中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)

量子力学理论处理问题的思路① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点；④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤ 联系实际问题，应用所得结果。

有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动量算符ˆp和坐标算符ˆx 之间的关系是ˆx p i x∂=-∂，在动量表象中它们之间的关系为ˆˆx x i p ∂=∂，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。

这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。

所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。

第一部分 薛定谔方程与波函数在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。

所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2(,)r t ψ代表粒子的几率密度。

1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为：⑴有限性－在全空间找到粒子的几率2(,)r t d ψτ⎰取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的；粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2(,)1r t d ϕτ∞≠⎰，我们找到一个比例系数使得2(,)1Cr t d ϕτ∞=⎰，得到归(,)(,)r t r t ψ=⑵ 单值性－(,)r t ψ是单值的；（粒子在空间某位置出现的几率是一定的）⑶ 连续性－(,)r t ψ与(,)r t ψ∇是连续的。

（根据体系所处的势场()V r 的性质决定的）？注意：有很多题目间接的考到波函数的性质，比如说连续性，当求解一个粒子处于势阱中的波函数时往往会利用波函数及其微商在边界的连续性！具体的例子我们会在以后薛定谔方程这一部分中讲解。

2. 态叠加原理 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态则它们的线性叠加1122c c ψψψ=+ （1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。

即 一般情况下，一个体系的波函数可能是n 个本征波函数的叠加 n nnc ψψ=∑，根据波函数的归一性有221nnC c=∑(C 为归一化常数)，体系处于每个态的可能几率为22nnnc c∑。

此处为一个常考点，主要考查的方式是粒子处于某个态的几率、具有某个能量的几率、能量的平均值等等。

例1（92年） 在0t =时，氢原子的波函数为100210211211(,0))r ϕϕϕ-=+++ 其中下标分别是量子数,,n l m 的值，忽略自旋和辐射跃迁。

① 求体系的平均能量；② 在任意t 时刻体系处于1l =，1m =的态的几率是多少？ ③ 在任意t 时刻体系处于0m =的态的几率是多少？解答: 氢原子定态能量为222s n e E an =-，1,2,n=①222221211]40e E E E a =+++=-② 在任意t 时刻体系处于1l =，1m =的态的几率是15 ③ 在任意t 时刻体系处于0m =的态的几率是12例2（91年、00年、02年） 一质量为μ的粒子在0到a 的一维无限深势阱中运动，已知0t =时，粒子处于波函数(,0)(1cos )sinxxx t aaππψ==+所描写的状态中，（i ）粒子处于基态的几率是多少？（ii ）测得能量的平均值是多少？（iii ）(,0)x t ψ=是否为定态波函数？（iv ）t 时刻粒子的波函数(,)x t ψ，此时粒子的能量平均值是多少？ 解答：先进行归一化，设归一化系数为A ，则有220(,0)1aA x t dx ψ==⎰，求得A =所以初始时刻的波函数为12(,0)sin cos )()()x x x x t a a ax x πππψ==+=其中()n x ψ是一维无限深势阱中粒子的能量本征函数。

45=，处于第一激发态的几率为15，测得的能量平均值22122414555E E E a πμ=+=，其中22222n n E a πμ=为处于一维无限深势阱中粒子的能量本征值。

其实，这个知识点比较简单，但几乎每年都会涉及到，只是跟其他的知识点结合起来考察！3.几率密度这也是一个常考点，而且有时候还跟算符联系在一起考查！ 定义：在t 时刻在r 点周围单位体积内粒子出现的几率为*(,)(,)(,)r t r t r t ρψψ=与此相对应的算符为密度算符()()()t t t ρψψ=。

注意：这里的(,)r t ψ和()t ψ都是归一化的量子态！一般单独考查几率密度的题目不多，大都是跟其他的知识点相结合起来。

下面我们分别来看看几率密度和密度算符随时间演化的规律： ⑴ 将几率密度*(,)(,)(,)r t r t r t ρψψ=两边求导得**t t tρψψψψ∂∂∂=+∂∂∂， 再利用薛定谔方程21()2i V r t iψψψ∂=∇+∂，及*2*1()2i V r t i ψψψ∂=-∇-∂（注意()V r 是实数） 将这两式代入上式得，*22***()()22i it ρψψψψψψψψμμ∂=∇-∇=∇⋅∇-∇∂ 再令 **()2iJ ψψψψμ=-∇⋅∇-∇，则上式可写为0J tρ∂+∇⋅=∂，此处J 就是几率流密度矢量。

