三角形的初步认识复习

3、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 _7_或__9__ 4、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 __1_7_c_m____
A
A
12
C 1E
D
B
D
C
B（第6题）
（第7题）
5、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 10度0
6、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
A
D
E
FB
C
1、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，
∠BDC的度数。
400
800
A
E pD
B
C
2、如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是
△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC
的面积。 A
A
二、关于三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是 锐角
有一个角是 直角
有一个角是 钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐 角？
三、全等三角形
知识结构
全 定义：能够 完全重合 的两个三角形
等 对应元素：对应_顶__点__、对应 边 、对应 角。
三 角 形
性质：全等三角形的对应边 相等 、对应角相等 。 判定： SSS 、 SAS 、 ASA 、AAS 。
3、如图,在△ABC中, AD是△BAC的角平分 线，DE是△ABD的高线， ∠C=90 度。若 DE=2，BD=3，求线段BC的长。
A E

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：七年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第一章三角形的初步认识总复习重点、难点、考点1、三角形的基本概念的应用2、三角形全等的证明学习目标1、理解三角形的相关概念2、会证明三角形的全等教学内容第一章三角形的初步认识总复习：1.1认识三角形①“△ABC”读作“三角形ABC”。

三角形任何两边的和大于第三边。

②三角形三个内角的和等于180°。

三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。

1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。

而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

1.4全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）。

当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。

②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

浙教版2021年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元复习题一．选择题1．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cmC．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm2．下列图形具有稳定性的是（ ）A．B．C．D．3．为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（ ）A．0根B．1根C．2根D．5根4．下列命题是真命题的是（ ）A．五边形的内角和是720°B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD7．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）A．12B．7C．2D．148．在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝（2x+10）°，∠C的外角大小（x+40）°，则x的值等于（ ）A．15B．20C．30D．40二．填空题9．只用 的直尺和 进行的作图称为尺规作图．10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是 ．11．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）12．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，若BE＝7，CF＝3，则BF＝ ．13．如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，∠BAC＝28°，则∠B的度数是 °．14．如图，AD平分∠EAC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAD＝ ．三．解答题15．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．16．已知，△ABC的三边长为4，9，x．（1）求△ABC的周长的取值范围；（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．17．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求：（1）∠BAC的度数．（2）∠BAH的度数．18．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．解：因为CE∥AB（已知），所以∠BAD＝ （ ）．因为点D是边BC的中点，所以 ，在△ABD和△ECD中，，所以△ABD≌△ECD（ ），所以AD＝ED（ ）．19．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF＝AC，FD＝CD，试探究BE 与AC的位置关系．20．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．21．如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．22．如图，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）若∠BAO＝50°，试求出∠ACB的度数．（2）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的度数．（3）在（2）的条件下，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAC的度数．23．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．（1）如图1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度数；（2）如图1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度数；（3）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．求证：BF∥OD；（4）若∠F＝∠ABC＝40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．答案一．选择题1．解：根据三角形的三边关系，A、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；D、3+5＝8＜10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．2．解：选项中只有选项A是三角形，故具有稳定性的图形是三角形．故选：A．3．解：如图所示，根据三角形具有稳定性，所以至少还要在架子上钉上的木棒根数是2，故选：C．4．解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．5．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：D．6．