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三角形复习提纲三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它涵盖了很多重要的性质和定理。
本文将对三角形的基本概念、性质和定理进行复习和总结。
一、三角形的基本概念首先，我们需要了解三角形的基本定义和几何元素。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的三个顶点分别由这三条边所连接。
在三角形中，我们有以下几个重要的几何元素：1. 顶点：三个顶点分别用大写字母A、B、C表示。
2. 边：三条边分别用小写字母a、b、c表示。
3. 内角：三角形内部的角分别用字母A、B、C表示。
4. 外角：三角形外部的角也分别用字母A、B、C表示，它们的和为360度。
二、三角形的性质在我们熟悉了三角形的基本概念后，我们来了解一些与三角形有关的重要性质。
1. 内角和定理：三角形的内角和等于180度。
即A + B + C = 180度。
2. 外角和定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。
即A' = B + C，B' = A + C，C' = A + B。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个内角等于90度，我们称其为直角三角形。
直角三角形的边与边之间也有一些重要关系，比如勾股定理。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三个边相等，我们称其为等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
三、三角形的定理除了上述的性质外，三角形还有很多重要的定理，它们可以帮助我们解决各种与三角形有关的问题。
以下是一些常见的三角形定理：1. 外角定理：一个三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
2. 内角平分线定理：一条角的内角平分线将这个角分成两个相等的角。
3. 垂直角定理：如果两条直线相交，形成了四个角，其中相邻的两个角互为垂直角。
4. 相似三角形的性质：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
相似三角形有很多重要的性质和比例关系，比如边长比例、面积比例等。
在解决三角形问题时，我们可以利用这些性质和定理来推导和证明结论，从而得到问题的解答。
A B C D E 第4题A C D 课题：课型 新 授 课时 1课时 主备 王勋授课老师 班级 时间学习目标：⑴认识三角形、三角形的角平分线和中线、三角形的高。
⑵全等三角形、三角形全等的条件、作三角形学习重点：熟练掌握三角形的内角和外角的性质和三边关系及两个三角形全等的条件.学习难点：利用三角形全等的有关知识解决一些实际简单的问题.【教学过程】（一）梳理知识，形成网络【学生活动】：以分组（四人一组）讨论的形式来回顾第一章的所有知识要点。
教师提问学生积极举手回答．1.三角形的概念和三角形中的主要线段：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高。
2.三角形的三边关系和三角关系以及三角形外角和内角的关系。
3.三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4.全等图形及全等三角形的概念。
5.全等三角形的性质和条件。
①SSS ， ②SAS ，③ASA ， ④AAS6.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知角，按给定条件作三角形。
(二) 基础知识练习（由学生独立完成）1．下面各组长度的线段能首尾相接组成一个三角形的是:（ ）(A) 43,1,41 (B)18,12,5 (C)5,3,2 (D)2,1,32 2．已知三角形三条边的长度为9,,3x ,化简:321433-+-x x = . 3. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则∠A= ，∠B= ，∠C= ，这个三角形按角分类时，属于 三角形.4. 把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE= 度．5.如图在△ABC 中，AB=AC=10，AB 的垂直平分线交AC 于G ，BC=7，则△GBC 的周长 是_________.6.如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线，相交于点O ，S △BDO 面积=1，则S △ABC =（ ） A.1 第5题第6题B.3C.6D. 无法计算7．如图,在ΔABC 中, ∠C=90O ,BD 平分∠ABC,交AC 于D, 若AB=5,CD=2,则ΔABD 的面积是 .8．如图,AC 与BD 相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【教师活动】在学生活动的过程中，教师可稍作提示或点拨。
中考总复习之：三角形的初步认识一、三角形中的基本概念二、三角形的边和角1．三角形的边2．三角形的角三、三角形中三条重要的线段三角形的高：①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和 之间的线段叫做三角形的高．②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的 ，三条高所在 的交点也在三角形的 ；直角三角形有两条高分别与两条 边重合，三条高的交点是三角形的 顶点．总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 即三角形的B AC D线段AD 为BC 边上的高一、选择：1、木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB 和CD ），这样做的根据是（ ） A ．矩形的对称性 B ．矩形的四个角都是直角 C ．三角形的稳定性 D ．两点之间线段最短2、试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）A ．一个直角三角形一定不是等腰三角形B ．一个等腰三角形一定不是锐角三角形C ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形3、下列不能构成三角形三边长的数组是（ ） A ．|2|-、|3|-、|4|-B ．12、13、14C ．21a +、221a +、231a +D ．25、212、2134、有3cm 、6cm 、8cm 、9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、如图，一个60︒角的三角形纸片，剪去这个60︒角后，得到一个四边形，则12∠+∠的度数为（ ） A ．