矩阵理论(16-17)试卷

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.一、 单项选择题（每题3分，共15分）1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001001001A ，则=-199200A A ( )（A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算0x x k =⋅，k 是实数，0x 是某一取定向量；（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞=-=∑A E A k k .5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；（C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B A 0的Jordan 标准型为 .三、计算题（12分）向量空间22⨯R 中的内积通常定义为.))(,)((,),(22222121⨯⨯=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A选取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.1、求⊥W 的一组基；2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110130002A .1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；2、计算矩阵A e ；3、求下列微分方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,0x x Ax dt dx ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110x .五、计算题（10分）设n m C A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，nm O O O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=，),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.六、计算题（18分） 设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；3、求线性变换T 的值域的基与维数；4、求线性变换T 的核的基与维数.七、证明题（6分）设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.八、证明题（6分）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。

§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。

因而可以逐项求导。

t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。

2005级硕士研究生《矩阵理论》试卷参考答案一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯） 1、A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( ⨯ )2、设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2221||||nm i i A λ==∑.( ∨ ) 3、如果m n A C ⨯∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( ⨯ ) 4、设||||a 为丛属于向量范数||||a x 的算子范数，2H H E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则||||a H n = ( ⨯ )5、设1/51/51/51/51/62/61/61/61/71/73/71/71/81/81/84/8A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，则A 矩阵的谱半径()1r A <. ( ∨ )因为||||1A ∞<，故结论成立6、若(1)m m A C m ⨯∈>严格对角占优，则A 的谱半径()||2||.m r A A ∞< ( ∨ )7、若设n x R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ∨ )8、设111122223333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1||||1m A +=. ( ⨯ )9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则 秩()DGB n =. ( ⨯ )10、设A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭0.90.010.12=0.010.80.130.010.020.4，则A 的特征值均为实数. ( ∨ )二、证明：(1) 当0A =时，||||0A =；当0A ≠时，存在,i j 使得0ij a ≠，从而|||||0ij A a ≥>。

(2) ,||||||ij i jkA ka=,||||ij i jk a =||||||k A =.(3) ,||||||ij ij i jA B a b +=+,|||)ij ij i ja b ≤+,,||max ||)ij ij i ji ja b ≤+||||||||A B ≤+.(4) 22211||||||mn ij j i j Ax a x ===∑∑22111(||||)m nnij j i j j a x ===≤∙∑∑∑22111(||)||m nnij j i j j a x ===≤∙∑∑∑222max ||||||ij ijmn a x ≤∙222||||||||A x ≤∙三、证明：()||||1r A A ∞≤=|1|0E A -=⇒1为A 的特征值 ∴()1r A =四、设m n D C ⨯∈为列满秩矩阵，D +为M-P 广义逆，n n A C ⨯∈,证明: 2||||||||A DAD += 为n n C ⨯上的矩阵范数. (10分)证明：(1) 当0A =时，||||0A =；当0A ≠时，m n D C ⨯∈为列满秩矩阵, 则1()H H D D D D +-=, D D E +=。

2024年研究生考试试卷数学一、选择题（每题1分，共5分）1.设矩阵A为3阶可逆矩阵，矩阵B为A的伴随矩阵，则矩阵B 的行列式值为（）。

A.|A|^3B.|A|^2C.|A|D.1A.存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0C.存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)=0D.存在ξ∈(0,1)，使得f'''(ξ)=03.设函数f(x)=e^xsin(x)，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为（）。

A.x+x^3/6+o(x^3)B.x+x^3/3!+o(x^3)C.x+x^3/2+o(x^3)D.x+x^3+o(x^3)4.设矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的特征值（）。

A.必为实数B.必为正数C.必为负数D.可以为复数5.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在x=0处的拉格朗日中值定理的结论为（）。

A.存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0B.存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)=0C.存在ξ∈(0,1)，使得f'''(ξ)=0D.存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0二、判断题（每题1分，共5分）1.若矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的逆矩阵也为对称矩阵。

（）2.若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f'(x)在区间[0,1]上恒大于0。

（）3.若矩阵A的行列式值为0，则矩阵A不可逆。

（）4.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)在区间[0,1]上可积。

（）5.若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A+kI的特征值为λ+k。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.设矩阵A为3阶矩阵，矩阵B为A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式值为______。

