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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究 新人教 B版选修 2-2探究一 利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与 n 的关系是什么，由 n＝k 到 n＝k＋1 时项数增加多少项，增加怎样的项等．【典型例题 1】 用数学归纳法证明：1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋1 3n－2 3n＋1＝n 3n＋1(n∈N＋)．证明：(1)当n＝11111时，左边＝1×4＝4，右边＝3×1＋1＝4，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋1 3k－2 3k＋1＝3kk＋1，则当 n＝k＋1 时，111111×4＋4×7＋7×10＋…＋ 3k－2 3k＋1 ＋ 3k＋1 3k＋4k13k2＋4k＋1＝3k＋1＋ 3k＋1 3k＋4 ＝ 3k＋1 3k＋4＝3k＋1 3k＋1k＋1 3k＋4＝3kk＋＋14＝3k＋1 k＋1＋1.所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)知等式对 n∈N＋成立． 探究二 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明．【典型例题 2】 用数学归纳法证明：1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞23nn(其中 n∈N＋，n＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由 n＝k 证 n＝k＋1 成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋ 1 ，右边＝ 22，1＋ 12－2＝1－ 22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！1所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
2.3数学归纳法在学校，行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n ＝k ＋1时命题也成立，而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2(其中n ∈N *)．(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2 2n －1 2n ＋1 ＝n n ＋1 2 2n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＝k k ＋1 2 2k ＋1， 则121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3＝k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 2 2k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋2 2 2k ＋3 ， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的n ∈N *等式都成立.。
学习资料课时素养评价十九数学归纳法(15分钟30分）1。
对于不等式〈n+1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时，〈1+1，不等式成立。
（2）假设当n=k（k∈N*）时,不等式成立,即〈k+1，则当n=k+1时,=<==（k+1）+1,所以当n=k+1时，不等式成立.则上述证法（)A。
过程全部正确B.n=1验得不正确C。
归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理过程中未用到(2)中假设,所以不正确。
2.某个与正整数有关的命题：如果当n=k（k∈N*)时命题成立，则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得（)A.当n=4时命题不成立B。
当n=6时命题不成立C。
当n=4时命题成立D。
当n=6时命题成立【解析】选A。
因为当n=k（k∈N＊）时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立，所以假设当n=4时命题成立，那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立。
3。
用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立"时，第一步证明中的起始值n0应取( )A.2 B。
3 C。
5 D.6【解析】选C。
令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得.4.已知f(n）=1+++…+(n∈N＊），用数学归纳法证明f（2n)>时,f(2k+1）-f（2k)=________。
【解析】因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，当n=k+1时,f（2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)—f(2k)=1+++…+++…+—=++…+.答案:++…+5。
在数列{a n｝，{b n}中，a1=2,b1=4，且a n，b n,a n+1成等差数列，b n，a n+1,b n+1成等比数列（n∈N ＊)。
求a2，a3，a4及b2，b3，b4,由此猜测｛a n}，{b n｝的通项公式，并证明你的结论.【解析】由已知得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1,a1=2,b1=4，由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25。
2.3 数学归纳法自主预习·探新知情景引入从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？新知导学 数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取__第一个值n 0(n 0∈N *)__时命题成立．②(归纳递推)假设__n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立__，证明__当n ＝k ＋1时命题也成立__.预习自测1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[解析] 当n ＝1时，2n ＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C ．2．(2019·玉溪模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n)时，若已假设n ＝k (k ≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( B )A ．n ＝k ＋1B ．n ＝k ＋2C ．n ＝2k ＋2D ．n ＝2(k ＋2)[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n ＝k (k ≥2)为偶数时命题为真， 则还需要用归纳假设再证n ＝k ＋2，不是n ＝k ＋1，因为n 是偶数，k ＋1是奇数， 故选B ．3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764成立时，起始值n 至少应取为( B )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] ∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝2－126＝27－126＝12764而1＋12＋14＋…＋128－1>12764，故应选B ．4．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，由此推测，当n >2时，有__f (2n )>n ＋22__.[解析] 自变量的取值依次为2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故为2n.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7，…，故右边为n ＋22，即f (2n)>n ＋22.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶ 用数学归纳法证明等式典例1 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1＝2n(2n －3)＋3(n ∈N *)．[思路分析] 按照数学归纳法证题的步骤进行证明．[解析] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k －1)×2k －1＝2k(2k －3)＋3.则当n ＝k ＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k －1)×2k －1＋(2k ＋1)×2k ＝2k(2k －3)＋3＋(2k ＋1)×2k＝2k(4k －2)＋3＝2k ＋1[2(k ＋1)－3]＋3，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)知，等式对任何n ∈N *都成立．『规律总结』 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形．┃┃跟踪练习1__■ 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 22n －12n ＋1＝n n ＋122n ＋1.(n ∈N *) [解析] (1)当n ＝1时，左边＝121×3，右边＝1×22×3，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＝k k ＋122k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋3，即当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可得，对于任意的n ∈N *等式都成立． 命题方向❷ 用数学归纳法证明不等式典例2 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2)．[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明] 1°当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．