高中数学复习学案(第73讲)数学归纳法人教版选修2

数学归纳法[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 答案 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 数学归纳法 1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件.思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n(n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下.题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·2k ＋12k ＋2k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边. ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立. 题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立. 证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立. 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1＞k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2， 由基本不等式，得2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1， 只需证3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3. 因为3k ＋12k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1k ＋12 ＝34k ＋12－1－1k ＋12＝1－k ＋12k ＋12[4k ＋12－1]＝－k k ＋2k ＋124k 2＋8k ＋3≤0，所以3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3， 即1＋122＋132＋ (1)2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立. 由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 题型三 用数学归纳法证明整除问题例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除.证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立.反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除. 证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除. (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除. 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除. 题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系.跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n n －12.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *).错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12＝k ＋1＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立.错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的.正解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k ＋2k＞k＋12＋2111...222222kk k k k k k++++++1444442444443个＝k＋12＋2k2k＋2k＝k＋12＋12＝k＋1＋12.所以n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，n∈N*时1＋12＋13＋…＋12n＞n＋12.防范措施当n＝k＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是( )A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a4答案 B解析当n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a，故选B.2.用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＞1324(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边( )A.增加了一项12k＋1B.增加了两项12k＋1，12k＋1C.增加了两项12k＋1，12k＋1，又减少了一项1k＋1D.增加了一项12k＋1，又减少了一项1k＋1答案 C解析 n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，① n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋1，② 比较①②可知C 正确.3.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n)>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是______. 答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k.因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项.4.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________. 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *).依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________. 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧.在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.一、选择题1.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )A.当n＝4时命题不成立B.当n＝6时命题不成立C.当n＝4时命题成立D.当n＝6时命题成立答案 A解析因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.2.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于( )A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4答案 C解析当n＝1,2,3时满足，当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38.所以左边＞右边，即n＝4不满足.3.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )A.π2B.π C.3π2D.2π答案 B解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.4.k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )A.f(k)＋k－1B.f(k)＋k＋1C.f(k)＋kD.f(k)＋k－2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面.5.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 6.用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A.2k ＋1B.2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1).二、填空题7.用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_______________________________________. 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)28.用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________.答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.9.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k ∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为________.答案1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项.10.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.答案未用归纳假设解析本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.三、解答题11.已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，存在自然数m，使得对任意正整数n，f(n)被m整除，猜测出最大的m的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的.解∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明如下：当n＝1,2时，由上得证.假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k ＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除.∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.12.设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，x n＝f(x n－1)(n≥2，n∈N*).(1)求x2，x3，x4的值；(2)归纳数列{x n}的通项公式，并用数学归纳法证明.解 (1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25. (2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1. 证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1， 那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2k ＋1＋1， 所以当n ＝k ＋1时，公式也成立.由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1. 13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论.解 由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *.用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝k ＋12k ＋22k ＋12＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立.。