2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为______。

3.若矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的特征值______。

2022年山东工商学院人力资源管理专业《管理学》科目期末试卷B（有答案）一、选择题1、某电器公司决定采取收购方式进入家用空调产业，以分散经营风险，从战略层次或类型的角度看，该战略属于（）。

A．公司层战略 B．事业层战略 C．职能层战略 D．技术运作层战略2、以下哪一种组织结构违背了“统一指挥”的组织原则？（）A．直线职能制 B．直线职能辅以参谋职能制C．事业部制 D．矩阵制3、在管理方格（managerial grid）理论中，任务型管理是指如下哪种情形？（）A．对人和工作两个维度都非常关注B．更关注人C．对人和工作两个维度都不是特别关注D．更关注工作4、（）不属于创业精神所主要强调的三个方面的主题。

A．对机会的追求B．创新C．增长D．拼搏5、组织行为学尤其关注的是（）。

A．组织中人们的心理状况B．人们的行为在工作中的表现C．人们在工作中的活动D．活动所创造的组织绩效6、在不确定情况下，除了有限信息的影响之外，另一个影响决策结果的因素是（）。

A．风险性 B．环境的复杂性C．决策者心理定位 D．决策的时间压力7、钱德勒是最早对战略和结构的关系进行研究的管理学家，他研究的结论是（）。

A．结构跟随战略B．战略跟随结构C．战略与结构无关D．不同组织的战略与其结构的关系各不相同，需要权变理解8、（）是第一个将管理定义为一组普遍适用的职能的人，他认为管理是人类所从事的一种共同活动。

A．明茨伯格B．法约尔C．德鲁克D．韦伯9、归因常常存在各种偏差。

当管理者高估内部因素对员工行为的影响而低估外部因素对员工行为的影响时，管理（）。

A．表现出自我服务偏见 B．犯了基本归因错误C．曲解了员工的控制点 D．犯了假设相似性的错误10、如下选项中哪个不属于影响计划工作的权变因素？（）A．组织的层次B．权力的大小C．环境的不确定性D．未来投入的持续时间二、名词解释11、管理万能论12、程序化决策13、管理的领导职能14、组织变革15、跨职能团队16、组织17、集中战略18、权变理论三、简答题19、什么联邦法律对员工多样性的创新措施非常重要？20、控制过程的三大步骤是什么？请详细解释。

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。

2023年全国新高考地区解答题中，结构中规中矩。

但预测2024年新高考地区将以结构不良型方式整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（ ）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（ ）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（ ）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l m D ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝UC ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U 7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（ ）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()e xf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y 60不愿生x 2240总计5842100(1)求x 和y 的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()2P k χ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD△沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PMPN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m的6减数列，证明：6m ；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。

姓名： 学号：1. （42分）填空（1）设1234=(1,1,1,1),=(1,1,1,1),=(1,1,1,1),=(1,1,1,1)T T T T αααα------是R 4的一组基, 则(1,2,1,1)T 在上述基下的坐标是___________________. (--5111(,,,)4444T ) （2）在三次多项式空间3R[x]中，由多项式组2312()142,()19f x x x x f x x =+-+=-+ 233233432,()56,()5752x x f x x x f x x x x -+=-++=+-+张成的子空间维数是___2___.（3）设矩阵123100A=024B=52000161a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 当参数a 满足_______ ( 65≠ )时,矩阵A 与B 相似.（4）A = ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭50203121-7, 则A 的全部盖尔圆为_______________________________,且A 是一个________（可逆或者不可逆）矩阵.（5）设⨯∈nC m n A , 则矩阵A 的正奇异值有______个，_____(是或否)存在矩阵B 使得BA=I n .（6）矩阵幂级数kk ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04.07.05.02.0=_____⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛87561310_____________。

（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，则A 的Jordan 标准形J=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010011100110002或 。

（8）设10022i A i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A +=_____10210-2i 10i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭___________。

