专题3.3 图形面积求最值,函数值域正当时-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(201

一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法问题：过点()3,2P 的直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点B A ,，求ABO ∆的面积最小值，以及此时所对应的直线方程。

解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。

在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。

构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。

解答这类问题的常用解题方法如下：一、 利用三角函数的有界性求解解法1：设过点()3,2P 的直线方程为：1=+by a x，则132=+b a ，于是可设α2cos 2=a ，α2sin 3=b 。

记ABO ∆的面积为S ，则ab S 21==()2222sin 12cos sin 3ααα= 因为0<()12sin 2≤α,所以：12≥S ，当12sin =α时，︒=45α，面积的最小值是：12=S ，此时，445cos 22=︒=a ，645sin 32=︒=b 所求的直线方程为：164=+yx评注：若正实数n m ,满足1=+n m ，我们可以设α2sin =m ，α2cos =n ，把二元转化为关于α的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。

二、利用均值不等式求解解法2：设过点()3,2P 的直线方程为：()23-=-x k y ，直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点()k B kA 23,0,0,32-⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 由图知0<k记ABO ∆的面积为S ，则()k k S 233221-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k S 941221因为0<k ，所以，04>-k ，09>-k。

利用均值不等式得： 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k S 941221()12121221=+≥当且仅当k 4-k9-=，即23-=k 时ABO ∆的面积有最小值，此时所对应的直线方程为：评注： 在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。

如何求解三角函数中的面积最值问题
三角函数中的面积最值问题是数学中的一个经典问题，可以通过求解函数的导数来找到最值点。

以下是一个简单的步骤来解决这个问题：
1. 确定函数表达式：首先确定你要研究的三角函数，比如正弦函数、余弦函数或者其他函数。

2. 求导：对函数进行求导，得到函数的导数。

3. 解方程：将导数等于零，然后解方程来找到导数的零点或者驻点。

4. 求最值：对于找到的驻点，将其带入原函数，计算得到对应的面积值。

5. 比较结果：比较所有驻点对应的面积值，找到最大值或最小值。

举个例子，假设我们要求解正弦函数sin(x)在区间[0, π]上的面积最大值。

按照上述步骤进行：
1. 函数表达式：该问题中，函数表达式为sin(x)。

2. 求导：对sin(x)求导得到cos(x)，即函数的导数。

3. 解方程：将cos(x)等于零，得到x=π/2，在区间[0, π]上找到导数为零的点。

4. 求最值：将x=π/2带入原函数sin(x)，计算得到面积值为1。

5. 比较结果：该区间上面积最大值为1，没有更大的值。

通过以上步骤，我们可以求解三角函数中的面积最值问题。

需要注意的是，这个方法只适用于简单的三角函数，对于复杂的函数或更复杂的问题，可能需要使用更高级的数学工具和技巧来求解。

专题15 超越方程反解难，巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623x x x ，22ln 22x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．[来源:学*科*网]3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数ln f x ax x x 在2x e 处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设22l n F x x x x f x ，其导函数为F x ，若F x 的图象交x 轴于两点12,0,,0C x D x 且12x x ，设线段CD 的中点为,0N s ，试问s 是否为0Fx 的根？说明理由．例2．设函数21ln 2fx x ax bx （1）当3,2a b 时，求函数f x 的单调区间；（2）令21(03)2aF xf x ax bx x x ，其图象上任意一点00,P x y 处切线的斜率12k 恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1ab 时，方程f x mx 在区间21,e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【同步训练】1．已知函数21e 2x f x t x （R t ），且f x 的导数为f x ．（Ⅰ）若2F x f xx 是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程222f x f x x x 有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．2．已知函数322ln 3f x ax x 的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令g x f x f x ，若存在不相等的两个实数12,x x 满足12g x g x ，求证：121x x ．3．已知函数ln f x a x x （0a ），2g x x ．（1）若f x 的图象在1x 处的切线恰好也是g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程f xmx 在区间1,e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a时，求证：对于区间1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有1212fx f x g x g x成立．[来源:Z,xx,]4．已知函数ln , 2.718f x x x e ．（1）设2216g x f x x e x ，①记g x 的导函数为g x ，求g e ；②若方程0g x a 有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在1,e 上存在一点0x 使20011m f x x 成立，求实数m 的取值范围．[来源学科网]5．已知函数233x f x x x e ．（1）试确定t 的取值范围，使得函数f x 在2,(2)t t 上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程0f x z x R 在2,t 上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．6．已知函数21ln ,f x x ax g x x b x ，且直线12y 是函数f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ，都存在21,4x ，使得12f x g x ，求b 的取值范围；（3）已知方程f x cx 有两个根1212,()x x x x ，若1220g x x c ，求证: 0b ．[来源学。

