2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案新人教A版选修2_2

2.3数学归纳法在学校，行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n ＝k ＋1时命题也成立，而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2(其中n ∈N *)．(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2 2n －1 2n ＋1 ＝n n ＋1 2 2n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＝k k ＋1 2 2k ＋1， 则121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3＝k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 2 2k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋2 2 2k ＋3 ， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的n ∈N *等式都成立.。

2．2.1 综合法和分析法预习课本P85～89，思考并完成下列问题(1)综合法的定义是什么？有什么特点？(2)综合法的推证过程是什么？(3)分析法的定义是什么？有什么特点？(4)分析法与综合法有什么区别和联系？[新知初探]1．综合法Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．综合法、分析法的区别倒溯，执果索因[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( )答案：(1)×(2)×(3)×2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是( )A．a2＞ab B．ab＞b2C.1a＞1bD．a2＞b2答案：C3．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D ．(2－3－6)2＜(－7)2答案：C4．如果a a ＞b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案：a ＞b ＞0[典例] 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2 C 2＋c cos 2 A 2≥32b .[证明] ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∵左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2 A 2≥32b .当且仅当a ＝c 时等号成立．综合法的解题步骤[活学活用]1．已知a ，b ，c ，d ∈R，求证：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 证明：∵左边＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋(a 2d 2＋b 2c 2)＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝右边， ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 2．设数列{a n }满足a 1＝0，11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，证明：S n ＜1.解：(1)∵11－a n ＋1－11－a n ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又∵11－a 1＝1，∴11－a n ＝n ，a n ＝1－1n .(2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1. ∴S n ＜1.[典例] 设a ，b [证明] 当a ＋b ≤0时，∵ a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b ＞0时，用分析法证明如下：要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2. 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[活学活用]已知a ，b ，c 都为正实数，求证： a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.证明：要证 a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以 a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．分析法与综合法的综合应用[典例] 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c .[证明] 要证明log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＜log x(abc )，由已知0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc ，由公式a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞ a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log x b ＋c 2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立．分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．[活学活用]已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 为三个内角对应的边长，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1. 即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列． ∴B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证．层级一 学业水平达标1．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法解析：选C 直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．2．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法解析：选B 结合分析法及综合法的定义可知B 正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，得b 2＋c 2＜a 2.4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选C 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c .5．已知m ＞1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定 解析：选B ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m ＞m ＋m －1＞0(m ＞1)， ∴1m ＋1＋m＜1m ＋m －1，即a <b .6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点． 答案：综合法7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________． 解析：∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a . 答案：a ≠b8．若不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32，当n 为奇数时，a ＞－2－1n ，而－2－1n ＜－2，所以a ≥－2.综上可得，－2≤a ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，329．求证：2cos(α－β)－sin(2α－β)sin α＝sin βsin α.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β.所以①成立，所以原等式成立．10．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)． (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)① 又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2. 又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5， 所以a 2＝11， 所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a 1＋1＝6， 所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n，所以a n ＝3×2n－1.层级二 应试能力达标1．使不等式1a ＜1b成立的条件是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＞b 且ab ＜0D ．