解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C．7．解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，CB＝CE，∵CE＝5，AC＝7，∴CB＝5，DC＝7，∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．故选：A．8．解：∵∠C的外角＝∠A+∠B，∴x+40＝2x+10+x，解得x＝15．故选：A．二．填空题9．解：只用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图．故没有刻度的，圆规．10．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°，故100°．11．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．12．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝EC，∵BE＝7，CF＝3，∴BF+CE＝BE﹣FC＝7﹣3＝4，∴BF＝EC＝2，故2．13．解：∵△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，∴∠B＝∠D，AC＝AE，∠BAC＝∠BAD，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACE+∠AEC+∠BAC＝180°，∠BAC＝28°，∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠BAC）＝76°，∠BAD＝28°，∵∠D+∠CAD+∠ACE＝180°，∴∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠ACE＝48°，故答案为48．14．解：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝70°，∠C＝60°，∴∠EAC＝70°+60°＝130°，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAC＝65°，故答案是：65°．三．解答题15．解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，∴5﹣3＜a＜3+5，解得：2＜a＜8，故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3．16．解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x，∴9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，∴9+4+5＜△ABC的周长＜9+4+13，即：18＜△ABC的周长＜26；（2）∵△ABC的周长是偶数，由（1）结果得△ABC的周长可以是20，22或24，∴x的值为7，9或11．17．解：（1）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠ACD＝∠ACB＝35°，∵∠ADC＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；（2）由（1）知，∠BAC＝65°，∵AH⊥BC，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．18．解：因为CE∥AB（已知），所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．因为点D是边BC的中点，所以BD＝CD，在△ABD和△ECD中，所以△ABD≌△ECD（AAS），所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．故答案为∠E，两直线平行，内错角相等；∠BAD＝∠E，对顶角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的对应边相等．19．解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠FBD＝∠CAD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．20．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．21．证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC，BC＝EC，∴∠B＝∠BEC，∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．22．解：（1）如图1中，∵BC平分∠ABO，AC平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABO，∠BAC＝∠BAO，∵∠POM＝30°，∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣30°＝150°，∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝×150°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝180°﹣75°＝105°；（2）∠ACB的大小不变，理由如下：由（1）知：点A、B在运动的过程中，∠ACB＝105°；（3）由（2）可知，∠ACB＝105°，∠BAC+∠ABC＝75°，∵△ABC中有一个角是另一个角的2倍，∴∠ACB＝2∠BAC或∠ACB＝2∠ABC或∠ABC＝2∠BAC或∠BAC＝2∠ABC，∴∠BAC＝52.5°或22.5°或25°或50°．23．（1）解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠BCA＝130°，∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，∴∠OBD＝25°，∠OAC+∠OCA＝65°，∴∠AOC＝115°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝115°，∵∠ODC是△OBD的一个外角，∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝115°﹣25°＝90°．（2）解：∵∠ABC＝n°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣n°，∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，∴∠OBD＝n°，∠OAC+∠OCA＝90°﹣n°，∴∠AOC＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝90°+n°，∵∠ODC是△OBD的一个外角，∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝90°+n°﹣n°＝90°．（3）证明：由（2）得，∠BOD＝90°，∵BO平分∠ABC，BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE，∠ABO＝∠ABC，∴∠FBO＝∠ABE+∠ABC＝90°，由（2）得，∠BOD＝90°，∴∠FBO＝∠BOD，∴BF∥OD．（4）∵∠F＝∠ABC＝40°，∠FBO＝∠BOD＝90°，∴∠OBD＝∠OB'D'＝20°，∠FOB＝50°，∴∠ODB＝∠OD'B'＝70°，∠DOC＝180°50°﹣90°＝40°，、如图（1），∵D'B'∥FC，∴∠OD'B'＝∠D'OC＝70°，∴∠DOD'＝∠D'OC﹣∠DOC＝70°﹣40°＝30°，即α＝30°，如图（2），∵D'B'∥FC，∴∠OD'B'＝∠D'OF＝70°，∴α＝∠FOD'+∠FOB+∠DOB＝70°+50°+90°＝210°，∴旋转角α为30°或210°时，B'D'所在直线与FC平行．。

精品2014年⼋年级数学上册-三⾓形初步认识同步讲义+练习三⾓形初步认识第01课与三⾓形有关的线段知识点:三⾓形定义：组成的图形叫做三⾓形。

⽤符号“△”表⽰。

注意：三条线段必须①；②组成三⾓形的线段叫做三⾓形的，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的。

