人教版数学高二学案2.3数学归纳法

2.3 数学归纳法(学案）学习目标：1、知识目标：理解数学归纳法原理，掌握用数学归纳法在证明与正整数n 有关的数学命题的方法和步骤。

2、能力目标：培养学生归纳、推理的能力；培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

3、情感态度价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力和勇于探索的科学精神。

学习重点：了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。

学习难点：对数学归纳法原理的理解及在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

学法指导：1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画；再针对预习案二次阅读并回答；2.若预习完可对预习自测部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【探究案】探究一：归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，这两者如何区分?问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？{}?,,,,,1,2432111===++n a a n n a a a a a a a n n 由此归纳通项公式求：已知数列问题完全归纳法：不完全归纳法：探究二：多米诺骨牌游戏跟踪练习1 用数学归纳法证明：.{}都成立。

n 对一切.1)d (n 那么d,为是一个等差数列，公差如 1.N a a a 1n n +∈-+=果证明：2)127531.2n n =-++++（证明：()1114.313.211.21.3++=++++n n n n证明：121.+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221121.+-+k k D2.已知f(n)=n 1+ 11+n +21+n +…+21n ，则下列说法正确的是 .①f(n)中共有n 项，当n=2时，f(2)=21+31②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= 21+31+41 ③f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，f(2)=21+31 ④f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，f(2)=21+31+41，左端增加的项数是到第二步证明从且用数学归纳法证明："1"),1(12131211.3+>∈<-+⋅⋅⋅++++k k n N n n n 12.-k A k B 2. 12.-k C 12.+k D4、用数学归纳法证明：12)12)(12(1751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 5. 用数学归纳法证明：整除。

教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用：数学归纳法是数列知识的深入与拓展，是证明与正整数有关问题的有力工具，是高中数学的一种重要证明方法。

通过学习，能提高学生的抽象思维能力，培养学生科学探索的创新精神。

2、教学目标1）知识与技能：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学问题；进一步提高学生的猜想归纳能力和创新能力，体会类比、归纳的数学思想。

2）过程与方法：创设积极思考、大胆质疑的课堂情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，通过合作探究，体会从猜想到证明的数学方法。

3）情感态度价值观：通过对数学归纳法的学习，感受到数学来源于生活而又高于生活，养成勤于思考、善于观察的学习习惯。

3、教学重难点1）教学重点：对数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法步骤的掌握。

2）教学难点：数学归纳法中对递推思想的理解。

二、学情分析1、学生的知识与能力储备：作为高二的学生已经学习了数列与推理证明，基本掌握了归纳推理，具备了一定的观察、归纳、猜想的能力。

2、学生可能遇到的困难：（1）学生初学时容易忽视归纳奠基的验证。

（2）学生难以理解第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明，以及如何利用归纳假设证明。

三、教法分析：新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。

结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。

四、教学过程1、 创设情境情境一：：数列{}n a ，已知11=a ，n n n a a a +=+11（⋅⋅⋅=3,2,1n ），试求出4,32,,a a a 并求出{}n a 的通项。

生：回答并归纳通项na n 1= 师：根据前四项可以归纳结果，它对后续的项是否成立则需要证明，当n 比较小时可以逐一验证，当n 比较大或者证明n 取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，我们需要另辟心径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。