a ＞b 且ab ＞0解析：选D 要使1a ＜1b ，须使1a －1b ＜0，即b －aab＜0.若a ＞b ，则b －a ＜0，ab ＞0；若a ＜b ，则b －a ＞0，ab ＜0. 2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C ．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．3．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4＜m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选 B ∵x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4x y ＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m ＞x ＋y4有解，应有m 2－3m ＞4，∴m ＜－1或m ＞4，故选B.4．下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b ＞a ＋b (a ＞0，b ＞0) C.a －a －1＜a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10＞2 6解析：选 D 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b ＞a ＋b ；对C ，要证 a －a －1＜a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3＜a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a (a －3)＜2a －3＋2(a －2)(a －1)，即a (a －3)＜(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a ＜a 2－3a ＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，∴2＋10＜26，故D 错误．5．已知函数f (x )＝2x，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是________．解析：∵a ＋b2≥ab (a ，b 为正实数)，2ab a ＋b ≤ab ，且f (x )＝2x是增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≤B ≤A .答案：C ≤B ≤A6．如图所示，四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)7．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：在锐角三角形ABC 中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B .∴0＜π2－B ＜A ＜π2，又∵在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内正弦函数y ＝sin x 是单调递增函数，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 即sin A ＞cos B ．① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A ．③ 由①＋②＋③，得：11 sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C.8．已知n ∈N，且n ＞1，求证：log n (n ＋1)＞log n ＋1(n ＋2)．证明：要证明log n (n ＋1)＞log n ＋1(n ＋2)，即证明log n (n ＋1)－lo g n ＋1(n ＋2)＞0.(*)∵log n (n ＋1)－log n ＋1(n ＋2)＝1log n ＋1n－log n ＋1(n ＋2) ＝1－log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)log n ＋1n . 又∵当n ＞1时，log n ＋1n ＞0，且log n ＋1(n ＋2)＞0，log n ＋1n ≠log n ＋1(n ＋2)，∴log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)＜14[log n ＋1n ＋log n ＋1(n ＋2)]2＝14log 2n ＋1[n (n ＋2)]＝14log 2n ＋1(n 2＋2n )＜14log 2n ＋1(n ＋1)2＝1， 故1－log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)＞0，∴1－log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)log n ＋1n＞0. 这说明(*)式成立，∴log n (n ＋1)＞log n ＋1(n ＋2)．。

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法讲义新人教A 版选修221．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，能够证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n ∈N *且n ≥n 0的所有正整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据． 3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度) (3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n ＝1时，结论成立；(2)假设当n ＝k 时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也必定成立． 当n ＝1时结论成立――→利用2当n ＝2时结论成立――→利用2当n ＝3时结论成立――→利用2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )共有________项，f (2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1] . (3)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示)． 答案 (1)n 2－n ＋1 12＋13＋14 (2)2×3n －1(3)S k ＋12k ＋1－12k ＋2探究1 用数学归纳法证明等式问题 例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．故当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立． 拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】 用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立． 探究2 用数学归纳法证明不等式问题 例2 证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． [证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k 2＋k ＋12＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立． 拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )>g (k )，求证f (k ＋1)>g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，1＋12≤1＋121≤12＋1∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n ∈N *都成立． 探究3 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *. [证明] 证法一：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)，因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．所以当n ＝k ＋1时命题也成立， 由①②知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．证法二：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2(42k ＋1＋3k ＋2)．因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，所以42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N*.证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1.数列中的归纳—猜想—证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即 k 2＋k <k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程中未用到(2)中假设，所以不正确，故选D. 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13(n ∈N *)时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k (k ∈N *)时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)，故答案为2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝13＝1， 右边＝14×12×(1＋1)2＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，。

