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期权定价公式的一般推导方法

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期权定价的基本原理及方法

期权定价的基本原理及方法


一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt

金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt


股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。

在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。

这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。

其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。

几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。

这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。

通过这个方程，可以计算出期权的价格。

另一个常用的连续模型是扩散模型。

扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。

在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。

这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。

BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。

它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。

BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。

期权定价二叉树模型

期权定价二叉树模型


9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据

u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。

期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。

期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。

本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。

期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。

该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。

具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。

二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。

二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。

基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。

假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。

在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。

假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。

那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。

期权定价公式的推导

期权定价公式的推导


实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
-lnv
—
19
欧式股票买入期权的定价公式
C(S,T ) SN (d1) XerT N (d2 )
其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期 权的价格。
1 S 2
d1
16
利息力（force of interest）
利息力是在确切时点上的利息强度，可以用累 积函数的相对变化率定义如下：
式中 为在时点t的利息力。
17
在复利条件下的利息力
可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t 无关。
将这个式子变形，可以得到复利的实际利率
18
实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v 常数利息力δ
St 就是折现价格。
这说明 St 仍然遵循几何布朗运动，且只有当 r 0 时才是鞅。 μ——股票价格的平均（瞬时）收益率; r——无风险（瞬时）收益率。 根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时 所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
Wn pn p0 1 2 n , n 0,1,2,
称为随机游走。这个名称最初是对ε 以相同概率取的 随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形 象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既 可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓 的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间 越长，他就可能离原点越远。
2
3
期权定价公式的推导

期权定价公式的推导

式中 为在时点t的利息力。
路漫漫其悠远
在复利条件下的利息力
可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t 无关。
将这个式子变形，可以得到复利的实际利率
路漫漫其悠远
实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v 常数利息力δ
实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
路漫漫其悠远
由上面这些关系式，我们可以引出
由此得到的反映证券价格变化的随机序列
称为随机游走。这个名称最初是对ε以相同概率取的 随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形 象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既 可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓 的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间越 长，他就可能离原点越远。
就是折现价格。
这说明 仍然遵循几何布朗运动，且只有当
时才是鞅。
μ——股票价格的平均（瞬时）收益率;
r——无风险（瞬时）收益率。
根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一
种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时 所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
路漫漫其悠远
股价，e-rT是折现因子，X是期权的协议价格。
路漫漫其悠远
令 ∆t 代表一个小的时间间隔，∆z代表随机变 量z在∆t时间内的变化，则标准的布朗运动∆z 具有下述两个特征：
特征1：
，其中ε是服从标准正态分
布的随机变量。
特征2：对于任意两个不同的时间间隔∆t，∆z 相互独立。
由特征1可知，∆z也服从正态分布，其均值为0， 标准差为 。由特征2可知，标准布朗运动是马 尔可夫过程的一种特殊形式。
期权定价公式的推导

期权定价公式的推导

13
pt pt
风险对冲 随机过程 偏微分方程
Black-Scholes 期权定价公式
f f 1 2 2 f rS S rf 2 t 2 S S
2
f为期权价格
14
资产定价基本原理
只要市场没有套利机会，那么一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的 折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价 值”的“鞅性质”。
6

假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中 p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，…， pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。 于是它们之间就有这样的关系：
p1 p 0 1 , p 2 p1 2 , p n p n 1 n , 其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果 我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，就可 以引出随机游走和布朗运动的概念。
把这一离散的价格变化的关系式连续化就得到这里lnlnlnlndtdz由于dz是标准布朗运动因此在一个较短的时间间隔可见也服从正态分布其均值为14风险对冲随机过程偏微分方程为期权价格rfblackscholes期权定价公式15资产定价基本原理只要市场没有套利机会那么一定存在一种等价的概率测度使得所有证券及其组合的折现价格都有未来价值的均值等于其当前价值的鞅性质
n 0,1, 2,
（1）
11
是随机游走序列。
ln pn ln pn1 n ',
n 1, 2,
不再成立。
ln( pn / pn1 ) ln pn ln pn1 n ', n 1, 2,
这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价 格变化的关系式连续化，就得到
期权定价分析公式说明文档