240︒ B ．180︒ C ．160︒D ．120︒6、若一个三角形的三个外角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 7、如图，在ABC △中，12∠=∠，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上的一点，CF AD ⊥于H ．下列判断正确的有（ ）A ．AD 是ABE △的角平分线B ．BE 是ABD △边AD 上的中线C ．CH 为ACD △边AD 上的高 D ．AH 为ABC △的角平分线AB CDF E12GH ACBD8、下列说法正确的是（ ）A ．三角形的角平分线、中线和高都是线段B ．直角三角形只有一条高线C ．三角形的中线可能在三角形的外部D ．三角形的高的交点在三角形内部 9、一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A ．三角形的稳定性 B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短10、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）． A ．1cm ，2cm ，5cm B ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm 11、下列线不能组成三角形的是（ ） A ．2，2，3， B ．2，3，4 C ．32，42，52D ．222123(0)a a a a +++≠，， 12、如图，ABC △的高CD 、BE 相交于O ，如果55A ∠=︒，那么BOC ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．105︒ C ．125︒ D ．135︒13、下列命题错误的是（ ）A ．三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形B ．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角C ．三角形的中线、高线和角平分线都在三角形内部D ．三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性14、如图，点M 是ABC △两个内角平分线的交点，点N 是ABC △两个外角平分线的交点，如果:3:2CMB CNB ∠∠=，则CAB ∠的度数为（ ） A ．36︒ B ．42︒ C ．54︒ D ．60︒ 二、填空：１、两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是a cm ，则a 的取值范围是___________． ２、已知三角形中两边长为2和7，若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_____． ３、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||||||a b c b c a c a b -+-----+=４、如图，CH 、AD 分别为ABC △的高与中线，若ABD △的面积为2，3AB =，则CH =_________．５、已知ABC △的高为AD ，70BAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC∠的度数为______．６、在ABC △中，AB AC =，AC 边上的中线BD 把ABC △的周长分成12cm 和15cm 两部分，则三角形的各边的长为_____________．７、如图10-1，BO 、CO 分别是ABC △中ABC ∠和ACB ∠的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________（直接写出结论）； ８、如图10-2，BO 、CO 分别是ABC △两个外角CBD ∠和BCE ∠的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________，请证明你的结论．第12题O E DC B AM NC B AHD CB A９、如图10-3，BO 、CO 分别是ABC △一个内角和一个外角的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________，请证明你的结论．图10-1图10-2 图10-3 １０、ABC △中，4B C A ∠=∠=∠，则A ∠=________． １１、在ABC △中，若15B A ∠-∠=°，60C B ∠-∠=°，则C ∠= ．１２、如图，BD 和CE 是ABC △的高，BD 和CE 交于H ，已知25DBC ∠=°，40ECB ∠=°，则A ∠= ．１３、如图6-1，ABC △中，80ABC ∠=︒，50ACB ∠=︒，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠．则BPC ∠的度数______________．１４、如图6-2所示，ABC ∠，ACB ∠的内角平分线交于点O ，ABC ∠的内角平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，ABC ∠与ACB ∠的相邻外角平分线交于点E ，且60A ∠=︒，则BOC ∠=______，D ∠=_______，=E ∠_______．图6-1 图6-2１5、如图5-2，ABC △中，D 为BC 上点，12∠=∠，34∠=∠，120BAC ∠=︒，则DAC ∠的D １、若三角形的周长为60，求最大边的范围．图2DBOACE B AC图3ODOEDCBAHEDC BA２、设m 、n 、p 均为自然数，足m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个? ３、已知：如图，ABC △中，70A ∠=︒，48ABC ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE 是ACB ∠的平分线，BD 与CE 交于点F ，求CBD ∠、EFD ∠的度数．４、如图，由图7-1的ABC △沿DE 折叠得到图7-2，图7-3，图7-4. （1）如图7-2，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由； （2）如图7-3，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由；，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，无需说明理由．５、不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12， 若第三条高的长也是整数，试求它的长．６、若三角形的三边长为3，4，x ，则偶数x 的值有哪几种可能？．７、已知三角形的两边为8、10，则周长l 的范围是什么？．８、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是3和2011， 则三角形的第三边是多少？．９、已知a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||||||a b c a b c a b c ++-----+=．１０、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？。