2.1.1 合情推理1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点) 2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点) 3．了解合情推理在数学发现中的作用．[基础·初探]教材整理 1 归纳推理和类比推理阅读教材 P 22～P 26“例 4”以上内容，完成下列问题.定义特征归纳 推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理， 或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整 体、由个别到一般的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对类比 类比推理是由特殊到特 象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 推理 殊的推理这些特征的推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是 180°×(3－2)，四边形的内角和是 180°×(4－2)，…，所以n 边形的内角和是 180°×(n －2)，使用的是类比推理．( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )【解析】 (1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理． (2)错误．类比推理不一定正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2合情推理阅读教材P27～P29的内容，完成下列问题．1．含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．合情推理的过程从具体问观察、分析、→→→题出发比较、联想归纳、类比提出猜想类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是()A．log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．a x＋y＝a x＋a yD．a·(b＋c)＝a·b＋a·c【解析】由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．【答案】 D[小组合作型]归纳推理1(1)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝－，则a2 017等于()a n＋11A．2B．－2C．－2 D．1(2)根据图2­1­1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：81092010】图2­1­11【解析】(1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{a n}是周期为3的数列，2 017＝2672×3＋1，∴a2 017＝a1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】(1)D(2)5091．由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．2．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：续表[再练一题]1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2­1­2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图2­1­2A．26B．31C．32D．36(2)把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2­1­3)，试求第六个三角形数是________．图2­1­3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1) 外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第六个三角形数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】(1)B(2)28类比推理在几何中的应用如图2­1­4所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABCp a p b p c内任意一点，P到相应三边的距离分别为p a，p b，p c，可以得到结论＋＋＝1. 【导学号：h a h b h c81092011】图2­1­4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．1BC·p ap a 2 S △PBC【自主解答】＝＝，h a 1 S △ABCBC·h a2p b S △PAC p c S △PAB同理，＝，＝.h b S △ABC h c S △ABC∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，p a p b p c S △PBC＋S △PAC＋S △PAB∴＋＋＝＝1.h a h b h c S △ABC类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p a p b p c p dp c，p d，可以得到结论＋＋＋＝1.h a h b h c h d1S △BCD·p ap a 3 V P­BCD证明如下：＝＝，h a 1 V A­BCDS △BCD·h a3p b V P­ACD p c V P­ABD p d V P­ABC同理，＝，＝，＝.h b V A­BCD h c V A­BCD h d V A­BCD∵V P­BCD＋V P­ACD＋V P­ABD＋V P­ABC＝V A­BCD，p a p b p c p d∴＋＋＋h a h b h c h dV P­BCD＋V P­ACD＋V P­ABD＋V P­ABC＝＝1.V A­BCD1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．[再练一题]2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[探究共研型]类比推理在其他问题中的应用探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理．a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1探究2在等差数列{a n}中，对任意的正整数n，有＝a n.类比这一n性质，在正项等比数列{b n}中，有什么性质？【提示】由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以n，即商类比成开n次方，即在正项等比数列{b n}中，有＝b n.n b1·b2·b3…b2n－1探究3观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式是什么？【提示】观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的x2 y2定值，试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．a2 b2【精彩点拨】双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明x2 y2【自主解答】类似性质：若M，N为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个a2 b2点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，b2 b2所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.a2 a2y－n y＋n y2－n2 b2 x2－m2 b2则k PM·k PN＝·＝＝·＝(定值)．x－m x＋m x2－m2 a2 x2－m2 a21．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．[再练一题]T20 T30 T40 3．在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等T10 T20 T30比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n} 的前n项和．可类比得到的结论是________.【导学号：81092012】【解析】因为等差数列{a n}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.【答案】数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为3001．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2­1­5)．图2­1­5则第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1)2【解析】观察前4个正方形数，恰好是序号加1的平方，所以第n个正方形数应为(n＋1)2.