期权定价分析公式说明文档


2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
Black_Scholes期权定价公式的两种简化推导

Black_Scholes期权定价公式的两种简化推导


中 国 水 运 （ 理 论 版 ） China Water Transport（Theory Edition）
Vol.4 May
No.5 2006
Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
邓乐斌
摘 要：Black-Scholes 期权定价公式的推导过程是相当复杂的，需要用到随机过程、随机微分方程求解等较高深的
第5期
邓乐斌：Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
σ2 ln E ( ST ) − ln X − (T − t ) µ − ln X 2 = XN ( ) = XN ( ) σ T −t σ T −t
165
从而不支付红利股票的欧式看涨期权的价格
c=e
− r (T −t )
cT = SN ( d1 ) − Xe − r (T −t ) N ( d 2 )
cT = E (max( ST − X , 0))
∧
)(T − t ))) 2 2 ) 2σ (T − t )
σ2
所以有
c1 = ∫
+∞ ln X
e f ( y )dy = ∫
y
+∞
ln X
e ⋅
y
1 2πσ T − t
exp(−
( y − (ln S + (r −
2
)(T − t )))2 2 )dy 2σ (T − t )
µ+
σ2
∫
+∞
ln X
2πσ T − t
= E ( ST ) N (
ln E ( ST ) − ln X + (T − t ) µ + σ 2 (T − t ) − ln X 2 ) = E ( ST ) N ( ) σ T −t σ T −t
布莱克_斯科尔斯期权定价公式的推导及推广

布莱克_斯科尔斯期权定价公式的推导及推广


t) ] ( T - t ) , d2= d1- T - t , X 是期 权执 行价格, N ( %) 为累积标准正态分布函数。
同理, 用欧式买卖期权的平价公式可以得到欧式 卖出期权的定价公式:
P ( S , t ) = X e- r( T - t) N ( - d 2) - SN ( - d 1)
( 一) Bachelier 公式 期权定价理论的开 创性论文是 1900 年法国数 学 家 Bachelier L 的博士学位论文 #投资理论∃, 在这篇
论文中, Bachelier 假设股票价格的动态过程为布朗运 动, 股票收益为正态分布, 得到不分红股票的欧式买 入期权的定价公式为:
S- T
S- K
( 三) Boness 公式 Boness ( 1964) 假定股票收 益率为一个 固定的对 数分布, 利用股票的期望收益率, 通过将到期股票价 格贴现, 其欧式买入期权公式为: c ( S , T ) = SN ( d 1) - K e- TN ( d 2)
其中: d 1=
1 T
[ ln
(
S K
)
方法进行定价。
四、布莱克 斯科 尔斯 ( Black- Scholes) 公 式 的推导
( 一) 无风险投资组合方法 假设基础资产的价格过程为:
dS = !Sdt+ Sdw
( 3)
定义于 S 上的欧式期权的价格为 C ( S , t ) , 应
用 ITO 引理, 得:
dC= CSdS + Ctdt +
瞬时 标准 差, N ( %) 为标 准正 态分布 的分布 函数,
n ( %) 为标准状态分布的概率密度函数。该公式允许
有负的证券价格和期权价格, 而且没有考虑资金的时