三角形讲义(总)三角形讲义三角形是几何学中最基本的形状之一。
它由三条边和三个角组成，拥有许多重要的性质和特征。
本文将全面介绍三角形的定义、分类、性质和一些常见的解题方法。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的多边形，其中每条线段都称为边。
三角形的每个顶点处于另外两条边的延长线上。
三角形的边可以分为两种关系：边的交点称为顶点，两条边的交点称为边的交点。
三角形的三个顶点处于同一平面上。
二、三角形的分类根据边的长度和角度的大小，三角形可以分为以下几种常见类型：1.等边三角形等边三角形的三条边长度相等，三个角都是60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形和等角三角形。
2.等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，两个角也相等。
等腰三角形的两个底角是锐角或钝角，顶角是锐角。
3.等角三角形等角三角形的三个角度相等，每个角大小为60度。
4.直角三角形直角三角形有一个角度是90度，称为直角，其他两个角是锐角或钝角。
边长关系遵循勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角边的长度，c是斜边的长度。
5.锐角三角形锐角三角形的所有角都是锐角。
三条边的长度也有一定的关系，比如在等边三角形中，三个角都是60度，也是锐角。
6.钝角三角形钝角三角形的一个角是钝角，其他两个角都是锐角。
边长关系不同于锐角三角形。
三、三角形的性质三角形具有许多重要的性质，这些性质在解决几何问题时非常有用。
以下是一些常见的三角形性质：1.内角和定理三角形的三个内角的和为180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2.外角和定理三角形的一个内角和其相邻的外角的和为180度。
即∠A + ∠A' = 180°，其中∠A是三角形的一个内角，∠A'是与∠A相邻的外角。
3.三角不等式三角形的两条边之和大于第三边，即a + b > c，其中a、b、c分别表示三角形的三条边。
第1章三角形的初步知识三角形是数学中基础的图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
在本章中，我们将介绍三角形的初步知识，包括其定义、分类、角度、边长关系以及常见的定理和推论。
一、三角形的定义与分类三角形是由三条线段组成的闭合图形。
它的三个顶点以及相应的线段分别叫做三角形的顶点和边。
我国古代数学家张丘建在《算经》中首次提出了三角形的定义：“有三正角者谓之三角。
” 这个定义说明了三角形的特点：三个内角之和为180度。
根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边相等，等腰三角形的两边相等，普通三角形的三边都不相等。
二、三角形的角度关系除了边长关系，三角形的角度关系也是研究的重点。
三角形的三个内角之和固定为180度，这就是三角形角度和定理。
根据角度关系，我们可以进一步推导出一些定理和推论。
1. 三角形内角的性质三角形的任意两个内角之和大于第三个内角，也即两边之和大于第三边。
这个性质是由三角形的定义所推导出来的。
利用这个性质，我们可以判断一个三角形是否存在，比如当两边之和等于第三边时，三角形是退化成一条直线。
2. 三角形的外角三角形的每个内角都对应一个外角，外角等于它所对应的两个内角的和。
这个关系常用于解决三角形内角问题。
三、常见定理与推论在三角形的研究中，有一些重要的定理和推论常常被使用。
在这一部分，我们将介绍其中一些。
1. 三角形的中线定理三角形中线定理指出，在三角形的一侧上，连接该侧中点与对边顶点的线段称为中线，三角形的三条中线交于一点，且该点到各顶点的距离相等，即把三角形划分成面积相等的三个小三角形。
2. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理指出，三角形的内角的平分线所构成的线段交于一点，该点到各边的距离与边的长度成一定比例。
这个定理常用于几何证明和计算问题中。
3. 三角形的勾股定理勾股定理是三角形中最重要的定理之一。
它说明了直角三角形的边长关系，即直角边的平方等于斜边两边的平方和。
三角形的初步认识责编：审核：辅导科目数学学生姓名授课老师上课课次授课日期班型1.理解三角形相关概念及其分类.2.理解三角形的边，角，三线的相关概念及定理.3.掌握尺规作图并能按要求作出图形及辅助线.4.掌握全等三角形的概念，性质与判定.5.理解定义，命题，证明相关概念，能判断命题真假，掌握几何证明正确的书写格式.一、三角形及其相关概念1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.相关概念（1）边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边.（2）顶点：在三角形中，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.（3）角：在三角形中，相邻两边所组成的在三角形内部的角叫做三角形的内角.（4）外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，就叫做三角形的外角.教学目标知识梳理3.表示方法：顶点是A 、B 、C 的三角形，记作△ABC ，读作“三角形ABC ”.4.分类：三角形可以按内角的大小进行分类5.三角形的角（1）三角形的内角和等于180°.（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.6.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．（3）证明线段之间的不等关系．7.三角形中的重要线段（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段.（2）中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.【注】（1）三角形的三条中线交于三角形的内部.（2）三角形的三条角平分线交于三角形的内部.