2.3 数学归纳法问题导学一、用数学归纳法证明等式 活动与探究1(1)用数学归纳法证明对任何正整数n 有 13＋115＋135＋163＋…＋14n 2－1＝n 2n ＋1． (2)用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 迁移与应用1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．12n ＋1B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋22．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24(n ∈N *)． 名师点津应用数学归纳法的两个要点：(1)第一步验证是证明的基础，第二步递推是证明的关键，有一无二是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，递推就失去了基础，结论同样不可靠．即二者缺一不可． (2)在推证当n ＝k ＋1时命题也成立时，必须使用n ＝k 时的结论(即归纳假设)，否则就不是数学归纳法．二、用数学归纳法证明不等式 活动与探究2(1)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n ＞n (其中n ∈N *，n ＞1)． (2)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 迁移与应用1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N *)．名师点津运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，(1)中在第②步的证明过程中，运用了两种方法，方法1是利用了比较法，而方法2则是利用了放缩法．在实际证明中要结合不等式的具体情况灵活选用．三、用数学归纳法证明整除问题 活动与探究3用数学归纳法证明f (n )＝3×52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除．迁移与应用1．用数学归纳法证明32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．2．证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *．名师点津用数学归纳法证明整除性问题时，证明n ＝k ＋1时成立是关键，将n ＝k ＋1时的被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．证明整除性问题的关键是“凑项”，常采用的手段有增项、减项、拆项和因式分解等． 四、归纳、猜想、证明 活动与探究4在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ． (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．迁移与应用1．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，写出S 2，S 3，S 4，由此猜想S n ＝__________． 2．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式． 名师点津(1)由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．(2)在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法，例如活动与探究4中求a 2，a 3的过程与方法实际就是证明的第②步中采用的方法． 当堂检测1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A ．1 B ．1＋3 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( )A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,43．已知1111133557(21)(21)nSn n=++++⨯⨯⨯-+，则S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________，S4＝__________，猜想S n＝__________．4．用数学归纳法证明1111+2321nn+++<-(n∈N，且n＞1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是________．5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数(1)()2n nf n-=．参考答案问题导学活动与探究1思路分析：(1)根据数学归纳法证明步骤进行，注意由n＝k到n＝k＋1时的(2)要注意用数学归纳法证明n 的第一个取值不是1，而是2． 证明：(1)①当n ＝1时，左边＝13，右边＝12＋1＝13，∴等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＝k2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＋14(k ＋1)2－1 ＝k 2k ＋1＋14(k ＋1)2－1＝k 2k ＋1＋1(2k ＋3)(2k ＋1)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋3)(2k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)(2k ＋1)＝k ＋12(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知等式对任何正整数n 都成立．(2)①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 迁移与应用 1．【答案】D【解析】 f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2．2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝13＝1，右边＝12×224＝1，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2(k ＋1)24， 则当n ＝k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2(k ＋1)24＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)＋k 24＝ (k ＋1)2·k 2＋4k ＋44＝(k ＋1)2·(k ＋2)24，∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．活动与探究2 思路分析：(1)按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论． (2)先从特例入手探求正整数a 的最大值，再用归纳法证明． (1)证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1． (方法1)由于⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1， 即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立．(2)解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624＞a24⇒a ＜26，且a ∈N *，所以取a ＝25．下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524． ①n ＝1时，已证结论正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8＞6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)，所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＞0，所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＞2524，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524．故a 的最大值为25． 迁移与应用 1．【答案】B2．证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12．∵14＜12，∴不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ． 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1．∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．活动与探究3 思路分析：在应用归纳假设时通过添项，减项方法，凑出含有17的因数． 证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除．(2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即f (k )＝3×52k ＋1＋23k＋1能被17整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3×52k ＋3＋23k ＋4 ＝52×3×52k ＋1＋52×23k ＋1－52×23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17×23k ＋1，由假设知，f (k )能被17整除，且17×23k＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除． 迁移与应用1．证明：(1)当n ＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除， ∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，32k ＋2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9·32k ＋2－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋72k ＋81－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋64k ＋64＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)． ∵32k ＋2－8k －9与64(k ＋1)都能被64整除， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，原命题都成立．2．证明：(1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋ (a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1．由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N *命题都成立．活动与探究4 思路分析：此题属探索性问题，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明． 解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1．因为a n ＞0， 所以a 1＝1．S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，又因为a n ＞0，所以a 2＝2－1． S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－2． (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 数学归纳法证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0．又因为a n ＞0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对n ∈N *，a n ＝n －n －1． 迁移与应用 1．【答案】2n －12n －1【解析】由已知得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1，∴S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1，∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1，∴S 4＝158．猜想S n ＝2n －12n －1．2．解：当n ＝1时，由(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 1＝1． 当n ＝2时，将a 2＝6代入(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·(a n －1)，得a 3＝15． 同理可得a 4＝28．将a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28分别代入b n ＝a n ＋n ， 得b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32， 由此猜想b n ＝2n 2．要证b n ＝2n 2，可证a n ＝b n －n ＝2n 2－n ． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，前面已求得a 1＝1， 所以猜想正确．(2)假设当n ＝k 时，a k ＝2k 2－k (k ∈N *)成立， 由已知(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k ＋1k －1(a k －1)＝k ＋1k －1(2k 2－k －1)＝k ＋1k －1(2k ＋1)(k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时，a n ＝2n 2－n 成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 2－n 都成立． 所以{b n }的通项公式为b n ＝2n 2． 当堂检测 1．【答案】C 2．【答案】C【解析】逐个代入验证． 3．【答案】13 25 37 49 21nn + 【解析】分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝21nn +． 4．【答案】2k【解析】当n ＝k 时左端为1111+2321k+++-， 当n ＝k ＋1时左端为11111111+232122121k k k k ++++++++-+-，故增加的项数为2k项．5．证明：(1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个． 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ＞2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N*(n≥2)命题都成立．。

