应点的在第二象限．考点：向量几何意义3.执行如图所示的程序框图,则输出的i值为__________．【答案】4【解析】试题分析：第一次循环：2,2==，第三次循环：m im i==;第二次循环：1,3==，结束循环，输出 4.0,4m ii=考点：循环结构流程图4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．【答案】1700 【解析】试题分析：2000(0.0350.030.02)101700⨯++⨯= 考点: 频率分布直方图5。

已知等差数列{}na 的公差0≠d ，且39108aa a a +=-．若n a ＝0 ，则n＝ 。

【答案】5 【解析】 试题分析：39108a a a a +=-3910821010828550200a a a a a a a a a a a a ⇒+=-⇒+=-⇒+=⇒=⇒=，因此n ＝5考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用。

2016届扬州市高三数学12月月考试卷（有答案）江苏省扬州中学高三数学质量检测试卷2015．12一、填空题1．已知集合，，则等于．2．已知虚数满足，则．3．抛物线的准线方程为．4．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．5.设函数f(x)＝12cos(ωx＋φ)，对任意x∈R都有fπ3－x＝fπ3＋x，若函数g(x)＝3sin(ωx＋φ)－2，则g(π3)的值为_________．6.“”是“”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).7.若为等差数列的前项和,则与的等比中项为___.8.设函数f(x)在(0,＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f&#61602;(1)＝__________．9．若实数满足，则的最大值为_________.10.在边长为1的正中，向量，且则的最大值为________.11.已知是定义在上的奇函数，且当时，则_________.12.已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．13．已知抛物线和所围成的封闭曲线，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是.14.设各项均为正整数的无穷等差数列，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为．二、解答题：15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形. （1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（2）求证：EF//平面A本小题满分14分)已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若mn＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝mn，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PM||PF|的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.18.(本小题满分16分)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。

扬州市2021—2021学年度第一学期期末检测试题高三数学2021.1第一局部一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应地点〕.会合Ax2x＜B，1，2，那么AB▲.i(32i)〔i是虚数单位〕，那么z的虚部为▲.3.如图，假定输入的x值为，那么相应输出的值为▲.34.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名丈量身高.据丈量被测学生身高所有介于155cm和195cm之间，将丈量结果按以下方式分红八组：第一组155，160、第二组160，165、、第八组190，195.按上述分组方式获取的频次散布直方图的一局部以下列图，预计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上〔含180cm〕的人数为▲.x2y21的焦点到渐近线的距离为▲.1696.