（3）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形其中两条高恰好是直角边；钝角三角形其中两条高在三角形外部.1.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ D ）.A.75°B.105°C.135°D.165°2.已知，如图，D、B、C、E四点共线，∠ABD+∠ACE=230°，则∠A的度数为__30°___.3.已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的范围是__1＜x＜7______.4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ）.A.2cm，3cm，6cmB.3cm，4cm，7cmC.5cm，6cm，8cmD.7cm，8cm，16cm5.若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ D ）.A.AM＞ANB.AM＞AN或AM=ANC.AM＜AND.AM＜AN或AM=AN6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（ D ）A．1个 B．2个 C．3个D．4个二、定义、命题与证明1.定义：一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．【注】（1）命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.（2）命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.4.定理：用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.【注】满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.5.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.【注】在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.7.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题. 8.下列命题中，真命题的个数有（ A ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、全等三角形的概念和性质1.全等图形：能够重合的两个图形叫做全等图形.【注】（1）全等形⇔形状相同、大小都相等；（2）平移、旋转、轴对称前后的图形是全等形.2.全等三角形：能够重合的两个三角形叫做全等三角形.3.对应点、对应边、对应角两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，“≌”读作“全等于”.其中点A 和点D ，点B 和a b ＜＜-b a -2230x x --=点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C 和∠F是对应角.4.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（2）全等三角形对应边上的高、中线以对应角的角平分线相等.（3）全等三角形的周长相等，面积相等.9.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__（1）（4）（5）（6）________.10.如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（ B ）A．∠ACB B. ∠BAF C. ∠CAF D. ∠AFE11.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ C ）A.3个B.2个C.1个D.0个12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是___80°___.四、全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则ABC △≌△.2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.如图，如果AB ＝，A ∠＝∠，AC ＝，则ABC △≌△.【注】（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角. （2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.如图，如果A ∠＝∠'A ，AB ＝''A B ，B ∠＝∠'B ，则ABC △≌△'''A B C .''A B ''A C ''B C '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）. 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.5.三角形全等的证明思路（1）⎩⎨⎧→→SSSSAS 找第三边找夹角已知两边（2）⎩⎨⎧→→AAS ASA找除夹边外的任一边找夹边已知两角（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→⎪⎩⎪⎨⎧→→→AAS ASA SAS AAS 找任一角边为角的对边找边上另一角找角的另一边找边的对角边为角的一边已知一边一角13.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论∶①BE=CF;②∠1=∠2;③△ACN ≌△ABM; ④CD=AE.其中正确的结论有（ C ）.A.1个B.2个C.3个D.4个14.在△ABC 中，已知∠A=60°，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CE 相交于点0，∠BOC的平分线交BC 于F ，则下列说法中正确的是___①③④_______.①∠BOE=60° ②∠ABD=∠ACE③OE=OD ④BC=BE+CD.15.如图所示，AC=DB ，∠B=∠C ，求证：AB=CD.【解析】延长AB 、DC 相交于点M ，∵∠B= ∠C,∴∠DBM= ∠ACM .在△DBM 和△ACM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC DB ACMDBM M M ∴△DBM≌△ACM(AAS).∵DM= AM,MB=MC.∴AM-BM=DM-CM,∴AB=CD.五、角平分线和中垂线的性质定理1.角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.