【答案】 D2．如图2­1­6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图2­1­6A．a n＝3n－1 B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.【答案】 A底×高3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积2公式为() 【导学号：81092013】r2 l2A. B.2 2lrC. D．无法确定2【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积lr公式S＝.2【答案】 C4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】1∶81 3a n5．已知在数列{a n}中，a1＝，a n＋1＝.2 a n＋3(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想a n.13 ×3a1 2 3【解】(1)a2＝＝＝，a1＋3 1 7＋323a2 3 3 3同理a3＝＝，a4＝，a5＝.a2＋3 8 9 103 3 3 3 3(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想a n＝.2＋5 3＋5 4＋5 5＋5 n＋5学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B 对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”a＋b a bC．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”c c cD．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n”【解析】由实数运算的知识易得C项正确．【答案】 C3．用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示，图2­1­7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】 D5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A二、填空题6．观察下列特殊的不等式：52－22 7≥2×，5－2 245－35 5 7≥2×(2 )3， 42－3298－28 8 11≥×5，93－233 (2 )910－510≥2×75，95－55…a s－b s由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥________.a r－b r52－22 7 2 5＋2【解析】≥2×＝1×( 2 )2－1，5－2 245－35 5 7 5 4＋3≥2×(2 )3＝2×( 2 )5－2， 42－3298－28 8 11 8 9＋2≥×5＝3×( 2 )8－3，3 (2 )93－23910－510 10 9＋5≥2×75＝5×( 2 )10－5， 95－55a s－b s由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥a r－b rs a＋br( 2 )s－r.s a＋b【答案】s－rr( 2 )7．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；4 三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已3知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr48．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{a n}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题112 19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝－且S n＋＋2＝a n(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，3 S n并猜想S n的表达式．【解】先化简递推关系：n≥2时，a n＝S n－S n－1，1∴S n＋＋2＝S n－S n－1，S n1∴＋S n－1＋2＝0.S n2当n＝1时，S1＝a1＝－.31 4 3当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.S2 3 41 5 4当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.S3 4 51 6 5当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.S4 5 6n＋1猜想：S n＝－，n∈N＋.n＋21 1 110．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，AD2 AB2 AC2类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】如图所示，由射影定理，得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，1 1AC2＝BC·DC，∴＝AD2 BD·DCBC2 BC2＝＝.BD·BC·DC·BC AB2·AC21 AB2＋AC2 1 1又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.AD2 AB2·AC2 AB2 AC21 1 1 1猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.AE2 AB2 AC2 AD2证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.12在Rt△ABF中，AE⊥BF，1 1 1∴＝＋.AE2 AB2 AF2在Rt△ACD中，AF⊥CD，1 1 1 1 1 1 1∴＝＋，∴＝＋＋.AF2 AC2 AD2 AE2 AB2 AC2 AD2[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；12 345×9＋6＝111 111；A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 BAG 2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝GD 2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为AOM，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝()OMA．1 B．2C．3 D．46此【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，3时易知点O即为正四面体内切球的球心设，其半径为r利，用等体积法有1 3 1 3 6 6 6 6 64××r＝××⇒r＝故，AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶3 4 3 4 3 12 3 12 46 6OM＝∶＝3∶1.4 12【答案】 C→→3．如图2­1­8所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为5－1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e2等于_____________________________________．13【导学号：81092015】图2­1­8x2 y2【解析】如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，a2 b2则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，→→所以FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．→→又因为FB⊥AB，→→所以FB·AB＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，1＋5 1－5所以e＝或e＝(舍去)．2 21＋5【答案】24．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】(1)选择②式，计算如下：1 1 3sin215°＋cos215°－sin 15°cos15°＝1－sin 30°＝1－＝.2 4 43(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.4证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cosα＋sin 30°sinα)2－sin α(cos 30°·cosα＋sin 30°sinα)143 3 1 3 1＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α4 2 4 2 23 3 3＝sin2α＋cos2α＝.4 4 415。

