商品利润问题与二次函数

二次函数与商品销售中利润问题例１ 某商店经营一种成本为每千克４０元的水产品．据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能销售出５００千克；销售单价每涨１元，月销售量就减少１０千克．针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：（１）当销售单价定为每千克５５元时，计算月销售量和月销售利润；（２）设销售单价定为每千克ｘ元，月销售利润为ｙ元，求ｙ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围）；（３）商店想在月销售成本不超过１００００元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？练习：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？练习 ：某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生的利润与电价是一次函数关系，经过测算工厂每千度电产生的利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：(1)当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生的利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天 用电量m (千度)的函数关系为x ＝10m ＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度．为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生的利润最大是多少元？x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从２月１日起的２００天内，西红柿市场售价Ｐ与上市时间ｔ的关系用图甲的一条线段表示；西红柿的种植成本Ｑ与上市时间ｔ的关系用图乙中的抛物线表示．（其中，市场售价和种植成本的单位为：元／１００千克，时间单位为：天） （１）写出图甲表示的市场售价Ｐ与时间ｔ的函数关系式； （２）写出图乙表示的种植成本Ｑ与时间ｔ的函数关系式； （３）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大（可借助配方或草图观察）？｝，巩固提升：(2010年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，进入5 2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克,且y 与周数x 的变化情况满足二次函数c bx x y ++-=2201． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式； （2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2.141+=x m ，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨%8.0a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．图甲 图乙。

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习：1某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克•经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克•现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克应涨价 x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利 _________________ 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克；问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元？根据题意列方程得：解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。

答：。

2、 二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=y=3、 函数y=x 2+2x-3(-2 w x w 2)的最大值和最小值分别是 新知解析：例1、某商品现在的售价为每件 35元，每天可卖出50件。

市场调查发现：如果调整价格，每降价 1元，那么每天可多卖出两件。

请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销 售额是多少？解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：2y= ( 35-x ) (50+2x ) =-2x +20x+1750b 20 x=-=-=52a 2 X ( 2)因为 0<5<35 且 a=-2<0 所以 y=(35-5)(50+10)=1800答：当降价5元时 销售额最大为1800元。

此类习题注意要点：1、 根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为 x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。

2、 判断顶点横坐标是否在取值范围内。

因为函数的最值不一定是实际问题的最值3、 根据题意求最值。

写出正确答案。

例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要， 开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费 10元时， 床位可全部租出， 若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了 10张床位租出，如果每张床位每天以 2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是 多少钱？x o解：设当张价 X 元时租金为y 元，根据题意得：y= ( 100-10 X ) (10+x ) =-5x +50x+1000250=5因为5是奇数，不合题意。

一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。

商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：此题用到的数量关系是：〔1〕利润=售价-进价〔2〕销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 〔x-40〕问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 〔x-60〕问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202x ⨯ 〔件〕 问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值X 围是 60x ≥问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：此题用到的数量关系是：〔1〕利润=售价-进价〔2〕销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 〔x-40〕问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 〔60-x 〕问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402x -⨯ 〔件〕 问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值X 围是 060x ≤≤问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：〔1〕涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加〔2〕降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加此题用到的数量关系是：〔1〕利润=售价-进价〔2〕销售总利润=单件利润×销售数量根据题目内容，完成以下各题：1、涨价时〔1〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值X 围是 60x ≥〔2〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为1(40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-〔3〕售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？ 1W =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+2、降价时：〔1〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402xy -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值X 围是 060x ≤≤〔2〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为2W =(40)x -y=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-〔3〕售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？因为2W =(40)x -〔60300402x-+⨯〕=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=211520()66125600002x --+-=220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元此题解题过程如下：解：设售价为x 元，利润为W〔1〕涨价时，1W =(40)x -〔300 --60202x ⨯〕 =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元〔2〕降价时，2W =(40)x -〔300+60402x -⨯〕 =(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。

二次函数与最大利润问题解题技巧
1. 先了解二次函数的一般式和标准式。

2. 确定题目中涉及的自变量和因变量，并建立解题模型。

3. 求出二次函数的极值点，即最大或最小值点，这可以通过求导或配方法等方式得到。

4. 判断极值点是否为最大值点，如果是，则说明达到最大利润；如果不是，则需根据实际情况进行分析。

5. 最后通过代入数值验证答案是否正确。

举例：
某企业生产一种产品，售价为x元，该企业总成本为：
C(x)=10000+200x+0.02x²元，求该企业的最大利润及最大利润
的售价。

1. 一般式：y=ax²+bx+c；标准式：y=a(x-h)²+k。

2. 总利润P(x)=R(x)-C(x)，其中，R(x)为总收入，C(x)为总成本。

因此，P(x)=x(100-0.02x)-10000-200x-0.02x²=-(0.02x²-
80x+10000)。

3. 求P(x)的极值点：P'(x)=-0.04x+80=0，得到x=2000，表示产量在2000时利润最大。

4. 检查2000是否为最大值点，此处可以通过求P''(x)判断。

P''(x)=-0.04<0，说明x=2000时是P(x)的最大值点。

5. 最大利润为P(2000)=-(0.02×2000²-80×2000+10000)=96000元，最大利润的售价为200元。

《二次函数与商品利润问题》教学设计一、教材版本及内容分析本节课选自2011年人教版九年级上册第二十二章《二次函数》第三节《实际问题与二次函数》第二课时商品利润问题。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，商品最大利润问题学生不易理解和接受，故而在这儿做专题讲解。

目的在于让学生通过解决商品利润问题，学会用建模的思想去解决其它和二次函数有关的应用问题。

此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、学情分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在比较复杂的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。

本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

三、教学目标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会用二次函数的知识解决商品利润问题。

2、过程与方法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3、情感态度与价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在小组交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素养的提升。

四、教学重点与难点1、教学重点：利用二次函数的知识对商品利润问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

2、教学难点：从商品利润问题中建立二次函数模型。

五、教学方法与手段新课程标准强调自主探究与合作交流应该是学生学习数学的重要方式。

二次函数与实际问题利润问题二次函数与实际问题利润问题实用问题与二次函数——利润问题教案（1）一、利润公式一种商品的购买价是40元，现在是60元。

每周可以卖出50件。

本周销售商品的利润是多少？小结：总利润=二、问题探究问题1：某种商品的购买价格是30元/件。

如果你在一段时间内以每件x元的价格出售，你可以卖出（200-x）件。

你应该如何定价以实现利润最大化？问题2：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。

该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？分析问题：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润为y 元。

（1）将价格提高X元，每周销量减少；实际上卖了几件。

（2）商品的现行价格是元，购买价格是元。

跟据上面的两个问题列出函数表达式为：自变量x的取值范围解答过程：问题3：目前一种商品的售价是60元/件，每周可以卖出300件。

根据市场调查，每涨1元，每周就少卖10件；每降价1元，每周可多卖出18件。

已知商品的购买价格为40元/件。

如何定价以实现利润最大化？三、课堂练习1.据了解，一件商品的购买价格为40元/件，销售价格为60元/件，每周可销售300件。

市场调查显示，如果价格调整，每降低一元，每周就会多卖出18件。

当商品的价格应该是多少元时，商场能获得最大的利润吗？2、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50元销售,平均每天可销售100箱.价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱;价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。

如何定价才能使得利润最大？3.旅行社组织30人组团出国旅游，单价为每人800元。

旅行社对30人以上的组团提供折扣，即每增加一人，每人的单价将减少10元。

你能帮我分析一下当旅行团数量减少时旅行社能获得的最大营业额吗？4、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。