三角函数求面积最值型问题的方法技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角函数求面积最值型问题是数学中的一个重要分支，它涉及到三角函数的性质和应用，需要运用相关的数学知识和技巧进行求解。

在解决这类问题时，我们可以运用一些特定的方法和技巧，以便更好地理解问题的本质和求解过程。

接下来，我将为大家介绍一些关于三角函数求面积最值型问题的方法技巧。

对于三角函数求面积最值型问题，我们需要建立数学模型，即将问题转化为数学语言，以便进行分析和求解。

在建立数学模型时，我们需要充分理解三角函数的性质和图像特征，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等在特定区间内的变化规律，以及它们与角度的关系。

通过观察和分析三角函数的图像，我们可以更加直观地了解函数在不同区间内的行为，从而有助于建立数学模型。

对于求面积最值型问题，我们需要熟练掌握积分的相关知识和技巧。

在解决这类问题时，通常需要运用积分的概念和方法，将面积问题转化为定积分的求解过程。

掌握好积分的基本性质、常用积分公式以及积分计算的技巧是十分重要的。

对于三角函数求面积最值型问题，我们需要根据具体情况选择合适的积分方法，如换元积分、分部积分等，以便更快、更精确地求解面积最值。

对于一些特定的三角函数求面积最值型问题，我们还可以利用几何与代数方法相结合的技巧进行求解。

对于周期函数，我们可以利用函数的周期性质简化问题，从而减少求解的范围和难度。

我们还可以运用代数方法，如三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等，将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，进而利用积分求解面积。

除了数学知识和技巧外，对于三角函数求面积最值型问题，还需要培养良好的逻辑思维和问题分析能力。

在解决这类问题时，需要对问题进行全面细致的分析，找出其中的规律和特点，建立清晰的解题思路，尽量避免求解过程中的错误和歧路。

良好的逻辑思维和问题分析能力是解决三角函数求面积最值型问题的重要保障。

三角函数求面积最值型问题是数学中一个具有挑战性和深度的问题类型，解决这类问题需要掌握一定的数学知识和技巧。

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函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法(耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。

(1）2121x y x -=+； (2）()lg 12cos y x =-; (3）2y x =；(4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6)3sin 2cos xy x-=-。

2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．（4）同底三角形的面积比等于高的比．（5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【变式训练】如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4,0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK KN +最小，并求出点K 的坐标；（3）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(5,0)B 两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF ∆的面积为5时，求点P 的坐标；（3）当PCF ∆为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【变式训练】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为____，抛物线的顶点坐标为____；（2）如图1，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；（3）如图2，点E 的坐标为(0,1)-，点G 为x 轴负半轴上的一点，15OGE ∠=︒，连接PE ，若2PEG OGE ∠=∠，请求出点P 的坐标；（4）如图3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b =______；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM MN NH ==？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【变式训练】如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆=？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED EF =，求点E 的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得ADG ∆的面积是BDG ∆的面积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【达标检测】1．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线(30)y m m =-<<与线段AD 、BD 分别交于G 、H 两点，过G 点作EG x ⊥轴于点E ，过点H 作HF x ⊥轴于点F ，求矩形GEFH 的最大面积；（3）若直线1y kx =+将四边形ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为1S ，2S ，且12:4:5S S =，求k 的值．2．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+<过点(10,0)E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C ，D 在抛物线上．设(,0)A t ，当2t =时，4AD =．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．已知：如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点为M ．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）求直线BM 的函数解析式．（3）试说明：90CBM CMB ∠+∠=︒．（4）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM ∆分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线21:C y x ax =+与22:C y x bx =-+相交于点O 、C ，1C 与2C 分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点．（1）求a b的值；（2）若OC AC ⊥，求OAC ∆的面积；（3）抛物线2C 的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线2C 对称轴l 上一动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 的坐标；②如图2，点E 在抛物线2C 上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y x n =-+与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且4BE EC =．①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，AGF ∆与CGD ∆是否全等？请说明理由；（3）直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为(1,0)．若四边形OM NH '的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．6．如图，已知二次函数23(2)34y ax a x =--+的图象经过点(4,0)A ，与y 轴交于点B ．在x 轴上有一动点(C m ，0)(04)m <<，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D ．（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，设ACE ∆，DEF ∆的面积分别为1S ，2S ，若124S S =，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且DEGH 周长取最大值时，求点G 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -、(3,0)B 两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ ．（Ⅰ）若点P 的横坐标为12-，求DPQ ∆面积的最大值，并求此时点D 的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ ∆面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．8．已知抛物线2(1)y a x =-过点(3,1)，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点1(0,)4B ，且90BDC ∠=︒，求点C 的坐标；（3）如图，直线4y kx k =+-与抛物线交于P 、Q 两点．①求证：90PDQ ∠=︒；②求PDQ ∆面积的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，且与x 轴相交于A ，B 两点(B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使PBC ∆的面积最大．若存在，请求出PBC ∆的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求M 点的坐标．。