2.3.1 数学归纳法一、【学习目标】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、【课前案】阅读教材69-70页完成下列问题..1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：--------------------------------------------------(2)假设由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确三、【课中案】例1用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.例2用数学归纳法证明2)12(.......531n n =-++++例3判断下列推证是否正确，若不对，如何改正.n n )21(12121212132-=＋＋＋＋求证：证明：①当n=1时，左边＝21 右边＝212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，等式成立 ②设n=k 时，有k k )21(12121212132-=＋＋＋＋那么，当n=k+1时，有11132211211211212121212121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+k k k k ＋＋＋＋ 即n=k+1时，命题成立根据①②问可知，对n ∈N ＊，等式成立四、【课后案】1．满足1·2+2·3+3·4+…+n （n+1）=3n 2-3n+2的自然数等于 （）A ．1； B.1或2； C.1,2,3; D.1,2,3,4;2.在数列｛a n ｝中, a n =1-⋅+-+413121…n n 21121--则a k+1= （ ）A ．a k +121+k ；B.a k +421221+-+k k C.a k +221+k .D.a k +221121+-+k k .3.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n +y n 能被x+整除”的第二步是 ( )A.假使n=2k+1时正确,再推n=2k+3正确; B 假使n=2k-时正确,再推n=2k+1正确;C. 假使n =k 时正确,再推n=k+1正确D 假使n ≤k(k ≥1),再推n=k+2时正确(以上k ∈Z)4.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为21n(n-3)条时,第一步验证n 等于 ( )A.1.B.2;C.3;D.0;5.用数学归纳法证明:1+2+3+…+n 2=224n n +则n=k+1时左端在n=k 时的左端加上_________6. 数学归纳法证明 1+3+9+…+3)13(211-=-nn7.数学归纳法证明2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n。

2.3 第二课时数学归纳法(2)一、课前准备1．课时目标1.了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2.掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3.培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想2．基础预探(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1) ；(2) 由(1)，(2)可知，命题对于从n开始的所有正整数n都正确(2)“归纳————”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型．解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想.二、学习引领1. 问题情景(1)多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：条件②的作用是什么？可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证①②成立。

(2)用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：证明数列的通过公式是1nan=, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：，猜2. 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：11a a =,21a a d =+,312a a d =+,433a a d =+,1(1)n a a n d =+- 证明:等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=证明: (1) 当1n =时等式成立；(2) 假设当n k =时等式成立, 即1(1)k a a k d =+-, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即1n k =+时等式也成立．于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立3.证明中应注意的几个问题(1)数学归纳法第一步中的“第一个数0n ”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择．(2)注意n 与k 的不同，理解和书写时不要弄混．(3)第二步中要准确把握由n k =到1n k =+时，要证明的结论中到底需要添加（或舍去）哪些项，如用数学归纳法证明某数列问题时，当n k =时有，11112342k k S =++++,则1n k =+时有111111111234221222k k k k k S ++=++++++++++，不要弄错． (4)在证明第二步1n k =+命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法．在初学数学归纳法时常易犯不用归纳假设，而直接运用相关公式（如数列的有关公式）的错误，需特别注意．应通过例题和习题体会和练习怎样使用归纳假设，通过错例分析体会怎样避免不用归纳假设的情况．(5)数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切忌证不出而直接说结论成立．证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其它方法．为证1n k =+时结论成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的和必须的，常见变形技巧有提公因式、配方、恰当放缩、起点后移、增加跨度、强化命题、添项拆项等．另外，不妨先把1n k =+时的结论写出来，为证明提供方向．(6)数学归纳法中的两步缺一不可，否则结论不能成立．只有第一步，只能证明特殊情况，无法延续；只有第二步，没有奠基，可能会推出错误的结论．4.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当0n n =时，命题成立，再假设当*0(,)n k k n k N =≥∈时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数0001,2,3,n n n +++命题都成立.5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值0n 结论正确；(2)假设当*0(,)n k k n k N =≥∈时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确三、典例导析题型一 证明等式例 1.否存在常数,,a b c 使得等式22222(1)122334(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 成立？并证明你的结论． 思路导析:可先进行计算，找到,,a b c 的值，再归纳猜想，最后证明解析:假设存在常数,,a b c 使上式对n *∈N 均成立，则当123n =，，时上式显然也成立，此时可得212⨯=1()6a b c ++,221223⨯+⨯=1(42)2a b c ++,222122334⨯+⨯+⨯=93a b c ++,解此方程组，可得31110a b c ===，，．下面用数学归纳法证明等式: 22222(1)122334(1)(31110)12n n n n n n +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 均成立．当1n =时，命题显然成立．假设n k =时，命题成立．即22222(1)122334(1)(31110)12k k k k k k +⨯+⨯+⨯+++=++， 那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⨯+⨯+⨯++++++22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++221[(31110)12(2)]12k k k k k +=++++ 2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++2(1)[(1)1][3(1)11(1)10]12k k k k +++=++++． 即当1n k =+时，命题成立．综上所述，存在常数31110a b c ===，，，使得等式 22222(1)122334(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 均成立． 规律总结:对于利用数学归纳法证明存在性问题,首先取一些具体的数值,计算出字母的取值,再利用数学归纳法证明,即猜想“归纳——猜想——证明”的思维模式变式训练1. 数列{}n a 满足0n a >，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n S 的通项公式．题型二 证明不等式例 2.()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的a b ∈R ，都满足：()()()f ab af b bf a =+，若(2)2f =，(2)()n n U f n *=∈N ，求证：1n n U U +>． 思路导析:用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成．