教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。

人教版高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法（学生版）数学归纳法____________________________________________ __________________________________________________________________________________ ______________________________________1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.一、数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。

近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成22+n个部分.-n题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、用数学归纳法证明32n＋2－8 n－9()N∈n能被64整除．题型五归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 33．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－27．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m 的值为()A．30B．26C．36D．69．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n＝()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－110．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k <k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法() A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32． 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a33．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋24．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n ＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n ＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2二、填空题7．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋18．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.9．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．三、解答题10． 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．能力提升一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)212．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π313． 用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)314．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．课程顾问签字： 教学主管签字：。

2.2.3数学归纳法（一）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】知识回顾：1.证明方法：（1）直接证明⎩⎨⎧__________________； （2）间接证明：________.新知梳理：1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.对点练习：1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋143.用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=.【合作探究】典例精析：例1.用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式练习：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例 2.用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式练习：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)规律总结：(1)数学归纳法证题时，第一个值n 0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项．2.其中关键：从假设n =k 成立，再证得n =k +1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为A.1B.21a a ++C.1a +D.231a a a +++2.设*111()()122f n n N n n n =+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ）A.121+nB.221+nC.221121+++n n D.221121+-+n n3. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a .4. 用数学归纳法证明: 1111133557(21)(21)21nn n n ++++=⨯⨯⨯-++【课时作业】1.用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A.2k+1B. 2(2k+1)C.112++k k D.132++k k2.一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对3. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立4.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k -2＋2k -1＝2k +1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1 ＋2k +1C ．1＋2＋22＋…＋2k -1＋2k ＋1＝2k +1-1 D ．1＋2＋22＋…＋2k -1＋2k ＝2k +1-15.用数学归纳法证明:当n 为正整数时, 21122221n n -++++=-.6.用数学归纳法证明:112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n ∙+∙-+∙-+∙=++。

2.3数学归纳法[目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[重点] 数学归纳法及其应用．[难点] 对数学归纳法原理的理解．知识点数学归纳法[填一填]1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．用框图表示数学归纳法的步骤[答一答]1．在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n>n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.2．所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从n ＝k过渡到n＝k＋1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用．3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．类型一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 【证明】 (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．总之，由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．应用数学归纳法时应注意的问题：(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3，甚至需要验证n ＝10，如证明：对足够大的正整数n ，有2n >n 3，就需要验证n ＝10时不等式成立.(2)n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( B )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：左边应为1＋a ＋a 2.故选B.(2)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( B ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1类型二 用数学归纳法证明不等式【例2】 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【证明】 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N ＋)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，原不等式均成立．运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，∵14<12，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，即122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)得，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．类型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．【思路分析】 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n ＝1时命题成立；(2)假设n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．【证明】(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋6(3k＋1)·7k＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k.由假设知(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k＋27)·7k能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．综上由(1)(2)知，对所有正整数n，命题成立．当n＝1时，原式等于27被9整除，因此要研究(3k＋1)·7k－1与(3k ＋4)·7k＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除来推证(3k＋4)·7k＋1－1也能被9整除.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2·y 2k ＋x 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)，因为x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，所以x 2k ＋2－y 2k ＋2能被x ＋y 整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n ∈N *都成立．数学归纳法证明问题从n ＝k到n ＝k ＋1时弄错增加项【例4】 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)．【错解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②得1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)成立．【错因分析】 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的． 【正解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立，由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12.用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n>1124(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k>1124， 即当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.因为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， 所以1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n ，不等式成立．1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( C )A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：逐个代入验证．3．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，猜想S n ＝n 2n ＋1. 解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝n 2n ＋1. 4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是2k .解析：当n ＝k 时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，故增加的项数为2k 项． 5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2 ＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，n ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．。

