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因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所
以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。
弹性力学 空间问题的基本理论 5
一 平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理， y z zy
zx x z xy yx
空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量 (d xd yd z )。
四、几何方程及物理方程
徐芝纶院士(1911-1999)
五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
四 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x x
xy
v u x y
v y y
zx
u w z x
空间问题的基本理论
弹性力学 空间问题的基本理论 10
二 物体内任一点的应力状态 2. 求 p (σ n , n ) 将 p ( px , p y , pz ) 向法向 n投影，即得
σ n lp x mpy np z
l 2σ x m2σ y n2σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
w z z
(a)
yz
w v y z
26
弹性力学
四 几何方程及物理方程 从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系： ⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
弹性力学
空间问题的基本理论
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四 几何方程及物理方程 ⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
弹性力学
空间问题的基本理论
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三 主应力 最大与最小的应力
式(g)中的各式，左边是不随坐标选择
而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，
但其和也应与坐标选择无关。 所以分别称 Θ1,Θ2 ,Θ3 为第一、二、
三应力不变量。这些不变量常用于塑性力 学之中。
弹性力学 空间问题的基本理论 22
三 主应力 最大与最小的应力
一 平衡微分方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。
空间问题的基本方程，边界条件，以
及按位移求解和按应力求解的方法，都是
与平面问题相似的。因此，许多问题可以
从平面问题推广得到。
弹性力学
空间问题的基本理论
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一 平衡微分方程
取出微小的平行六面体， d v d x d y d z，
弹性力学
空间问题的基本理论
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二 物体内任一点的应力状态 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量：
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量：
p (σ n , n ).
弹性力学 空间问题的基本理论 9
二 物体内任一点的应力状态
1. 求 p ( px , p y , p z )
由形变求位移，要通过积分，会出现待定的 函数。若 x yz 0 ( x, y , z )，还存在对应的位 移分量，为：
u u0 y z z y,
( x, y, z; u, v, w). (b)
u0 , v0 , w0 --沿x , y , z 向的刚体平移；
x , y , z --绕x , y , z轴的刚体转动。
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1.
2 2 2
(b)
结论：式(a) , (b)是求主应力及其方 向余弦的方程。
弹性力学 空间问题的基本理论 15
三 主应力 最大与最小的应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
代入 p x , p y , p z , 得到：
弹性力学 空间问题的基本理论 14
三 主应力 最大与最小的应力
lσ x m yx n zx lσ , mσ y n zy l xy mσ , nσ z l xz m yz nσ .
(a)
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
弹性力学 空间问题的基本理论 30
四 几何方程及物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式： ⑴ 应变用应力表示，用于按应力求解方法：
弹性力学 空间问题的基本理论 16
三 主应力 最大与最小的应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ
zx zy 0,
展开，即得求主应力的方程,
σ (σ x σ y σ z )σ (σ yσ z σ zσ x σ xσ y )σ
1 x (σ x σ y σ z ), E
yz
弹性力学
2(1 ) yz , E
空间问题的基本理论
( x ,y ,z ).
(e)
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四 几何方程及物理方程 ⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E x ( x ), 1 1 2
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
.
(e)
再求出 m1 及 n1 。
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
σ1 ,σ 2 ,σ 3 （证明见书上）。
弹性力学 空间问题的基本理论 19
三 主应力 最大与最小的应力 5.应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 σ1 ,σ 2 ,σ 3 ， 则式(c)也可以用根式方程表示为，
取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的力平衡条件可得
px l x m xy n zx p y m y n zy l xy pz n z l xz m yz
弹性力学
空间问题的基本理论
6
第七章
内容提要
空间问题的基本理论
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力
四、几何方程及物理方程
徐芝纶院士(1911-1999)
五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直 角坐标的应力分量 σ x … yz …，来求出斜 面(法线为 n ）上的应力。
四、几何方程及物理方程
徐芝纶院士(1911-1999)
五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
三 主应力 最大与最小的应力 1.假设 n 面(l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0 , p σ n σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
p x l , p y m , p z n .
考虑其平衡条件:
F 0, F 0, F 0; M 0,
x
y
z
x
M M
y
0,
z
0.
空间问题的基本理论 4
弹性力学
一 平衡微分方程
由x 轴向投影力的平衡微分方程可得
x yx zx fx 0 y z x y zy xy fy 0 z x y xz yz z fz 0 x y z
由 得
弹性力学
2 2 2 2 p 2 px p2 p σ y z n n,
2 2 2 2 2 n px py pz σn .
(c)
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空间问题 在 sσ 上的应力边界条件 设在 sσ 边界上，给定了面力分量 f x , f y , f z , 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。斜面应力分量 ( p x , p y , pz ) 应 代之为面力分量 ( f x , f y , f z ) ，从而得出空间 问题的应力边界条件:
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第七章 空间问题的基本理论
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第七章
内容提要
空间问题的基本理论
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力
四、几何方程及物理方程
徐芝纶院士(1911-1999)
五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
(l x m xy n zx ) s f x (m y n zy l xy ) s f y (n z l xz m yz ) s f z
弹性力学 空间问题的基本理论 12
第七章
内容提要
空间问题的基本理论
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力
σ1 σ 3 . (5) 最大和最小切应力为 2
设 σ1 σ 2 σ3
，作用于通过中间
主应力、并且“平分最大和最小正应
力的夹角”的平面上。
弹性力学 空间问题的基本理论 24
第七章
内容提要
空间问题的基本理论
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 (σ y σ1 ) zy xy 0. l1 l1