2.3.1 数学归纳法课堂导学三点剖析一、证明与自然数n 有关的等式.例1 已知a n =1+21+31+…+n 1(n ∈N *)，是否存在n 的整式q (n )，使得等式a 1+a 2+…+ a n -1=q (n )(a n -1)对于大于1的一切自然数n 都成立?证明你的结论.温馨提示这是一个探索性问题，整式q (n )需要用不完全归纳法来探求和发现，通过观察\，归纳\，猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明.二、证明与数列有关的问题例2 已知S n =1+21+31+…+n 1(n >1，n ∈N *)， 求证：n S 2>1+2n (n ≥2，n ∈N *).温馨提示此题容易犯两个错误，一是由n =k 到n =k +1项数变化弄错，认为k 21的后一项为121+k ，实际上应为121+k ；二是121+k +221+k +…+121+k 共有多少项，实际上2k +1到2k +1是自然数递增，项数为2k +1-(2k +1)+1=2k .三、综合题型例3 某地区原有森林木材存量为a ，且每年的增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 表示n 年后该地区森林木材的存量.(1)求a n 的表达式;(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于97a ，如果b =7219a ，那么该地区今后会发生水土流失吗?若会，需要经过几年？(取lg2=0.30)各个击破类题演练 1用数学归纳法证明：)1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n .变式提升 1 证明12-22+32-42+…+(2n -1)2-(2n )2=-n (2n +1).类题演练2已知数列{a n }的通项公式为a n =2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n =（1-a 1）(1-a 2)…(1-a n )，用数学归纳法证明b n =nn 2112-+.变式提升2 函数列{f n (x )}满足f 1(x )=21x x -(x >0)，且f n +1(x )=f 1［f n (x )］，求f 2(x )、f 3(x ).类题演练3 平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成n 2-n +2个部分.变式提升3 证明凸n 边形的对角线的条数f (n )=21n (n -3)(n ≥4).参考答案课堂导学例1 解：假设存在q (n )，去探索q (n )等于多少.当n =2时，由a 1=q (2)(a 2-1)，即1=q (2)(1+21-1)，解得q (2)=2. 当n =3时，由a 1+a 2=q (3)(a 3-1)，即1+(1+21)=q (3)(1+21+31-1)，解得q (3)=3. 当n =4时，由a 1+a 2+a 3=q (4)(a 4-1)， 即1+(1+21)+(1+21+31)=q (4)(1+21+31+41-1)， 解得q (4)=4.由此猜想q (n )=n (n ≥2，n ∈N *).下面用数学归纳法证明，当n ≥2，n ∈N *时，等式a 1+a 2+…+a n -1=n (a n -1)成立.①当n =2时，由以上验证可知等式成立.②假设当n =k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即a 1+a 2+…+a k -1=k (a k -1)，则当n =k +1时，a 1+a 2+…+a k -1+a k =k (a k -1)+a k =(k +1)a k -k =(k +1)a k -(k +1)+1=(k +1)(a k +11+k -1)=(k +1)(a k +1-1). ∴当n =k +1时，等式亦成立.由①②知，对于大于1的自然数n ，存在整式q (n )=n ，使得等式a 1+a 2+…+a n -1=q (n )(a n -1)总成立.例2 证明：(1)当n =2时，n S 2=1+21+31+41=1225>1+22， 即n =2时命题成立.(2)设n =k 时命题成立，即 k S 2=1+21+31+…+k 21>1+2k ， 当n =k +1时， 12+k S =1+21+31+…+k 21+121+k +…+121+k 211212122221212211212121++=++=+++>+++++++>+k k k k kk k k k k k， 故当n =k +1时，命题成立.由(1)(2)知，对n ∈N *，n ≥2， n S 2>1+2n 不等式都成立. 例3 解：(1)设第一年的森林木材存量为a 1，第n 年后的森林木材存量为a n ，∴a 1=a (1+41)-b =45a -b ， a 2=45a 1-b =v (45a -b )-b =(45)2a -(45+1)b ， a 3=45a 2-b =(45)3a -［(45)2+45+1］b ， 由上面的a 1，a 2，a 3推测a n =(45)n a -［(45)n -1+(45)n -2+…+45+1］b =(45)n a -4［(45)n -1］b (n ∈N *). 证明：①当n =1时，a 1=45a -b ，已证推测成立. ②假设n =k 时，a k =(45)k a -4［(45)k -1］b 成立. 则当n =k +1时，a k +1=45a k -b =45{(45)k a -4［(45)k -1］b }-b =(45)k +1a -4［(45)k +1-1］b . 也就是说当n =k +1时，公式也成立.由①②可知，对n ∈N *公式成立.(2)当b =7219a 时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于97a ， ∴(45)n a -4［(45)n -1］7219a <97a ，即(45)n >5. 两边取对数得n lg 45>lg5，n >2lg 25lg 5lg -=2lg 3112lg 1--≈7.2 ∴经过8年后该地区就开始水土流失.各个击破类题演练 1证明：(1)当n =1时，左边=421⨯=81，右边=81，等式成立. (2)假设当n =k 时， 421⨯+641⨯+861⨯+…+)22(21+k k =)1(4+k k 成立. 当n =k +1时，421⨯+641⨯+861⨯+…+)22(21+k k +)42)(22(1++k k=]1)1[(41)2(41)2)(1(4)1()2)(1(41)2()2)(1(41)1(412+++=++=+++=++++=++++k k k k k k k k k k k k k k ∴n =k +1时，等式成立.由(1)(2)可知对一切正整数n ∈N *，等式成立.变式提升 1 证明：(1)n =1时，左边=12-22=-3，右边=-1×(2×1+1)=-3等式成立. ∴n =1时等式成立.(2)假设当n =k 时，等式成立，就是12-22+32-42+…+(2k -1)2-(2k )2=-k (2k +1)成立.当n =k +1，12-2122+32-42+…+(2k -1)2-(2k )2+(2k +1)2-(2k +2)2 =-k (2k +1)+(2k +1)2-［2(k +1)］2=-k (2k +1)-(4k +3)=-(2k 2+5k +3)=-(k +1)［412(k +1)+1］， 所以n =k +1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何n ∈N *都成立.类题演练2证明：（1）当n =1时，a 1=4，b 1=1-a 1=1-4=-3，b 1=2×1+11-2=-3成立.（2）假设当n =k 时等式成立，即b K =2k +11-2k ，那么b K +1=(1-a 1)(1-a 2)…（1-a K ）(1-a K +1)=b K (1-a K +1)=2k +11-2k ［1-4（2k +1）2］=2(k +1)+11-2(k +1).这就是说，当n =k +1时，等式也成立.由（1）（2）可以断定，对任何正整数n ，b n =2n +11-2n 都成立.变式提升2解：f 1(x )=21x x+f 2(x )= 222221111x x x x x x+=+++ f 3(x )= 222222312121121x x x x x x xx x+=++=+++.类题演练3证明：(1)n =1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立.(2)假设n =k 时，k 个圆将平面分成k 2-k +2个部分.当n =k +1时，第k +1个圆C K +1交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆C K +1分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k 个区域，所以这k +1个圆将平面分成k 2-k +2+2k 个部分，即(k +1)2-(k +1)+2个部分.故n =k +1时，命题成立.由(1)(2)可知，对n ∈N *命题成立.变式提升3 证明：(1)n =4时，f (4)=21×4×(4-3)=2， 四边形有两条对角线，命题成立.(2)假设n =k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )=21k (k -3)(k ≥4) 当n =k +1时，凸k +1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A K +1，增加的对角线条数是顶点A K +1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A K ，共增加了对角线条数(k +1-3)+1=k -1.f (k +1)=21k (k -3)+k -1=21(k 2-k -2)=21(k +1)(k -2) =21(k +1)［(k +1)-3］， 故n =k +1时，命题成立.由(1)(2)可知，对于n ≥4，n ∈N *命题成立.。

