上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分

同济大学课程考核试卷(A 卷)2010—2011学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷年级 专业 学号 姓名 任课教师题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(均为单选题)(27分)1、 已知4阶方阵123456789054a b A c d ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，函数()||f x xE A =−,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________.2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式1231,,,m αααβ=，又1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m −_______________.3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=−=−=，其伴随矩阵为*A ，则行列式*A =_____36_________.4、 已知α是3维实列向量，且111111111Tαα−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则α=5、设α是3R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,Tx x x ，则α在基1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx −________________.6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________.1(). ).(). ().n A A A A B C n cE c D −若矩阵可逆，则与可交换(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______.()222(). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E==−==8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____(). 0 (). 0(). 0().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======⇔=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________.()()()()()()()()()()()()()()(). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D −−,, (二、(10分) 已知n 阶行列式12312001030100n n D n="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.三、(10分)参数,a b 满足什么条件的时侯，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++−=⎪⎨+++=⎪⎪+++−=⎩有解？并在有解的情况下，求出它的通解.四、(15分)已知3阶方阵3221423A k k −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，问参数k 满足什么条件的时候A 可以对角化？并求出可逆阵P 及对角阵Λ，使得1P AP −=Λ.五、(12分)设向量组12341111,,1,4115k k k αααα−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠，问： (1) 参数k 为何值时，123,,ααα为向量组的一个最大线性无关组？(2) 参数k 为何值时，12,αα为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出34,αα由最大线性无关组表出的线性表达式.六、(12分)设V 为实数域R 上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在V中定义映射:()a b T T X X c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，(1) 证明T 是V 中的线性变换，(2) 求线性变换T 在自然基11122122,,,E E E E 下的矩阵，(3) 若1,2,3,4a b c d ====，试求线性变换T 的核ker T 与像空间Im T .七、(1)(7分)已知A 为3阶方阵，123,,λλλ为A 的三个不同的特征值，123,,ααα分别为相应的特征向量，又123βααα=++，试证：2,,A A βββ线性无关.(2) (7分)设A 为3阶实对称阵，且220A A +=，又()2R A =，试求出A 的全体特征值，并问参数k 为何值时，矩阵A kE +为正定阵?。

矩阵分析考试及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，矩阵A的列数与矩阵B的行数相等，那么矩阵A的列数是（）。

A. 矩阵B的行数B. 矩阵B的列数C. 矩阵A的行数D. 矩阵A的列数答案：A2. 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量（或列向量）的最大数量，那么矩阵的秩与矩阵的行数和列数之间的关系是（）。

A. 秩小于等于行数和列数的最小值B. 秩等于行数和列数的最小值C. 秩大于行数和列数的最小值D. 秩等于行数和列数的最大值答案：A3. 矩阵A是可逆的，那么矩阵A的行列式值是（）。

A. 0B. 1C. 不为0D. 无法确定答案：C4. 矩阵A的特征值是指满足方程（）的值λ。

A. Ax = λxB. Ax = 0C. Ax = xD. Ax = λIx5. 矩阵A的迹是指矩阵A的对角线元素之和，那么矩阵A的迹与矩阵A的转置AT之间的关系是（）。

A. 矩阵A的迹等于矩阵AT的迹B. 矩阵A的迹不等于矩阵AT的迹C. 矩阵A的迹是矩阵AT的迹的两倍D. 矩阵A的迹与矩阵AT的迹无关答案：A6. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，那么矩阵AB的行数是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵B的行数D. 矩阵B的列数7. 矩阵A是对称矩阵，那么矩阵A的特征值是（）。