（2）性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图，点P 是∠ADB 内CD 上的一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则CD 平分∠ADB.2.中垂线（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．（2）性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.16.在直角△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为___4____.17.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有__4______个.①DA平分∠EDF; ②△EBD≌△FCD; ③△AED≌△AFD; ④AD垂直于BC.18.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ D ）.A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°19.如图所示，在△ABC 中，∠BAC=130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线NF 交 BC 于点N ，交AC 于点F ，则∠MAN 为（ A ）.A.80°B. 70°C.60°D.50°六、尺规作图1.角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC ，射线OC 即为所求.2.线段的垂直平分线的尺规作图（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．21。
第一章三角形的初步认识复习学习目的：1.理解三角形的有关概念，会用符号和字母表示三角形援会对三角形进行分类援2.掌握的性质援3.了解定义、命题、基本事实、定理、推论的意义4.掌握全等三角形的性质和几种判定方法.学习重点：三角形边角性质的应用和全等三角形的判定几性质；学习难点：知识的综合应用.一、主要概念:1.三角形的分类:按角大小分为_____________、______________、________________.２.三角形的中线：从三角形的_______和______ 连接所成的线段叫做三角形的中线。
３.三角形的角平分线：三角形一个角平分线和____________所成的线段叫做三角形的角平分线。
４.三角形的高：从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线，_______________的线段叫做三角形的高.５.全等图形：能够_______的两个图形叫做全等图形６.全等三角形：_________________叫做全等三角形7.线段的垂直平分线：_________________并且_______这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
8.能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的.9.对某一件事情作出正确或不正确的的句子叫做命题.正确的命题称为，的命题称为假命题.10.数学中常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的.这些公认为正确的命题在本书中称为基本事实.用的方法判断为正确的命题叫做定理.定理可以作为判断其他命题真假的依据.11. 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做.12. 我们把用没有的直尺和圆规作图，称为尺规作图.主要性质１．三角形三边关系：三角形的任意两边的和____ 第三边．三角形的任意两边的差______ 第三边．２．三角形的三角内角的和______.三角形的一个外角等于_____________________.三角形的外角和等于3．全等三角形的_________相等,_________相等.5.线段垂直平分线上的点到线段_____ ___的距离相等;6.角平分线上的点到这个角的两边_ ____相等.二、知识应用：例1.已知一个三角形的三边长为3、8、x,求x 的取值范围。
第一章三角形的初步认识总复习1.1认识三角形①“△ABC”读作“三角形ABC”。
三角形任何两边的和大于第三边。
②三角形三个内角的和等于180°。
三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。
1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。
在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。
而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。
1.4全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。
两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
“全等”可用符号“≌”来表示。
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。
当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。
②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。
有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。
角平分线上的一点到角两边的距离相等。
1.6作三角形:在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：七年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第一章三角形的初步认识总复习重点、难点、考点1、三角形的基本概念的应用2、三角形全等的证明学习目标1、理解三角形的相关概念2、会证明三角形的全等教学内容第一章三角形的初步认识总复习：1.1认识三角形①“△ABC”读作“三角形ABC”。
三角形任何两边的和大于第三边。
②三角形三个内角的和等于180°。
三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。
1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。
在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。
而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。
