当前位置：文档之家 › _圆的切线性质与判定定理

_圆的切线性质与判定定理

  • 格式：ppt
  • 大小：374.50 KB
  • 文档页数：17

下载文档原格式

  / 17

合集下载

2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)

2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
4.
如图，△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上，sin B 1 ＝ ，∠D＝30° . 2 (1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若 AC＝6，求 AD 的长．
解：(1)证明：如图，连接 OA， 1 ∵sin B＝ ，∴∠B＝30° ， 2 ∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60° ， ∵∠D＝30° ， ∴∠OAD＝180° －∠D－∠AOC＝90° ， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA＝OC，∠AOC＝60° ， ∴△AOC 是等边三角形，∴OA＝AC＝6， ∵∠OAD＝90° ，∠D＝30° ， ∴AD＝ 3AO＝6 3.
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判
6. 如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA
到 E，使AE＝AB，连接ED.
(1)求证：直线ED是⊙O的切线； (2)连接EO交AD于点F，求证： EF＝2FO.
解：(1)证明：连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形， AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∠EAD＝∠DAB＝90° . ∴∠EDA＝45° ，∠ODA＝45° . ∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90° . ∴直线 ED 是⊙O 的切线． (2)作 OM⊥AB 于 M. ∵O 为正方形的中心，∴M 为 AB 的中点． ∴AE＝AB＝2AM，AF∥OM. EF AE ∴FO＝AM＝2，∴EF＝2FO.

圆的切线的性质及判定定理

圆的切线的性质及判定定理

A
O
B
D
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
C
300600
. A
300 1200 600 600
O
B
D
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB,
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C O
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
例２ 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. A
∴∠ACO＝ ∠CAD .
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，

专题复习与圆的切线有关的证明

专题复习与圆的切线有关的证明
经过半径外端且垂直这条半径
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。

圆的切线判定和性质(教案)

圆的切线判定和性质(教案)

圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图，让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习，让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理，如切线定理、切线长定理等通过示例和练习，让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图，让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习，让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图，让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题，如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习，让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题，如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线方程的应用方法第六章：圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质，如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题，如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章：圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图，让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章：圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图，让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题，如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章：圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例，如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图，让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例，如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章：圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题，让学生巩固所学知识通过解答练习题，让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答，让学生巩固知识，提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定（第一章）重点关注内容：圆的切线的定义和特点，以及如何判断一条直线是否为圆的切线。

中考与切线有关的定理

中考与切线有关的定理

1与切线有关的定理一、切线的性质及判定 1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．l AlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．P22． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p=，其中()12pa b c =++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c =+-cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长例2. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。

圆的切线的性质及判定定理

圆的切线的性质及判定定理

圆的切线的性质及判定定理圆的相切的定义：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

直线与圆的位置关系：相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的概念：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形的判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

方法总结：1、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要注意观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质.2、当两圆相交时，常常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题.圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦•一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角的特点：(1) 角的顶点在圆上；(2) 角的两边在圆内的部分是圆的弦.圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：A A A解题规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。

圆的切线知识点总结

圆的切线知识点总结一、切线的定义在欧式几何中，对圆的切线有以下几种定义：1. 如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线就被称为圆的切线。

2. 一条直线与圆相交于圆上的一点，那么这条直线就是圆的切线。

3. 一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的切线。

这三种定义表达了切线与圆的位置关系，指出了切线与圆的相交情况以及位置特征。

二、切线的性质1. 切线与半径垂直圆的半径与切线的交点处相互垂直。

2. 切线定理若直线l与圆相切于点P，直线l与直径所夹的角为直角。

3. 切线长度相等过圆外一点作一切线与圆相交于A、B两点，连接线A、B，若CA=CB，则线段CA与线段CB构成圆的切线。

4. 切线的判定若直线l经过圆外一点，分别与圆上两点A、B相连，若线段AB的中点恰好是圆心O，那么直线l即为圆的切线。

5. 切线的唯一性圆外一点到圆的切线唯一。

以上是切线的主要性质，这些性质在解题时常常起到重要的作用，特别是在证明几何问题时，能够帮助我们理解和应用切线的知识。

三、切线与圆的位置关系1. 内切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，但直线上的其他点都在圆的内部，那么这条直线就是圆的内切线。