A. 全部为正B. 全部为负C. 全部为实数D. 全部为复数答案：C8. 矩阵A是正定矩阵，那么矩阵A的特征值是（）。

A. 全部为正B. 全部为负C. 全部为零D. 部分为正，部分为负答案：A9. 矩阵A和矩阵B是同阶方阵，那么矩阵A和矩阵B的乘积AB与矩阵B和矩阵A的乘积BA之间的关系是（）。

A. AB等于BAB. AB不等于BAC. AB和BA的秩相等D. AB和BA的行列式相等答案：B10. 矩阵A是奇异矩阵，那么矩阵A的行列式值是（）。

A. 0B. 1C. 不为0D. 无法确定答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 矩阵A的转置记作______，即矩阵A的行变为列，列变为行。

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

北京交通大学2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义： （1）线性映射的值域和核； （2）线性变换的特征值和特征向量； （3）矩阵的最小多项式； （4）矩阵的诱导范数.二、（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量110212α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，201221α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312012α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，413233α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，512013α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，623445α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα， （1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基； （3）求21V V 的维数及基.2三、（10分）求矩阵20000224402A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的正交三角分解UR A =，其中U 是次酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.四、（10分）设13021i i A i i ⎛⎫= ⎪---⎝⎭24C ⨯∈，计算12, , , F A A A A ∞.（这里12-=i ）.五、（共28分，每题7分）证明题：（1）设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明：AB 的特征值的实部为0.（2）设A 为正规矩阵，证明：)(2A A ρ=. 这里)(A ρ为A 的谱半径. （3）设nn CB ⨯∈且1<B ，证明：B E +可逆（其中E 为单位矩阵）.（4）设n m C A ⨯∈，U 是任意m 阶酉矩阵，证明 FUA=F A .六、（共16分每小题4分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A ，（1） 求A E -λ的Smith 标准形（写出具体步骤）； （2） 写出A 的初等因子和A 的Jordan 标准形J. （3） 求函数x x f 2sin)(π=在矩阵A 的影谱上的值；（4） 求行列式 tA cos .。

南京工业大学 矩阵论 试卷2010--2011 学年第 2 学期 使用班级 研10班级 学号 姓名一填空（03'）.1. 设V 是实数域上全体22⨯阶对称矩阵组成的线性空间，则它是 维的，一组基是 ，任一实对称矩阵a c A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭在此组基下的坐标是 。

2. 在欧氏空间4R 中，内积按通常定义，则向量)0,4,1,1(-=α与)2,2,1,3(-=β之间的夹角>=<βα, ；向量α的长度为 。

3. 设1324A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 1A ＝ ，∞A ＝ 。

4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=553311A ，则A 的满秩分解为A ＝ 。

5. 设111100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的二个奇异值为1λ＝ ，2λ＝ 。

二(14).设22⨯R 中向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321αααα 1 （1）证明4321,,,αααα是22⨯R 的一个基；（2）求从基22211211,,,E E E E 到基4321,,,αααα的过渡矩阵；（3）求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2011P 在基4321,,,αααα下的坐标。

三)01('.在3R 中，对任意 3321),,(R a a a ∈=α, 定义：A 13213()(,2,)a a a a a α=+-， （1）证明：A 是3R 上的线性变换；（2）求A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵。

四)01('.在},,{][21022123R a a a x a x a a x R ∈++=中定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f ， 证明：21(),()(31)2f x x g x x ==-是正交的，并求它们的长度。

五)01('.设V 为3维的线性空间，321,,ααα为V 的一组基，A 是V 上的线性变换，且A 11αα=，A 2122ααα+=，A 3233ααα+=，求：（1）A 在基321,,ααα下的矩阵； （2）A 的特征值和特征向量；（3）在V 中能否选择适当的一组基，使得A 在这组基下的矩阵是对角阵？如果能，写出这组基及对角阵。

第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根　有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++<　为正常数　恒为零 为负常数　不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令　，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知　0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴=　在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim()sin lim ()sin cos x xx f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。