此处也就是08年第一题刚刚考查过的知识点！ 此外08年第二试题也跟几率密度有关，题目如下：例3. 一维运动的粒子受到固定力的作用，哈密顿量为2H pfx μ=-，对于动量空间的几率密度(,)p t ρ，导出tρ∂∂与p ρ∂∂的关系，并加以解释。

【分析】本题目实际上主要考察的是不同表象下的算符变换，在量子力学中最容易作比较的两个表象就是坐标表象和动量表象，实际上不加任何说明的情况下，我们都是在坐标表象中处理问题，就像经典力学中在地球这个参考系中研究物体运动情况是一样的。

所以我们解答这样的问题时，要把握这么一点“比较”，我们比较熟悉粒子在坐标表象下的运动规律，那么在动量表象下研究粒子运动规律的方法跟在坐标表象下的方法类似，我们可以进行类比， 我们知道在坐标表象下，（只看一维情况）ˆxx =， ˆp i x∂=-∂，2(,)[](,)2p i x t fx x t t ψψμ∂=-∂ 动量表象下，ˆx i p∂=∂，ˆpp =，2(,)[](,)2p i p t i f p t t p ϕϕμ∂∂=-∂∂ 根据几率密度定义*(,)(,)(,)p t p t p t ρϕϕ=，则**t t tρϕϕϕϕ∂∂∂=+∂∂∂ 再利用动量表象下的薛定谔方程，2(,)()(,)2ip p t f p t t p ϕϕμ∂∂=--∂∂和2**(,)()(,)2ip p t f p t t pϕϕμ∂∂=-∂∂ 代入上式，得***()f f f f t p p p pρϕϕϕϕρϕϕ∂∂∂∂∂=--=-=-∂∂∂∂∂⑵ 再看密度算符随时间的演化规律 将密度算符()()()t t t ρψψ=两边求导，有()()()()()()()()()1[,()]d t d t d t t t dt dt dt H Ht t t t i i H t iψψρψψψψψψρ=+=+-= 从这个关系式可以看出，如果密度算符跟哈密顿量对易的话则为一守恒量。

除此之外密度算符还有个作用，就是任意力学量F 的平均值为()()F tr F tr F ρρ== 可以证明：设有任意本征态n()()()()()()()nnF t F t t n n F t n F t t n tr F ψψψψψψρ====∑∑()()()()()()()nnF t F t t F n n t n t t F n tr F ψψψψψψρ====∑∑其实针对密度算符也曾经考过，见04年第三题：设归一化的状态波函数ψ满足薛定谔方程ˆti Hψψ∂=，定义密度算符（矩阵）为 ρψψ=。

1.证明任意力学量ˆF在态ψ中的平均值可表示为()tr F ρ； 2.求出ρ的本征值； 3.导出ρ随时间演化的方程。

二．薛定谔方程（基本假设IV ）1. 体系的波函数(,)r t ψ满足薛定谔方程22(,)[(,)](,)2i r t V r t r t t ψψμ∂=-∇+∂ 或 ˆ(,)(,)i r t H r t t ψψ∂=∂，其中22ˆ(,)2H V r t μ=-∇+是粒子的哈密顿算符，它由动能算符22ˆ2Tμ=-∇与势能算符(,)V r t 组成，如果势能()V V r =不含t ，则(,)()iEtr t r e ψψ-=，此时()r ψ满足的方程变为22[()]()()2V r r E r ψψμ-∇+=或 ˆ()()Hr E r ψψ=，这一偏微分方程称为定态薛定谔方程，E 是哈密顿算符ˆH的 本征值，代表粒子的能量，此时的波函数就称为定态波函数，这里要明确定态的含义就是能量具有确定值的状态，所以就很清楚为什么在例1中那个波函数不是定态了，因为粒子的能量不具有确定值！这里再总结一下定态的特征： ① 能量具有确定值；② 定态波函数随时间的变化由相因子iEte-给出，其中E 为定态能量；③ 几率密度和几率流密度矢量不随时间变化；④ 一切力学量（不显含时间）的平均值和测量几率分布都不随时间变化。