期权定价理论

期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。

它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。

这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。

期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。

该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。

布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。

布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。

通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。

这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。

除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。

这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。

需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。

市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。

此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。

总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。

布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。

然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。

期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。

期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。

金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式

z t
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
5
6
1
2011/12/7
广义维纳过程
接着考查符合维纳过程的变量z在一段较长时间T 中的变化情形： 令z(T)-z(0)表示变量z在T时段中的变化量，显然 该变量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间 隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt，因此 定义变量的期望值为漂移率（drift rate），方差 为变量的方差率（variance rate）。则维纳过程 的漂移率为0，方差率为1.
伊藤引理的运用
如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数， 因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 例：如果远期合约中股票价格S服从伊藤过程， 证明远期合约的价格F也遵循伊藤过程。
G G 1 2G 2 G x t x x t 2! x 2 2G 1 2G 2 x t t x t 2! t 2
21
股价模型中参数的理解
σ ——证券价格的年波动率，又是股票价格对数 收益率的年标准差。一般从历史的证券价格数据 中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标 准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一 般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天 数
22
B-S-M微分方程的推导
前提假设： 1. 证券价格遵循几何布朗运动，即μ 和σ 为常数； 2. 允许卖空标的证券； 3. 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 4. 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5. 不存在无风险套利机会； 6. 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7. 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数 8. 只能在交割日执行期权

期权定价公式完全指南对bs模型的介绍

期权定价公式完全指南对bs模型的介绍下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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期权定价公式的推导


常数利息力δ
实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
-lnv
—
19

欧式股票买入期权的定价公式
C(S , T ) SN (d1 ) XerT N (d2 )
其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期 权的价格。
S 2 d1 log r T , X 2 T 1 d 2 d1 T
该等式涉及几何布朗运动的特殊性质，需联系“伊藤公 式”。 在μ=r时股价St的平均收益率应为 r T W μ=r，但把它写成指数函 2 数形式时，指数是
2 T

26
C(S , T ) E* (erT (ST X ) )
E [(Se
* ( 2T /2) WT
St 就是折现价格。
这说明 St 仍然遵循几何布朗运动，且只有当 r 0 时才是鞅。 μ——股票价格的平均（瞬时）收益率; r——无风险（瞬时）收益率。 根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时 所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
n 0,1, 2,
（1）
11
是随机游走序列。
ln pn ln pn1 n ',
n 1, 2,
不再成立。
ln( pn / pn1 ) ln pn ln pn1 n ', n 1, 2,
这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价 格变化的关系式连续化，就得到

B-S期权定价公式的简单推导





特征2：对于任何两个不同时间间隔， t 和z 的值 相互独立。 考察变量z在一段较长时间 T中的变化情形， N 我们可得： z (T ) z (0) t i i 1 （4.2） 因 i 的相互独立性，得 z(T ) z(0) 也具有正态 分布特征，其均值为0，方差为 N t T t ，标 准差为 T t 当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗 运动： dz dt （4.3）
S t t S
S ~ ( t , t ) S
(4.8)
(五)衍生证券所服从的随机过程
根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S ) dt Sdz 2 S t 2 S S
(4.14)

在 t时间后：
f f S S
（4.15）

将式（4.11）和（4.13）代入式（4.15），可得：
f 1 2 f 2 2 ( S )t 2 t 2 S
（4.16）

在没有套利机会的条件下：
r t

把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
（4.20）
详见Hull(8) P232

其中
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d1 T t ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
2
2
)(T t ), T t ]
二、B-S定价模型
(一)B-S微分方程
1,B-S微分方程的推导

我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
则：

期权平价公式

期权平价公式：
C+ Ke^(-rT)=P+S
认购期权价格C与行权价K的现值之和等于认沽期权的价格P加上标的证券现价S
Ke^(-rT)：K乘以e的-rT次方，也就是K的现值。

e 的-rT次方是连续复利的折现系数。

也可用exp（-rT）表示贴现因子。

根据无套利原则推导：
构造两个投资组合。

1.看涨期权C，行权价K，距离到期时间T。

现金账户Ke^(-rT)，利率r，期权到期时恰好变成行权价K。

2.看跌期权P，行权价K，距离到期时间T。

标的物股票，现价S。

看到期时这两个投资组合的情况。

1.股价St大于K：投资组合1，行使看涨期权C，花掉现金账户K，买入标的物股票，股价为St。

投资组合2，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为St。

2.股价St小于K：投资组合1，放弃行使看涨期权，持有现金K。

投资组合2，行使看跌期权，卖出标的物股票，得到现金K
3.股价等于K：两个期权都不行权，投资组合1现金K，
买
卖出买入
S K C P 买
出
买入
S K C
P 行权价K 低于现
行权价K 高于现投资组合2股票价格等于K 。