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不一样的数，那么这2个数的和为偶数的概率是▲.n知足a22a14，a32a5，那么该数列的前5项的和为▲. 42，体积为32，那么此四棱锥的侧棱长为▲.9.f(x)sin(2x)x＜f()f()1.函数〕，且〔〕，那么▲3〔02(cos，sin)，n(2，1)，，，假定mn1，那么sin(23)▲.222-1-11.a ＞b ＞1且2log a b3log b a7，那么a1.的最小值为▲b 2112. 圆O ：x 2y 24，假定可是原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且知足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率挨次成等比数列，那么直线l 的斜率为▲.13.a n中，a 1a 〔0＜aa n 2 (a n ＞2)〔nN*数列 2〕，a n13 (a n2) 〕，记a nS na 1a 2a n，假定S n2021，那么n▲.14. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x1 ax 2a3a 〕.假定会合0时，f(x)〔x2x|f(x1) f(x)＞0，xR ，那么实数a 的取值范围为▲.二、解答题〔本大题共 6小题，计90分.解允许写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤〕15. 〔本小题总分值 14分〕如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB AC ，D 、E 分别为BC 、CC 1中点，BC 1 B 1D .1〕求证：DE//平面ABC 1；2〕求证：平面AB 1D 平面ABC 1.〔本小题总分值14分〕 函数 f(x) 3cos 2 xsin xcosx 〔 ＞0〕的周期为 .〔1〕当x0， 时，求函数 f(x)的值域；2〔2〕ABC 的内角 A ， ， 对应的边分别为 a ，，，假定A )3 ，且a 4，bc5，BCbcf(2求ABC 的面积.-2-〔本小题总分值15分〕如图，椭圆x2 y 21〔a＞b＞0〕的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在a2 b2PF1 上，且知足FM MP〔R〕，PO F2M，O为坐标原点.1〔1〕假定椭圆方程为x2 y2 1 ，且P〔2，2 〕，求点M的横坐标；42〕假定2，求椭圆离心率e的取值范围.18.〔本小题总分值15分〕某地道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高米，地道口截面的拱线近似地当作抛物线形状的一局部，以下列图成立平面直角坐标系xoy.〔1〕假定最大拱高h为6米，那么地道设计的拱宽l是多少？〔2〕为了使施工的土方工程量最小，需地道口截面面积最小.现地道口的最大拱高h不小于6米，那么应怎样设计拱高h和拱宽l，使得地道口截面面积最小？〔地道口截面面积公式为S2lh〕3-3-〔本小题总分值16分〕函数 f(x) (ax2 x 2)e x〔a＞0〕，此中e是自然对数的底数.〔1〕当a2时，求f(x)的极值；〔2〕假定f(x)在2，2上是单一增函数，求a的取值范围；〔3〕当a1时，求整数t的所有值，使方程f(x) x 4在t，t1上有解.〔本小题总分值16分〕假定数列a n 中不超出f(m)的项数恰为b m〔mN*〕，那么称数列b m 是数列a n的生成数列，称相应的函数f(m)是数列a n 生成b m 的控制函数.〔1〕a n n2，且f(m) m2，写出b1、b2、b3；〔2〕a n 2n，且f(m) m，求b m的前m项和S m；〔3〕a n 2n，且f(m) Am3〔A N*〕，假定数列b m 中，b1，b2 ，b3是公差为d〔d 0〕的等差数列，且b310，求d的值及A 的值.-4-第二局部〔加试局部〕21.〔本小题总分值10分〕mn直线l：x y1在矩阵A对应的变换作用下变成直线l：x y1，求矩阵A.0 122.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.〔本小题总分值10分〕在极坐标系中，求圆8sin上的点到直线〔R〕距离的最大值.3-5-〔本小题总分值10分〕某商场举办“迎新年摸球〞活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，此中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球〔每个球的大小、形状完整同样〕 ，每一个箱子中只有一个红球，其他都是黑球 .