[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为__________归纳法和__________归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径．完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法．思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数． (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 知识点二 数学归纳法 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与________有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *)．题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子． 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系．跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)．错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立．错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的．正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞k ＋12＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12. 防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 4 2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋13．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是__________．4．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证______________．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为______________．1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用．在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧．在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 4．数学归纳法的适用范围．数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中．提醒：完成作业 §2.3[答案]精析知识梳理 知识点一 完全 不完全思考 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 2．(1)正整数n思考 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 题型探究例1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边． ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立．跟踪训练1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立． 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立．例2 证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立． 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立．跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3.因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立． 例3 证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．跟踪训练3 证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除． (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除． 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除．例4 证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．跟踪训练4 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．当堂检测1．B [当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B.]2．C [n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，② 比较①②可知C 正确．]3．2k[解析] 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．n ＝3时是否成立[解析] n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立．5．S n ＝2n n ＋1[解析] S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1.。

人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。

二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。

我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。

师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。

（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。

师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。

2.3 数学归纳法
【学习目标】
1.掌握数学归纳法的原理和证题步骤．
2．能够利用数学归纳法证明不等式、整除性、平面几何等问题．3．掌握“归纳—猜想—证明”思想.
【自主学习】
1.数学归纳法的原理是什么？
2.数学归纳法的步骤是什么？
3.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1？
【自主检测】
【典型例题】
【课堂检测】
2．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步应验证________ 3．使不等式2n>n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k的值为___
4.已知数列{a
n }的第一项a
1
＝5，且S
n－1
＝a
n
(n≥2，n∈N*)，
(1)求a
2，a
3
，a
4
，并由此猜想a
n
的表达式；
(2)用数学归纳法证明{a
n
}的通项公式．
【总结提升】
书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.对于探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
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2.3 《数学归纳法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-04-06【学习目标】1、了解数学归纳法的原理；2、能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【学习重点】运用数学归纳法证明有关的数学命题【学习难点】数学归纳法的原理以及运用数学归纳法证明有关的数学命题【预习导航】下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？【问题探究】探究活动一：什么是数学归纳法?例 1 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n×(2n＋2)＝n4(n＋1).探究活动二：数学归纳法的应用范围及注意事项例2 已知正项数列{b n}的前n项和B n ＝14(b n＋1)2.(1) 求出b1，b2，b3，b4的值；(2) 猜想{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明．探究活动三：如何运用数学归纳法证明有关的数学问题？【课堂巩固练习】1、用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中0n的取值应为( )A．1 B．2 C．3 D．42、用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝2)1(kk，则当n＝k＋1时，表达式应为__________.3、证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．【总结概括】本节课的收获：【分层作业】必做题：教材第96页习题2.3第1,2题选做题：同步练习册课后作业提升习题。