从上面的讨论我们可以看到，无论股价如何变化，到期时两个投资组合的价值一定相等，所以他们的现值也一定相等。

根据无套利原则，两个价值相等的投资组合价格一定相等。

所以我们可以得到C+Ke^(-rT)=P+S 。

换一种思路理解：C- P = S- Ke^(-rT)
认购期权价格C 与认沽期权的价格P 的差等于证券现价与行权价K 现值的差。

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(11)
这时方程 (7) 变为 :
1 2
a2
52 V 5u2
=
5V 5τ
(12)
边界条件为 :
·55 ·
V0 = e - B (0 ,uT)φ (euT) 而方程 (12) 即为标准的热传导方程 , 解为 (见 ⑥, p . 69)
V (τ, u) = 如果
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
S)
= rf
(t , S)
(25)
其中 S = S ( t ) , 边界条件与 (23) 式相同 。方程 ( 25) 的推导过程可参见 ① (p . 288 -
289) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a =σ, b = r - q , c = r , 则立即得到支付红利股票期权定
,u T)φ
(euT)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
φ (x) = max {0 , x - k}
其中 k 为常数 , 则 (14) 式变为
V (τ, u) 其中
=
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
,u
)
T
max
{0 ,
euT -
k}
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
=
1 2πτa
∞
率 r 加上单位时间商品的单位货币储存费用减去便利收益 。如果标的资产是金融资产 , 则α
就是无风险利率减去该资产的收益率 。由 Ito 引理 (见 ①, p . 262 , (10A. 9) 式)
dF =
(
5F 5t
+
55FSμS
+
1σ2 2
S2
552SF2 )
dt +σS 55FSdZ
=μF Fdt +σFFdz
(24)
其中
ln (S (t) d1 =
/ k)
+
(r +
1σ2) 2
σ T- t
( T - t) , d2 = d1 - σ
T- t
2. 默顿支付红利的股票期权定价公式
假设股票以红利率 q 支付连续红利 , 股票价格 S (t) 遵循下面的随机微分方程
dS =μSdt +σSdz
其中μ是股票价格的期望增长率 , σ是股票价格的波动率 。由于股票支付连续红利率 q , μ并不等于股票的瞬时期望收益率 。如果μ, σ, q 和无风险利率 r 都是常数 , 那么标的资产
(21)
d1 (t , x)
ln (x/ k) =
+
(b +
1 2
a2)
( T - t) ,
a T- t
d2 (t , x) = d1 (t , x) - a T - t
三 、期权定价公式
与通常的情况一样 , 我们假设市场是完善的 , 没有税收和交易费用 , 所有的证明都是高 ·56 ·
度可分的 , 对证券的卖空没有限制 , 不存在套利机会 。
价公式 :
f (t , S) = S (t) e - q( T - t)Φ (d1) - ke - r ( T - t)Φ (d2) 其中
(26)
ln (S (t) / k) d1 =
+ [ (r - q) σ T- t
+
1σ2 2
]
( T - t) ,
d2 = d1 - σ
T- t
3. 布莱克期货期权定价公式
f (t , x) = F ( T - t , lnx)
= eB ( T - t ,lnx) V ( T - t , lnx)
= eB ( T - t ,lnx) V1 ( T - t , lnx) - keB ( T - t ,lnx) V2 ( T - t , lnx)
其中
= xe (b - c) ( T - t)Φ ( d1 (t , x) ) - ke - c ( T - t)Φ ( d2 (t , x) )
为股票 , 到期日为 T , 执行价格为 K 的欧式看涨期权在 t 时刻 (t < T) 的价格 f 也可看成是
(t , S (t) ) 的函数 , 并且满足下面的默顿支付红利的股票期权基本微分方程 :
5f
(t , 5t
S)
+
(r - q)
S 5f
(t , 5S
S)
+
1σ2 2
S2
52f
(t , 5S2
1 2
a2
52 V 5u2
+
(b -
1 2
a2
+
a2
5B 5u
)
5V 5u
-
5V 5τ
+ V
[
1 2
a2
52B 5u2
+
1 2
a2
(55Bu ) 2 +
(b -
1 2
a2)
5B 5u
-
5B 5τ
-
C]
=0
(7)
选择 B (τ, u) 使
b-
1 2
a2
+
a2
5B 5u
=
0
,
1 2
a2
52B 5u2
满足下面的布莱克期货期权基本微分方程 :
5f
(t , 5t
F)
+
1σ2 2
F2
52f
(t , 5 F2
F) = rf
(t ,
F)
(29)
边界条件为 :
f T = max {0 , FT - K}
(30)
方程 (29) 的推导过程可参见 ① (p . 289 - 291) 。在 (21) 式中 , 令 x = F , 取 a =σ, b = 0 ,
以及布莱克期货期权定价公式 。我们的方法为求得一般期权定价公式提供了一个基本框架 。
二 、一个偏微分方程的解
考虑下面偏微分方程 ·54 ·
1 2
a2 x2
52f
(t , 5x2
x) + bx 5f
(t , 5x
x) + 5f
(t , 5t
x) = cf
(t ,
x)
(1)
其中 a , b , c 是常数 , t 是时间变量 , x = x (t) 是参数 t 的函数 , 取正值 。边界条件
∫e

