- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
1 3r 1 4r 1 5r
2
2
2
6r 4 3 , 2
∴r=1.
答案：1
2.(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵⊙O内切于梯形ABCD,
∴AO平分∠BAD,有∠DAO=1 ∠BAD,
2
DO平分∠ADC,有∠ADO1= ∠ADC，
2
∴∠DAO+∠ADO=1 (∠BAD+∠ADC)=90°，
A
D
E
C
·O
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°. 在△OEC中, ∵∠EOC=∠ECO=30°,∴OE=EC. 在△BOE中,∵∠BOE=90°,∠EBO=30°, ∴BE=2OE=2EC,∴CE CD 1 ,
BE DA 2
∴AB∥OD,∴∠ABO=90°, 故AB是△BCD的外接圆的切线.
2
∴∠AOD=180°-(∠DAO+∠ADO)=90°.
(2)∵在Rt△AOD中,AO=8 cm,DO=6 cm,
∴由勾股定理,得AD= ∵E为切点,
AO2 =DO102 cm.
∴OE⊥AD,有∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠AOD.
又∠OAD为公共角,∴△AEO∽△AOD，
∴ OE AO ,OE=4.A8OcDmO.
圆外切三角形和四边形
1.圆外切三角形的四个性质 (1)圆心是三角形的内心. (2)半径等于圆心到三角形边的距离. (3)圆心与切点的连线与三角形对应的边垂直. (4)圆心和三角形顶点的连线平分三角形对应的角.
2.圆外切四边形的有关结论 四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形. 四边形是圆外切四边形的充要条件是四边形的对边和相等.
1.垂直于半径的直线是圆的切线对吗？为什么？ 提示:这种说法错误.根据圆的切线的判定定理，主要考查两个 条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于这条半径，这两 个条件缺一不可.故此说法错误. 2.经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线对吗？ 为什么？ 提示:这种说法正确.因为直径有两个端点，且都为半径的外端， 因此具备了切线判定中的两个条件，故此说法正确.
又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP. 又∠OBA=60°,∴∠P=30°. 又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°. ∴OA⊥AP,则PA与⊙O相切. 答案：相切
3.如图，连接OB,OC,OD，OD交BC于E. ∵∠DCB是 BD所对的圆周角, ∠BOD是BD所对的圆心角,∠BCD=45°, B ∴∠BOD=90°. ∵∠ADB是△BCD的一个外角, ∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=60°-45°=15°， ∴∠DOC=2∠DBC=30°, 从而∠BOC=120°.
圆的切线的性质及判定定理
1.切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过__切__点__的__半__径___. (2)推论1：经过圆心且_垂__直__于__切__线____的直线必经过切点. (3)推论2：经过切点且_垂__直__于__切__线____的直线必经过圆心. 2.切线的判定定理 经过半径的__外__端___并且__垂__直__于___这条半径的直线是圆的切线.
3.已知D是△ABC的边AC上的一点,AD∶DC=2∶1,∠C=45°, ∠ADB=60°, 求证:AB是△BCD的外接圆的切线.
【解析】1.选A.∵⊙C的圆心到AB的距离d=r=2.4 cm. ∴⊙C与AB相切. 2.如图，连接AB， ∵∠AOC=120°,∴∠AOB=60°. 又OA=OB, ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB.
【典例训练】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，AB=5，则Rt△ABC的 内切圆的半径r=______. 2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD, ⊙O为内切圆,E为切点. (1)求∠AOD的度数; (2)若AO=8 cm,DO=6 cm,求OE的长.
【解析】1.如图所示，S△ABC=
所以∠A= 1∠BOC= 1×134°=67°.
2
2
答案：67°
2.连接OD,设半圆O的半径为r,因为BC=6，
AC=8,BC⊥AC,所以AB=10.因为AC是半圆
O的切线，所以OD⊥AC.又因为BC⊥AC，
所以OD∥BC,所以 OD A即O ,
BC AB
r 10 r , 解得 r 15 ,
6 10
4
所以AE=AB-2r=5 .
2
答案： 5
2
【想一想】利用圆的切线的性质定理及推论进行计算时的关键 是什么？ 提示：利用圆的切线解决问题时的关键是作辅助线，即连接切 点和圆心的半径，从而得到直角.
圆的切线的判定
判定直线与圆相切的三种方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (3)过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线.
3.如图所示，直线l与⊙O相切于点A，点B是l上任意一点(与A不 重合)，则△OAB是_______三角形.
【解析】∵l与⊙O相切，∴l⊥OA， ∴∠OAB=90°, ∴△OAB是直角三角形. 答案：直角
4.如图，AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，AC=CB，则直线AB与 ⊙O的位置关系是______.