2.2・3数学归纳法(一)【学习目标1 •了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操步骤；2 •能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明题的格式书写3 •理解数学归纳法中递推思想【新知自学】知识顾1 •证明方法:(1)直接证明(2)间接证明：___________ ・新知梳理：1 •题：在多米诺骨牌游戒，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么2 •数学归纳法两大步:(1)归纳奠基：证明出取第一个值时命题成立(2)归纳递推：&=k (k>no. keN*)时命题成立，证明6&k+1时命题也成立・只要完成这两个步骤，就可以断定命题对盹开始的所有正整数n都成立・1 1 11•若 f(n)=1+- --------- (neN +)，昨)的)乂 + ^+…6n-1 +A ・11 B ・511112 3 -4—5 -C ・1 +D.非以上答案— —z 1 11 12•已知 f(n)= + ++… u )---+nnn+ 1 n + 21 1A. f(n)中共有n 项，宙=2 时，f(2)=+ 3 21 1 12 + 4 + 3B ・f(n)中共有n+1 项，苗=2时，f{2) =2—n 项，当 n=2 时，f(2)=1 1C. f(n)1)1共彳j n +322—n+1 项，当 n=2 时，f(2)=+ T -1D ・f(n)中共有n + +2 J 43•朗数学吗绍沬证明_ :岂n 为整数时，21 3 5 (2n 1) n .3 •数学归纳法是一种完全归纳的证明方法 础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不 立. 对点综：，主要用于研究与正整数有关的数学丿•在基no 的正整数rio+1, no+2,…，命题都成【合作探究】典例精析：例|•用曙归细衿JE朋_ + +,2 ^2 池 2 n (n 1)(2 n 1)1 2 3 n ' 八76变式练习:用;数学归纳決证明+川+ + = + €21 42 73 10 n(3n 1) n(n 1) ,n N例2•用数学归纳法证明：首项是a，公差是d的等差数列的通项公式是1项和的公式是s =na+呵卫d .n 12a n =ai +(n - 1)d，前n变式练习：用数学归纳法证明:首项是a ,公比是q的等差数列的通项公式是aH 1n(q 1)n 1aq ，前n项和的公式1规律总结：1 •数学归纳法应用注意问题(4)数学归纳法证题时，第一个值no不一定为1,如证明多边形内角和定理(n-2) yr时，初始值no= 3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n=k到n =k+1增加了哪些项或减少了哪些项.2•其中关键：从假设n=k成立，再证得n=k+1成立时要用上假设.【课堂小结】用数学归纳法证明: 在验证n 1时，左端计算所得项为【当堂达标】(n N2 -^n-+A. 2n 1B. 2n 2+ 2 +l|| + n+ _1a aaA.1 + B- 1- C.1 a D.[n*一 (a 1)1 +a2 -a +a + 23a a a2 •设 + —，那么f(n 1) f(n)等于(f(n)1 +82,3 , a ,猜想34,而 1a ,通过计算1C ・ + 2 +22n 1 nD.2n 1 2n 2= n2a n3.罰数列｛a ｝的前n 项和(2)S n fl n4.用数学归纳法证明：1 1 1 1 n 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2n 11 •用数学归纳法证明 (n +2 13佗n1)(rtN)时,成 1)(n n=k 到 n=k+1 ,左端需要 n) ++加的代数式为A. 2k+1 B . 2(2k+1) 2k 1 2k 3 C.D.k 1k 1 2•—个关于自然数 n 的命题，如果验当时命题成立，并在假说 n = k(k> 1且keN*)时 命题成立的基础上，证弗n =k+2时命题成立，那么综合上述谢()A. —切正整数命题成立B. —切正奇数命题成立C. 一切正偶数命题成立D. 以上都不对1 1 12 _ +… 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证阴-力 + 3 4假跨k(kn 2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假璇 A. n = k+ 1时等式成立 B. n = k+2时等式成立 C ・n = 2k+2时等式成立 D. n = 2(k+2)时等式成立2) (n 3) (n + 1 +…+ 1时，若已=2 n + 2 n + 4 2n4•用数学归纳法证明+2+2 廿…+ 2「1"-怙心的过程中，第一扫k时等式成立，则当n = k+1时应鋼( )A.2-I ------- + Ok-24- 2k-1 = 2k+1— 11 +2 + 2 B.2-i—+ 2k + 2k+i = 2k— 1 + 2k+11 + 2+2 C.2-I -- + 2k-1 -}- 2k+1 = 2k+1-11+2+2D.2-| ------- + 2k-14- 2k= 2k+1 -11 +2 + 2+= —5•用数学归纳法证瞎n为正整数时2 1 n n •1 2 2 2 2 16 •用数学归纳法证明：1 % 亠2 e（n「）*3 #（n 一2）“叽#1 =；n（n「）（n 十2）6。