注意：三⾓形ABC 的顶点C 所对的边AB 可⽤c 表⽰,顶点B 所对的边AC 可⽤b 表⽰,顶点A 所对的边BC 可⽤a 表⽰.三⾓形三要素：、、。

三⾓形三边的不等关系：。

附加：公式：三⾓形的分类：(1)按⾓分类: 三⾓形、三⾓形、三⾓形。

(2)按边分类:三⾓形的⾼线：从三⾓形的⼀个向它的对边所在直线作，顶点和垂⾜之间的叫做三⾓形的⾼线，简称三⾓形的⾼.注意：⾼与垂线不同，⾼是线段，垂线是直线。

三⾓形的三条⾼，简称三⾓形的⼼。

三⾓形的中线:如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的钝⾓三⾓形直⾓三⾓形锐⾓三⾓形位置边BC 上的中线，表⽰为BD=DC 或BD=DC=21BC 或2BD=2DC=BC. 三⾓的三条中线，简称三⾓形的⼼。

注意：三⾓形的中线是线段。

三⾓形的⾓平分线:如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的⾓平分线,表⽰为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。

三⾓形三个⾓的平分线，简称三⾓形的⼼。

注意：三⾓形的⾓平分线是线段，⽽⾓的平分线是射线，是不⼀样的。

三⾓形稳定性(1)把三根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个三⾓形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个四边形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的⽊架上再钉⼀根⽊条，将它的⼀对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？例1.⽤⼀条长为18cm 的细绳围成⼀个等腰三⾓形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有⼀边长为4㎝的等腰三⾓形吗？为什么？例2.已知△ABC 的周长是24cm ，三边a 、b 、c 满⾜c+a=2b ，c-a=4cm ，求a 、b 、c 的长.三⾓形中线的性质：例3.⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.例4.如图，在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=900，CD是AB边上的⾼，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的⾯积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的⾯积；(4)作出△BCD的边BC边上的⾼DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。

第一单元 三角形的初步认识复习（2）1．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.如图，∠1=750，∠A=∠BCA,∠CBD=∠CDB,∠DCE=∠DEC, ∠EDF=∠EFD.则∠A 的度数为……………（ ）A. 150B. 200C .250 D. 300第2题 第3题 第5题 第6题 3．如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，能表示点到直线（或线段）的距离的线段（ ） A ．1条 B ．2条 C ． 3条 D ．5条4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简c b a c b a c b a c b a -+-+-----++，结果是 （ ） A 、0 B 、c b a 222++ C 、a 4 D 、c b 22-5. 如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）A 、 180°B 、 270°C 、 360°D 、 无法确定6、点P 是△ABC 内一点，连结BP 并延长交AC 于D ，连结PC ，则图中 ∠1、∠2、∠A 的大小关系是（ ）A 、∠A ＞∠2＞∠1B 、∠A ＞∠2＞∠1C 、∠2＞∠1＞∠AD 、∠1＞∠2＞∠A7、下列图形中，不具有稳定性的是（ ）.8．如图，一块三角形绿化园地，三个角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这三个喷水池占去的绿化园地（即阴影部分）的面积为（ ）A 、22R π B 、221R π2 D 不能确定第8题 第9题 第10题9.如图，以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积为（ ）。

(A) π (B) 2π (C) 3π (D) 4π10、如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）A 、22R π B 、24R π C 、2R π D 、不能确定 11. 如图 所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=500 ，则 ∠BPC 等于（ ）A 、90°B 、130°C 、270°D 、315°第11题 第12题 第13题A BCDP 12第7题A B C D E D C B A P 3P 2P 1C B A P 2P 1C B A P 1C BA12.如右图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB 于E 。

三角形的初步认识复习教案一、教学目标：1. 复习并巩固学生对三角形的基本概念、性质和分类的理解。

2. 提高学生运用三角形知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作精神。

二、教学内容：1. 三角形的基本概念：三角形的定义、三角形的组成。

2. 三角形的性质：三角形的内角和、三角形的边长关系。

3. 三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

4. 三角形的画法：如何准确地画出一个三角形。

5. 三角形在实际生活中的应用：举例说明三角形在现实生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的基本概念、性质和分类，以及三角形在实际生活中的应用。

