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弹性力学-02平面问题的基本理论 (2)

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平面问题的基本理论

平面问题的基本理论

平⾯问题的基本理论弹性⼒学⽹上辅导3平⾯问题的基本理论⼀、两类平⾯问题1.平⾯应⼒问题。

这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板,体⼒、⾯⼒和约束都只有xy 平⾯内的量，都不沿Z向变化；并且⾯⼒和约束只作⽤于板边，在板⾯上没有任何⾯⼒和约束的作⽤。

平⾯应⼒问题特征是：⑴由于板⾯上⽆⾯⼒和约束作⽤，以及薄板很薄，可以得出（σz，τzx和τxy）=0（在平⾯域A内）。

因此，只有σx，σy，τxy三个平⾯内的应⼒分量。

⑵由于物体形状和外⼒、约束沿z向均不变化，因此应⼒分量只是X，y两变量的函数。

以后还可从物理⽅程得出，应变分量也只是X，y的函数；⽽从⼏何⽅程积分求位移可见，位移与Z有关。

归纳起来讲，所谓平⾯应⼒问题，就是只有平⾯应⼒分量（σx，σy和τxy）存在，且仅为X，y的函数的弹性⼒学问题。

例如，厚度较薄的浅梁和深梁，受上部荷载及⾃重的墙，以及有分缝的重⼒坝等，都属于平⾯应⼒问题，凡是符合上述这两点的问题，均属于平⾯应⼒问题。

2.平⾯应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截⾯的很长柱体，体⼒、⾯⼒和约束条件与平⾯应⼒问题相似，只有xy平⾯内的体⼒、⾯⼒和约束的作⽤，且都不沿z向变化。

这个问题可以简化为平⾯应变问题。

平⾯应变问题特征是：⑴假想柱体为⽆限长时，则任⼀截⾯（z⾯）都是对称⾯，于是ω=0，只有平⾯位移分量u和v存在，因此，此问题可称为平⾯位移问题；同样由于对称性，εz =0和γzx，γzy=0（相应的τzx，和τzy=0），只有平⾯应变分量εx ，εy, τxy存在，所以此问题⼜称为平⾯应变问题。

⑵由于截⾯形状、体⼒、⾯⼒及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。

由此可见，所谓平⾯应变问题，就是只有平⾯应变分量（εz ，εy和τxy，）存在，且仅为x，y的函数的弹性⼒学问题。

进⽽可认为，凡是符合这两点的问题，也都属于平⾯应变问题。

⼆、平衡微分⽅程平衡微分⽅程表⽰区域内任⼀点（x，y）的微分体的平衡条件。

弹性力学-2-平面问题的基本理论

弹性力学-2-平面问题的基本理论

2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。

弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)

弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4

弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论

弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程

平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程

弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)

弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件：
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角
的余玄为l，与y轴正向夹角
的余玄为m。
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x
y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797～1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
因此，由 中第一式：
最后得到：
由 中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
应力调和方程 代入
得到：
简写为：
常体力情况下的平面问题
常体力情况下的平面问题需要满足：
1.艾里应力函数表示的相容方程：
2.边界条件
3.位移单值条件
弹性力学第二章平面问题的基本理论

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

第2章 平面问题的基本理论

第2章 平面问题的基本理论
u = u ( x, y ) ,v = v ( x, y )
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。

弹性力学简明教程(第四版)第二章课后习题答案

弹性力学简明教程(第四版)第二章课后习题答案

所以
0
g y h1
0
s
gh1
代入公式（2-15）得 ①在主要边界上 x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：
x x 0 g ( y h1 ), xy x 0 0; x x b g ( y h1 ), xy x b 0;
第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）
满足
2 2 xy xy 左 2 2 x y 12q. 3 12q. 3 0 右 y lh lh x
应力分量不满足相容方程。 故，该分量组分量不是图示问题的解答。 2-16：设已求得一点处的应力分量，试求 1 , 2 ,
第二章：平面问题的基本理论
2-8： 在图 2-16 中， 试导出无面力作用时 AB 边界上的 x , y , xy 之间的关系式。 解答：由题可得：
l cos , m cos 90 sin f x AB 0, f y AB 0
将以上条件代入公式（2-15） ，得：
⑵图 2-18 ①上下主要边界 y=-h/2，y=h/2 上，应精确满足公式（2-15）
l
y h 2 h y 2
m
-1 1
f x (s)
0 - q1
f y (s)
0 0
q
0
(y)y-h/2 q， (yx)y-h/2 0， (y)yh/2 0， (yx)yh/2 q 1
3q xy xy 3 . 2q 3 A 2 lh lh
得：
根据边界条件