假定摸中 甲箱中的红球，那么可获奖金 m 元，假定摸中乙箱中的红球，那么可获奖金 n 元.活动规定：①参加者每 个箱子只好摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③假如在第一个箱子中摸 到红球，那么可持续在第二个箱子中摸球，否那么活动停止 .〔1〕假如参加者先在乙箱中摸球，求其恰巧获取奖金 n 元的概率；〔2〕假定要使得该参加者获奖金额的希望值较大，请你帮他设计摸箱子的次序，并说明原因 .〔本小题总分值10分〕函数f(x)2x3x 2，设数列 a n 知足：a 11 ，a n1f(a n ).4〔1〕求证：nN *，都有0＜a n ＜1；3〔2〕求证：31 3 1 3 4n14.1 3a 1 3a2 3a n-6-扬州市2021-2021学年度第一学期高三期末调研测试 数学试题Ⅰ参照答案2021．1 一、填空1．12．33．14．1445．46．27．318．5259．710．7 11． 312．113．134314．(,1 ]6256二、解答〔本大共 6小， 90分．解答写出必需的文字明、明程或演算步〕 15．明：〔1〕D 、E 分BC 、CC 1中点，DE//BC 1，⋯⋯⋯⋯2分DE平面ABC 1，BC 1平面ABC 1DE//平面ABC 1⋯⋯⋯⋯6分〔2〕直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC AD 平面ABCCC 1AD ⋯8分AB AC ，D BC 中点ADBC ，又 CC 1 BC C ，CC 1，BC平面BCC 1B 1，AD 面BCC 1B 1BC 1平面BCC 1B 1 ADBC 1⋯⋯⋯⋯11分又 BC 1B 1D ，B 1DADD ，B 1D ，AD平面AB 1DBC 1 平面AB 1DBC 1 平面ABC 1 平面AB 1D 平面ABC 1⋯⋯⋯⋯14分16．解：〔1〕f(x)3(1cos2x) 1sin2xsin(2 x) 3⋯⋯⋯⋯2分2232f(x)的周期，且0 ，2，解得1f(x)sin(2x) 32⋯⋯⋯⋯4分32又 0 x，得 2x4， 3) 1 ，3sin(2x2 3 3230 sin(2x) 33 即函数yf(x)在x[0,321 ]上的域[0,1]．⋯⋯⋯7分3222〔2〕f(A)3 sin(A) 3由A(0, )，知A4 ，22333 3解得：A2⋯⋯⋯⋯9分3，因此A 33由余弦定理知：a 2b 2c 22bccosA ，即16 b 2 c 2bc16 (b23bc ，因bc 5，因此bc3⋯⋯⋯⋯12分 c) ∴S ABC1bcsinA3 3．⋯⋯⋯⋯14分2417．〔 1〕x 2y 2 1F 1( 2,0),F 2(2,0)k OP2 2,k F 1M2 84,k F 2M 42-7-直线F 2M 的方程为：y2(x2)，直线F 1M 的方程为：y2 (x2)4分4y2(x 2) 6 点M 的横坐标为6由 2解得：x 6分y (x 2) 5 542〕设P(x 0,y 0),M(x M ,y M )F 1M 2MP F 1M 2 (x 0 c,y 0)(x M c,y M )2 1 2 y 0),F 2M 24 2 3M( x 0 c, ( x 0c, y 0) 3 3 333 3POF 2M ，OP(x 0,y 0) 2 4 2 2 0(x 0 c)x 0 3 y 02 23 3即x 0 y 0 2cx 09分x 0 2 y 0 22cx 0 得：c 2x 02 2a 2cx 0a 2(a 2c 2)联立方程得：x 02y 0 2 1，消去y 0 0a2b2解得：x 0a(a c)或x 0 a(a c)12分ccax 0 ax 0 a(a c)(0,a)0 a 2ac ac 解得： 1ce2综上，椭圆离心率 e 的取值范围为(1,1)．15分218．解：〔1〕设抛物线的方程为：y ax 2(a0)，那么抛物线过点 (10, 3 )，2代入抛物线方程解得： a3 ，3分200令y 6，解得：x20，那么地道设计的拱宽 l 是40米；5分〔2〕抛物线最大拱高为h 米，h6，抛物线过点(10,(h9hh ，解得：x2100h，那么(l )2令yh ，那么2 x 210092h29 9h2))，代入抛物线方程得：a10029100hl 2，h2 9分9l 2 400h29 l 2229 l 23l 3h626即20l40lh2(20 l40)l 2400Sll 2400l 2400339l 2(l 23l 33l 2(l 23l 2(l12分S'400) 2l1200)20 3)(l 20 3)(l 2 400)2 (l2 400)2(l 2 400)2当20 l 20 3时，S' 0；当20 3 l40时，S'0，即S 在(20,20 3)上单一减，在(203,40]上单一增，S 在l203时获得最小值，此时 l 20 3，h27427米，拱宽为答：当拱高为203米时，使得地道口截面面积最小．