矩阵理论试卷集锦汇编

考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1998年)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*＝【】A．kA*B．kn-1A*C．knA*D．k-1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n－1阶行列式，故｜kA｜的每个元素的代数余子式等于｜A｜的对应元素的代数余子式的kn-1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn-1倍，即(kA)*＝kn-1A*．知识模块：矩阵2．(2004年)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B 的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的忌倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1．2)＝B，BE(3，2(1))＝C，故有AE(1，2)E(3，2(1))＝C 于是得所求逆矩阵为所以只有选项D正确．知识模块：矩阵3．(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则【】A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：用排除法．以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得－B*，而其它选项均不对，故只有C正确．知识模块：矩阵4．(2006年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝P-1APB．C＝PAP-1C．C＝PTAPD．C＝PAPT正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：矩阵5．(2008年)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则【】A．E－A不可逆，E＋A不可逆．B．E－A不可逆，E＋A可逆．C．E－A可逆，E＋A可逆．D．E－A可逆，E＋A不可逆．正确答案：C解析：由于(E－A)(E＋A＋A2)＝E－A3＝E，(E＋A)(E－A＋A2)＝E＋A3＝E，故由可逆矩阵的定义知：E－A和E＋A均是可逆的．知识模块：矩阵6．(2009年)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵C＝，则C的行列式｜C｜＝(－1)4＝｜A｜｜B｜＝6≠0，因此C为可逆矩阵，由公式CC*＝｜C｜E，得故只有选项B正确．知识模块：矩阵7．(2009年)设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QAQ为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：故只有选项A正确．知识模块：矩阵8．(2011年)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记则A＝【】A．P1P2B．P1-1P2C．P2P1D．P2P1-1正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1＝I，两端左乘P2-1，两端右乘P1-1，得A＝P2-1P1-1，因P2-1＝P2，而P1-1≠P1，故只有D正确．知识模块：矩阵9．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ，χ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)d χdy＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：B解析：于是，Q-1AQ＝(PM)-1A(PM)＝M-1(P-1AP)M 因此选B．知识模块：矩阵填空题10．(2000年)设A＝E为4阶单位矩阵，且B＝(E＋A)-1(E－A)，则(E＋B)-1＝______．正确答案：解析：由题设等式得E＋B＝E＋(E＋A)-1(E－A) 用(E＋A)左乘上式两端，得(E＋A)(E＋B)＝E＋A＋E－A＝2E 即[(E＋A)](E＋B)＝E 所以(E＋B)-1＝知识模块：矩阵11．(2003年)设α为3维列向量，αT是α的转置．若ααT＝，则αTα＝_______．正确答案：3解析：于是有a2＝1，b2＝1，c2＝1，从而得αTα＝[a b c]＝a2＋b2＋c2＝1＋1＋1＝3．知识模块：矩阵12．(2003年)设三阶方阵A、B满足A2B－A－B＝E，其中E为三阶单位矩阵，A＝，则｜B｜＝_______．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B－B＝A＋E，(A2－E)B＝A＋E，(A＋E)(A－E)B＝A＋E，注意A＋E＝可逆，用(A＋E)-1左乘上式两端，得(A－E)B＝E 两端取行列式，得｜A－E｜｜B｜＝1 因为｜A－E｜＝＝2 得2｜B｜＝1，知识模块：矩阵13．(2004年)设矩阵A＝，矩阵B满足ABA*＝2BA*＋E，其中A*是A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜＝_______．正确答案：解析：由于A*A＝｜A｜E，而｜A｜＝3，所以A*A＝3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB＝6B＋A，或3(A－2E)B＝A，两端取行列式，得33｜A－2E｜｜B｜＝｜A｜，由于故有27｜B｜＝3，所以｜B｜＝知识模块：矩阵14．(2005年)设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋4α3，α1＋3α2＋9α3)．如果｜A｜＝1，那么｜B｜＝_______．正确答案：2．解析：利用矩阵乘法，可将B表示为涉及知识点：矩阵15．(2006年)设矩阵A＝，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则｜B｜＝_______．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA－B＝2EB(A－E)＝2E 两端取行列式，得｜B｜｜A－E｜＝｜2E｜因｜A－E｜＝＝2，｜2E｜＝22｜E｜＝4 所以有2｜B｜＝4，从而得｜B｜＝2．知识模块：矩阵16．(2007年)设矩阵A＝，则A3的秩为_______．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)＝1．知识模块：矩阵17．(2010年)设A，B为3阶矩阵，且｜A｜＝3，｜B｜＝2，｜A-1＋B｜＝2，则｜A＋B-1｜＝_______．正确答案：3．解析：由于A＋B-1＝(AB＋E)B-1＝A(B＋A-1)B-1＝A(A-1＋B)B-1，两端取行列式，并利用｜ABC｜＝｜A｜｜B｜｜C｜及｜B-1｜＝｜B｜-1，得｜A＋B-1｜＝｜A｜.｜A-1＋B｜.｜B-1｜＝3×2×＝3．知识模块：矩阵18．(2012年)设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的佯随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜＝_______．正确答案：－27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知｜B｜＝－3．再利用｜A*｜＝｜A｜n-1－｜A｜2＝9，得｜BA*｜＝｜B｜｜A*｜＝－27．知识模块：矩阵19．(2013年)设A＝(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij 的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝_______．正确答案：－1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij＝－aij(i，j＝1，2，3)，得及A＝－(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵．以下方法：用AT右乘A＝－(A*)T 的两端，得AAT＝－(A*)AT＝－(AA*)T＝－(｜A｜I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得｜A｜2＝(－1)3｜A｜3，或｜A｜2(1＋｜A｜)＝0，因｜A｜≠0，所以｜A｜＝－1．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。