（9）若⨯∈442C ，且A =A ，A 的秩是2，则|A-2I|A =__4__, Sin A 的迹=__2sin1__.（10）设023302230i A i i ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则||A||1 = _6___, ||A||F___. 2．（15分） 设 A = ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1-13-3-33, 求A 的奇异值分解.解：⎛⎫= ⎪⎝⎭H 13-3-1-33A ，则 ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫- ⎪==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭Ｈ１1１３-３1919ＡＡ３-３1-３３1919-３３ ()()λλλλλλ--==--=--221919A A 1919381919T Iλλ==1238,0，对λ=138 ，求⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12191901919x x 得η⎛⎫⎪⎝⎭11=-1对λ=20 ，求⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭12191901919x x 得η⎛⎫⎪⎝⎭21=1分别单位化为; ⎪⎪11-11令 ⎪11=-11V而η⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11-121A 3-36-1-33-6，补充基为⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10-63，1，1-31-1令 ⎪=0311-311U所以⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0A 0000H U V⎛⎫⎫⎫⎪⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1-600311A0000110000-311HU V3．（10分）设nA R n⨯∈并且A是正交矩阵，证明A的每个特征值iλ的模等于1. 课本P51推论2证明：设A,x x xλλ=为属于的特征向量,共轭转置得H T HA,x xλ=所以H T H HA A=,x x x x x xλλ=即2||=1.λ4．（18分）已知A =⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭-112-221-1-2011-2，b =⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭154.（1）求A的满秩分解，并用满秩分解求+A.（2）判断方程组Ax = b是否有解. （3）求Ax = b的极小范数解或极小最小二乘解.解：（1）101001120000A-⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行11101021=011201A FG-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）()115145111363514T T TF F F F F--+--⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()11612112116511124T T TG G GG G--+⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1833181191262210154162218A G F +++--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦（3）66=33,55AA b b Ax b +⎛⎫⎪≠= ⎪ ⎪⎝⎭故无解.（4）()b 1,T A +=-，9,10,-185．（15分）设 210420101A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求t A e .解：2||(1)I A -=-λλλ，因为()0A A I -≠所以最小多项式为2(1)-λλ， 设2()c ,()t P a b f e =++=λλλλλ.有：(0)(0)11(0)(0)(1)(1)1t t f P a a tf P t b b t f P e a b c c e t ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪''=⇒=⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪==++=--⎩⎩⎩A 2120=4210211t t t t t e aI bA cA t t e t e t e λ-⎡⎤⎢⎥++=-+⎢⎥⎢⎥-++--⎣⎦。

山东科技大学2006—2007学年第一学期《矩阵理论》考试试卷班级 姓名 学号一、单项选择题(每题2分，共8分)1、设1()kk A f A k∞==∑收敛，则A 可以取为 A. 0091⎡⎤⎢⎥--⎣⎦B. 0091⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C. 1011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设211112121M --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解 3、设2222221212134400033t t t tt t Attt tte e e te e e ee e e e ⎛⎫-+-+ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭，则A =A. 214020031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B. 114010061⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭C. 224020031⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭D. 204020061⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4、设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==，则A 可以相似于A. 200130002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C.201202M ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D. 200030013M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、填空题(每题5分，共20分)1、设 220A A -=，则cos2A ＝ 。

2．已知n nA C⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数kk kA∞=∑= 。

3．设矩阵1111A ⎡=⎥⎦，则A 的谱半径()A ρ＝ 。

4、设5阶复数矩阵A 的特征多项式为22()(1)(2)f λλλλ=-+,则2|A +E |= .三、（12分）设152010001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，试求矩阵B 使得5B A =。

四、（10分）设221111122A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求At e 。

线性代数试卷和答案分析学院：电力学院专业：热能与动力工程（水动）班级：学号:姓名:线性代数试卷第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.A ,B 都是n 阶矩阵，且AB =0，则必有( )(A) A =0或B =0 (B)|A|=|B|=0 (C)A =B =0 (D)|A|=0或|B|=02.100⎛⎫ A. C. 3.）A. 4.设 A. C. 5. 6. A.s βs =0B.s ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.n 维向量组a 1……a i （2<I<n ）线性无关的充要条件是（ ） （A（B (C) (D) 12.设 A.| C.A 13.设 A. B. C. D.14. A.⎛⎝C.⎛⎝ 15.设16.设17.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .19.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设a=(1,k,0), b=(0,1,k), c=(k,0,1) .如果向量a ,b, c 线性无关，则实数k 的取值范围是 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A=120340121-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B=22341--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A|.26.27.28.29.30.AT=D.31.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