解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。

这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。

解题方法荟萃求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式（2）用正弦定理+三角函数的取值范围二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。

【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 212)(162--+= ∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 211622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴332≤bc ，又415sin =A ∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为3154 例2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。

（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围。

【解析】解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2==A a R C R CB R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S ABC sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 334B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,21()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S三、达标与拓展基础过关。

专题3.3 图形面积求最值，函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。

这样可以使函数解析式较为简单，便于分析【典例指引】例1已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点为()0,1M -，离心率为63，直线:l y kx m =+（0k ≠）与椭圆C 交于A ，B 两点，若存在关于过点M 的直线，使得点A与点B 关于该直线对称． （I ）求椭圆C 的方程； （II ）求实数m 的取值范围；（III ）用m 表示∆MAB 的面积S ，并判断S 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．()()()()()()2121212121212020x x x x y y y y x x k y y +-+++-=⇔++++=，可得：2262203131km m k k k ⎛⎫-++= ⎪++⎝⎭，则有：22311m k =+>（0k ≠），故()1122022m m m ∆=->⇔<<（III ）法一（面积转化为弦长）：()()()22212122122131m m x x y y kk -AB =-+-=++，A 到:l y kx m =+的距离211m d k +=+，()11221122m m m S d ∆MAB+-=AB =⨯，所以 223234S m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，设()223f m m m =+-，122m <<，则()2220f m m m '=--<，所以()f m 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以面积S 无最大值．法二（面积坐标化公式）：易得向量()11,1x y MA =+，()22,1x y MB =+，则有()()()12121212122112111222m x x S x y x x y x x kx m x kx m x x ∆MAB +-=+--=+-++-= ()()2211223234m m m S m m +-⎛⎫=⇒=+- ⎪⎝⎭，122m <<因2m ，2m -在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为减函数，则223234S m m ⎛⎫⇒=+- ⎪⎝⎭在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为减函数，所以面积S 无最大值．可得∆MAB 的面积S 的取值范围为810,16⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线AB 斜率k 与截距m 之间的关系；②据位置关系构建直线AB 斜率k 与截距m 之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB 的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标←−−→交点在直线上纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线AB 的斜率k 与截距m 之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m 的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m 的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式122112S x y x y =-，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点M 的直线交椭圆于D ，求四边形D MA B 的面积的取值范围．例2、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，离心率22e =，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点， AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值. 【思路引导】（1） 由题意得1b =，再由2222,22c e a b c a a ===+= 1c = ⇒标准方程为2212x y +=；（2）①当AB 的斜率不存在时，不妨取2221,,1,,1,222A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12222ABC S ∆=⨯⨯=； ②当AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()221{ 12y k x x y =-+=⇒()222222121222422214220,2121k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+=⋅=++⇒ 2212221k AB k +=+，又直线0kx y k --=的距离2211k k d k k -==++ ⇒点C 到直线AB的距离为2221k d k =+⇒()22222211111222222222141421ABCk k S AB d ABCk k k ∆⎛⎫+=⋅=⋅⋅⋅=-≤∆ ⎪++⎝⎭+面积的最大值为2.