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期权定价公式的一般推导方法

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期权定价的基本原理及方法

期权定价的基本原理及方法

一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0

金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt

金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt

股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。

在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。

这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。

其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。

几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。

这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。

通过这个方程，可以计算出期权的价格。

另一个常用的连续模型是扩散模型。

扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。

在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。

这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。

BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。

它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。

BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。

期权定价二叉树模型

期权定价二叉树模型

9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据

u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。

期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。

期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。

本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。

期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。

该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。

具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。

二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。

二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。

基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。

假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。

在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。

假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。

那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。

期权定价公式的推导

期权定价公式的推导

实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
-lnv
—
19
欧式股票买入期权的定价公式
C(S,T ) SN (d1) XerT N (d2 )
其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期 权的价格。
1 S 2
d1
16
利息力（force of interest）
利息力是在确切时点上的利息强度，可以用累 积函数的相对变化率定义如下：
式中 为在时点t的利息力。
17
在复利条件下的利息力
可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t 无关。
将这个式子变形，可以得到复利的实际利率
18
实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v 常数利息力δ
St 就是折现价格。
这说明 St 仍然遵循几何布朗运动，且只有当 r 0 时才是鞅。 μ——股票价格的平均（瞬时）收益率; r——无风险（瞬时）收益率。 根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时 所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
Wn pn p0 1 2 n , n 0,1,2,
称为随机游走。这个名称最初是对ε 以相同概率取的 随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形 象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既 可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓 的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间 越长，他就可能离原点越远。
2
3

期权定价公式的推导

式中 为在时点t的利息力。
路漫漫其悠远
在复利条件下的利息力
可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t 无关。
将这个式子变形，可以得到复利的实际利率
路漫漫其悠远
实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v 常数利息力δ
实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
路漫漫其悠远
由上面这些关系式，我们可以引出
由此得到的反映证券价格变化的随机序列
称为随机游走。这个名称最初是对ε以相同概率取的 随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形 象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既 可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓 的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间越 长，他就可能离原点越远。
就是折现价格。
这说明 仍然遵循几何布朗运动，且只有当
时才是鞅。
μ——股票价格的平均（瞬时）收益率;
r——无风险（瞬时）收益率。
根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一
种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时 所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
路漫漫其悠远
股价，e-rT是折现因子，X是期权的协议价格。
路漫漫其悠远
令 ∆t 代表一个小的时间间隔，∆z代表随机变 量z在∆t时间内的变化，则标准的布朗运动∆z 具有下述两个特征：
特征1：
，其中ε是服从标准正态分
布的随机变量。
特征2：对于任意两个不同的时间间隔∆t，∆z 相互独立。
由特征1可知，∆z也服从正态分布，其均值为0， 标准差为 。由特征2可知，标准布朗运动是马 尔可夫过程的一种特殊形式。

期权定价公式的推导

13
pt pt
风险对冲 随机过程 偏微分方程
Black-Scholes 期权定价公式
f f 1 2 2 f rS S rf 2 t 2 S S
2
f为期权价格
14
资产定价基本原理
只要市场没有套利机会，那么一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的 折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价 值”的“鞅性质”。
6

假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中 p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，…， pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。 于是它们之间就有这样的关系：
p1 p 0 1 , p 2 p1 2 , p n p n 1 n , 其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果 我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，就可 以引出随机游走和布朗运动的概念。
把这一离散的价格变化的关系式连续化就得到这里lnlnlnlndtdz由于dz是标准布朗运动因此在一个较短的时间间隔可见也服从正态分布其均值为14风险对冲随机过程偏微分方程为期权价格rfblackscholes期权定价公式15资产定价基本原理只要市场没有套利机会那么一定存在一种等价的概率测度使得所有证券及其组合的折现价格都有未来价值的均值等于其当前价值的鞅性质
n 0,1, 2,
（1）
11
是随机游走序列。
ln pn ln pn1 n ',
n 1, 2,
不再成立。
ln( pn / pn1 ) ln pn ln pn1 n ', n 1, 2,
这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价 格变化的关系式连续化，就得到