安徽大学2010—2011学年第一学期 《高等数学A （三）》考试试卷（B 卷） 院/系 年级 专业 姓名学号 答 题 勿 超 装订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟） 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设A 为矩阵,齐次线性方程组n m ×0=Ax 仅有零解的充分条件是( ). (A )A 的列向量线性无关 (B )A 的列向量线性相关 (C )A 的行向量线性无关 (D )A 的行向量线性相关 2. 设n 阶矩阵A 非奇异,是)2(≥n *A A 的伴随矩阵,则( ). (A )A A A n 1**)(−= (B ) A A A n 1**)(+= (C )A A A n 2**)(−= (D ) A A A n 2**)(+= 3.三个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码能被破译出的概率是（ ）. (A )601 (B ) 6059 (C ) 52 (D ) 53 4. 设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和，则下列结论中正确的是（ ）. ()1,1N (A ) ()210=≤−Y X P (B ) ()211=≤−Y X P (C ) ()211=≤+Y X P (D ) ()210=≤+Y X P 5. 设总体已知，为取自22),,(~σσμN X n x x ,,1"X 的样本观测值，如果在显著性水平05.0=α下接受了.:00μμ=H 若将α改为0.01时，下面结论中正确的是（ ）.(A )必拒绝 (B )必接受0H 0H (C )犯第一类错误概率变大 (D ) 犯第二类错误概率变小得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6.设矩阵A 满足，其中042=−+E A A E 为单位矩阵，则 =−−1)(E A .7.若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式=−−E B 1 .8. 设随机变量X 的概率密度为20()01x x f x <<⎧=⎨⎩其他，Y 表示对X 的三次独立重复观察中 事件1{出现的次数，则}2X ≤(2)P Y == .9. 设随机变量X 服从参数为)0(>λλ的Poisson 分布,且,利用Chebyshev 不等式估计概率((1)(2))1E X X −−=(2)_______P X EX −<≥.10. 从一批零件中抽取9个零件，测得其平均直径为20.01x =mm.设零件的直径服从正态分布2(,)N u σ，且已知0.21σ=mm，则这批零件直径的置信度为0.95的置信区间为______________. (四舍五入到小数点后两位,Φ=）.(1.645)0.95,(1.96)0.975Φ=三、计算题（本大题10分） 得分11.计算阶行列式n m a a a a m a a a a m a D n nn n −−−="""""""212121的值.得分 四、分析题（本大题共6小题，共62分） 12.（本小题12分）讨论取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解，当方程组有无穷多解时,求其通解. a答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧−=++=++=++211321321321ax x x x ax x x x ax 13.（本小题12分）已知二次型 323121232221321244),,(x ax x x x x x x x x x x f +−−++= 通过正交变换X QY =化成标准形.23222132133),,(by y y y y y f ++=（1）求参数的值;b a ,（2）求正交矩阵Q .14.（本小题10分）甲、乙二人之间经常用e-mail联系，他们约定在收到对方邮件的当天即n给回复（即回一个e-mail），由于线路问题，每份e-mail中会有1份不能在当天送达收件人.甲在某日发了1份e-mail给乙，（1）试求甲在当天收到乙的回复的概率；（2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的e-mail的概率.15．（本小题8分）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为：()()121,233P X P X ==== （1） 求()P X Y =; 答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（2） 求Y X Z +=的分布律. 16.（本小题12分）已知二维连续型随机向量(,)X Y 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上服从均匀分布. （1） 求(,)X Y 关于,X Y 的边缘概率密度； （2） 判断,X Y 的独立性； （3） 判断,X Y 的相关性.17.（本小题8分）设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.0,10,)1(),(其它，x x x f θθθ 其中1−>θ是未知参数，12,,,n X X "X 是来自于X 的一个简单随机样本，求θ的极大似然估计量.得分五、证明题（本大题共8分）18.设向量组t ααα,,,21"是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系,β不是的解，证明：向量组0=Ax t αβαβαβ+++,,,21"线性无关.。

第二节 矩阵与变换(选修42)矩阵的线性变换与矩阵的乘法考向 聚焦二阶矩阵的乘法以及点或曲线在某种变换下得到的点或曲线的方法是高考命题的一个热点,一般以解答题的形式出现,难度中档,分值占10分左右 备考 指津 (1)通过平面图形的变换,明确线性变换的几何背景,理解和掌握线性变换的基础知识和基本思想;(2)加强与相关知识的联系,重视数学思想方法的提炼,数形结合、类比、归纳,从具体到抽象数学思想方法要加以体会和利用1.(2011年某某卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2α=β. 解:A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423, 设α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y a , 由A 2α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21, 从而解得,所以α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-. 2.(2010年某某卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202. (1)某某数a,b,c,d 的值;(2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程.解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202 从而解得(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3).由(1)M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22得 点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.法二:(1)同法一.(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'), 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x,所以y'=-x',即点(x',y')必在直线y=-x 上.由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,以防因颠倒而出错.(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解.逆变换与逆矩阵考向聚焦 高考中主要考查点,直线在线性变换作用下参数的取值以及逆矩阵的求法,主要以解答题的形式出现,分值占10分左右备考指津(1)线性变换复合时要注意复合的顺序:先进行变换g,再进行变换f,复合后的变换为f ·g,而不是g ·f.(2)逆矩阵的求法有两种:一是利用待定系数法;二是利用公式,即当A=,detA ≠0时,A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A a A c A b A d det det det det3.(2012年某某数学,理3,4分)函数f(x)=的值域是.解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x,由于-1≤sin 2x ≤1,所以-≤-2-sin 2x ≤-,即-≤f(x)≤-.答案:[-,-]4.(2012年某某数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1A=E,所以A=(A -1)-1. 因为A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232, 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.5.(2012年某某卷,理21(1),7分)设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1.①某某数a,b 的值;②求A 2的逆矩阵.解:①设曲线2x 2+2xy+y 2=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y'). 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得.又点P'(x',y')在x 2+y 2=1上,所以x'2+y'2=1,即a 2x 2+(bx+y)2=1,整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2=1,依题意得解得或 因为a>0,所以②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201, 所以|A 2|=1,(A 2)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201.。