2. 教学难点：三角形内角和、边长关系的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来复习三角形的相关知识。

2. 利用实物模型、图片等教学资源，帮助学生直观地理解三角形的性质和分类。

3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：详细讲解三角形的基本概念、性质和分类，并通过实物模型、图片等进行展示。

3. 练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。

5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的内角和、边长关系等关键知识点。

6. 作业布置：布置一些有关三角形应用的问题，让学生在课后思考和解决。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组讨论表现，评估学生的学习积极性。

2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估学生对三角形基本概念、性质和分类的掌握程度。

3. 课后作业评价：对学生的课后作业进行批改，了解学生对三角形在实际生活中应用的理解和运用能力。

要判定一个命题是否是真命题，往往需要从命题的条 件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）， 一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做证明．
全等三角形
• 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 • 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三
角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应 边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 • “全等”可用符号“≌”来表示。 全等三角形的性质：全等三 角形对应边相等，对应角相等。
四、三角形的三线
五、定义和命题
• 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句 子叫做该名称或术语的定义．
•
• 例： “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是
“
”的定义;
•
命题： 两直线平行，同位角相等．
条件 （题设）
结论 （结论）
现阶段命题可看作由题设（条件）和结论 两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知 事项推出的事项．
三角形全等的条件
• ① 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或 “SSS”）。
• ② 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形 全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
• ③ 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形 全等（简写成“角边角”或“ASA”）。
• 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等（简写成“角角边”或“AAS”）。
三角形的稳定性：当三角形三边长确定是，三角形的形状、 大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角 形特有的性质。
垂直平分线： 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

三角形的初步认识教案【篇一：三角形的初步认识复习教案】龙文教育学科老师个性化教案【篇二：《认识三角形》教学设计】《三角形的认识》教学设计【教学目标】1．联系实际和利用生活经验，通过观察、操作、测量等学习活动，认识三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，初步认识三角形的底和高，感悟三角形底和高相互依存的关系。

2．在认识三角形有关特征的活动中，体会认识多边形特征的基本方法，发展观察、比较、抽象、概括等思维能力。

3．体会三角形是日常生活中常见的图形，并在学习活动中进一步产生学习图形的兴趣和积极性。

【教学重难点】重点：认识三角形的一些最基本的特征，认识三角形的底和高。

难点：懂得底和高的对应关系，会画三角形指定边上的高。

【教学准备】方格纸、三角尺、小棒、练习纸等【教学过程】一、走进生活，导出课题谈话：出示三角板，老师手里拿的是什么？（三角尺）它是什么形状的呢？出示书上图：你能从这幅图中找到三角形吗？提问：生活中，你在哪些地方看到过三角形？（结合举例出示自行车图等）揭示：三角形在生活中的运用非常广泛。

今天这节课我们进一步研究三角形。

（板书课题：认识三角形）【设计意图：数学来源于生活。

三角形的稳定性决定了它在生活中的广泛应用。

结合身边熟悉的物品、结合生活中常见的例子，导入新课的学习，激发学生的兴趣，让学生产生进一步探究的欲望。

】二、动手操作，了解特征1.激趣：想动手做一个三角形吗？首先，我们要明确活动要求。

出示要求：（1）用你手中的工具，想办法做出一个三角形。

（2）小组成员比较所做的不同的三角形，看看有什么共同点。

2.操作：学生分组活动，教师巡视。

3.交流：指名某组代表上台利用实物投影介绍，别的小组补充。

（材料：小棒、三角尺、方格纸、点子图、白纸）4.感受围成提问：刚才有同学是用小棒摆三角形的，那么摆一个三角形至少要用几根小棒？出示开口和出头的两种摆法：这样行吗？不管是摆还是画三角形，都要注意三条边首尾相连。

