人教版九年级上册数学二次函数与商品利润问题

人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。

教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。

同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。

2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。

3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。

2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。

设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。

3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。

人教版数学九年级上册某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价180006000为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.例1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10x y=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.60001.自变量x 的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y =-10x 2+100x +6000，当时,y =-10×52+100×5+6000=6250.10052(10)x =-=⨯-即定价65元时，最大利润是6250元.例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18x y=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.1.自变量x 的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.2.降价多少元时，利润最大，是多少？当时,6052(18)3x =-=⨯-即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y =-18x 2+60x +6000，25518()6060006050.33y =-⨯+⨯+=由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10x y=(10+x)(180-10x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y =-10x 2+80x +1800= -10(x-4)2+1960.当x =4时，即销售单价为34元时，y 取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.②自变量x的取值范围如何确定？求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40≤x≤50时，Q = 60(x－30)= 60x－1800∵y= 60 > 0，Q随x的增大而增大= 50时，Q最大= 1200∴当x最大答：此时每月的总利润最多是1200元.（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x 是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50≤x ≤70时，设y 与x 函数关系式为y =kx +b ,∵线段过(50，60)和(70，20).50k +b =6070k +b =20∴∴y =－2x +160（50≤x ≤70）解得：k =－2b = 160∴y=－2x+160（50≤x≤70）∴Q=(x－30)y=(x－30)(－2x+ 160)=－2x2+ 220x－4800=－2(x－55)2+1250 (50≤x≤70)∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x= 55时，Q= 1250最大∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.解：∵当40≤x ≤50时，Q 最大= 1200＜1218当50≤x ≤70时，Q 最大= 1250＞1218∴售价x 应在50~70元之间.∴令：－2(x －55)2+1250=1218解得：x 1=51，x 2=59当x 1=51时，y 1=－2x +160=－2×51+160= 58(件)当x 2=59时，y 2=－2x +160= －2×59+160= 42(件)∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：Q与x的函数关系式为：60x－1800 （40≤x≤50 ）Q =－2(x－55)2+ 1250 （50≤x≤70）由例3可知：若40≤x≤50，则当x=50时，Q= 1200最大= 1250若50≤x≤70，则当x=55时，Q最大∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x 的取值范围；解：①当40≤x≤50时，= 1200＜1218，∵Q最大∴此情况不存在.60x－1800 （40≤x≤50 ）Q =－2(x－55)2+ 1250 （50≤x≤70）②当50≤x ≤70时，Q 最大= 1250>1218，令Q = 1218，得－2(x －55)2 +1250=1218解得：x 1=51，x 2=59由Q = －2(x －55)2+1250的图象和性质可知:当51≤x ≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x 的取值范围为51≤x ≤59.x Q 055121859511250（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：由题意得：51≤x≤5930 (－2 x +160)≥1620解得：51≤x≤53∵Q =－2(x －55)2+1250的顶点不在51≤x ≤53范围内，又∵a =－2＜0，∴当51≤x ≤53时，Q 随x 的增大而增大∴当x 最大= 53时，Q 最大= 1242∴此时售价x 应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.x Q 055124253511.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x ）件，使利润最大，则每件售价应定为元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y (件）与衬衣售价x (元)之间的函数关系式为.每月利润w (元)与衬衣售价x (元)之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简）.y =2000-5(x -100)w =[2000-5(x -100)](x -80)3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？w =[12+2(x －1)][80－4(x －1)]=(10+2x )(84－4x )=－8x 2+128x +840=－8(x －8)2+1352.解：设生产x 档次的产品时，每天所获得的利润为w 元，则当x=8时，w 有最大值，且w 最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.xy 516O 74. 某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x (元）之间满足关系：y=ax 2+bx -75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求y =-x 2+20x -75∵-1<0,对称轴x =10,∴当x =10时，y 值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.。

二次函数与实际应用题------- 销售利润问题知识点：销售利润问题中常出现的量有：售价、标价、进价、销量、利润、利润率、折扣等。

涉及的等量关系有：售价=折扣数×10%×标价，利润率=进价售价－进价进价利润=，总利润=（销售单价-进货单价）×销售量。

1.湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做做优做响湘莲等特色农产品品牌。

小亮调查了一家湘潭特产店A ，B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元。

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调查发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒。

若B 种湘莲礼盒的售价和销量不娈，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？2.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y 本与每本纪念册的售价x 元之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为35本；当销售单价为24元时，销售量为32本。

（1）请直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？利润是多少？3.某超市销售一种文具，进价为5元/件。