矩阵理论复习提纲
要点：矩阵A的逆矩阵A−1和高次幂A m
1基础一：对矩阵的化简（Jordan标准形）•计算Jordan标准形（复矩阵）
–酉三角化定理（酉相似于上三角矩阵）：U∗AU=B（Schur分解）
–分块Schur三角化定理（按不同特征根分块）
–Jordan标准形（按线性无关的特征向量分块）
–降幂办法：特征多项式、最小多项式
–幂零矩阵Jordan标准形：幂零指数e=max{n i:1≤i≤m}、Jordan块个数m=n−r(A)、k阶Jordan块个数l k由A k的零度决定
–一般矩阵Jordan标准形：回到幂零矩阵Jordan标准形
•估计特征值（盖尔圆盘）
2基础二：对矩阵的分解
•谱分解（正规矩阵AA∗=A∗A、单纯矩阵）
•三角分解（可逆矩阵且所有顺序主子式均非0）
•QR分解（可逆或满秩）
•奇异值分解（所有矩阵）
3应用一：矩阵函数与线性常微分方程组
•矩阵范数（正定性、齐次性、三角不等式、次乘性）
•矩阵幂收敛：Neumann引理
•矩阵幂级数：Lagrange-Sylvester定理
•矩阵函数的计算：借助Lagrange-Sylvester定理或最小多项式
•线性常微分方程组（包括可控性、可测性问题）
1
4应用二：广义逆矩阵
如何计算广义逆矩阵（奇异值分解、满秩分解、Hermite矩阵的广义逆）5矩阵与线性变换
•空间和、补子空间
•线性变换的矩阵表示
•正交补子空间
•等距变换（或正交变换、酉变换）
•正交投影变换（幂等、自伴的）
6基础概念
•满秩分解
•相似对角化
•线性空间、内积空间
•酉矩阵、Hermite矩阵
2。

初级电工等级证理论试卷基本信息：[矩阵文本题] *1.（）主要用在35KV及以下的电气设备上装拆熔断器等工作时使用。

[单选题] *A、绝缘棒B、绝缘夹钳(正确答案)C、验电笔D、电工钳2.下列不属于电气图的是（）。

[单选题] *A、电动机一次回路系统图B、变电所土建施工图(正确答案)C、变电所一次设备位置图D、变电所土建施工互连图3.电缆敷设到拐弯处，操作人员应站在电缆（）进行操作。

[单选题] *A、内侧B、外侧(正确答案)C、上方D、下方4.用符号表示成套装置、设备或装置的内、外部各种连接关系的一种简图称为（）。

[单选题] *A、系统图B、施工图C、接线图(正确答案)D、电路图5.双速电动机控制线路是利用（）来实现定子绕组接成Δ和YY的。

[单选题] *A、接触器(正确答案)B、热继电器C、熔断器D、位置开关6.油浸纸绝缘电缆具有耐压强度高，耐热能力好和使用年限长优点，故在（）电压等级中应用普遍。

[单选题] *A、220KV及以下B、1105KV及以下C、35KV及以下(正确答案)D、10KV及以下7.对于同型号的两只三极管其电流放大系数的关系是（）。

[单选题] *A、一定相同B、一定相差不大C、一定相差很大D、不确定(正确答案)8.常用的晶体三极管极性判断方法是依据三极管的（）特性。

[单选题] *A、电流稳定性B、电压稳压性C、电流放大作用(正确答案)D、电压放大作用9.下列关于绝缘夹钳的维护方法（）说法不正确。

[单选题] *A、绝缘夹钳用后可以任意放置(正确答案)B、绝缘夹钳需要保存在特制的箱子里C、绝缘夹钳应经常进行外观检查D、应对绝缘夹钳定期作耐压试验10.安装横担的位置，对于直线杆应安装在（）一侧。

[单选题] *A、电源侧B、负荷侧(正确答案)C、受张力侧D、受反张力侧11.一台电动机的额定电流为78A，采用铝芯聚氯乙烯四芯电缆直接敷设，应选电缆规格为（）mm2。

[单选题] *A、3×10＋1×6B、3×16＋1×6C、3×25＋1×10(正确答案)D、3×50＋1×1612.电缆一芯或数芯对地绝缘电阻或芯与芯之间绝缘电阻低于（），称为低电阻接地或短路。