三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。

用符号“△”表示。

三边：AB 、AC 、BC 。

有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。

三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。

【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。

2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。

两点之间，线段最短。

1、判断是否能组成三角形。

2、已知两边，求第三边取值范围。

两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。

3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。

4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。

高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。

ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。

符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。

3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

三角形全等的条件综合复习（3） 1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C3已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE4.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C5．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．6.如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

ADBCCDB AFE DC B A FEDCBA7.AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF8、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

求证：AF=DE 。

9.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

10.如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．11．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．FDCBAF E DC BACAAC B DEF12.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD .13.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证：证明：14．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。

（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。

5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。

(2)直角三角形两锐角互余。

(3)同位角相等。

(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。

9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。

三角形的初步认识复习教案一、教学目标：1. 让学生复习并巩固对三角形的定义、特征和分类的认识。

2. 培养学生运用三角形知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对几何图形的审美观念，培养空间想象力。

二、教学内容：1. 三角形的定义及特征2. 三角形的分类3. 三角形的性质4. 三角形的判定5. 三角形在实际中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的基本概念、性质和应用。

2. 教学难点：三角形分类的判断及应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角形的性质。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示三角形的特点。

3. 结合实际例子，让学生感受三角形在生活中的应用。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。

五、教学过程：1. 导入：通过复习平面图形的分类，引导学生回顾三角形的概念。

2. 新课导入：讲解三角形的基本特征，如三角形的边长、角度等。

3. 案例分析：分析不同类型的三角形，让学生掌握三角形的分类方法。

4. 性质讲解：讲解三角形的基本性质，如三角形的内角和、外角性质等。

5. 课堂练习：设计有关三角形性质的练习题，巩固所学知识。

6. 生活应用：结合实际例子，让学生探讨三角形在生活中的应用。

8. 课后作业：布置有关三角形练习题，提高学生的应用能力。

9. 教学反思：针对本节课的教学效果，进行自我反思，找出需要改进的地方。

10. 课后拓展：引导学生深入研究三角形，探索更多的性质和应用。

六、教学评价：1. 采用课堂问答、练习题和小组讨论等方式，评价学生对三角形基本概念、性质和应用的掌握程度。

2. 关注学生在解决问题时的思维过程，评价其空间想象能力和创新能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，全面评价学生的学习效果。

