二次函数与商品利润

⼆次函数与商品利润问题《⼆次函数与商品利润问题》教学设计⼀、教材版本及内容分析本节课选⾃2011年⼈教版九年级上册第⼆⼗⼆章《⼆次函数》第三节《实际问题与⼆次函数》第⼆课时商品利润问题。

⼆次函数的应⽤本⾝是学习⼆次函数的图象与性质后，检验学⽣应⽤所学知识解决实际问题能⼒的⼀个综合考查。

新课标中要求学⽣能通过对实际问题的分析确定⼆次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

⽽最值问题⼜是⽣活中利⽤⼆次函数知识解决最常见、最有实际应⽤价值的问题之⼀，它⽣活背景丰富，学⽣⽐较感兴趣，商品最⼤利润问题学⽣不易理解和接受，故⽽在这⼉做专题讲解。

⽬的在于让学⽣通过解决商品利润问题，学会⽤建模的思想去解决其它和⼆次函数有关的应⽤问题。

此部分内容既是学习⼀次函数及其应⽤后的巩固与延伸，⼜为⾼中乃⾄以后学习更多函数打下坚实的理论和思想⽅法基础。

⼆、学情分析对九年级学⽣来说，在学习了⼀次函数和⼆次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的⽅法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在⽐较复杂的实际问题中，还不能熟练的应⽤知识解决问题。

本节课正是为了弥补这⼀不⾜⽽设计的，⽬的是进⼀步培养学⽣利⽤所学知识构建数学模型，解决实际问题的能⼒，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

三、教学⽬标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会⽤⼆次函数的知识解决商品利润问题。

2、过程与⽅法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于⽣活，⼜服务于⽣活。

3、情感态度与价值观：培养学⽣的独⽴思考的能⼒和合作学习的精神，在⼩组交流过程中培养学⽣的交际能⼒和语⾔表达能⼒，促进学⽣综合素养的提升。

四、教学重点与难点1、教学重点：利⽤⼆次函数的知识对商品利润问题进⾏数学分析，即⽤数学的⽅式表⽰问题以及⽤数学的⽅法解决问题。

2、教学难点：从商品利润问题中建⽴⼆次函数模型。

五、教学⽅法与⼿段新课程标准强调⾃主探究与合作交流应该是学⽣学习数学的重要⽅式。

第2课时二次函数与商品利润1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解:设销售单价为x元,销售利润为y元.根据题意,得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1 000-20x)=-20x2+ 1 400x-20 000,当x=-=35时,y最大值=4 500,这时,x-30=35-30=5.所以,销售单价提高5元时,才能在半月内获得最大利润4 500元.2.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下:一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图(甲)),一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示,其中6月份本钱最高(如图(乙)).根据图象提供的信息解答下面问题:(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-本钱)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式;(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?假设该公司能在一个月内售出此种商品30 000件,请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?解:(1)一件商品在3月份出售时利润为6-1=5(元).(2)由图象可知,一件商品的本钱Q(元)是时间t(月)的二次函数,由图象可知,抛物线的顶点为(6,4),∴可设Q=a(t-6)2+4.又∵图象过点(3,1),∴1=a(3-6)2+4,解得a=-.∴Q=-(t-6)2+4=-t2+4t-8,由题知t=3,4,5,6,7.(3)由图象可知,M(元)是t(月)的一次函数,∴可设M=kt+b.∵点(3,6),(6,8)在直线上,∴解得∴M=t+4,∴W=M-Q=t+4-(-t2+4t-8)=t2-t+12=(t-5)2+,其中t=3,4,5,6,7,∴当t=5时,W最小值=元,∴该公司在一个月内最少获利×30 000=110 000元.3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y个.(1)求果园增种橙子树x(棵)与果园橙子总产量y(个)的函数关系式;(2)在上述问题中,果园要种多少棵橙子树,就可以使果园橙子的总产量为最多?(3)增种多少棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上?从计算结果和数学的角度看,你有什么感想(不超过30字)?解:(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树, ∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子,那么平均每棵树结(600-5x)个橙子.∴y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60 000.(2)∵y=-5x2+100x+60 000,∴当x=-=-=10时,y最大值=60 500.故当增种10棵橙子树时,橙子的总产量最多,为60 500个.(3)当y=-5x2+100x+60 000=60 420时,整理得x2-20x+84=0,(x-16)(x-4)=0,解得x1=16,x2=4,∵抛物线对称轴为直线x=10,∴增种5到15棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上.通过以上计算可以发现,果园的果树棵数并不是越多越好,产量的多少取决于科学的计算果树的棵数.。