-
βu
T
(euT - k)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
= V1 (τ, u) - KV2 (τ, u)
(13) (14) (15)
(16)
V1 (τ, u) =
1 2πτa
∞
∫e
lnk
xp
{ - βuT + uT -
(
u
- uT) 2a2τ
2
}
duT
(17)
V2 (τ, u) =
·57 ·
设标的资产 (商品或金融资产) 的价格过程 S (t) 遵循随机微分方程
dS =μSdt +σSdz ,
其中σ是常数 。标的资产的期货到期日为 T1 。期货价格 F 可以通过下面的关系
F (t , S) = Seα( T1 - t)
(27)
与现货价格相联系 , 其中α (·) 是时间的函数 。如果标的资产是商品 , 则α就是无风险利
助 Ito 引理 , 就可得到下面的微分方程
5f
(t , 5t
S) + rS 5f
(t , 5S
S)
+
1σ2 2
S2
52f
(t , 5S2
S) = rf
(t ,
S)
(22)
其中 S = S (t) 。方程 (22) 称为布莱克 —斯科尔斯期权基本微分方程 。边界条件为 :
f T = max {0 , ST - K}
+
1 2
a2
(55Bu) 2 +
(b -
1 2
a2)
5B 5u
-
5B 5τ
-
C=0
(8)
由上式可得 :
55τB =δ,
5B 5u
=β
(9)
其中
β=
a2 - 2b 2a2
,
δ=
1 2
a2
(β- 1) 2 +
(b +
1 2
a2)
β-
1 2
a2
-
c
(10)
为此 , 我们取
B (τ, u) =δτ+βu
为:
f T = f ( T , x T) =φ ( xT) , T > t
(2)
其中φ (·) 是连续函数 , xT = x ( T) 。下面我们来求方程 (1) 在边界条件 (2) 之下的 解。
首先作变换τ= T - t , u = lnx 。定义新的函数 F 如下 ,
F = F (τ, u) = f (Τ - τ, eu) = f (t , x)
(3)
则方程 (1) 可变为
1 2
a2
52 F 5u2
+
(b -
1 2
a2)
5F 5u
-
5F 5τ
=
CF
(4)
边界条件为 :
F0 = F (0 , eμT) =φ (eμT)