15分419．解：〔1〕f(x) (2x 2x2)e x ，那么f '(x)(2x 2 5x3)e x(x1)(2x 3)e x2分令f '(x)0，x1, 32x( 3 3( 31(1, ),)2,1)22-8-11f '(x)f(x)增极大值 减极小值增33f(x)极大值=f() 5 e 2 ，f(x)极小值=f(1) 3e1 4分2〔2〕问题转变成 f '(x)ax 2 (2a 1)x 3e x0在x [2,2] 上恒成立；x0即ax 2(2a1)x3 0在x [ 2,2] 上恒成立；6分又e 令g(x)2(2a 1)x3a0，对称轴x1 0ax12a①当112，即0a1 时，g(x)在[ 2,2]上单一增， 2a2g(x)ming( 2)10 a18分2②当21 1 0，即a1 时，g(x)在[ 2, 1 1 ]上单一减，在[1 1 ,2]上单一增， 2a2 2a2a212a 0 解得： 1 3 1 3 1 3(2a1) a 2a 12 2 23综上，a 的取值范围是 (0,1 ]．10分2〔3〕 a1,设h(x)2x x 4 ' 2 3x x1(x x2)e ，h(x) (x3)e令(x) (x 2 3x 3)e x 1 ，'(x)(x 2 5x 6)e x令'(x)(x 2 5x 6)e x0,得x 2, 3x(,3)3(3, 2)2(2,)'(x)(x)增极大值 减 极小值增 (x)极大值=( 3)3 1 0 ， (x)极小值=( 2)11 013分32ee(1)1 1 0,(0)2 0存在x 0 ( 1,0),x(- ,x 0)时(x)0，x(x 0,+)时(x)0eh(x)在( ,x 0)上单一减，在(x 0, )上单一增又h(4)140,h(3)81 0,h(0)20,h(1) 4e 5 043ee由零点的存在性定理可知： h(x) 0的根x 1 ( 4,3),x 2(0,1) 即t4,0 ． 16分20．解：〔1〕m1，那么a 11 1b 1 1；m2，那么a 1 1 4，a 2 4 4 b 22m 3 ，那么a 1 1 9，a 24 9a 3 99b 333分-9-12〔2〕m 为偶数时，那么2nm ，那么mm ； m 为奇数时，那么2nm1 ，那么mm1 ；b2b 2m 1 为奇数 )2 (mb m5分m为偶数 )2(mm 为偶数时，那么S m b 1 b 2b m1(1 2 m)1 m m2 ；22 2 4m 为奇数时，那么S m b 1 b 2b m S m1b m1(m 1)2 m 1 m 2 1；4 2 4m 2 1为奇数 )4 (mS m8分m 2为偶数 )4(m〔3〕依题意：a n2n ，f(1)A ，f(2) 8A ，f(5) 125A ，设b 1 t ，即数列{a n }中，不超出A 的项恰有t 项，因此2tA2t1，t+d8Atd1 t+2d125A t2d1, 同理：22,222t A 2t 1,故max{2t ,2t+d3,2t+2d}d2,2t2d1即2t+d 3 A 2td 2,A min{2t1,2t }2t+2dA2t 2d 1 ,1251251251252t+d 32t1,由2t+2dtd 2, 得d4， d 为正整数d 1,2,，310分125 2当d1时，max{2t ,2t+d3,2t+2d }=max{2t ,2t,42t }2t ，1254125min{2t1,2td2,2t2d 1}=min{2t1,2t,82t } 8 2t 2t 不合题意，舍去；1252 125 125当d2时，max{2t,2t+d3,2t2d}=max{2t ,2t1,162t } 2t ，125125min{2t 1,2td2,2t2d 1}=min{2t 1,2t ,32 2t} 322t 2t 不合题意，舍去；125125 125当d3时，max{2t,2t+d3, 2t+2d}=max{2t ,2t ,642t}2t125125min{2t1,2td2,2t2d1}=min{2t1,2t+1,1282t }125125，1282t2t 合适题意，12分125t128 tt,b 2t 3,b 5t6，t3b 3t6 此时2A2 ，b 1125b104t7t 为整数 t4,t5,t6t73或-10-13f(3)27A ，b 3101027A112102112 2A⋯⋯⋯14分2727当t4，24 A211无解125当t5，25 A212无解125当t6，26 A21364A213125125当t7，27 A214无解12526A213AN*A64或A65125上：d3，A 64或65．