全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

第 1 页 共 4 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期重修考试试题答案《 线 性 代 数 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分一、填空题（共8空，每空3分，共24分）请将正确答案写在题目后面的横线上。

1．A ＝()463，B ＝()121，则B A T ＝ 。

答案 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛48461263632．设D ＝112101121，，D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ，则3433A A += 。

答案 -23．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110302y x A 可逆，则y x ,应满足条件 。

答案 y x -≠4．设A 是3阶方阵，21-=A ，则__________2=-A 。

答案 45. 设齐次线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=β41352121A 此方程有可能无解吗? 。

答案 不可能--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 4 页6. 设3阶矩阵A 的特征值1，1，2，则|4|2A A -= 。

答案 1267． 设实二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定的，则t 的取值范围是_____________。

答案 045<<-t8．若1α，2α，3α线性无关，则1α+2α，2α+3α，3α+1α 线性___________关。

.无关二、计算题（共5题，其中1,2,3题每题12分，4,5题每题15分，共66分）请将正确答案写在题目下方。

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间.2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。

3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。

4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。

5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010100016、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。

7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。

9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。

10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。

二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。

（R ）2、两个子空间的并集是一个子空间。

（F ）3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。

（F ）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。

（R ）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。

（F ）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。

（F ）7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。

（F ）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。

（F ）9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。

（R ）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。

（R ）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵A 为 A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数初等变换 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22 R(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42 N(A)的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12 N(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。

（勤奋、求是、创新、奉献）2010～ 2011 年第 1 学期期终考试试卷 2011.1课程序号___________ 班级 __________ 学号 __________ 姓名 __________《高等数学(一)》试卷（A 卷） 工科类（本卷考试时间120分钟）一、填空题（每小题3分，共5×3=15分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b ．2．⎰-+22421sin dx xx x = ．3．已知⎰-=202)cos 1()(x dt t x f ，则)(x f '= ．4．微分方程0=-y dxdyx满足初始条件1)1(=y 的特解为 ． 5．曲线)1ln(2x y -=上相应于210≤≤x 的弧长=s ．（只需写出定积分表达式，不需计算．）二、单项选择题(每小题3分，共5×3=15分)1．设x x y ln =，则=''y （ ）. A ．1ln +x ； B ．x 1； C ．x 1-； D ．21x． 2．设)(x f 为可导函数，下列关系式中，正确的是( ). A ．)(])([x f dx x f =''⎰； B ．C x f dx x f +='⎰)()(； C ．C x f dx x f +=''⎰)(])([； D ．)()(x f dx x f ='⎰．3．设)(x f 是连续函数，且⎰+=20)(3)(dt t f x x f ，则=)(x f ( ).A ．56-x ； B ．56+x ； C ．1+x ； D ．1-x ． 4． 设)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且0)(>''x f ，0)0(=f ，下列结论正确的是（ ）. A ．)(x f 在),(+∞-∞内单调增加； B ．xx f )(在),0(+∞内单调增加； C ．)(x f 在)0,(-∞内单调减少； D ．xx f )(在),0(+∞内单调减少． 5．下列结论中正确的是（ ）． A ．⎰∞++1)1(1dx x x 收敛； B ．⎰+10)1(1dx x x 收敛；C ．⎰∞++1)1(1dx x x 发散； D ．⎰1021dx x 收敛．三、计算题（必须要有解题过程）（本大题共6小题，每小题7分，共6×7=42分） 1．求极限xx x x x sin sin lim 2-→．2．设⎩⎨⎧=+=t e y t x sin 2，求22,dx y d dx dy ．3．求不定积分dx xx⎰+cos 1sin 3．4．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=.0,1;0,11)(x x x x x f 求定积分dx x f ⎰-221)1(．5．求微分方程x xy y x cos 2)1(2--='-的通解．6．求微分方程x e y y y 26=-'-''的通解．四、[7分] 求曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线，以及π=x 所围成图形的面积．五、应用题[6分] 一个半径为2m, 高为6m 的正圆锥形水池内充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功（计算过程中，水的密度ρ、圆周率π和重力加速度g 的值不要求代入）？六、[10分] 设1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域；2D 是由抛物线22x y =和直线a x =及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a ，1D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积1V ，2D 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积2V ．试求a ，使21V V +取得最大．七、证明题[5分]设函数()f x 具有二阶导数，且满足)1()2(f f >，⎰>32)()2(dx x f f ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得0)(<''ξf ．附加题（每小题6分，共2×6=12分）1．设对于任意0x >，曲线()y f x =上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰，求()f x 的表达式．2．证明：设函数)(x f y =在]1,1[-上具有连续的导数，若0)1()1(==-f f ，2)0(=f ，则在)1,1(-内至少存在一点ξ，使得,)(k f ='ξ其中]2,2[-∈k ．。