解析：（1） 由题意得22b =，解得1b =，化简得()2222214220k x k x k +-+-=，设()()221122*********,,,,,2121k k A x y B x y x x x x k k -+=⋅=++()()22121214AB k x x x x ⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦()222222422142121k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=+⋅-⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦2212221k k +=+点O 到直线0kx y k --=的距离2211k k d k k -==++因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2221k d k =+，∴222211122222211ABCk k S AB d k k ∆⎛⎫+=⋅=⋅⋅⋅ ⎪++⎝⎭()()222212221k k k +=+()22112224421k =-≤+综上， ABC ∆面积的最大值为2.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为22x y 12+=；（2）利用分类与整合思想分当AB 的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得2121224k x x ,x x 2k 1+=⋅=⇒+22k 1AB 222k 1+=+，再求得点C到直线AB 的距离为22k 2d k 1=+ ⇒()2ΔABC22222k 11k 111S AB 2d 22222ΔABC222k 14k 142k 1⎛⎫+=⋅=⋅⋅⋅=-≤ ⎪++⎝⎭+面积的最大值为2.例3、已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）设(),M x y ，由题意得44244y y x x ---=-+-，化简可得曲线C 的方程为24x y = ()4x ≠±； （Ⅱ）设().1Q m -，切线方程为()1y k x m +=-，与抛物线方程联立互为()24410x kx km -++=，由于直线与抛物线相切可得0∆=，解得2x k =，可切点()22,k k ，由，利用韦达定理，得到QD QE ⊥，得到QDE ∆为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．例4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,离心率e 为12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作圆2212x y +=的切线,切点分别为M N 、,直线MN 与x 轴交于点E ,过点E 作直线l 交椭圆C 于A B 、两点,点E 关于y 轴的对称点为G ,求ΔGAB 面积的最大值.【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为2，离心率e 为12，求出,a b ，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ) 由题意，得O 、M 、P 、n 四点共圆，该圆的方程为221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得O的方程为2212x y +=，直线MN 210x y +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121212GAB S GE y y y y ∆=-=-，从而GAB S ∆最大， 12y y -就最大，可设直线l 的方程为1x my =+，由221{ 143x my x y =++=，得()2234690m y my ++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出GAB ∆的面积的最大值试题解析：(Ⅰ)由题意, 22c =,解得1c =,由12c e a ==,解得2a =; 所以椭圆的标准方程为22143x y +=.又直线l 与椭圆C 交于不同的两点,则0∆>,即()()22636340,m m m ++>∈R ,()2212121212211214234GABm S GF y y y y y y y y m ∆+=⋅-=-=+-=+, 令21t m =+,则2221211241,134313GABm t t S m t t t∆+≥===+++,令()13f t t t =+,则函数()f t 在3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增, 即当1t ≥时, ()f t 在[)1,+∞上单调递增,因此有()()413f t f ≥=； 所以3GAB S ∆≤,当0m =时取等号.故GAB ∆面积的最大值为3. 【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法GAB ∆面积的最大值的.【扩展链接】椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221tan2PF F Sb θ=⋅【同步训练】1．已知椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为22，直线l ： y kx m=+与椭圆C 交于A ， B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AOB （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）212y x =+或212y x =-+或22y =±【思路引导】（1）由已知可得2222,2{22,c e a b a b c ====+2）设()11,A x y ， ()22,B x y ，联立方程22,{1,2y kx m x y =++=写出韦达定理，由12AOBSAB d =⋅， 2121AB k x x =+- 22224222112k m k k -+=++， 21m d k=+．求出表达式然后根据函数21422AOBSm m =-， 02m <<.求得面积最大值从而确定直线方程112122AOBS⎛⎫≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 22=，当212m =时，取到等号.则l : 22y =±当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+- 1k =-，化简整理得2212k m +=．由222212,{21,k m k m +=+>得02m <<． 又原点O 到直线AB 的距离为21m d k=+．【点评】先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉弦长公式， 2121AB kx x =+-，然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.2．已知抛物线2:8E y x =，圆()22:24M x y -+=，点N 为抛物线E 上的动点， O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C . （1）求抛物线C 的方程；（2）点()()000,5Q x y x ≥是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.求QAB ∆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）24y x =;（Ⅱ）252. 【思路引导】（Ⅰ）由题意可得，设中点坐标()P x y ，，表示出点()22N x y ，，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线C 的方程；（Ⅱ）由题意可设切线方程为： ()00y y k x x -=-，进而得到切线与x 轴的交点为000y x k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由圆心到切线方程的距离为半径，得到()()2220000044240xx k y x y k y -+-+-=，由韦达定理，可得到PABS的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值.