售价为6元/件时，当天的销售量为100件。

在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件。

设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按90.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润。

专题22.39 二次函数专题-销售与利润问题（基础篇）（专项练习）【专题说明】用二次函数解决销售与利润问题是中考的常考点，也是热点，解答这类问题最常用的方法之一是建立二次函数模式，利用二次函数的最大值或最小值。

运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤：（1）设自变量x 和函数y ；（2）求出函数解析式和自变量的取值范围；（3）化为顶点式，求出最值；检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内，并作答。

相关等量关系：（1）利润=售价一进价；（2）总利润、单件利润、数量的关系；（3）总利润=单件利润×数量。

一、单选题1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润y （元）与降价金额x （元）之间的关系是2260800y x x =-++，则获利最多为（ ）A ．15元B ．400元C ．80元D ．1250元2．某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床每晚应提高( )A ．4元或16元B ．4元C ．6元D ．8元3．服装店将进价为每件100元的服装按每件x （x ＞100）元出售，每天可销售（200﹣x ）件，若想获得最大利润，则x 应定为（ ）A ．150元B ．160元C ．170元D ．180元4．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x 元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（ ）A ．(30)(20040)y x x =-+B ．(30)(20020)y x x =-+C ．(30)(20040)y x x =--D ．(30)(20020)y x x =--5．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝100（1﹣x ）2B ．y ＝100（1+x ）C ．y ＝2100(1)x + D ．y ＝100+100（1+x ）+100（1+x ）26．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间的函数关系式为21424y n n =-+-，则该企业一年中应停产的月份是（ ）A ．1月、2月、3月B ．2月、3月、4月C ．1月、2月、12月D ．1月、11月、12月7．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（ ）A ．7元B ．6元C ．5元D ．4元8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A ．60B ．65C ．70D ．759．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（元）（ ）A ．3元B ．4元C ．5元D ．8元10．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x 元出售，可卖出（100－x ）件．若想获得最大利润，则定价x 应为（ ）A ．35元B ．45元C ．55元D ．65元11．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x 元，则依据题意可列方程为（ ）A ．(5040)(500)8000-+-=x x B ．(40)(50010)8000+-=x x C ．(5040)(50010)8000-+-=x x D ．(50)(50010)8000--=x x 二、填空题12．数量关系：（1）销售额＝ 售价×____________；（2）利润＝ 销售额－总成本＝___________×销售量；（3）单件利润＝售价－__________．13．某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系应表示为_____．14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_________元，销售利润_______元．15．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y （件）与衬衣售价x （元）之间的函数关系式为______，每月利润w （元）与衬衣售价x （元）之间的函数关系式为__________．（以上关系式只列式不化简）．16．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(100)x -件，当出售价格是__________元时，才能使利润最大．17．随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x ，8月份的出厂量为y 只，则y 关于x 的函数解析式为 ___．18．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元，那么y 与x 的函数关系式是____________．19．为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为________元时，可使每天所获销售利润最大．20．某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每周利润最大化，并确定x的取值范围？【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函数图象及性质求最大值．（1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________件，此时每件产品的销售价为________元，每周产品的销售额__________元，此时每周产品的成本_______元，因此周利润合计为：y＝（60＋x）（300－10x）－40×（300－10x）＝−10x2＋100x＋6000＝−10（x−5）2＋6250当产品单价涨价5元，即售价_____元，利润最大，最大利润为______元（2）设每件降价x元，则此时每星期多卖______件，实际卖出_________件，此时每件产品的销售价为______元，每周产品的销售额__________元，此时每周产品的成本________元，因此周利润合计为：y＝（60－x）（300＋20x）－40×（300＋20x）＝−20x2＋100x＋6000＝−20（x−2.5）2＋6125当产品单价降价2.5元，即售价______元，利润最大，最大利润为_____元当产品单价涨价5元，即售价65元，利润最大，最大利润为6250元．当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元．综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元21．某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调_______元．22．学子书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝－3x＋108（29 ≤x≤ 36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么在这种关系下销售单价定为________元时，每天获得的利润最大？23．某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．24．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为_____．25．某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：()()21404060806070x xyx xì-+£<ï=í-+££ïî，则当该产品的售价x为________．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．三、解答题26．某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝－20x＋2800．(1)若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？(2)为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？27．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．28．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某超市用2400元购进一批冰墩墩玩偶出售．若进价降低20%，则可以多买50个．市场调查发现：当每个冰墩墩玩偶的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．(1)求每个冰墩墩玩偶的进价；(2)设每个冰墩墩玩偶的售价是x 元（x 是大于20的正整数），每周总利润是w 元．①求w 关于x 的函数解析式，并求每周总利润的最大值；②当每周总利润不低于1870元时，求每个冰墩墩玩偶售价x 的范围．29．某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ££，（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？30．