1.4全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。
两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
“全等”可用符号“≌”来表示。
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）。
当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。
②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）。
有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS ”）。
角平分线上的一点到角两边的距离相等。
1.6作三角形:在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
【例1】 如下左图，BD 、AC 交于O ，若OA=OD ，用“SAS ”证△AOB ≌△DOC 还需（ ）A ．AB=DCB ．OB=OC C ．∠A=∠D D ．∠AOB=∠DOC【分析】 用“SAS ”证全等有三个独立条件，已知OA=OD ，显然还差两个，•由AC 、BD 相交可得∠AOB 与∠DOC 是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹角∠AOB 、•∠DOC 找，显然OB 与OC 应是另一组夹边． 【解】 选B ．【例2】 如上右图，已知AB 、CD 相交于O ，△ACO ≌△BDO ，AE=•BF ，•试说明CE=FD ．【分析】 本题考查SAS 公理的应用，要证CE=FD ，只要证△OCE ≌△ODF ．•显然∠EOC=∠FOD ．需证OE=OF ，OC=OD ．因AE=BF ，故需证OA=OB ，由已知△ACO ≌△BDO ，可得OC=OD ，OA=OB ．【解】 ∵△ACO ≌△BDO ∴CO=DO ，AO=BO ∵AE=BF ，∴EO=FO 在△EOC 与△FOD 中CO DOCOE DOF EC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△FOD ，∴EC=FD【例3】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上中线．试说明AD<（AB+AC ）．【分析】 证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB 、AD 、AC 的等价线段放在一个三角形中．因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等． 【解】 延长AD 到E ，使DE=AD 在△ACD 与△EDB 中AD EDADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB∴BE=CA 在△EBA 中，AE<AB+BE ∴2AD<AB+AC 即AD<12（AB+AC ）学生练习1：1、两边和一角对应相等的两个三角形（ ）A ．全等B ．不全等C ．不一定全等D ．以上判断都不对 2、如图，AE=CF ，∠A=∠C ，AD=CB ，试说明△ADF ≌△CBE ．3、如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，CE=DF ，AB=EF ．试说明：•AC ∥BD ．4、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 上的中线AD 的取值范围是多少？5、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，延长ED 至P ，使ED=DP ，•连接FP 与CP ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系．【例4】如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，AD 、A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的高．•试说明：AD=A 1D 1．【分析】 要证AD=A 1D 1，只需证AD 与A 1D 1所在的两个三角形全等，比如放在△ABD 与△A 1B 1D 1中，已知△ABC ≌△A 1B 1C 1，相当于已知它们的对应边相等、对应角相等，在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系．【解】 ∵△ABC ≌△A 1B 1C 1 ∴AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC 、△A 1B 1C 1的高． ∴∠ADB=∠A 1D 1B 1=90°在△ABD 与△A 1B 1D 1中111111B B ADB A D B AB A B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△A 1B 1D 1，∴AD=A 1D 1．【例5】 如图，已知AB=AC ，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD=AE ，试说明：△BDF ≌△CEF ．【分析】 在△BFD 与△CFE 中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE ，•只要证明它们的另一组对角∠C 与∠B 相等，就可证出结论，为了证∠C=∠B ，可以由△ACD•与△ABE 全等得到．【解】 在△ABE 与△ACD 中AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACD ， ∴∠B=∠C ∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE在△BDF 与△CEF 中B C DFB EFC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF ． 【例6】 如图，BD 、CE 交于O ，OA 平分∠BOC ，△ABD 的面积和△ACE 的面积相等，试说明BD=CE ．【分析】 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法．【解】 过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ．∵OA 平分∠BOC ∴AF=AG （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵S △ABD =S △ACE ∴12AF ·BD=12AG ·CE ∴BD=CE ．