七、教学资源：1. 教学课件：通过多媒体课件，展示三角形的特点和性质。

2. 练习题库：为学生提供丰富的练习题，巩固所学知识。

3. 实际案例：收集生活中的三角形实例，让学生感受三角形的应用。

第一章 三角形一、细心选一选1.下列说法正确的是……………………………………………………………( ) A.周长相等的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.三个角对应相等的两个三角形全等 D.三条边对应相等的两个三角形全等2.下列各组线段能组成三角形的是……………………………………………( ) A.3cm ，3cm ，6cm B.7cm,4cm,5cm C.3cm,4cm,8cm D.4.2cm,2.8cm,7cm3.下列图形中，与已知图形全等的是………………………………………………( )4.如图，已知△ABC ≌△CDE,其中AB=CD,那么下列结论中， 不正确的是……………………… ( )A.AC=CEB.∠BAC=∠CDE C.∠ACB=∠ECD D.∠B=∠D5.下列条件中，不能判定三角形全等的是……………………………………( ) A.三条边对应相等 B.两边和一角对应相等 C.两角和其中一角的对边对应相等 D.两角和它们的夹边对应相等6. 如图，把图形沿BC 对折，点A 和点D 重合，那么图中共有 全等三角形…………………………………………( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对7.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB= A ′B ′，∠B=∠B ′要保证△ABC ≌△A ′B ′C ′，可补充的条件是…………………………………………………………………………( )A.∠B+∠A=900B.AC= A ′C ′C.BC=B ′C ′D. ∠A+∠A ′=9008.已知在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB= A ′B ′，∠B=∠B ′，补充下面一个条件，不能说明△ABC ≌△A ′B ′C ′的是………………………………………………………………( )A. BC=B ′C ′B. AC= A ′C ′C. ∠C=∠C ′D. ∠A=∠A ′(A) (B) (C)(D)第3题图ABCDE第4题ABDCE9.如图，已知AE=CF,BE=DF.要证△ABE ≌△CDF,还需添加的一个条件是………( ) A.∠BAC=∠ACD B.∠ABE=∠CDF C.∠DAC=∠BCA D.∠AEB=∠CFD10.如图AD 是△ABC 的角平分线，DE 是△ABD 的高，EF 是△ACD 的高，则…( ) A.∠B=∠C B.∠EDB=∠FDC C.∠ADE=∠ADF D. ∠ADB=∠ADC 11.如图AC 与BD 相交于点O ，已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形有………( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 12.如图,D 、E 分别是AB,AC 上一点，若∠B=∠C ，则在下列条件中，无法判定△ABE ≌△ACD 是………………………………( ) A.AD=AE B.AB=ACC.BE=CDD.∠AEB=∠ADC 二、专心填一填：13.如图，△ABC ≌△DEF,点B 和点E, 点A 和点D 是对应顶点， 则AB= ，CB= , ∠C= ,∠CAB= . 14.若已知两个三角形有两条边对应，则要视这两个三角形全等， 还需增加的条件可以是 或 .17.在△ABC 和△DEF 中,AB=4, ∠A=350, ∠B=700,DE=4, ∠D= , ∠E=700,根据 判定△ABC ≌△DEF.18.如图，在△ABC 和△DEF 中AB=DC(BC=DA(=⎧⎪⎨⎪⎩已知）已知）（）∴△ABC ≌△DEF( )19.如图∠B=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC ≌△DEF ，(1)若以“ASA ”为依据，需添加的条件是 ; (2)若以“SAS ”为依据，需添加的条件是 . 20.如图，△ABC 中，AB=AC=13cm ，AB 的垂直平分线交AB 于D, 交AC 于E,若△EBC 的周长为21cm,则BC= cm.A B C DF E第9题AA AAA 第10题A BCDO第11题ABCE第12题D第13题ABC DEF第19题B CAE CD第18题ABC DA BCE D第20题三、耐心答一答：23.(本题6分)如图，已知BD=CD ，∠1=∠2.说出△ABD ≌△ACD 的理由.轴对称单元试题一、填空题：1、轴对称是指____个图形的位置关系;轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形。

D CB A《三角形的初步认识》复习讲义知识点1：认识三角形。

1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的顶点：三个顶点。

3、三角形的边：组成三角形的三条线段。

4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。

三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。

【例1】（1）如图1，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：；（2）如图1，线段BC是△和△的边；（3）如图1，△ABD的3个内角是，三条边是。

【例2】如图2，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是，在△ACD中∠C所对的边是，在△ABD中边AD所对的角是，在△ACD中边AD所对的角是。

知识点2：三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm，5cm ② 8cm，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm，20cm ④ 5cm，5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。

【例4】一个三角形的三个内角分别为x，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________ DBA知识点4、三角形外角定理：1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD 中，如图，E 为AB 上一点，连结DE 、EC ，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念 1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