为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量y （万/个）与销售单价x（元/个）之间的部分数据如下：销售单价x（元/个）…20253035…y（万/个）…60504030…每月销售量(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)设每月的利润为w（万元），求w与x之间的函数关系式；(3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润．参考答案1．D【分析】利用配方法即可解决问题．解：对于抛物线()222608002151250y x x x =-++=--+，20a =-<Q ，15x \=时，y 有最大值，最大值为1250，故选：D ．【点拨】本题考查二次函数的应用、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握配方法，学会利用二次函数的性质解决最值问题．2．C【分析】首先设为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高x 个2元,获得最大利润为y 元,然后根据题意可得函数解析式:y =(10+2x )(100-10x ),再利用配方法可求得当x 取何值时,y 最大,因为此题中x 取整数,根据二次函数的性质即可求得答案.解：设每床每晚收费应提高x 个2元,获得利润为y 元,根据题意得:y =(10+2x )(100-10x )=-20x 2+100x+1000=-20(x -52)2+1125,∵x 取整数,∴当x =2或3时,y 最大,当时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.所以C 选项是正确的.【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意找出数量关系，列出二次函数关系式是解答本题的关键.3．A【分析】设获得的利润为y 元，由题意得关于x 的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．解：设获得的利润为y元，由题意得：()()=--y x x100200230020000+=--x x()2x-+=-1502500∵a＝﹣1＜0∴当x＝150时，y取得最大值2500元．故选A．【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．4．B【分析】根据降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．解：设每本降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，根据题意得，y＝（30−x）（200＋20x），故选B．【点拨】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．5．D【分析】直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式．解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2．故选：D．【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键．6．C【分析】根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．解：∵21424(2)(12)y n n n n =-+-=---∴当y =0时，n =2或者n =12．又∵抛物线的图象开口向下，∴1月时，y ＜0；2月和12月时，y =0．∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的应用．能将二次函数由一般式化为顶点式并理解二次函数的性质是解决此题的关键．7．C【分析】设每个遮阳伞每天应提高x 元，每天获得利润为S ，每个每天应收费（10+x ）元，每天的租出量为（100-5x ）个，由此列出函数解析式即可解答．解：设每个遮阳伞每天应提高x 元，每天获得利润为S ，由此可得，S=（10+x ）（100-5x ），整理得S=-5x 2+50x+1000，=-5（x-5）2+1125，∵-5＜0∴当x=5时,S 最小,即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元故选C ．【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题．8．C【分析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价x 元，利润为w 元，然后根据题意可以得到w 与x 的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w 取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．解：每顶头盔降价x 元，利润为w 元，由题意可得，w ＝（80﹣x ﹣50）（200+20x ）＝﹣20（x ﹣10）2+8000，∴当x ＝10时，w 取得最大值，此时80﹣x ＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C ．【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．9．B【分析】设每件降价x 元，每天获得的利润为W 元，根据销售问题的数量关系表示出W 与x 之间的关系式，转化为顶点式即可．解：设每件降价x 元，每天获得的利润为W 元，则(128100)(1005)W x x =--+25(4)2880x =--+．50a \=-<，4x \=时，2880y =最大，故选：B ．【点拨】本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，解题的关键是求出二次函数的解析式．10．D【分析】设所获得的利润为W ，根据利润=（售价-进价）×数量，列出W 关于x 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．解：设所获得的利润为W ，由题意得()()()2230100100300030651225W x x x x x x =--=--+=--+，∵10-<，∴当65x =时，W 有最大值1225，故选D ．【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意列出利润关于售价的二次函数．11．C【分析】设这种衬衫每件涨价x 元，则销售量为（500-10x ）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得．解：设这种衬衫每件涨价x 元，则销售量为（500-10x ）件，根据题意，得(5040)(50010)8000-+-=x x ，故选：C ．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程．12． 销售量 单件利润 进价略13．y=20(x+1)2解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x 倍，∴一年后产品是：20（1+x ），∴两年后产品y 与x 的函数关系是：y=20（1+x ）2．故答案为y=20（x+1）2.【点拨】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x 倍是原来的（x+1）倍．14． 18000 6000略15． y ＝2000－5（x －100） w ＝[2000－5（x －100）]（x －80）略16．65【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解：设最大利润为w 元，则w =（x -30）（100-x ）=-（x -65）2+1225，∵-1＜0，0＜x ＜100，∴当x =65时，二次函数有最大值1225，∴定价是65元时，利润最大．故答案为：65．【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17．y =20000（1-x ）2【分析】根据降低率的特点即可得到8月份的出厂量与6月份的出厂量的关系，故可求解．解：若口罩出厂量每月下降百分率为x ，则8月份的出厂量y 关于x 的函数解析式为y =20000（1-x ）2，故答案为：y =20000（1-x ）2．【点拨】此题主要考查列二次函数，解题的关键是根据题意找到数量关系列函数．18．()2101002000012y x x x =-++££【分析】根据题意可得：涨价后的售价为()60x +元，销售量为()20010x -件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围．解：根据题意可得：涨价后的售价为()60x +元，销售量为()20010x -件，∴()()2605020010101002000y x x x x =+--=-++，∵每件售价不能高于72元，∴012x ££，故答案为：()2101002000012y x x x =-++££．【点拨】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．19．80【分析】根据每天获得利润=单件利润×销售量列出二次函数即可求解．解：设销售单价降低x 元时，则销售单价是（100-x ）元时，每天获利y 元．根据题意，得y=（100-50-x ）（50+5x ）=-5x 2+200x+2500=-5（x-20）2+4500∵-5＜0，当x=20时，y 有最大值，即100-x=80，80＞50，答：当销售单价是80元时，每天获利最多．故答案为80．【点拨】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．20． 10x 60＋x 300－10x （030x <£） （60＋x ）（300－10x ） 40´（300－10x ） 65 6250 20x 60＋x 300＋20x （020x ££） （60－x ）（300＋20x ） 40´（300＋20x ） 57.5 6125略21．6【分析】设总利润为y 元，根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，转化为顶点式就可以求出结论．