数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。

具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。

详细内容如下：1. 数学归纳法的概念：介绍数学归纳法的基本思想和步骤。

2. 数学归纳法的原理：阐述数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。

3. 数学归纳法的应用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的基本原理和证明方法。

2. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、《数学归纳法学习指导》。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：数列求和问题）引入数学归纳法的概念。

2. 新课导入：（1）介绍数学归纳法的概念和基本思想。

（2）讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。

3. 例题讲解：（1）讲解数学归纳法在数列求和中的应用。

（2）分析归纳假设在解题中的作用。

4. 随堂练习：（1）让学生独立完成数学归纳法的证明题。

（2）针对学生的解答进行点评，指出错误和不足。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与步骤（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。

2. 答案：（1）证明：① 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。

② 假设当n=k时，1+2+3++k = k(k+1)/2，等式成立。

则当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，等式也成立。

（2）证明：① 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。

数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证:能被整除（n∈N+）。

例2：数列{a n}中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想{a n}的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n}满足，n∈N+,(1)当a1=2时，求，并猜想{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有①a n≥n+2 ②例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。

人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。

二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。

我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。

师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。

（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。

师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。

《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。

2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。

2013年高中数学 2.3 3数学归纳法教案新人教A版选修2-2 教学目标：1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；2．理解数学归纳法原理的科学性；3．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤；4．体会归纳演绎推理的思想；5．感受归纳法在实际生活中的应用，渗透辩证的思想方法。

教学重点和难点：1.数学归纳法原理的理解和基本步骤；2.数学归纳法原理的理解。

教学背景分析：数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法。

它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用。

但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重。

为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可。

你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受。

学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题等等。

为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来。

这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。

教学过程：一、引入：（介绍归纳法，引出课题）【教学过程】教师提出问题：1.观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，……78＝67＋11，……我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

