函数的单调性(第一课时)

函数的单调性（第一课时）【学习目标】1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．【学习障碍】1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质． 2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范． 3．函数单调性的应用意识不强．【学习策略】 Ⅰ．学习导引1．预习课本第P 58~59页2．本课时重点是单调性的概念，难点是判断函数的单调性．3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图．Ⅱ．知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等． Ⅲ．障碍分析1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若 f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例如y ＝－x 1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例． 2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值替代．3．函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性，可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区 间内的值域或最大（小）值，这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．［例1］判断函数f （x ）＝x ＋x 1在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．解：任取x 1，x 2∈（0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（x 1＋11x ）－（x 2＋21x ）＝212121)1)((x x x x x x ⋅--∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0． 且当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2－1＞0， 当0＜x 1＜x 2≤1时 x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0∴当x 1，x 2∈［1，＋∞］时，f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0且当x ＝1时，y min ＝2． 从而值域为［2，＋∞）点评：函数y ＝x ＋x a（a ≠0）是一类经常用到的函数，当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间［a ，＋∞），（－∞，－a ］． ［例2］判断下列函数的单调性（1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |．解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋41∵f （x ）＝－（x －23）2＋41的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝23∴f （x ）在（－∞，23）上是增函数，在［23，＋∞］上是减函数．（2）f （x ）＝⎩⎨⎧<-≥)0(3)0(3x x x x ∴由f （x ）的图象可知，f （x ）在（－∞，0］上是减函数，在［0，＋∞）上是增函数． Ⅲ．思维拓展［例3］判定并证明下列函数在指定区间内的单调性 （1）y ＝－x 3＋1（x ∈R ）．（2）y ＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞），x ∈［0，＋∞））．（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝（－x 13＋1）－（－x 23＋1）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12） ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0若x 1·x 2＞0，则x 22＋x 1x 2＋x 12＞0， 若x 1·x 2＝0，由x 1≠x 2，则x 12＋x 22＞0 也有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0若x 1·x 2＜0，x 22＋x 1x 2＋x 12＝（x 1＋x 2）2－x 1x 2＞0 ∴对于任意的x 1＜x 2都有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＞0即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数．解法二：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＝（x 2－x 1）［（x 2＋21x ）2＋43x 12］∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，且x 1，x 2不同时为零，∴（x 2＋21x ）2与43x 12不同时为零，即（x 2＋21x ）2＋43x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数． （2）解：任取x 1，x 2∈［0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（121+x －ax 1）－（122+x －ax 2） ＝（112221+-+x x ）－a （x 1－x 2）＝11))((22212121++++-x x x x x x －a （x 1－x 2）＝（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）∵x 1，x 2∈［0，＋∞］，且x 1＜1,122221+<+x x x ∴x 1＋x 2＜112221+++x x从而11222121++++x x x x ＜1，又a ∈［1，＋∞］∴11222121++++x x x x －a ＜0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）（ 11222121++++x x x x －a ）＞0即f （x 1）＞f （x 2）∴y ＝f （x ）＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞））在区间［0，＋∞）上是单调减函数． 点评：证明函数单调性的一般步骤为：①取点 ②作差 ③变形 ④定号．Ⅴ．探究学习已知函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数，且满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），f （2）＝91，试求不等式f （x ）f （3x 2－1）＜271的解集．