2°假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k .当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<2－1k＋1k ＋12<2－1k ＋1kk ＋1＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由1°、2°知原不等式在n ≥2时均成立．『规律总结』 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．┃┃跟踪练习2__■用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．[解析] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k k＋1＋1k＋1<k2＋k＋12＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．命题方向❸用数学归纳法证明整除问题典例3 用数学归纳法证明：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[思路分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．[证明] (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．『规律总结』用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P 整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p.例如本题中，在推证n＝k＋1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则ak ＋1＋(a ＋1)2k －1＝(a 2＋a ＋1)q (a )(q (a )为多项式)，所以(a ＋1)2k －1＝(a 2＋a ＋1)q (a )－ak ＋1，所以n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a k ＋2＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a k ＋2＋(a ＋1)2[(a 2＋a ＋1)q (a )－ak ＋1]＝ak ＋2＋(a ＋1)2(a 2＋a ＋1)q (a )－(a ＋1)2ak ＋1＝(a ＋1)2(a 2＋a ＋1)q (a )－a k ＋1(a 2＋a ＋1)，显然能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时，命题亦成立． ┃┃跟踪练习3__■求证：当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除．[证明] (1)显然，当n ＝1时，命题成立，即x 1＋y 1能被x ＋y 整除． (2)假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，即(x ＋y )能整除x2k －1＋y 2k －1，则当n ＝2k ＋1时，x 2k ＋1＋y 2k ＋1＝x 2x 2k －1＋x 2y 2k －1－x 2y 2k －1＋y 2y 2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)－(x ＋y )(x －y )y 2k －1，∵x ＋y 能整除(x2k －1＋y2k －1)，又x ＋y 能整除(x ＋y )(x －y )y 2k －1，∴(x ＋y )能整除x2k ＋1＋y2k ＋1.由(1)、(2)可知当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除．学科核心素养 归纳——猜想——证明由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．典例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 1，a 2；(2)求{S n }的通项公式，并用数学归纳法证明． [解析] (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0， 有一根S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0，有一根S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 2＝16.(2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.(*)由(1)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由(*)可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． ①n ＝1时，已知结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由(*)得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2. 故n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．『规律总结』 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n 都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：(1)验证P (1)，P (2)，P (3)，P (4)，…； (2)提出猜想； (3)用数学归纳法证明． ┃┃跟踪练习4__■已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋2a n ＝4S n . (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论．[解析] (1) 当n ＝1时，a 21＋2a 1＝4S 1，即a 21＋2a 1＝4a 1，即a 21－2a 1＝0，解得a 1＝2(a 1＝0舍去)；当n ＝2时，a 22＋2a 2＝4S 2，即a 22＋2a 2＝4(2＋a 2)， 即a 22－2a 2－8＝0，解得a 2＝4(a 2＝－2舍去)；当n ＝3时，a 23＋2a 3＝4S 3，即a 23＋2a 3＝4(2＋4＋a 3)，即a 23－2a 3－24＝0，解得a 3＝6(a 3＝－4舍去)；当n ＝4时，a 24＋2a 4＝4S 4，即a 24＋2a 4＝4(2＋4＋6＋a 4)，即a 24－2a 4－48＝0，解得a 4＝8(a 4＝－6舍去)．由以上结果猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式为a n ＝2n .①当n ＝1时，a 1＝2，由(1)知，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k ， 这时有a 2k ＋2a k ＝4S k ，即S k ＝k 2＋k . 则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＋2a k ＋1＝4S k ＋1，即a 2k ＋1＋2a k ＋1＝4(S k ＋a k ＋1)， 所以a 2k ＋1－2a k ＋1＝4k 2＋4k ，解得a k ＋1＝2k ＋2＝2(k ＋1)(a k ＋1＝－2k 舍去)． 故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，结论对任意n ∈N *都成立．易混易错警示 未用归纳假设而致误典例5 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n －1＝2(2n －1－1)(n >2，n ∈N *)．[错解] (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立． (2)假设n ＝k 时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，那么由等比数列的前n 项和公式，得2＋22＋…＋2k －1＋2k＝21－2k1－2＝2(2k－1)．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n >2，n ∈N *都成立．[辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．[正解] (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立； (2)假设n ＝k 时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，那么n ＝k ＋1时，2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(2k －1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k ＋1)－1－1]．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n >2，n ∈N *都成立．[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的基础，验证n ＝n 0时结论成立的n 0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．。