试题解析：（Ⅰ）设()P x y ，，则点()22N x y ，在抛物线28y x =上，则200001212220000244·44x y y y k k k k x x x x --+==--，， ∴220001200001212011·2221QABy y x k k Sx x y y k k k k x ⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()200000121112212.11x x x x x -+-+⎡⎤==-++⎢⎥--⎣⎦记[)014t x =-∈+∞，，则()12f t t t=++，∵()2221110t f t t t-=-=>'，∴()f t 在[)4+∞，上单增，∴()1254244f t ≥++=，∴2525242S ≥⨯=， ∴QAB 面积的最小值为252． 【点评】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.3．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的长轴长为22，左焦点()1,0F -，若过点()2,0B b -的直线与椭圆交于,M N 两点．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）求证： MFB NFB π∠+∠=； （3）求FMN ∆面积S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）见解析（3）24【思路引导】（1）由椭圆几何意义得222,22a c ==，解得22b =（2）即证： 0MF NF k k +=，设()()1122,,,M x y N x y ， MN 直线方程为()2y k x =+，即证()()12122011x x x x +++=++，联立直线方程与椭圆方程，代入化简即证（3）利用三角形面积公式得121··2S FB y y =-，再利用MN 直线方程得1212S k x x =-，利用弦长公式可得一元函数S ()()22228121212k k k-=+利用换元可化为一元二次函数：2131248S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 212t k =+，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值121211MF NF y y k k x x +=+++ ()()12122211k x k x x x ++=+++ ()()12122011x x k x x ⎡⎤++=+=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦（3）121211··22S FB y y k x x =-=- ()()22228121212k k k -=+ 令212t k =+ 则2223213122248t t S t t -+-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当216k =（满足212k <），所以S 的最大值为24【点评】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.4．已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为3,2F 直线AF 的斜率为23,03为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22:14x E y +=；（2）77:2,222l y x y x =-=--.【思路引导】（1）设出F ，由直线AF 的斜率为233，求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）当l ⊥x 轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线l ：y=kx-2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k 的范围，再由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求．5．在平面直角坐标系中， ()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y r r +=>作两条切线，切点分别为,M N ，且60MQN ∠=.（1）求点P 的轨迹方程和r ；（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.【答案】（1）224x y +=， 1r =；（2）()2,2.【思路引导】（1）根据2216PA PB +=，由两点坐标运算即可解得；（2）写出切线,QM QN 的方程，解得与x 轴的交点C ，与y 轴的交点D 的坐标，写出面积公式进而求解即可.试题解析：（1）由题知 ()()22222216x y x y +++-+=，整理得224x y +=， ∴点P 的轨迹方程是224x y +=， 在Rt OMQ ∆中，30,2,2sin301MQO OQ OM ∠==∴==，即圆C 的半径1r =.（2）设点()()()()00112200,,,,,0,0Q x y M x y N x y x y >>.,QM QN 为圆222:1C x y +=的切线，6．如图，已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22， A 、B 为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， P 、Q 为椭圆E 上异于A 、B 的两点，且直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为定值； （Ⅱ）求三角形APQ 的面积S 的最大值． 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）329. 【思路引导】 （Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B 的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ 的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线PQ 的斜率存在时，216714922APQ S t t ∆⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭201t t <+<， 329APQ S ∆<，当直线PQ l 的斜率k 不存在时， 188322339APQ S ∆=⨯⨯=，故综合ΔAPQ S 的最大值为329.试题解析：点()2,0为右端点，舍去，1212APQ APM AQM S S S OM y y ∆∆∆=+=⨯⨯-()()()()222222222824169816392121k k b k k k k -++==++()2221671149221221k k ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥++⎣⎦，令2121t k =+（01t <<）， 216714922APQ S t t ∆⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 201t t <+<， 329APQ S ∆<， 当直线PQ l 的斜率k 不存在时， ()11,P x y ， ()11,Q x y -，12AP BQ k k =，即1111222y y x x -=+-，解得123x =，143y =，188322339APQ S ∆=⨯⨯=， 所以APQ S ∆的最大值为329.7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，离心率32e =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，求OPQ ∆的面积的最大值。