证明：∵()()()f ab af b b a =+对任意a b ∈R ，都成立，∴对于(2)n n U f =1n =时，1(2)212f ==⨯； 当2n =时，2(22)2(2)2(2)22f f f ⨯=+=⨯； 当3n =时，2223(22)2(2)2(2)32f f f ⨯=+=⨯； …，猜想(2)2()n n f n n *=∈N ．（※）下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，(2)12f =⨯，（※）式成立．（2）假设n k =时，（※）式成立，即(2)2k k f k =，当1n k =+时，1(2)(22)2(2)2(2)k k k k f f f f +=⨯=+ 111222222(1)2k k k k k k k k +++=⨯+⨯=+=+，∴1n k =+时，（※）式成立．由（1）和（2），可知对任何n *∈N ，(2)2n n f n =成立．所以(2)2()n n n U f n n *==∈N ．要证明结论成立，只需证明10()n n U U n *+->∈N ．∵11(1)222(2)0n n n n n U U n n n ++-=+-=+>，∴1n n U U +>成立．规律总结:先对前有限项进行求值, 通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想.变式训练2.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且11a b =，22a b =，12a a ≠，0n a >，n *∈N ，试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与n b （3n ≥，n *∈N ）的大小关系，并证明你的结论．题型三 实际问题例 3.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，*n N ∈，且10x >,不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数,,a b c .（Ⅰ）求1n x +与n x 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当1,,,x a b c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设2,1,a c ==为保证对任意1(0,2)x ∈，都有0,n x >*n N ∈则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.思路导析:先找出n x 与1n x +的关系式,再结合实际问题进行分析解析:（I ）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为n bx ，死亡量为2,n cx 因此得21,*.(*)n n n n n x x ax bx cx n N +-=--∈,即1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则n x 恒等于1x ，n ∈N*，从而由（*）式得()n n x a b cx --恒等于0,所以10a b cx --=,即1a b x c-= 因为10x >，所以a b >.猜测：当且仅当a b >，且c b a x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）若b 的值使得*0,n x n N >∈,由1(3),*n n n x x b x n N +=--∈知*03,n x b n N <<-∈,特别地，有103,x b <<- 即103,b x <<-而1(0,2)x ∈，所以(0,1]b ∈由此猜测b 的最大允许值是1. 下证: 当1(0,2)x ∈，1c =时，都有(0,2)n x ∈, *n N ∈ ①当1n =时，结论显然成立. ②假设当n k =时结论成立，即(0,2)k x ∈,则当1n k =+时，1(2)0,k k k x x x +=->又因为21(2)(1)1k k k k x x x x +=-=-++1≤2<,所以1(0,2)k x +∈，故当1n k =+时结论也成立.由①、②可知，对于任意的*n N ∈，都有(0,2)n x ∈.综上所述，为保证对任意1(0,2)x ∈, 都有*0,n x n N >∈，则捕捞强度b 的最大允许值是1规律总结:对于实际问题一定要找出递推关系式,再结合具体问题对猜想的结论使用数学归纳法进行证明.变式训练3.设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：2*()n n y x a x b n N =++∈，其中11242n n a n -=---，n x 由以下方法得到：11x = ，点22(,2)P x 在抛物线1C ：211y x a x b =++上，点1A (1x ，0)到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：2n n y x a x b =++上，点n A (n x ，0)到1n P+的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求2x 及1C 的方程． (Ⅱ)证明{}n x 是等差数列四、随堂练习1.用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A ．假设21()n k k *=+∈N 时正确，再推证23n k =+正确B ．假设21()n k k *=-∈N 时正确，再推证21n k =+正确C ．假设(1)n k k k *=∈N ，≥的正确，再推证2n k =+正确D ．假设(1)n k k k *∈N ，≤≥时正确，再推证2n k =+正确2.用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=+∈N ，从k 到1k +右端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(23)k +C ．211k k ++D ．231k k ++ 3.已知21111()()12f n n n n n n*=++++∈++N ，则()f n 中共有 项． 4.设21()61n f n -=+，则(1)f k +用含有()f k 的式子表示为 ．5.数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之．6.已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足||,n n b a =*12()n n S b b b n N =+++∈ （Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S 五、课后作业1．如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ）A ．()p n 对所有自然数n 成立B ．()p n 对所有正偶数n 成立C ．()p n 对所有正奇数n 成立D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立2.用数学归纳法证明：“22111(1)1n n a a a a a a ++-++++=≠-”在验证1n =时，左端计算所得的项为（ ）A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++3.已知*111()1()23f n n N n =++++∈，用数学归纳法证明(2)2n n f >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ．4.用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>成立，起始值至少应取为 ． 5.设111()123f n n=++++，是否存在()g n 使等式(1)(2)(1f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切自然数都成立，并证明你的结论． 6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式l n (1)x x +<对0x >成立,求证2:(1)n a e n <≥，其中无理数e=2.71828….第二课时 数学归纳法(2)答案及解析2．基础预探(1)证明：当n 取第一个值0n 结论正确 假设当*0(,)n k k n k N =≥∈时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确.(2) 猜想 证明三、典例导析变式训练1.解析:∵0n a >，∴0n S >．由1111112S a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭变形整理，得211S =，取正根，得11S ==， 由222112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭及22121a S S S =-=-，得22211121S S S ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，变形整理，得222S =，取正根，得2S3S =．由此猜想n S =纳法证明：（1）当1n =时，上面已求出11S =，结论成立．（2）假设当n k =，k *∈N 时，结论成立，即k S 1n k =+时，11111111111222k k k k k k k k S a S S S a S S ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝， 整理得211k S k +=+，取正根，得1k S += 故1n k =+时，结论成立．