A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。

A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。

A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。

答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。

答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。

答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。

解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。

然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。

A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。

所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。

2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。

解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。

通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。

所以R(A)=2（非零行的个数）。

四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。

证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。

矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。

答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。

答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。

答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。

答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。

1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1） 设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2） 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。

矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。

B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。

C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。

D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。

题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。

B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。

C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。

D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。

题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。

B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。

C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。

D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。

题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。

B. A的所有特征值都是实数。

C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。

D. A一定可以对角化。

2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。

解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。

对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。

矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。

解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。

解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。

()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。

矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。

历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。

以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。

矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。

答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。

接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。

特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。

答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。

计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

考研数学一（矩阵）历年真题试卷汇编1(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．A. E-ααT不可逆B. E+ααT不可逆C. E+2ααT不可逆D. E一2ααT不可逆2. 2.设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A.B. 3C. 1／3D.3. 3.[2009年] 设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )．A. B.C. D.4. 4.设n(n≥2)阶矩阵A非奇异，A*是矩阵A的伴随矩阵，则( )．A. (A*)*=｜A｜n-1AB. (A*)*=｜A｜n+1AC. (A*)*=｜A｜n-2AD. (A*)*=｜A｜n+2A5. 5.设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )．A. kA*B. kn-1A*C. knA*D. k-1A*6. 6.[2010年] 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则( )．A. 秩（A）=m，秩（B）=mB. 秩（A）=m，秩（B）=nC. 秩（A）=n，秩（B）=mD. 秩（A）=n，秩（B）=n7. 7.[2018年] 设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的轶，(x，y)表示分块矩阵，则( )．A. r(A，AB)=r（A）B. r(A，BA)=r（A）C. r(A，B)=max{r（A），r（B）}D. r(A，B)=r(AT，BT)8. 8.[2006年] 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C．记，则( )．A. C=P-1APB. C=PAP-1C. C=PTAPD. C=PAPT9. 9.[2011年] 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得到矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )．A. P1>P2B. P1-1P2C. P2P1D. P2P1-110. 10.[2004年] 设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )．A. B.C. D.11. 11.[2005年] 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )．A. 交换A*的第1列与第2列得B*B. 交换A*的第1行与第2行得B*C. 交换A*的第1列与第2列得-B*D. 交换A*的第1行与第2行得一B*12. 12.设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．A. 当｜A｜=a(a≠0)时，｜B｜=aB. 当｜A｜=a(a≠0)时，｜B｜=一aC. 当｜A｜≠0时，｜B｜=0D. 当｜A｜=0时，｜B｜=0填空题13. 13.设，E为四阶单位矩阵，且B=(E+A)-1·(E-A)，则(E+B)-1=______．14. 14.设，其中ai≠0，i=1，2，…，n，则A-1=______．15. 15.设，A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=______．16. 16.设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为______．17. 17.[2007年]设矩阵，则A3的秩为______．18. 18.[2017年] 矩阵，α1，α2，α3为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_____．19. 19.[2012年] 设α为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—ααT的秩为______．20. 20.设，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=______．解答题[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：21. 21.秩（A）≤2；22. 22.若a，β线性相关，则秩（A）＜2．23. 23.已知矩阵，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是3阶单位矩阵，求X．24. 24.[2013年] 设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C．[2014年] 设，E为三阶单位矩阵．25. 25.求方程组AX=0的一个基础解系；26. 26.求满足AB=E的所有矩阵B．设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．27. 27.证明B可逆；28. 28.求AB-1．。

数学矩阵理论单元测试本单元测试旨在考察学生对数学矩阵理论的理解和应用能力。

请同学们认真审题，仔细作答。

回答问题时，请尽量写出详细的解题步骤和推理过程。

一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 给定矩阵A = [2 4 -1]，则A的转置矩阵是：a) [2][4][-1]b) [2 4 -1]c) [2 4 -1]Td) [2 -4 1]2. 已知矩阵A = [3 1]，B = [2 4]，求A + B的结果是：[5 5]a) [3 1][2 4]c) [5 5]3. 给定矩阵A = [2 -3]，B = [4 1]，求A × B的结果是：[5 -5][4 1]c) [5 -5]4. 若矩阵A为3×3的单位矩阵，即A = [1 0 0]，则矩阵A的逆矩阵为：[0 1 0][0 0 1]a) [1 0 0][0 1 0][0 0 1]c) [0 1 0][0 0 1]5. 给定方阵A = [4 -3]，则矩阵A的行列式为：[2 1]a) 7b) -7c) 116. 矩阵A的秩为2，矩阵A的行数和列数分别为：a) 2, 2c) 3, 27. 若矩阵A = [1 -1]，则矩阵A的伴随矩阵是：[2 1]a) [1 1]b) [2 -1]c) [1 -1]8. 矩阵A的特征多项式为f(λ) = λ^2 - 3λ + 2，则矩阵A的特征值是：a) 1, 2b) 2, -1c) 1, -29. 若A × B = B × A，且A、B均为3×3的矩阵，下列哪个选项是正确的？a) A和B可逆b) A和B不可逆c) A和B相等d) A和B不相等10. 若矩阵A是对称矩阵，即A = AT，下列哪个选项是正确的？a) A的特征值都是实数b) A的特征向量都是实向量c) A的行列式为0d) A的秩一定小于等于n二、简答题（共4题，每题10分，共计40分）1. 请解释什么是矩阵的逆矩阵，并说明逆矩阵的性质。