⋯⋯⋯16分2021-2021学年度第一学期高三期末调研测试数学试题Ⅱ参照答案21．解：〔1〕设直线l:x y 1上随意一点M(x,y)在矩阵A 的变换作用下，变换为点M(x,y)．x' m n xmx ny,得xmxny 由1yyy⋯⋯⋯⋯5分y'y又点 M(x,y), xy 1,(mxny)y1在l 上因此即依题意m 1m 11 2 11 ,解得2 ， A⋯⋯⋯⋯10分n n122．解：的直角坐方程x 2 (y4)2 16，⋯⋯⋯⋯3分 直的直角坐方程y3x ，⋯⋯⋯⋯6分心(0,4到)直的距离d0 42，上点到直距离最大2( 3) 21Ddr 2 4 6．⋯⋯⋯⋯10分23．解：〔1〕设参加者先在乙箱中摸球，且恰巧获取奖金n 元为事件M ．那么P(M) 13 1即参加者先在乙箱中摸球，且恰巧获取奖金n 元的概率为1．34 44⋯⋯⋯⋯4分〔2〕参加者摸球的次序有两种，分别议论以下：-11-精选文档14①先在甲箱中摸球，参加者获奖金 x 可取0,m,m+n那么P(x=0)=3,P(x=m)=1?2 1,P(x=m+n)=1?11443 64 3123 1 (m+n)? 1 m n ⋯⋯⋯⋯6分Ex=0?m?+124612 4②先在乙箱中摸球，参加者获奖金h 可取0,n,m+n那么P(0)2 13 1 ,P(1 1 1,P( n)44 mn)4 12333 Eh=0?2n?1(m+n)?1m +n ⋯⋯⋯⋯8分341212 32m-3nEx-Eh= 12当m3时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参加者获奖金希望值较大；n2当m =3时，两种次序参加者获奖金希望值相等；n2当m <3时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参加者获奖金希望值较大．n 2答：当m3时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参加者获奖金希望值较大；当n 2m =3时，n2两种次序参加者获奖金希望值相等；当m <3时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参加者n2获奖金希望值较大．⋯⋯⋯⋯10分24．〔1〕解：①当n1，a 11，有0a 1143n 1，不等式成立⋯⋯⋯⋯1分②假当nk(kN *)，不等式成立，即a k13当n k1，a k1f(a k )2a k 22 2a k )3(a k213a k3(a k1)3 33于是1a k13(1a k )2330a k1，03( 1a k )21，即01 a k11，可得0a k11 3 33333因此当nk 1，不等式也成立由①②，可知，随意的正整数n ，都有 0 a n1 ⋯⋯⋯⋯4分3〔2〕由〔1〕可得1a n13( 1 a n )233-12-精选文档15两边同时取 3为底的对数，可得 log 3(112log 3(1a n1) a n )33化简为1log 3(1 a n 1)2[1 log 3(1 a n )]33因此数列{1log 3( 1a n )}是以log 31为首项，2 为公比的等比数列7分341log 3( 1a n ) n1 1 1 a n112n1 12n13 2log 3，化简求得：3 ( )，344341a n3n2时，2n1 C n 01 C n 1 1 C n 21 C n n 11 1n1n ，n1时，2n1 1nN *时，2n1n ，1342n134n1 a n31 1 11 1 3[42042142n1]3[41 424n ]4n141a 1a 2a n3331 3 1 33 4n 1 4．10分3a 1 3a 21 3a n-13-。

扬州市2015— 2016学年度第一学期期末检测试题3.如图，若输入的x 值为一，则相应输出的值为3、填空题 （本大题共1.已知集合 A二(x| x 2 2•若复数z = i(3 _2i) 第一部分14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）—2XV 。