全等三角形的认识一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边． 如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴ 把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上.⑵ 有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角.思路导航知识互联网CBA B'A'题型一：全等三角形的概念和性质二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等2. 全等三角形的对应角相等3. 全等三角形的周长相等，面积相等【引例】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的度数.【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △_______DEF C △， 两个三角形的面积ABC S △_______DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图所示，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中正确结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（东城区期末检测）⑶ 已知下图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°（实验中学期中）c ba 72°58°50°ca α典题精练例题精讲FEC B A F G EDCBA全等三角形的判定方法：1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．5. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等：√ 不全等：×公理或推论（简写）三条边√ SSS 两边一角 两边夹角√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边 √ AAS 三角×特殊：直角三角形中，常用“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA例题精讲思路导航题型二：全等三角形的判定【引例】 已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________． 证明：∵BE CF =（ ） ∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____．在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（ ）∴ACB DFE ∠=∠（ ）∴AC DF ∥（ ）【例2】 如图，已知AB DC AC DB ==，．求证：12∠=∠．（东城区一模考试）2. 全等三角形的判定（二）——SAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △【例3】 已知:如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AF CD =，C BA典题精练思路导航典题精练FD BA A DBCO12ADF CBEAB ∥DE ，且AB DE =．求证：⑴ABC DEF △≌△；⑵CBF FEC =∠∠．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【例4】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．4. 全等三角形的判定（四）——HL作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA思路导航典题精练思路导航OF E DBA【例5】 已知：如图，DE AC BF AC AD BC DE BF ⊥⊥==，，，．求证：AB DC ∥．【例6】 ⑴ 小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块 ，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去（师大实验月测试题）⑵ 如图在ABD △和ACD △中，90C B ∠=∠=，要使ABD ACD △≌△，需增加的条件是 ． （写出其中一个答案即可）C B A③②①DCBA 典题精练典题精练FEDCBA题型三：全等三角形判定的应用【例7】 已知ABC △中，AB BC AC =≠，作与ABC △只有一条公共边，且与ABC △全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．题型二 全等三角形的判定 巩固练习【练习3】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．复习巩固DC BAFEBAC【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习【练习5】 如图所示，ABC △中，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO DCO ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC = 上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情形) .FE DCBAA B CDEO。

CABD第6题21AFED CB第一章 三角形的初步认识能力提升测试卷(一)一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来！1.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=21∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 2.如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则图中互余的角有( ) A 、2对； B 、3对； C 、4对； D 、5对； 3．下列说法错误的是（ ）A. 三角形三条中线交于三角形内一点；B. 三角形三条角平分线交于三角形内一点C. 三角形三条高交于三角形内一点；D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 4．如图,AC 与BD 相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等的三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对5.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B ，∠B=2∠DAE ，那么∠ACB 为（ ）A. 80°B. 72°C. 48°D. 36°6.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处 7. 如图，∠1=∠2，∠C=∠B ，结论中不正确的是（ ）A. △DAB ≌△DACB. △DEA ≌△DFAC. CD=DED. ∠AED=∠AFD8. 如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是（ ） A. 180° B.360° C.540° D.720°第4题第5题 ADEABCDNM第7题9．直线L ⊥线段AB 于点O ，且OA=OB ，点C 为直线L 上一点，且有CA=8cm ，则CB 的长度为( )A 、4cmB 、8cmC 、16cmD 、无法求出10．如图，点D 、E 分别在AC 、AB 上，已知AB=AC ，添加下列条件， 不能说明ΔABD ≌ΔACE 的是（ ）A 、∠B=∠CB 、AD=AEC 、∠BDC=∠CEBD 、BD=CE 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是将最简洁最正确的答案填在空格处！ 11. △ABC 中，AB=9，BC=2，周长是偶数，则AC= 。