期权定价分析公式说明文档


2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：

Black_Scholes期权定价公式的两种简化推导


中 国 水 运 （ 理 论 版 ） China Water Transport（Theory Edition）
Vol.4 May
No.5 2006
Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
邓乐斌
摘 要：Black-Scholes 期权定价公式的推导过程是相当复杂的，需要用到随机过程、随机微分方程求解等较高深的
第5期
邓乐斌：Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
σ2 ln E ( ST ) − ln X − (T − t ) µ − ln X 2 = XN ( ) = XN ( ) σ T −t σ T −t
165
从而不支付红利股票的欧式看涨期权的价格
c=e
− r (T −t )
cT = SN ( d1 ) − Xe − r (T −t ) N ( d 2 )
cT = E (max( ST − X , 0))
∧
)(T − t ))) 2 2 ) 2σ (T − t )
σ2
所以有
c1 = ∫
+∞ ln X
e f ( y )dy = ∫
y
+∞
ln X
e ⋅
y
1 2πσ T − t
exp(−
( y − (ln S + (r −
2
)(T − t )))2 2 )dy 2σ (T − t )
µ+
σ2
∫
+∞
ln X
2πσ T − t
= E ( ST ) N (
ln E ( ST ) − ln X + (T − t ) µ + σ 2 (T − t ) − ln X 2 ) = E ( ST ) N ( ) σ T −t σ T −t
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(11)
这时方程 (7) 变为 :
1 2
a2
52 V 5u2
=
5V 5τ
(12)
边界条件为 :
·55 ·
V0 = e - B (0 ,uT)φ (euT) 而方程 (12) 即为标准的热传导方程 , 解为 (见 ⑥, p . 69)
V (τ, u) = 如果
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
S)
= rf
(t , S)
(25)
其中 S = S ( t ) , 边界条件与 (23) 式相同 。方程 ( 25) 的推导过程可参见 ① (p . 288 -
289) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a =σ, b = r - q , c = r , 则立即得到支付红利股票期权定
,u T)φ
(euT)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
φ (x) = max {0 , x - k}
其中 k 为常数 , 则 (14) 式变为
V (τ, u) 其中
=
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
,u
)
T
max
{0 ,
euT -
k}
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
=
1 2πτa
∞
率 r 加上单位时间商品的单位货币储存费用减去便利收益 。如果标的资产是金融资产 , 则α
就是无风险利率减去该资产的收益率 。由 Ito 引理 (见 ①, p . 262 , (10A. 9) 式)
dF =
(
5F 5t
+
55FSμS
+
1σ2 2
S2
552SF2 )
dt +σS 55FSdZ
=μF Fdt +σFFdz
(24)
其中
ln (S (t) d1 =
/ k)
+
(r +
1σ2) 2
σ T- t
( T - t) , d2 = d1 - σ
T- t
2. 默顿支付红利的股票期权定价公式
假设股票以红利率 q 支付连续红利 , 股票价格 S (t) 遵循下面的随机微分方程
dS =μSdt +σSdz
其中μ是股票价格的期望增长率 , σ是股票价格的波动率 。由于股票支付连续红利率 q , μ并不等于股票的瞬时期望收益率 。如果μ, σ, q 和无风险利率 r 都是常数 , 那么标的资产
(21)
d1 (t , x)
ln (x/ k) =
+
(b +
1 2
a2)
( T - t) ,
a T- t
d2 (t , x) = d1 (t , x) - a T - t
三 、期权定价公式
与通常的情况一样 , 我们假设市场是完善的 , 没有税收和交易费用 , 所有的证明都是高 ·56 ·
度可分的 , 对证券的卖空没有限制 , 不存在套利机会 。
价公式 :
f (t , S) = S (t) e - q( T - t)Φ (d1) - ke - r ( T - t)Φ (d2) 其中
(26)
ln (S (t) / k) d1 =
+ [ (r - q) σ T- t
+
1σ2 2
]
( T - t) ,
d2 = d1 - σ
T- t
3. 布莱克期货期权定价公式
f (t , x) = F ( T - t , lnx)
= eB ( T - t ,lnx) V ( T - t , lnx)
= eB ( T - t ,lnx) V1 ( T - t , lnx) - keB ( T - t ,lnx) V2 ( T - t , lnx)
其中
= xe (b - c) ( T - t)Φ ( d1 (t , x) ) - ke - c ( T - t)Φ ( d2 (t , x) )
为股票 , 到期日为 T , 执行价格为 K 的欧式看涨期权在 t 时刻 (t < T) 的价格 f 也可看成是
(t , S (t) ) 的函数 , 并且满足下面的默顿支付红利的股票期权基本微分方程 :
5f
(t , 5t
S)
+
(r - q)
S 5f
(t , 5S
S)
+
1σ2 2
S2
52f
(t , 5S2
1 2
a2
52 V 5u2
+
(b -
1 2
a2
+
a2
5B 5u
)
5V 5u
-
5V 5τ
+ V
[
1 2
a2
52B 5u2
+
1 2
a2
(55Bu ) 2 +
(b -
1 2
a2)
5B 5u
-
5B 5τ
-
C]
=0
(7)
选择 B (τ, u) 使
b-
1 2
a2
+
a2
5B 5u
=
0
,
1 2
a2
52B 5u2
满足下面的布莱克期货期权基本微分方程 :
5f
(t , 5t
F)
+
1σ2 2
F2
52f
(t , 5 F2
F) = rf
(t ,
F)
(29)
边界条件为 :
f T = max {0 , FT - K}
(30)
方程 (29) 的推导过程可参见 ① (p . 289 - 291) 。在 (21) 式中 , 令 x = F , 取 a =σ, b = 0 ,
以及布莱克期货期权定价公式 。我们的方法为求得一般期权定价公式提供了一个基本框架 。
二 、一个偏微分方程的解
考虑下面偏微分方程 ·54 ·
1 2
a2 x2
52f
(t , 5x2
x) + bx 5f
(t , 5x
x) + 5f
(t , 5t
x) = cf
(t ,
x)
(1)
其中 a , b , c 是常数 , t 是时间变量 , x = x (t) 是参数 t 的函数 , 取正值 。边界条件
∫e