2.2.3 数学概括法 (二 )【学习目标】1.能用数学概括法证明一些简单的数学命题，并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 ;2.数学概括法中递推思想的理解.【新知自学】知识回首：1. 证明方法：（1）直接证明_________ ；_________（2）间接证明： ________.2.数学概括法的基本步骤？3.数学概括法主要用于研究与相关的数学识题.新知梳理：数学概括法能够应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式 ;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.对点练习：1.使不等式2n n2 1 对随意n k 的自然数都建立的最小 k 值为（）A. 2B. 3C. 4D. 52．凸 k 边形内角和为f(k)，则凸 k＋ 1 边形的内角和为 f (k＋ 1)＝ f(k)＋ __________.3.在数列 { a n } 中， a1＝1且 S n＝ n(2n－ 1)a n，经过计算 a2， a3， a4，猜想 a n的表达式是 ________ ．3【合作研究】典例精析：例 1.已知数列1,1,11，147, ,(3n2)(3n47101)猜想 S n的表达式，并证明.例 2. 证明凸 n 边形的对角线的条数f ( n)1n( n 3)( n 4)2例 3.证明 : n 3 5n(n N * ) 能被 6 整除 .例 4.已知f (n)11113,求证 : 2nn n(n*f (2)N )2规律总结：1.用数学概括法证明几何问题的重点是找项 ,即几何元素从 k 到 k 1 所证的几何量增添多少 .2.数学法明整除性的关是凑凑出 n k 的情况，进而利用假使,而采纳增、减、拆和因式分解的手段，.3.用数学法明不等式，必定要用上假，此化，是式子行了放.【讲堂小结】【当堂达标】1.凸 n 多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋ 1)边形的对角线的条数f(n＋ 1)为 ()A． f(n)＋ n＋ 1B．f (n)＋ nC． f(n)＋ n－ 1D ． f(n)＋ n－ 22.用数学概括法证明不等式1111127建立，开端值起码应取为242n 164A.7B. 8C. 9D. 103.随意 n N* ,34 n 2a2 n 1都能被14 整除 ,最小的自然数a =.4.给出四个等式: 1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)⋯⋯猜想第 n 个等式，并用数学概括法证明.【课时作业】1,111S n的公式 .1. 已知数列,, ,, ,算 S1 , S2 , S3 ,由此推算1 2 2 3 314n (n 1)2.用数学概括法证明 :(1 1)(11)(11)2n 1( n N * )32n13.用数学概括法证明：62n-1 +1 ( n∈N* )能被 7 整除．14. 数列 { a n } 足 a 1＝2，an ＋ 1＝a n＋a n (n ＝ 1,2 ，⋯ )．证明： a n ＞ 2n ＋ 1对全部正整数 n 都建立．。

2.3 数学归纳法【教学目标】知识与技能：1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感与价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中两个条件的归纳，提炼和理解,及数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，引入课题情境一、“摸球实验”这盒子中装的不是糖，而是乒乓球，下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色，由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色.问：这个猜想对吗？答：不对问：怎样判断这个猜想是对的？答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看.问：为什么可以一个一个摸出来看？答：因为是有限的.问：如果是无限的呢？答：不能采用一个一个摸出来看.再看一个数学问题：情境二：已知＝（），(1) 分别求；；．（由学生齐答；；的值，老师播放幻灯片）(2) 由此猜想出的值？这个猜想正确吗？检验：所以这个猜想是错的.（的值是对的，就接着检验后面的,不要一检验就是错的）由上面两个例子看出：由几个特殊的事例得出一般的结论有时是对的，有时是错的.由此引出归纳法的定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 分为完全归纳法和不完全归纳法.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.下面看一个比较熟悉的数学问题：等差数列的通项公式：（由学生齐答，老师在黑板上书写）回顾等差数列通项公式推导过程：（学生齐答，老师放幻灯）问：这个猜想对吗？学生答：不一定对但我们已把它当成一个公式在用，说明这个猜想是对的，怎样证明？法一：一个一个的检验，由于n是无限的，这个方法不可行，除非我们把有限的生命投入到无限的验算中去.问：有没有更好的方法呢？从而引出课题：数学归纳法.（放幻灯片）二、师生互动，探究知识先看一个大家比较熟悉的游戏：演示多米诺骨牌游戏视频.我们把刚才的视频简化一下，得到这样的一个实验（老师弹出事先准备好的简化的多米诺骨牌游戏的动画,并再次演示一遍）提问：满足什么条件能使所有的骨牌全部倒下？（把学生按前后四个同学分组，每组选一个代表发言，讨论时间大约3分钟左右）学生代表发言（老师在黑板上书写）：条件1：第一块要倒下;条件2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下问：其它组还有其它意见吗？（给学生提出的条件老师进行归纳整理）问：是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？给出推理（播放幻灯片）：第1块倒下第2块倒下第3块倒下第n块倒下所有的骨牌全部倒下.对多米诺骨牌游戏的原理进行推广：因为骨牌是1块，2块，……,无数块,而我们要这么的等差数列的通项公式也是要证明成立,所以可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与正整数有关的数学命题上.多米诺骨牌游戏的原理与正整数有关的数学命题(1)第一块要倒下(1)时命题成立(2) 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;(2)假设成立，则时接结论也成立.根据(1)和(2),可知无论多少块骨牌都能全部倒下根据(1)和(2),可知对任意的正整数n，命题都成立.（全部由学生总结提炼，老师播放幻灯片）进一步总结数学归纳法的两个步骤：(1)时命题成立；(2)假设成立，则时接结论也成立.我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法.下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的，有效的：1.推理过程：成立成立成立……对所有的正整数n都成立.2.假设成立的依据根据第1步，成立，取，这时假设成立就不是假设而是一个已经成立的事实了，再根据第2步，由成立就可推出成立，再取，这时假设成立就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去，每一个假设成立都是有依据的.所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，大家可以放心大胆使用.三、通过实例，运用知识例：用数学归纳法证明等差数列通项公式(师生共同完成,老师在黑板上书写并强调步骤及注意点)证明：(1) 当n＝1时,左=，右=，所以左=右，即n=1时结论成立；(2) 假设当时结论成立, 即,则时，=,即n＝k＋1时等式也成立．综合(1),(2), 对一切的，成立．数学归纳法原理的强调(学生表述,教师补正)：（1）（递推奠基）：验证时命题成立；（2）（递推根据）：假设时结论正确；去证明当时结论也正确.（一定要用到假设）数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）四、反馈练习, 巩固知识用数学归纳法证明：多边形的内角和为．（学生独立完成，通过投影仪指出学生在书写过程中的不足，最后老师播放幻灯片写出规范的解答）通过这个练习，我们发现数学归纳法的第一步不一定是从开始的，所以对数学归纳法的两步略作改动：(1)时命题成立；(2)假设成立，则时结论也成立.改为：(1)验证时命题成立；(2)假设成立，则时结论也成立.五、总结归纳，加深理解（先由学生总结，最后老师再总结，最后播放幻灯片）1、两个方法：归纳法和数学归纳法；2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种.归纳法的本质：特殊到一般归纳法的作用：发现规律归纳法的缺陷：具有不可靠性3、数学归纳法基本思想：递推的思想适用范围：与正整数有关的数学命题两个步骤：(1)验证时命题成立；（递推的基础）(2)假设成立，则时接结论也成立.（递推的依据）两个条件缺一不可，相互依存．附数学归纳法打油诗一首：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.数学归纳法的应用是非常广泛的，用数学归纳法证题的关键是如何由成立去证明成立，有那些方法和技巧，且听下回分解.。