2021-2022学年浙教版八年级数学上册《第1章三角形的初步认识》期末综合复习训练1（附答案）1．下列各图形中，具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，1B．2，3，6C．6，8，11D．1.5，2.5，4 3．在△ABC中，若∠A+∠B﹣∠C＝0，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（）A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°5．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若S△AEC＝6，S△DEC＝2，则S四边形BDEF＝（）A．B．6C．D．6．如图，△ABC的BC边上的高是（）A．BE B．AF C．CD D．CF7．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，AC＝8cm，则DE的长为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．1cm8．如图，已知∠ABC＝∠BAD，以下条件不能证明△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD9．如图△ABC中，AB＝21，AC＝20，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝．10．已知a、b、c为三角形三边的长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|＝．11．如图，将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是度．12．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠1+∠2＝°．13．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝80°，∠BAE＝120°，BC，DE相交于点F，则∠DFB的度数是．14．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是（填一个即可）．15．如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、BC，连接DE、DF、CE、CF，DF交CE于点G，已知AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．如果△DEG的面积为S1，△CFG的面积为S2，则S1﹣S2＝．16．如图，在△ABC中，∠A＝θ，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝．（用θ表示）17．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．18．已知在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C﹣∠A＝20°，求∠A的度数．19．如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数．20．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．21．如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）求证：AE＝CF．22．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．（1）求∠DCA的度数；（2）若∠A＝20°，求∠DF A的度数．参考答案1．解：只有三角形具有稳定性．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．2．解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；C、6+8＞11，能组成三角形，故此选项符合题意；D、1.5+2.5＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；故选：C．3．解：∴∠A+∠B﹣∠C＝0，∴∠C＝∠A+∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：A．4．解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，∴∠MBD＝，∠BDM＝，∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，故选：C．5．解：连接BE，设S四边形BDEF＝x，∵S△AEC＝6，S△DEC＝2，∴S△ACD＝6+2＝8，∵点D为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝8，S△BDE＝S△DEC＝2，∴S△AEF＝8﹣x，∴S△ACF＝8﹣x+6＝14﹣x，S△BCF＝x+2，S△BEF＝x﹣2，∵＝＝，∴＝，整理得10x＝44，解得x＝，∴S四边形BDEF＝，故选：D．6．解：△ABC的BC边上的高是AF，故选：B．7．解：∵AB＝3cm，AC＝8cm，∴BC＝5cm，∵△ABD≌△EBC，∴BE＝AB＝3cm，CB＝DB＝5cm，∴DE＝5﹣3＝2（cm），故选：C．8．解：A、当添加AC＝BD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SSA”不能证得△ABC ≌△BAD，故本选项符合题意；B、当添加∠C＝∠D时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；C、当添加∠CAB＝∠DBA时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；D、当添加BC＝AD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；故选：A．9．解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝1，故答案为：1．10．解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．11．解：由三角形的外角性质控可知，∠2＝30°+45°＝75°，∴∠1＝180°﹣∠2＝105°，故答案为：105．12．解：如图所示：由图可知△ACE与△ABD与△ACF全等，∴AB＝AC，∠1＝∠CAE＝∠ACF，∵∠CAE+∠DAC＝90°，∴∠1+∠DAC＝∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠2+∠ACF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，故答案为：45．13．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝×（120°﹣80°）＝20°，∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，∴∠DFB＝∠BAD＝20°，故答案为：20°．14．解：（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是AC＝BD；（2）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ABC＝∠BAD；（3）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠C＝∠D；（4）∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．故答案为：（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．15．解：∵AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．∴AF＝BE，∴AD＝AF＝7.5，在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴S△DAE＝S△CBE，∵S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，∴S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF＝+＝．故答案为．16．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推，∠A n＝∠A，∴∠A2020＝∠A＝．故答案为：．17．解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm2，∴S△ADC＝15cm2，∴×AE×CD＝15，∴×5×CD＝15，解得：CD＝6（cm）；（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，又∵AD为中线，∴AD＝BC＝BD，∴∠ADE＝2∠B＝80°，又∵AE⊥BC，∴∠DAE＝10°．18．解：∵∠C﹣∠A＝20°，∴∠C＝20°+∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝2∠A，∴∠A+2∠A+20°+∠A＝180°，∴∠A＝40°．19．解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝50°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°．20．解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．21．（1）解：∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠D+∠DCF＝70°；（2）证明：∵△ABF≌△CDE，∴∠AFB＝∠CED，AF＝CE，在△AFE和△CEF中，，∴△AFE≌△CEF（SAS），∴AE＝CF．22．（1）证明：∵△ABC≌△DEC，∴CB＝CE，∠DCE＝∠ACB，∴∠CEB＝∠B＝65°，在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，又∠DCE＝∠ACB，∴∠DCA＝∠ECB＝50°；（2）解：∵△ABC≌△DEC，∴∠D＝∠A＝20°，在△DFC中，∠DF A＝∠DCA+∠D＝50°+20°＝70°．。