2.教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”。

以上两个案例中的猜想问题有什么不同？学生讨论后回答：这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法。

人教版高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法（教师版）数学归纳法____________________________________________ __________________________________________________________________________________ ______________________________________1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.一、数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。

近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n2（n ＋1）2证明：① 当n =1时，左边=13=1，右边=()11114122=+⋅⋅，故等式成立．② 假设n =k （N ∈k ，且k ≥1）时等式成立。

即13＋23＋33＋…＋k 3＋=41k 2(k +1)2成立．则当n =k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k +1)3=322)1()1(41+++k k k=[])1(4)1(4122+++k k k ()()221141++=k k ()[]221)1(141+++=k k ．即当n =k ＋1 时等式也成立．综合①，②，对一切N ∈n ，等式都成立．题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109（n ＞1，且N ∈n ）．证明：① n =2时，左边=201961514131=+++＞109=右边，不等式成立.② 假设n =k （N ∈k ， k ≥2）时不等式成立，即++++2111k k …k 31+＞109成立． 则当 n =k ＋1时，++++3121k k …k31+131++k 331231++++k k=（++++2111k k …k 31+）＋（131+k 331231++++k k －11+k ）＞109＋（131+k 331231++++k k －11+k ） ＞109＋（331+k 331331++++k k －11+k ） =109即当n =k ＋1时不等式也成立．综合①，②，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三、用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．证明：① 当n =1时，32＋2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立．②假设n=k（ k≥1，N∈k）时命题成立．即32k＋2－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时，32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9=9·32k＋2－8 k－8－9=9（32k＋2－8 k－9）＋64 k＋64．∵ 32k＋2－8 k－9与64均能被64整除，∴ 32（k＋1）＋2－8（ k＋1）－9能被64整除．即当n=k＋1时命题也成立．综合①，②，对一切N∈n，32n＋2－8n－9能被64整除．题型五归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。

数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第三章第三节“数学归纳法”。

具体内容包括数学归纳法的定义、原理和应用，以及数学归纳法在实际问题中的运用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的证明步骤。

2. 能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题，提高逻辑思维和推理能力。

3. 培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力。

三、教学难点与重点难点：数学归纳法的证明步骤和运用。

重点：数学归纳法的概念、原理以及在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、练习本、圆珠笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个与数学归纳法有关的实际例子（如：楼梯问题）引入本节课的主题，激发学生的兴趣。

2. 基本概念讲解（10分钟）介绍数学归纳法的定义、原理和证明步骤，让学生初步了解数学归纳法的基本内容。

3. 例题讲解（15分钟）讲解一道运用数学归纳法证明的例题，让学生理解数学归纳法的证明过程。

4. 随堂练习（15分钟）让学生完成几道与例题类似的数学归纳法题目，巩固所学知识。

5. 课堂小结（5分钟）6. 课堂互动（10分钟）邀请学生上台展示自己的解题过程，分享心得体会，提高学生的表达能力。

7. 知识拓展（5分钟）简要介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如计算机科学、数论等领域。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念3. 原理：数学归纳法的原理4. 证明步骤：数学归纳法的证明步骤5. 例题：详细解题过程6. 注意事项：数学归纳法在运用时的注意事项七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）运用数学归纳法证明：n! > 2^n (n ≥ 4)2. 答案：（1）证明过程略。