教学目标：了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题教学重点：解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题教学难点：了解反证法的思考过程和特点.教学过程：一、课前检测：1.数学归纳法公理:2.数学归纳法证明的步骤:3.用数学归纳法证明：()(27)39()n f n n n N +=++∈能被36整除。

完善下列过程：证明：（1）当1n =时，(1)f = ，能被36整除，（2）假设 时，能被36整除，即()(27)39k f k k =++当1n k =+时，1(1)[2(1)7]39k f k k ++=+++=11()3631183136k k f k ---∴-能被整除，而是偶数，（）能被整除，∴ 能被36整除，由（1）（2）知对()n N +∈，()f n 能被36整除。

二、例题讲解例1.设*1,()5231n n n N f n -∈=+⨯+(1) 当1,2,3,4n =时,计算()f n 的值;(2) 你对()f n 的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想.例 2.在平面上画n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点,问:这n 条直线将平面分成多少个部分?例3.设0a >且*1,a n N ≠∈,试比较24235211()n n a a a f n a a a a -+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+与1n n +的大小例 4.已知函数()sin ,f x x x =-数列{}n a 满足:111,(),1,2,3,...n n a a a f a n +<<==证明:3111(1)01;(2)6n n n n a a a a ++<<<<三.课堂小结:作业班级 姓名 学号 等第1.利用数学归纳法证明不等式1111(2,)2321n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中,由n k =变到1n k =+时,左边增加了2.求135(1)(21)_______________n n -+-+⋅⋅⋅+--=3.凸n 边形的对角线的条数()_____________f n =4.用数学归纳法证明,212111211214131211nn n n n ++++=--+-+-第一步应验证的左式是5.若kk k f 211214131211)(--++-+-= ，则+=+)()1(k f k f6.用数学归纳法证明:3个连续自然数的立方和能被9整除7.3*5()n n n N +∈能被哪些自然数整除?并给出证明.8.设*n N ∈,求证:22()389n f n n +=--是64的倍数9.已知数列{}n a 满足11,a =且*11429()n n n n a a a a n N ++-+=∈(1)求234,,;a a a (2)由(1)猜想{}n a 的通项公式n a ;(3)用数学归纳法证明(2)的结果10.试比较1n n +与*(1)()n n n N +∈的大小,分别取1,2,3,4,5n =加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.。