二次函数与商品销售中利润问题例１ 某商店经营一种成本为每千克４０元的水产品．据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能销售出５００千克；销售单价每涨１元，月销售量就减少１０千克．针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：（１）当销售单价定为每千克５５元时，计算月销售量和月销售利润；（２）设销售单价定为每千克ｘ元，月销售利润为ｙ元，求ｙ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围）；（３）商店想在月销售成本不超过１００００元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？练习：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？练习 ：某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生的利润与电价是一次函数关系，经过测算工厂每千度电产生的利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：(1)当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生的利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天 用电量m (千度)的函数关系为x ＝10m ＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度．为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生的利润最大是多少元？x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从２月１日起的２００天内，西红柿市场售价Ｐ与上市时间ｔ的关系用图甲的一条线段表示；西红柿的种植成本Ｑ与上市时间ｔ的关系用图乙中的抛物线表示．（其中，市场售价和种植成本的单位为：元／１００千克，时间单位为：天） （１）写出图甲表示的市场售价Ｐ与时间ｔ的函数关系式； （２）写出图乙表示的种植成本Ｑ与时间ｔ的函数关系式； （３）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大（可借助配方或草图观察）？｝，巩固提升：(2010年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，进入5 2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克,且y 与周数x 的变化情况满足二次函数c bx x y ++-=2201． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式； （2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2.141+=x m ，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨%8.0a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．图甲 图乙。

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习：1某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克•经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克•现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克应涨价 x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利 _________________ 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克；问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元？根据题意列方程得：解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。

答：。

2、 二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=y=3、 函数y=x 2+2x-3(-2 w x w 2)的最大值和最小值分别是 新知解析：例1、某商品现在的售价为每件 35元，每天可卖出50件。

市场调查发现：如果调整价格，每降价 1元，那么每天可多卖出两件。

请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销 售额是多少？解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：2y= ( 35-x ) (50+2x ) =-2x +20x+1750b 20 x=-=-=52a 2 X ( 2)因为 0<5<35 且 a=-2<0 所以 y=(35-5)(50+10)=1800答：当降价5元时 销售额最大为1800元。

此类习题注意要点：1、 根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为 x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。

2、 判断顶点横坐标是否在取值范围内。

因为函数的最值不一定是实际问题的最值3、 根据题意求最值。

写出正确答案。

例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要， 开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费 10元时， 床位可全部租出， 若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了 10张床位租出，如果每张床位每天以 2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是 多少钱？x o解：设当张价 X 元时租金为y 元，根据题意得：y= ( 100-10 X ) (10+x ) =-5x +50x+1000250=5因为5是奇数，不合题意。

第2课时 二次函数与商品利润能根据商品利润问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．阅读教材第50页，自学“探究2”，清楚求商品利润问题中的最值与二次函数最值之间的关系．自学反馈学生独立完成后集体订正：某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．(1)试求y 与x 之间的函数解析式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？(1)根据数量关系列出函数解析式；(2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值．注意自变量需符合实际意义．活动1 小组讨论例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y 与x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．解：(1)45＋260－24010×7.5＝60(吨)． (2)y ＝(x －100)(45＋260－x 10×7.5)． 化简，得y ＝－34x 2＋315x －24 000. (3)y ＝－34x 2＋315x －24 000＝－34(x －210)2＋9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．(4)我认为，小静说得不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而月销售额W ＝x(45＋260－x 10×7.5)＝－34(x －160)2＋19 200. 当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的．∴小静说得不对．要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x 元(x 为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】自学反馈(1)y＝－10 000 x＋80 000.(2)利润w＝(－10 000x＋80 000)(x－4)＝－10 000(x－6)2＋40 000.当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元．【合作探究】活动2跟踪训练(1)y＝50－x10(0≤x≤160，且x为10的正整数倍)．(2)w＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x2＋34x＋8 000.(3)w＝－110(x－170)2＋10 890.∵x≤340－180＝160，∴当x＝160时，w max＝10 880.即一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元．。

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习：1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利元；问题二：涨价后日销售量减少千克；问题三：涨价后每天的销售量是千克；问题四：涨价后每天盈利元？根据题意列方程得：解方程得：因为商家涨价的目的是 ；所以符合题意。

答：。

2、二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是新知解析：例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。

市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。

请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-)2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0所以y=(35-5)(50+10)=1800答：当降价5元时 销售额最大为1800元。

此类习题注意要点：1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。

2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。

因为函数的最值不一定是实际问题的最值3、根据题意求最值。

写出正确答案。

例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是多少钱？解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10×2x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_(×250=5因为5是奇数，不合题意。