参考答案：解：函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数且满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）∴f （2）＝f （1＋1）＝f （1）·（1）＝91＜f （1） ∴f （1）＝31由f （x ）·f （3x 2－1）＜271得f （x ＋3x 2－1）＜271而271＝31×91＝f （1）f （2）＝f （3）∴f （x ＋3x 2－1）＜f （3），x ＋3x 2－1＞3解得x ＜－34或x ＞1故所求不等式的解为{x |x ＜－34或x ＞1＝【同步达纲练习】一、选择题1．在区间（－∞，0）上为增函数的是A ．y ＝－（x ＋1）2B ．y ＝1＋x 2C ．y ＝x -1D ．y ＝x x-12．若函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．a ≥3B ．a ≥－3C ．a ≤－3D ．a ≤5 3．函数y ＝245x x --的单调递增区间是A ．（－∞，－2）B ．［－5，－2］C ．（－2，＋∞）D ．［－2，1］ 4．已知函数y ＝f （x ）定义在［－2，1］上，且有f （－1）＞f （0），则下列判断正确的是A ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调增函数B ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调增函数C ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调减函数D ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调减函数二、填空题5．已知f （x ）在定义域内是减函数，且f （x ）＞0在其定义域内，y ＝a －f （x ）的单调性为______________函数．y ＝)(x f 的单调性为____________函数．6．函数y ＝x x+-11的减区间为______________．7．已知（－∞，a ）是函数f （x ）＝11-x （x ≠1）的反函数的一个单调递减区间，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题8．函数f（x）当x＞0时有意义，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（1）求证：f（1）＝0．（2）求f（4）．（3）如果f（x）＋f（x－3）≤2，求x的取值范围．9．已知函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a和b为实数．（1）求证：命题“如果a＋b≥0，那么f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”成立．（2）判断（1）的逆命题是否成立，并说明为什么．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 提示：y ＝－（x ＋1）2在（－∞，0）上是先增后减的函数，y ＝1＋x 2，y ＝x-1在（－∞，0）上为减函数，故选D ．2．C 提示：由－2)1(2-a ≥4得a ≤－33．B 提示：由5－4x －x 2≥0得－5≤x ≤1且5－4x －x 2在［－5，－2］上是增函数，故y ＝245x x --的单调递增区间为［－5，－2］．4．B 提示：根据增函数的定义知选B二、5．增 减 提示：由定义知y ＝a －f （x ）为增函数y ＝)(x f 为减函数6．（－∞，－1）及（－1，＋∞） 提示：作出y ＝x x+-11的图象知减区间为（－∞，－1）及（－1，＋∞） 7．a ≤0 提示：由反函数图象可得a ≤0三、8．（1）由f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），令x ＝2，y ＝1，得f （2）＝f （2）＋f （1），∴f （1）＝0．（2）令x ＝y ＝2，∴f （4）＝f （2）＋f （2）＝2． （3）f （x ）＋f （x －3）＝f （x （x －3）），且f （4）＝2，∴f （x ）＋f （x －3）≤2＝f （4）可化为f （x （x －3））≤f （4）．依题有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,4)3(,03,0x x x x 解得3＜x ≤4．9．（1）a ＋b ≥0，则a ≥－b 或b ≥－a ．∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．（2）逆命题为“若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0”．反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b或b＜－a，依题有f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），∴f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），与已知矛盾，∴假设不成立，a＋b≥0．友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

2.3 《函数的单调性》教学设计(第一课时)一、教材分析(一)本节内容的地位与作用中学生对函数单调性的学习分为三个阶段，分别为初中通过简单函数的感性认识、高一的严格定义及高二利用导数解决函数的单调性.因此，高一函数单调性概念的学习，起到了承前启后的作用.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言刻画的概念.因此，单调性的研究方法非常重要，它为以后函数奇偶性、周期性等其它性质的学习提供了方法依据.它是解决函数定义域、值域、数列、不等式、三角函数等问题的有力工具，是高考重点考查的内容之一，同时也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材.(二)教学目标1、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法．2、能力目标：培养学生自主探索能力、分析归纳能力及逻辑推理能力．3、情感目标：通过层层设问，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心，提高学生学习数学的兴趣.(三)教学重难点重点：函数单调性的概念.难点：（1）函数单调性概念的生成中，如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述；（2）运用定义证明函数的单调性．二、学情分析（一）认知水平1、知识学生通过初中的学习对函数的升、降有了初步的感知；函数的概念及表示的学习为本节内容做好了知识铺垫．2、技能他们初步具备了分析概括能力，但科学的思维方法尚未形成．（二）心理特征他们好奇心强，追求成功的愿望强烈．他们渴望老师给他们提供自主探索的时间及展示自我的空间．但他们抽象思维能力相对薄弱．三、教法分析本着新课改下以学生为主体，教师为主导的教学理念，结合本节课的知识特点及学情分析，决定采用问题式、启发式、探究式相结合的教学法．主要体现在新课引入时的层层设问，概念生成时的启发引导，总结证明步骤时的探究发现等．因幻灯片直观形象且教学容量大，故决定采用多媒体辅助教学．四、学法分析新课标要求学生不仅仅要“学会”，还应当让学生“会学”、“乐学”.在这种理念的指引下，我在教学设计上强调了让学生主动参与，积极探究，同时让学生相互交流与合作．让学生在与老师、同学之间的交流、讨论中完成知识的构建及难点的突破.五、教学过程教学环节教学内容设计思路创设情境引入新课(1)生活常识“糖水加糖味更甜”(2)焦作市某日全天气温图像问题：（1）观察图像，能得出哪些信息？（2）说说一天中气温的变化趋势？由生活情境引入新课，以此激发学生的学习兴趣。