学生练习2：1、如图1，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD 、CD ，并延长交AC 、AB 于F 、E ，•则图形中全等三角形有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对(1) (2) (3) 2、如图2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别是C 和D ，若要根据AAS 定理，使△ABC•≌△ABD （AAS ），应补上条件________或___________．3、如图3，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AD=BC的理由．解：∵_________，__________（已知）∴∠1+∠3=_________．即_______=_______．在_________和________中∴△_______≌△_______（）∴AD=BC（）4、如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．9．如图，已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．说出下列判断正确的理由：（1）△AMC≌△BMD；（2）AC=BD．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE•的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD；（2）AC=12cm，求BD的长．6、如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，•③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三×○× ○×的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号○×○并说明原因．学生练习3：一、选择题：1、下列各组长度的线段能构成三角形的是( )A 、1.5cm 3.9cm 2.3cmB 、3.5cm 7.1cm 3.6cmC 、6cm 1cm 6cmD 、4cm 10cm 4cm2、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=21∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 3、锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( ) A 、120° B 、110° C 、100° D 、90°4、如图1，△ABC 中，CD ⊥BC 于C ，D 点在AB 的延长线上，则CD 是△ABC( ) A 、BC 边上的高； B 、AB 边上的高； C 、AC 边上的高； D 、以上都不对；5、下列说法错误的是( )A 、有两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等；B 、一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；C 、有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等；D 、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；6、如图2，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则图中互余的角有( )A 、2对；B 、3对；C 、4对；D 、5对； 7、如图3，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PA 平分∠BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由不是( )A 、SASB 、AASC 、SSSD 、ASA8、如图4，能用AAS 来判断△ACD ≌△ABE 需要添加 的条件是( ) A 、∠AED=∠ABC ，∠C=∠BB 、∠AEB=∠ADC ，CD=BEC 、AC=AB ，AD=AED 、AC=AB ，∠C=∠B 9、如图5为两个相同的矩形，若阴影区域的面积 为10，则图6的阴影面积等于( ) A 、40 B 、30 C 、20 D 、1010、如图7，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为( )根 A 、165 B 、65C 、110D 、55A CB DA BD C A BC D PEA C DB E 图5图6 图4 图3图2 图1 图7二、填空题：11、在△ABC 中，AB=3cm ，BC=7cm ，则AC 边的取值范围是_____________；12、在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是___________三角形；13、把一副常用的三角形如图所示拼在一起，那么如图8中 ∠ADE 是_______度； 14、如图9，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD=125°， ∠A=75°，则∠B=_________度；15、如图10，如果AD=BC ，∠1=∠2， 那么△ABC ≌△CDA ，根据是________________； 16、如图11，已知∠ABC=∠DCB ，现要说明△ABC ≌△DCB ，则还要补加一个条件是_____________或________________或_______________；17、在△ABC 中，如果∠A ∶∠B ∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角是_______度，按角分，这是一个_________三角形；18、如图12，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD_____∠ACD (填“>”、“<”或“=”) 19、一个三角形的两边长分别为2和9，若第三边的 长为奇数，则第三边的长为_________；三、解答题：20、如图14，按下列要求作图： (1)作出△ABC 的角平分线CD ； (2)作出△ABC 的中线BE ； (3)作出△ABC 的高AF 和BG (要求有明显的作图痕迹，不写作法)A D E BC 图8 A B C DA B C D 1 2 A B C D O图9 图10 图11A B C D 图12 ABC图1421、已知：如图15在△ABC ，∠BAC=80°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B=60°，(1)求∠AEC 的度数；(2)想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考。