解：总利润为y 元，票价下调x 元，根据题意得(80)(1362)y x x =-+=22(6)10952x --+∵20a =-<，∴抛物线开口向下，∴当x =6时，函数胡最大值∴当每日销售收入最大时，票价下调6元故答案为6【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22．29【分析】由利润=每本书的利润×数量就可以得出解析式，再根据函数的性质即可得到最大利润．解：由题意得22(20)(3108)316821603(218)92p x x x x x =--+=-+-=+--∵2936x ££且30a =<，∴当x =29时，y 最大=189，故答案为：29．【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意得到p 关于x 的二次函数表达式．23．2【分析】设每件商品售价降低x 元，则每天的利润为：()()5026402W x x =--´+，024x ££然后求解计算最大值即可．解：设每件商品售价降低x 元则每天的利润为：()()5026402W x x =--´+，024x ££()()24402W x x =-´+228960x x =-++()222968x =--+∵()2220x --£∴当2x =时，W 最大为968元故答案为2．【点拨】本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．24．24402400y x x =-++【分析】根据销售利润为=销量´每件利润进而得出答案．解：由于每块滑板降价x 元，商店一星期销售这种滑板的利润是y 元，则y 与x 之间的函数表达式为：(30)(804)y x x =-+24402400x x =-++．故答案为：24402400y x x =-++．【点拨】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润=销量´每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式．25．50【分析】设企业销售该产品获得的年利润为w 元，根据题意分别列出当4060x £<时和当6070££x 时的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．解：设企业销售该产品获得的年利润为w 元，根据题意得：当4060x £<时，22(30)(2140)220042002(50)800W x x x x x =--+=-+-=--+，∵-2<0，∴当x =50时，w 有最大值，最大值为800；当6070££x 时，22(30)(80)1102400(55)625W x x x x x =--+=-+-=--+，∵-1<0，∴当x >55时，w 随x 的增大而减小，∴当x =60时，w 有最大值，最大值为600；∵800>600，∴当x =50时，w 有最大值，即当该产品的售价x 为50（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．故答案为：50【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．26．(1)80(2)售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元【分析】（1）由总利润=每件利润×数量列出方程，解方程取符合题意的解即可；（2）先算出x 的范围，再根据总利润=每件利润×数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．(1)解：根据题意得：（x -60）（-20x +2800）=24000，解得x 1=120或x 2=80，∵尽量给顾客实惠，∴x =120，不符合题意，舍去，答：售价应定为80元；(2)解：∵每件利润不允许超过每件进价的50%，∴x -60≤60×50%，解得x ≤90，∴60≤x ≤90，根据题意得W =（x -60）（-20x +2800）=-20x 2+4000x -168000=-20（x -100）2+32000，∵-20<0，∴当x ≤100时，W 随x 的增大而增大，∴当x =90时，W 取最大值，最大值为-20×（90-100）2+32000=30000（元），答：售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元．【点拨】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．27．(1)()y 309601032x x =-+££(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元【分析】（1）设()0y kx b k =+¹，把20x =，360y =和30x =，60y =代入求出k 、b 的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．(1)解：设()0y kx b k =+¹，把20x =，360y =和30x =，60y =代入可得203603060k b k b +ìí+î＝＝，解得30960k b =-ìí=î，则()y 309601032x x =-+££；(2)解：每月获得利润()()3096010P x x =-+-()()303210x x =-+-()23042320x x =-+-()230213630x =--+．∵300-<，∴当21x =时，P 有最大值，最大值为3630．答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．【点拨】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．28．(1)每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元(2)①()210261960w x =--+，最大值为1960元；②每个冰墩墩玩偶售价x 的范围为：2329x ££【分析】（1）设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，根据题意列出分式方程，进而计算求解即可；（2）①根据题意列出一次函数关系，根据一次函数的性质求得最大利润即可；②根据题意列出方程，根据二次函数的性质求得x 的范围，根据题意取整数解即可．解：(1)设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，由题意得：()2400240050120%x x +=-，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解且符合题意，答：每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元；(2)①()()122001020w x x =---éùëû2105204800x x =-+-()210261960x =--+∵0a <且x 是大于20的正整数∴当26x =时，w 有最大值，最大值为1960元②售价为24元或25元或26元或27元或28元．解析如下：②由题意得，21052048001870x x -+-=，解得23x =或29∵抛物线开口向下，x 是大于20的正整数∴当2329x ££时，每周总利润不低于1870元，【点拨】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程或关系式是解题的关键．29．（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）由图象易得()50,100和()80,40，然后设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意易得222808000w x x =-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得：501008040k b k b +=ìí+=î，解得：2200k b =-ìí=î，∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，∴-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=，∵5080x ££，∴当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-´+´-=；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．30．(1)y 是x 的一次函数，2100y x =-+(2)w =-2x 2+136x -1800；(3)当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．【分析】（1）根据题意先判断为一次函数关系，再利用待定系数法即可得到结论；（2）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式；（3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而利用二次函数的性质得出最大利润．(1)解：由单价每增加5元，销售量减少10万个，可判断y 是x 的一次函数，设销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：y =kx +b ，把（20，60），（30，40）代入y =kx +b 得20603040k b k b ì+=ïí+=ïî， 解得：2100k b =-ìí=î， ∴每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：y =-2x +100；(2)由题意得，w =y （x -18）=（-2x +100）（x -18）=-2x 2+136x -1800；(3)∵销售利润率不能高于50%， 则x ≤（1+50%）×18=27，∵w =-2x 2+136x -1800=-2（x -34）2+512，∴图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，∴x =27时，w 最大为：414万元． 当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．。