-
βu
T
(euT - k)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
= V1 (τ, u) - KV2 (τ, u)
(13) (14) (15)
(16)
V1 (τ, u) =
1 2πτa
∞
∫e
lnk
xp
{ - βuT + uT -
(
u
- uT) 2a2τ
2
}
duT
(17)
V2 (τ, u) =
·57 ·
设标的资产 (商品或金融资产) 的价格过程 S (t) 遵循随机微分方程
dS =μSdt +σSdz ,
其中σ是常数 。标的资产的期货到期日为 T1 。期货价格 F 可以通过下面的关系
F (t , S) = Seα( T1 - t)
(27)
与现货价格相联系 , 其中α (·) 是时间的函数 。如果标的资产是商品 , 则α就是无风险利
助 Ito 引理 , 就可得到下面的微分方程
5f
(t , 5t
S) + rS 5f
(t , 5S
S)
+
1σ2 2
S2
52f
(t , 5S2
S) = rf
(t ,
S)
(22)
其中 S = S (t) 。方程 (22) 称为布莱克 —斯科尔斯期权基本微分方程 。边界条件为 :
f T = max {0 , ST - K}
+
1 2
a2
(55Bu) 2 +
(b -
1 2
a2)
5B 5u
-
5B 5τ
-
C=0
(8)
由上式可得 :
55τB =δ,
5B 5u
=β
(9)
其中
β=
a2 - 2b 2a2
,
δ=
1 2
a2
(β- 1) 2 +
(b +
1 2
a2)
β-
1 2
a2
-
c
(10)
为此 , 我们取
B (τ, u) =δτ+βu
为:
f T = f ( T , x T) =φ ( xT) , T > t
(2)
其中φ (·) 是连续函数 , xT = x ( T) 。下面我们来求方程 (1) 在边界条件 (2) 之下的 解。
首先作变换τ= T - t , u = lnx 。定义新的函数 F 如下 ,
F = F (τ, u) = f (Τ - τ, eu) = f (t , x)
(3)
则方程 (1) 可变为
1 2
a2
52 F 5u2
+
(b -
1 2
a2)
5F 5u
-
5F 5τ
=
CF
(4)
边界条件为 :
F0 = F (0 , eμT) =φ (eμT)