y
y h / 2
0
q x A . 2 l
得
故

02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论

02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论

二、弹性力学平面问题
弹性力学平面问题的特点有两个： （ 1） 、从几何尺寸的角度看，物体一个方向的尺寸，较之其它两个方向的尺 寸要大得多，或小得多。 （ 2） 、从受力分析的角度看，物体所受的体力分量和面力分量，以及由此产 生的应力分量、应变分量和位移分量，都与某一个坐标轴（例如 z 轴）无关。 有 两 种 典 型 情 况 ， 分 别 是 平 面 应 力 问 题 （ pla ne s tre ss pr obl e m ） 和 平 面 应 变 问 题 （ pla ne stra i n pr obl e m ） 。分别讨论。 1、 平 面 应 力 问 题 几 何 尺 寸 ： 物 体 是 很 薄 的 等 厚 度 平 板 ， 沿 z 方 向 的 厚 度 为 t； 沿 x 方 向 和 y 方 向的尺寸，远大于厚度 t。 坐 标 系 ： 以 薄 板 的 中 面 为 xoy 面 ， z 轴 垂 直 于 xoy 面 。 受力特点：体力作用于板内，平行于板面且不沿厚度变化， （ X、Y） ，沿厚 度均匀分布。 面力作用于板边，平行于板面且不沿厚度变化， （ X 、Y ） ，沿厚 度均匀分布。
σ x = σ x ( x, y ) ， 则 在 c d 面 上 ， 由 于 长 度 增 加 了 dx ， 则 c d 面 上 的 正 应 力 分 量 应 随
之 变 化 。应 力 分 量 的 这 种 变 化 可 用 泰 勒 级 数 展 开 求 得 。实 际 上 ，在 c d 面 上 ，我 们 有
σ x ( x + dx, y ) = σ x ( x, y ) +
１１
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弹性力学-第二章

弹性力学-第二章

(a)
(b)
y
o
z
a
b
x
(c) 刚性槽
2.平面问题的应力边界条件 设在S 部分边界上给定了面力分量 f x ( s) 和 f y ( s) ， 则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力 与面力之间的关系式。
0 o y P y
tyx txy
x
B
y
fx
A
x
P
x
fy
fx
n
fy
f
斜面上的应力
由式 (2-3)
x=-b为负x 面
l cos n, x cos180 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xb f x , (t xy ) x b f y
n
b a x
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
应力边界条件的两种表达式： （1）公式写法 公式写法通常只用于 边界为非坐标面时
x=a为正x 面
l cos n, x cos 0 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xa f x , (t xy ) xa f y
b a x
n
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
当边界面为坐标面时
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
( 2) 斜边 y x tan
l cos n, x cos 90 sin
m cos n, y cos

弹性力学平面问题总结

弹性力学平面问题总结

P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

第二章平面问题的基本理论

第二章平面问题的基本理论

第二章平面问题的基本理论两类平面问题平面问题的基本方程平面问题的边界条件圣维南原理两种求解途径1． 两类平面问题的基本概念一般情况下，弹性力学问题都是空间问题，但是，当弹性体具有某种特殊形状，受有某种特殊的外力时，空间问题可以简化为平面问题，即弹性体的几何参数和所受的外力只是二维坐标（例如x ，y ）的函数（与z 无关）；只需要确定oxy 平面内的应力、应变和位移分量（且只是x 、y 的函数），其它分量或不存在、或可用oxy 平面内的分量表示出来；所得基本方程也都是二维的。

平面问题分两种情况，平面应力问题和平面应变问题。

这两类平面问题的基本特征见表2-1。

图2-1图2-2综上所述，无论是平面应力问题，还是平面应变问题，它们所具有的独立未知量是相同的，3个应力分量（xy t x τσσ,,）、3个应变分量（xy y x γεε,,）、2个位移分量（v u ,），并且都是x ，y 的函数，与z 无关。

2. 平面问题的基本方程解答弹性力学问题必须从静力学、几何学和物理学三个方面考虑，建立其基本方程。

（1）平衡微分方程 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。

得到平衡微分方程。

,0=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂Y yxX y x y xy yxx σστσ. (2-1)（2）几何方程三个应变分量与两个位移分量之间的关系。

x v y u yv xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε,,. (2-2)注意：① 从几何方程（2-2）可以看到，三个应变分量由两个位移分量表示，这说明三个应变分量之间要满足一定的协调关系，不能任意选取。

这个协调关系称为相容方程：.22222y x x y xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε (2-3)② 对按应力求解弹性力学问题来说，由于两个平衡微分方程中含有三个应力分量，所以相容方程（2-3）是必须满足的基本方程之一。