高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究新人教A版选修2-2探究一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1，n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【典型例题1】用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0；第二步在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任意n∈N*都成立．探究二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1．验证第1个n 的取值时，要注意n 0不一定为1，若条件为n ＞k ，则n 0＝k ＋1. 2．证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．3．应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n ＝k ＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程．4．证明n ＝k ＋1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大”或“缩的过小”．【典型例题2】用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n＞n (其中n ∈N *，n ＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1k ＋1. (方法1)由于⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －kk ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞k ＋1.即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立． 探究三 归纳—猜想—证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；【典型例题3】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明．思路分析：本题考查数列中的归纳——猜想——证明问题，先由前n 项猜测a n ，再用数学归纳法证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2时易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k ＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2，即当n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确． 探究四 易错辨析易错点：没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．。
2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案新人教A版选修2-2预习课本P92～95，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？[新知初探]1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立．答案：23．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此推测，当n ＞2时，有______________．答案：f (2n)＞n ＋22用数学归纳法证明等式[典例] 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．[活学活用]求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．用数学归纳法证明不等式[典例求证：1＋12＋13＋…＋1n＞n ＋1.[证明] (1)当n ＝3时，左边＝1＋12＋13，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ＋1. 当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1＋1k ＋1＝k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1. 因为k ＋2k ＋1 ＞k ＋2k ＋2＝k ＋2＝(k ＋1)＋1， 所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对一切n ∈N *，n ＞2，不等式恒成立． [一题多变]1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立． 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋3×13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立． 2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.左边＞右边，所以原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1 ＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1 ＝2k ＋3·2k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.所以，当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，对一切n ≥2，n ∈N *不等式都成立．用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．归纳—猜想—证明2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？[解]由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当n＝1时，显然成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时等式成立．根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．[活学活用]数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1 ＝13(k ＋1)－2∴n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确．层级一 学业水平达标1．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：选B 由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( ) A．2 B．4C．8 D．16解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2＞12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2＞12－1k＋38．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：59．已知n ∈N *，求证1·22－2·32＋…＋(2n －1)·(2n )2－2n ·(2n ＋1)2＝－n (n ＋1)(4n ＋3)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k －1)·(2k )2－2k ·(2k ＋1)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)．则当n ＝k ＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k －1)·(2k )2－2k ·(2k ＋1)2＋(2k ＋1)·(2k ＋2)2－(2k ＋2)·(2k ＋3)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋(2k ＋2)[(2k ＋1)(2k ＋2)－(2k ＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋2(k ＋1)·(－6k －7)＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7) ＝－(k ＋1)·[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]， 即当n ＝k ＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *结论成立．10．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．层级二 应试能力达标1.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而n ＝k ＋1时交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：选C 由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为____________．解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2. 答案：1＋a ＋a 26．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1.则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n ∈N *，等式成立． 上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设7．平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．证明：(1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分． 则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22. ∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前5项分别为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k 2(k －1)2.∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2.这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2.∴这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( ) A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 4．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D (xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( )A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( )A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选 D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )x 1 2 3 4 5 f (x )41352A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． 解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－116＝58，x 4＝58×⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k ＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。