《二次函数与商品利润问题》教学设计一、教材版本及内容分析本节课选自2011年人教版九年级上册第二十二章《二次函数》第三节《实际问题与二次函数》第二课时商品利润问题。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，商品最大利润问题学生不易理解和接受，故而在这儿做专题讲解。

目的在于让学生通过解决商品利润问题，学会用建模的思想去解决其它和二次函数有关的应用问题。

此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、学情分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在比较复杂的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。

本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

三、教学目标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会用二次函数的知识解决商品利润问题。

2、过程与方法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3、情感态度与价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在小组交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素养的提升。

四、教学重点与难点1、教学重点：利用二次函数的知识对商品利润问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

2、教学难点：从商品利润问题中建立二次函数模型。

五、教学方法与手段新课程标准强调自主探究与合作交流应该是学生学习数学的重要方式。

利润问题知识回顾：1、利润=_______________2、总利润=__________________________3、利润率=____________例1、某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式；（2）设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元。

（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润。

例2、某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高3元，平均每天就少销售9只．（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ；（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元例3、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，（1）求销售量y 关于销售单价x 的表达式（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围y x y kx b =+65x =55y =75x =45y =W W x x例4、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调 查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2218y x bx c =++（元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示 （1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式 ；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？1、某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价2元，每天可多卖出40个，假设每个降价x （元），每天销售y （个），每天获得利润W （元）．（1）写出y 与x 的函数关系式 ；（2）求出W 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）（3）当售价为多少元时，取得最大利润？2、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x （元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？3、为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价=-+。