解三角形中的面积及最值问题的处理方法发布时间：2022-03-07T07:08:32.222Z 来源：《素质教育》2021年10月总第395期作者：苗玲[导读] 正余弦定理在高中数学中是个重点，在高考中是大部分学生能得分的关键点,高考中多以基础题的形式呈现出来。

在日常教学中，是我们教师教学的重点。

云南省昆明市宜良县第一中学652100正余弦定理在高中数学中是个重点，在高考中是大部分学生能得分的关键点,高考中多以基础题的形式呈现出来。

在日常教学中，是我们教师教学的重点。

我们应该把正余弦定理的考题以考点形式归纳总结出来，便于学生形成体系。

而其中，正余弦定理的灵活运用是这部分的难点，本文从解三角形的面积及最值问题的处理方面，谈谈自己的处理方法。

一、必备知识正余弦定理，三角形常用面积公式，基本不等式二、研究方向用正余弦定理解决三角形中的最值问题，尤其是求三角形周长或者面积的最值，在多年高考中一直频繁出现，就近五年的全国高考来看：2017年：全国一卷、二卷、三卷都考察了面积或周长问题，其中二卷是给了面积求边长；2018年：全国一卷求边长；2019年：全国二卷、三卷大题出现；2020年：全国二卷；2021年：全国二卷；还有全国各省份的高考试卷及模拟试卷经常有类似问题出现.故本文通过举例说明，给各位读者提供参考借鉴，能够灵活掌握这类问题。

三、在高考中应用解三角形中，因为三角形涉及三边、三个内角一共六个元素，如果我们能确定其中的三个元素，那么这个三角形可能就被唯一确定下来。

常见的有：已知两边及夹角，三角形唯一确定下来；已知两边及其中一边所对的角，可能会出现多组解的问题；已知两角及夹边，三角形唯一确定；已知两角及其中一角所对的边，三角形唯一确定；已知三边，三角形唯一确定。

以上五种类型都能直接解出三角形的所有边和角，从而利用面积公式求出其面积的具体值。

但是，若六个元素中，我们只知道其中的两个或者一个，此时这个三角形就不能被唯一确定下来。

初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题初中数学二次函数面积最值问题一般是指给出一个二次函数，要求求出其在一定范围内的面积最大值或最小值。

这类问题可以通过四种不同的解法来求解，分别是代数解法、几何解法、导数解法和平移法。

下面我来详细介绍这四种解法。

1.代数解法：代数解法是通过代数方法来解决问题。

对于给定的二次函数，首先根据题目要求找出变量的限制条件，然后可以利用一些代数的技巧，如配方法、因式分解等，将问题转化为求最值的问题。

通过求取顶点，得到函数的极值点，进而求得面积的最值。

代数解法的优点是原理简单，容易理解和掌握；缺点是计算量大，需要一些代数技巧和计算能力。

2.几何解法：几何解法是通过几何图形的性质和关系来解决问题。

对于给定的二次函数，可以画出函数的图像，然后根据几何图形的性质，找出切线、直线和坐标轴的交点，进而得到问题的解。

几何解法的优点是直观简单，理论基础较弱；缺点是需要具备较好的几何直观和空间想象能力。

3.导数解法：导数解法是通过求函数的导数，对函数的变化情况进行分析，进而求出极值点。

对于给定的二次函数，可以求出其导数，并令导数为零，求得顶点的横坐标，再代入函数中求得纵坐标，从而得到问题的解。

导数解法的优点是简单快捷，通用性强；缺点是需要一些微分的知识和运算能力。

4.平移法：平移法是通过对函数进行平移变换，将求最值的问题转化为求一些形状固定的函数的最值问题。

对于给定的二次函数，可以通过平移到一些特定位置，使得问题的解变为该函数的最值。

平移法的优点是逻辑清晰，简单明了；缺点是需要一些平移变换的知识和运算能力。

这四种解法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法。

在解决二次函数面积最值问题时，可以结合代数、几何、导数和平移四种解法，综合运用，可以更快更准确地解决问题。

掌握了这些解法，就不再害怕压轴题了。