（2）证明过程略。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生的掌握程度，以及教学中存在的问题。

教学过程：学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-，自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？ 讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖． 一、复习引入：问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性． 方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1nn na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4再推测通项a n 的公式．过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n=∈，解决以上两个问题用的都是归纳法. 再请看数学史上的两个资料：资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时，5221+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？ f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61， f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131， f （10）=151，… f （39）=1 601． 但是f （40）=1 681=412是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒； （2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法． 数学运用例1．用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．①证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立． （2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--． 这就是说，当1n k =+时等式也成立． 根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立． 注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件变式：用数学归纳法证明：等比数列{}n a 中，1a 为首项，q 为公比，则通项公式为11n n a a q -=．例2．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=． 证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立． （2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=， 那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++-222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立． 根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=． 证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立．（2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=，那么2222222(1)(21)(1)(266)123(1)(1)66k k k k k k k k k k +++++++++⋅⋅⋅+++=++=2(1)(276)(1)(2)(23)(1)[(1)1][2(1)1]666k k k k k k k k k +++++++++++===．所以当1n k =+时，命题也成立． 根据（1）和（2），可知结论当*n N ∈时都成立．变式：用数学归纳法证明：(1)(2)()2135(21)n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅-gg g g g ，*n N ∈ 解：（1）当1n =时，等式左边2=，等式右边212=⨯=，所以，等式成立． （2）假设n k =*()k N ∈时，等式成立，即 (1)(2)()2135(21)k k k k k k ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅-g g g g g 那么，当1n k =+时，1(2)(3)()(21)(22)2(1)(2)(3)()(21)2135(21)[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅-+-g g g g g即1n k =+时等式成立． 根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例4．已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+L ,计算1234,,,S S S S ,根据计算结果,猜想n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明．证：111144S ==⨯；21124477S =+=⨯； 3213771010S =+=⨯；431410101313S =+=⨯.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n 一致,分母可用项数n 表示为31n +.于是可以猜想31n nS n =+. 下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边=114S =,右边=11313114n n ==+⨯+,猜想成立．（2）假设n k =(*k N ∈)时，猜想成立,即 11111447710(32)(31)31k k k k ++++=⨯⨯⨯-++L , 那么 111111447710(32)(31)[3(1)2)][3(1)1]k k k k +++++⨯⨯⨯-++-++L 131[3(1)2)][3(1)1]k k k k =+++-++ 2341(31)(1)(31)(34)(31)(34)k k k k k k k k ++++==++++ 13(1)1k k +=++． 所以当1n k =+时，猜想也成立． 根据（1）和（2），可知猜想对任何*n N ∈时都成立． 巩固练习： 课外作业：1.对一切自然数n ，猜出使2n t n >成立的最小自然数t2.平面上有n 条直线，其中无两条平行，无三条共点，问：(1)这n 条直线共有几个交点f(n)？（1()(1)2f n n n =-(2)这n 条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(2n 条)(3)平面被这n 条直线分割成多少块区域？（222++n n ）3.已知数列｛a n ｝中，a 1=31, a n+1=nn a a -+31a 2, a 3, a 4，猜测通项公式a n )422(+=n na n教后感：教学过程：教学过程:1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．数学运用例1．设*n N ∈，1()5231n n f n -=+⨯+． （1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯； 当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯； 当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯； 当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．（2）猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除． ①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立． ②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++．这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知命题对任何*n N ∈都成立．变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除。

精心整理 提升自我2.2.3数学归纳法(二)【学习目标】1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.【新知自学】 知识回顾：1. 证明方法：（1）直接证明⎩⎨⎧__________________； （2）间接证明：________.2.数学归纳法的基本步骤？3.数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题. 新知梳理：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题. 对点练习：1.使不等式122+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋__________.3.在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3， a 4，猜想a n 的表达式是________． 【合作探究】 典例精析：例1.已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+， 猜想n S 的表达式，并证明.例2. 证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥例3.证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.例4.已知111()123f n n=++++,求证: *(2)()2n n f n N >∈规律总结：,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.2.数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.3.用数学归纳法证明不等式时，一定要用上假设，此变化，实质是对式子进行了放缩.【课堂小结】【当堂达标】1.凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －22.用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>成立，起始值至少应取为 A.7 B. 8 C. 9 D. 103.对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .4.给出四个等式: 1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)……猜测第n 个等式，并用数学归纳法证明.【课时作业】1. 已知数列1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.2. 用数学归纳法证明:*11(11)(1)(1))321n N n ++∙∙+∈-3.用数学归纳法证明：62n-1+1 (n ∈N *)能被7整除．4.设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a n＋1a n(n＝1,2，…)．证明：a n＞2n＋1对一切正整数n都成立．。

高中数学 第二章《2.2.3数学归纳法（2）》教案 新人教A 版选修2-2 教学难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 教学过程:6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 数学运用例1．设*n N ∈，1()5231n n f n -=+⨯+．（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯； 当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯； 当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯； 当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．（2）猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除． ①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立．②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+ 111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++． 这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知命题对任何*n N ∈都成立．变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除。