2. 外切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的外切线。

3. 相切线如果一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的相切线。

切线与圆的位置关系在解题时十分重要，通过分析切线和圆的位置关系，可以帮助我们求解许多几何问题。

四、切线的判定方法1. 切线与圆的位置关系我们可以通过切线与圆的位置关系来判断一条直线是否为圆的切线，如切线的定义所述，可以分析直线与圆的相交情况以及位置特征来判定切线。

2. 对于圆外一点到圆的切线的判定，我们可以利用中位线作图，利用几何思维判定出直线是否为圆的切线。

3. 切线定理的应用切线定理是判定切线的重要原理之一，通过利用切线定理，可以判定一条直线是否为圆的切线。

2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)

1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2

圆的切线的性质及判定定理 课件


【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.

2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)


(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径 垂直 的直线是圆 的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定， 而(3)是用位置关系加以判定的．
[例1]
如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD
为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O
的半径． [思路点拨] ⊙O切AB于点E，
由圆的切线的性质，易联想到连接 OE构造Rt△OAE，再利用相似三角
形的性质，求出⊙O的半径．
[解] 连接 OE， ∵AB 与⊙O 切于点 E， ∴OE⊥AB，即∠OEA＝90° . ∵∠C＝90° ，∠A＝∠A， ∴Rt△ACB∽Rt△AEO， OE AO ∴BC ＝ AB. ∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13， OE 12－OE ∴ ＝ ， 5 13 10 ∴OE＝ . 3 10 即⊙O 的半径为 . 3
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判
定定理，除此以外，还其 中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．
3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明： AB是△BCD的外接圆的切线． 证明：作直径BE，连接DE， ∵BE是⊙O的直径，
对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热
点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线， 再利用切线的性质来求解相关结果．
5.如图， 已知两个同心圆 O， 大圆的直径 AB 交 小圆于 C、 大圆的弦 EF 切小圆于 C， D， ED 交小圆于 G，若小圆的半径为 2，EF＝4 3， 试求 EG 的长．
[例 2]
已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点，AD∶DC
＝2∶1，∠C＝45° ，∠ADB＝60° ，求证：AB 是△BCD 的外 接圆的切线． [思路点拨] 连接OB，OC，OD → ∠BOD＝90° → ∠OBC＝∠OCB＝30° ∠ABO＝90° 结论 . → →
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O
B
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
O
C
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R,. 求证:RP=RQ
4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 在直线上任取异于A的点B.
l
A
B
连OB.
则在Rt△ABO中
OB>OA=r
O
故B在圆外
.直线与圆只有一个公共点, 是切线.
5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
小结:
1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
l
A
M
反 证 法
假设不垂直, 作OM⊥ l 因“垂线段最短”,
O
故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾.
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考:
切线的性质定理逆命题是否成立?
B
P O Q
A R
∠AQO= ∠APQ
9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
C
D
3 1 4 2
A
O
B
△COD与COB全等
10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
作业:
如图，AB为⊙O的直径，AD平分<BAE ，DE⊥AC交 AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝3,⊙O的半径为5， 求BF的长．
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径 垂直 的直线是圆 的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定， 而(3)是用位置关系加以判定的．
14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
三. 圆的切线的性质及判定定理
圆与直线的位置关系:
相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点
3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
4. 如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA
到 E，使AE＝AB，连接ED.
(1)求证：直线ED是⊙O的切线； (2)连接EO交AD于点F，求证： EF＝2FO.
11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
解：(1)证明：连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形， AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∠EAD＝∠DAB＝90° . ∴∠EDA＝45° ，∠ODA＝45° . ∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90° . ∴直线 ED 是⊙O 的切线． (2)作 OM⊥AB 于 M. ∵O 为正方形的中心，∴M 为 AB 的中点． ∴AE＝AB＝2AM，AF∥OM. EF AE ∴FO＝AM＝2，∴EF＝2FO.
[证明]
(1)连接 OD，
∵AD 平分<BAE ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OD， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3.
∴OD∥AE. ∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，即 DE 是⊙O第二讲 直线与圆的位置关系
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9. ∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB. ∴△ADG∽△AFB. DG AG ∴ BF ＝ AB. 3 9 10 ∴BF＝ .∴BF＝ . 10 3