2010级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数21,0(,)0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(,)f x y 在(0,0)点 【 】(A ) 连续，且可偏导. (B ) 沿任何方向的方向导数都存在. (C ) 可微，且(0,0)d 0.f= (D ) (,)x f x y 和(,)y f x y 在(0,0)点连续.2. 设有三元方程ln e 1xy xy z y -+=. 由多元隐函数存在性定理，在(0,1,1)的某邻域内，该方程 【 】 (A ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =. (B ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =. (C ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =. (D ) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =.3. 设函数()f u 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f u f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是 【 】(A )(0)1,(0)0f f ''<<. (B )(0)1,(0)0f f ''>>. (C )(0)1,(0)0f f ''<>. (D )(0)1,f f ''>4. 如图，单位圆域221x y +≤被直线y x =±四个区域k D (k =1,2,3,4)，记cos d d kk D I x y x =⎰⎰则14max{}k k I ≤≤等于 【 (A )1I . (B )2I . (C )3I . (D )4I .5. 设D 是由曲线22(231)(43)1x y x y ++++-=围成的平面闭区域，则二重积分22[(231)(43)]d d Dx y x y x y ++++-⎰⎰之值为 【 】(A )π. (B )1π5. (C )1π10. (D )2π5.二、填空题（每小题3分，共15分）6. 极限22200sin()lim x y x y x y →→+＝ .7. 设函数()f t 可导，且2(e )1f '=. 又(,)()y u x y f x =，则(e,2)d u =_________.8. 曲线2221224x y z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩在点(1,1,2)-处的切线方程为: .9. 交换二次积分的次序：122(1)1d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.10. 设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由直线1,0x y ==和y x =所围成的有界闭区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ .三、（本共题8分）11. 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(1,1)1f =，(1,1)x f a =，(1,1)y f b =， 又()(,(,))x f x f x x ϕ=，求(1)ϕ及(1)ϕ'. 四、计算下列积分（每小题10分，共20分） 12.计算}221min)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D ：224x y +≤.13. 计算()22d d d I ax by cz x y z Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω为椭球体2222221x y z a b c ++≤.五、应用题（每小题8分，共16分）14.设物体位于1z Ω≤≤，其体密度函数为||e z ，求此物体的质量. 15. 求柱面122=+z x 介于平面0=y 和2=+y x 之间部分曲面的面积. 六、（每小题10分，共20分）16.设r =(,)()u x y f r =，其中()f r 具有二阶连续导数.(1) 把u ∆=2222u ux y∂∂+∂∂表示成r 的函数；(2) 若u 满足方程223/2()u x y -∆=+，求函数()f r . 17. 在曲线412y x =上求一点P ，使P 到直线220x y --=的距离最短，并求此最短距离.七、证明题（本题共6分）18. 设函数(,)f x y 在圆域D ：224x y +≤上可微，且|(,)|1f x y ≤. 证明：存在D 的内点00(,)x y ，使得()()220000(,)(,)1x y f x y f x y +<.。