｝, ^'0,1,2?,贝U A B =（i 是虚数单位），则z 的虚部为2016.1频率4•某学校从高三年级共 800名男生中随机抽取 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于 155cm 155,160、第二组 160,165、……、第 八组190,95 1.按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级 全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 2 2 5.双曲线X y 1的焦点到渐近线的距离为 9 16 6. 从1,2,3, 4, 5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 7. 已知等比数列［满足a 2 ■ 2a^ 4 , a ?2二，则该数列的前 5项的和为 — 8.已知正四棱锥底面边长为 4*2，体积为32,则此四棱锥的侧棱长为 JT 9.已知函数 f (x) = sin(2x )( 0 一 x v 「1 ），且 f （〉）= f （:）-（二）,则〉二一▲210.已知 m =(cos ： ,si n ：), n =(2,1)，其三I 2'2〕，若，则 Sn （i/=—___3■:小1 11. 已知 a > b >1 且 2log a b - 3log b a =7，贝V a •二的最小值为 ________ ▲.b -112. 已知圆O ： x 2 y^4,若不过原点0的直线I 与圆0交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、0Q 的斜率依次成等比数列，则直线 I 的斜率为 _______ ▲13.已知数列i a j 中，內=a （ 0<a 兰2 ） , a“ =丿也一2（弘>2）（ n = N * ）,记— a . +3 （a .兰 2）S n = a 1 亠 a 2 亠'亠 a n ，若 S n = 2015，贝y n = _______ ▲ ______114.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x^0时，f(x)= -(x -a+|x-2a-3a ).若集合「x| f(x -1) - f(x)>0, x ・R?—：」，则实数a 的取值范围为▲.、解答题(本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)如图，已知直三棱柱 ABC -AB 1C 1中，AB 二AC , D 、E 分别为BC 、CC 1中点，BC 1 _ B1D .16. (本小题满分14分)已知函数 f (x^ .3 cos^ x sin 「xcos 「x (「>0 )的周期为 二.(2)已知.ABC 的内角A , B , C 对应的边分别为a , b , c ，若f (△) ，且a = 4 ,b ，c = 5 ,2求ABC 的面积. 17. (本小题满分15 分)(1) 求证：DE // 平面 ABC 1 ； (2) 求证：平面AB^ _平面ABC 1.B(第1爲题（1 ）当 x0,—时，求函数f (x)的值域;IL 22 2X y如图，已知椭圆—不=1 ( a> b>0)的左、右焦点为F i、F2, P是椭圆上一点，M在a bPF1上，且满足RM =hMP (丸乏R)，P0丄F2M，O为坐标原点2 2(1)若椭圆方程为—y 1，且P (2, 2 )，求点M的横坐标;8 4(2 )若■ =2，求椭圆离心率e的取值范围.18. (本小题满分15分)某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽I是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米，2则应如何设计拱咼h和拱宽I，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S lh)3（第KBS）19. (本小题满分16分)已知函数f (x) = (ax2+x+2)e x( a>0),其中e是自然对数的底数.(1 )当a = 2时，求f (x)的极值；(2 )若f(x)在2,2 1上是单调增函数，求a的取值范围；(3)当a =1时，求整数t的所有值，使方程f (x) = x • 4在t，t - 11上有解.20. (本小题满分16分)若数列a 冲不超过f (m)的项数恰为b m ( m N*)，则称数列是数列3n 的生成数列，称相应的函数f(m)是数列：a n'生成"b m』的控制函数.(1)已知a n二n2，且f (m)二m2，写出b1、b2、b3；(2)已知a. =2n，且f(m) =m，求'b^?的前m项和S m ；(3)已知a* =2n，且f (m) = Am3( A N* )，若数列叽中，d，b?，b3是公差为d ( d = 0 ) 的等差数列，且b3 =10，求d的值及A的值.第二部分（加试部分）21. （本小题满分10分）已知直线l: x + y = 1在矩阵A = n"对应的变换作用下变为直线丨：x - y = 1 ,求矩阵A . I。