否则，就不能由所给出的应力求出连续的位移。

第2章 平面问题的基本理论汇总

第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
y yx
x x (x, y)
y y (x, y)
xy yx xy (x, y)
x xy
y
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
x
yx
xy
y
x
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
无限长等直柱形体：一个 方向的尺寸比另两个方向 的尺寸大得多，且沿纵向 几何形状和尺寸不变化。
（3）若AB面为物体的边界S，则 px f x py f y
l( x )s m( yx )s fx （2-18）—— 平面问题的应力边界条件 m( y )s l( xy )s f y
2. 一点的主应力与应力主向
O
y
x
（1）主应力
若某一斜面上 N 0 ，则该斜面上的正
应力 N 称为该点一个主应力 ；
如图选取坐标系，以板的中面
为xy 平面，垂直于中面的任一直线
b
为 z 轴。由于板面上不受力，有
x
z
t
z z t 0 因板很薄，且外力
zx
2 z t
2
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的
zy z t 0 各点都有：
z 0
zx 0 zy 0
y
a
y
2
由剪应力互等定理，有 zx xz 0 zy yz 0
（掌握这些假定的含义及作用）
（1）两类平面问题：
平面应力问题
几何特征 受力特征 应力特征
x , y , xy yx
几何特征; 平面应变问题 受力特征;
应变特征。
x , y , xy yx
x
z
b
t
y
y
a
(
x
,
y
,
，
xy
z
0, xz
yz
0)
水
滚
坝
柱
( x , y , xy , z 0, xz yz 0)
yx
P dx x dy ds
A px
当 N 0时，有
px l
p
y
m
N p
l x m yx l m y l xy m
y
xy N
B py
N pN
px l x m yx
求解得： m x
l
yx
m yx l y
py m y l xy
N lpx mpy
第二章 平面问题的基本理论
要点 —— 建立平面问题的基本方程 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；
变形协调方程；边界条件的描述；方程 的求解方法等
主要内容
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 §2-2 平衡微分方程 §2-3 平面问题中一点的应力状态 §2-4 几何方程 刚体位移 §2-5 物理方程 §2-6 边界条件 §2-7 圣维南原理及其应用 §2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程 §2-10 常体力情况下的简化 应力函数
N
1 4
1 2
l
2
2
(
2
1)
O
2
1
P
dy
dx ds
N
y
B
显然，当
1 l 2 0(l 2
1) 2
时，τN为最大、最小值：
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
前面内容回顾与小结：
基本假定： （1） 连续性假定； （2） 线弹性假定； （3） 均匀性假定； （4） 各向同性假定； （5）小变形假定。
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0)
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y ；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力 问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
两类平面问题：
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
N lpy mpx
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（2-7）
—— 平面应力状态主应力的计算公式
由式（2-7）易得：
I 1 2 x y —— 平面应力状态应力第一不变量
（2）应力主向
主应力 所在的平面 —— 称为主平面；
m yx l y
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2 y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
PA的正应变：
O
x
dx
u x
PB的正应变：
dx
sec
dx
主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
设σ1 与 x 轴的夹角为α1， σ1与坐标轴正向的 方向余弦为 l1、m1，则
m x
l
yx
tan
1
sin 1 cos1
cos(90 1) cos1
m1 l1
1 x xy
(或 xy ) 1 y
设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、
水坝
滚柱
(2) 外力特征
外力（体力、面力）方向平行于横截
面，大小沿纵向长度不变化，且面力只作
用于柱体的侧面。
(3) 变形特征
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则任一横截面均为对称面，u, x ,L x ,L
沿 z方向都不变化，仅为 x，y 的函数。
ydx 1 ( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 f ydx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
y
y
xy
x
fy
0
x
平面问题的平衡微分方程：
O
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
fx
x
x
x
dx
fy
C
xy
xy
因为任一横截面均为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y) y y (x, y) —— 平面应变问题
xy yx xy (x, y)
水坝
注： (1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
MD 0
( xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
xy
y
yx
dy
y
P
x xy D B
yx dy
1ydx 2
yxA
fx
x
x
x
dx
fy
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
(
yx
yx
y
dy)dx 1 dy 2
yx
dx
1
dy 2
0
整理得：
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
当 dx 0, dy 0 时，有 xy yx —— 剪应力互等定理
x
dx
y
y
y
dy
说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
—— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
（2）对于平面应变问题，z方向自成平衡， x、y方向的 平衡方程相同，故上述方程两类平面问题均适用；
（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、 石料、混凝土等）；
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两 互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
pN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
N l 21 m2 2
l 2 (1 2 ) 2
最大、最小剪应力：
由 N lm( 2 1)
l 2 m2 1 m (1 l 2 )
N l 1 l 2 ( 2 1) N l 2 l 4 ( 2 1)
最大、最小剪应力
由 N lm( 2 1)
l 2 m2 1 m (1 l 2 )
N l 1 l 2 ( 2 1) N l 2 l 4 ( 2 1)
m2，则
tan 2
sin 2 cos2
cos(90 2 ) cos2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
应力主向的计算公式：
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2
y
（2-8）
由 1 2 x y 得