_抛物线的切线及其性质初探

几何中的切线性质几何学是研究空间和形状的分支学科，其中切线是一个重要的概念。

切线是一条与曲线相切于一点的直线，它具有一些独特的性质。

本文将介绍几何中的切线性质，以及它们在实际生活和工程应用中的重要性。

一、切线的定义和操作方法在几何中，切线是一条直线与曲线在某一点处仅有一个公共点的直线。

切线的构造方法有多种，其中最常见的是使用切线与曲线的斜率。

对于一条曲线上的点P(x, y)，可以通过求解斜率等于曲线在该点处的导数来找到切线的斜率。

然后使用点斜式或一般式等方法构造切线。

最后，通过求解曲线与切线的交点找到切线方程。

二、切线的性质1. 切线与曲线在切点处垂直切线与曲线在切点处的相切点垂直于切线。

这一性质可以通过切线与曲线的斜率相乘等于-1来证明。

因为切线的斜率是曲线在切点处的导数，所以导数与切线的斜率相乘等于-1。

2. 切线的斜率等于曲线在切点处的斜率切线的斜率等于曲线在切点处的斜率。

这可以通过导数的定义来证明。

导数定义为曲线在某一点上的切线斜率。

3. 切线与曲线在切点处只有一个公共点切线与曲线在切点处仅有一个公共点，不会与曲线有额外的交点。

这一性质是切线的定义之一。

4. 切线与曲线的切点在曲线上切线与曲线的切点必定在曲线上。

这是因为切线与曲线在切点处有且只有一个公共点。

三、切线性质的应用切线性质在实际生活和工程应用中有着重要的作用。

以下是一些应用示例：1. 圆的切线圆的切线是从圆的外部过一点的直线，它与圆只有一个公共点。

圆的切线性质在几何构造和机械设计中广泛应用。

2. 行星轨道和行星之间的切线行星的轨道是椭圆，而行星之间的连接线是切线。

这一性质在天文学和航天工程中使用。

3. 斜面上的运动斜面上的物体在没有垂直分量的力影响下，只受到切向力的作用。

这一性质在机械工程和物理学中起着重要作用。

四、结论切线是几何学中一个重要的概念，具有独特的性质和应用。

切线与曲线在切点处垂直，切线的斜率等于曲线在切点处的斜率，切线与曲线在切点处只有一个公共点，并且切线与曲线的切点在曲线上。

切线的定义和性质
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。

更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。

平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

在高等数学中，对于一个函数，如果函数某处有导数,那么此处的导数就是过此处的切线的斜率，该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。

切线的主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。

而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。

今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。

简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。

可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。

这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。

咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。

切线的性质可是非常重要和有用的。

首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。

这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。

想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。

而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。

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抛物线切线的一个优美性质
作者：杨尧伟
来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第03期
优美性质抛物线C在点D处的切线为m，和直线m平行的直线l与抛物线C相交于A、B 两点，则直线l与抛物线所围封闭图形的面积和△DAB面积的比值为4∶3.
为证明此性质，先证明性质1.
性质1 直线l：y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则直线与抛物线所围成封闭图形的面积为：线段AB在x轴上投影的立方的六分之一乘以二次项系数的绝对值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=
a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韦达定理）
所以结论成立.
优美性质证明仅以抛物线x2=2py（p>0）为例证明，其它情况同理可证.
设直线l：y=kx+m，D（x0，y0），则由导数知识得x0p=k，所以D（pk，pk22），记D 到直线l的距离为d.
由性质1得直线l与抛物线所围成封闭图形面积为112px1-x23，显然直线l与抛物线所围成封闭图形面积与△DAB面积比值为4∶3.
通过上述性质的证明过程可以看出，利用定积分求面积时，有时并不需要把交点坐标具体求出来，只要充分利用两曲线联立后的方程就可以进行整体代换，这样就把设而不求的方法运用得恰到好处.由此性质可以看出，不规则图形总可以转化为规则图形求面积，其它曲线也理
应如此.。

浅谈与抛物线焦点弦和切线有关的一些性质
抛物线是几何图形中的常见曲线，它是一种二次曲线，可以描述很多物理现象，也与其他几何问题有关。

抛物线的几何性质有着深远的研究价值，最重要的性质有抛物线焦点弦和切线。

抛物线焦点弦是抛物线最重要的性质之一，它是一条穿过抛物线两焦点并垂直
接触抛物线的弦线，它的中心就是抛物线的中心。

焦点弦有着重要的应用，它可以帮助我们定义和分析抛物线图像中关键部分。

抛物线切线是在抛物线上的任意一点点切出的与抛物线垂直的切线，若该点切
线的斜率越大，斜率的改变速率也越大，抛物线的几何形状也就越陡峭。

有着重要的理论意义，它可以帮助我们分析抛物线图像中斜率变化的规律，还有助于。

2014年二轮复习抛物线之切线与定点问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455抛物线之切线与定点2014年高考怎么考自检自查必考点抛物线22y px =分为上下两支，可以分别看成函数求导 对于22y px =求导得2'2yy p =，则'p y y=抛物线22y px =在11(,)A x y 的切线的斜率为1AT p k y = 故切线AT 为111()py y x x y -=- 化简得到11()py x x y =+ 同理切线BT 为22()py x x y =+抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）性质1：过抛物线一弦AB 的中点平行于对称轴的直线与抛物 线交于点P ，若过P 的切线为PT ，则PT //AB性质2：过抛物线上一点P 的切线交其对称轴于点T ，则PF TF =性质3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上TPQBAOyxFOyxA自检自查必考点TF BAOyx性质4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分 性质8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径性质9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必平行于此抛物线的对称轴性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上【例1】 证明：过抛物线上一点00M x y （，）的切线方程是：00y y p x x =+（）【例2】 设抛物线2y =2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是11A B ，证明：以11A B 为直径的圆必过一定点22y px =例题精讲【例3】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点．⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值；⑵如果4OA OB ⋅=-u u u r u u u r证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【例4】 如图,过抛物线()220y px p =>上一定点()()000,0,P x y y >作两条直线分别交抛物线于()()1122.,,.A x y B x y(I)求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.yPO xAB【例5】 如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;（II ）当PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB 的斜率.x【例6】 如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点(0,c)C 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q（Ⅰ）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r，求c 的值；（Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？说明理由。

最全抛物线曲线性质总结抛物线是一种常见的二次曲线，具有很多特性和性质。

本文将总结抛物线的最全性质。

1. 定义抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点所组成的曲线。

2. 方程抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

3. 性质以下是抛物线的一些重要性质：对称性- 抛物线关于纵轴对称；- 如果a为正数，则抛物线开口朝上；如果a为负数，则抛物线开口朝下。

零点- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点；- 若抛物线有1个零点，则其为切线，即抛物线与x轴相切；- 若抛物线有2个零点，则其开口朝上；- 若抛物线无零点，则其不与x轴相交。

顶点- 抛物线的顶点即为最高点或最低点；- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。

平行于坐标轴- 若b等于0，则抛物线与y轴平行；- 若a等于0，则抛物线与x轴平行。

开口方向- 由抛物线的系数a来决定；- 若a大于0，则抛物线开口朝上；- 若a小于0，则抛物线开口朝下。

最值- 若a大于0，则抛物线的最小值为顶点的纵坐标；- 若a小于0，则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。

弧长- 抛物线弧长可由积分求解，公式为：L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx，其中dy/dx为抛物线方程的导数。

以上是抛物线的一些常见性质和特点。

对于理解和应用抛物线非常有帮助。

希望本文对您有所启发和帮助。