由（1）和（2），可知对任何n *∈N，n S =变式训练 2.解：设11a b a ==，{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．22(1)a b a d aq d a q ∴=⇒+=⇒=-．因为0n a >，12a a ≠，0d ∴>，0a >，11d q a∴=+>． 22233(2)2(1)(1)0b a aq a d aq a a q a q ∴-=-+=---=->，33b a ∴>．又3244(3)(1)(2)0b a aq a d a q q -=-+=-+>，44b a ∴>．猜想(3n n b a n n *>∈N ，≥．下面用数学归纳法证明此猜想：当3n =时，已证33b a >，猜想正确．（2）假设当n k=（3k ≥，k *∈N ）时猜想正确，即k k b a <．则当1n k =+时，由1k k b a q -=，(1)k a a k d =+-知：1(1)k aq a k d ->+-，又1q >，(1)k aq aq k dq ∴>+-，而(d a q =-，11()(1)()k k k b a aq a kd aq k dq a kd ++∴-=-+>+--+(1)(1)(1)aq k qa q a ka q =+-----2(1)(1)0a k q =-->，11k k b a ++∴>．即当1n k =+时，猜想也成立．由（1）和（2）可知，对3n ≥，n *∈N ，均有n n b a >成立．变式训练3.解析：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+，设点(),P x y 是1C 上任意一点，则1||A P ==()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-，由题意得()20f x '=， 即()()()222122127270x x x b x -+-+-=又()22,2P x 在1C 上，所以222127x x b =-+，解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+(Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则||n A P ==令()()()222n n n g x x x x a x b =-+++，则()()()()2222n n n ng x x x x a x b x a '=-++++， 由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n n n n x x x a x b x a +++-++++= 又1212n n n n n x a x b ++=++， ()()()112201n n n n n x x x a n ++-++=≥，即()()111220*n n n n n x x a +++-+= 下面用数学归纳法证明21n x n =-，①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=，又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}n x 是等差数列四、随堂练习1.B 解析: 21k +的下一个正奇数为23k +2.B 解析: 1,2135(21),1,2135(21)(23)k k n k k n k k k +=⋅⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅⋅+⋅+,增乘2(23)k + 3.21n n -+ 解析: 注意到首项和末项21n n -+4.36()35f k -解析: 2121()61,(1)61,(1)k k f k f k f k -+=++=++=36()35f k -5.解：由112a a =-，11a =，由12222a a a +=⨯-，得232a =．123323a a a a ++=⨯-，得374a =． 由1234424a a a a a +++=⨯-，得4158a =．猜想1212n n n a --=．下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）1n =时，左边11a =，右边11112121122n n +---===，猜想成立．（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121222k k k k S k a k --=-=-．则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-，得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，11[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．这就是说，当1n k =+时，等式也成立．由(1)(2)得1212n n n a --=对n *∈N 均成立． 6.解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥ 下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤所以，当n=k+1时，不等也成立,根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.2)13(1--≤n nn b所以12212)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n n n b b b S 2131)213(1)13(----⋅-=n.33221311)13(=--⋅-<故对任意.332,<∈*n S N n 五、课后作业 1.B 解析:2,4,6,8n =命题成立2.C 解析: 1,n =112a a +=3.111121222k k k ++++++ 解析: 11111(2)12312kkf k k =++++++++, 111111(2)12312k k f k k +=++++++++111212k k +++++4.8 解析: 11111111127212124226412n n n ---++++==->-,即7n > 5.解：(1f =，1(2)12f =+，11(3)123f =++，由(1)(2)(f f f n g n f n g n+++-=-， 得当2n =时，(1)(2)(2)f g f g =-，可得(2)2g =．当3n =时，(1)(2)(3)(f f g f g +=-，得(3)3g =．猜想：()g n n =．用数学归纳法证明：当2n =时，已验证成立．假设n k =（2k ≥，k *∈N ）时成立，即()g k k =，且有(1)(2)(1)[()1]f f f k k f k +++-=-成立．则当1n k =+时，(1)(2)(1)()[()1]()(1)()f f f k f k k f k f k k f k k+++-+=-+=+-1(1)(1)1k f k k k ⎡⎤=++--⎢⎥+⎣⎦ (1)(1)(1)k f k k =++-+．即当1n k =+时成立．综上可知，()g n n =使等式(1)(2)(1)()()()f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切自然数都成立．6.（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k 那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nnn n a +++≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故。

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究新人教A版选修2-2探究一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1，n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【典型例题1】用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0；第二步在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任意n∈N*都成立．探究二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1．验证第1个n 的取值时，要注意n 0不一定为1，若条件为n ＞k ，则n 0＝k ＋1. 2．证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．3．应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n ＝k ＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程．4．证明n ＝k ＋1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大”或“缩的过小”．【典型例题2】用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n＞n (其中n ∈N *，n ＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1k ＋1. (方法1)由于⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －kk ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞k ＋1.即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立． 探究三 归纳—猜想—证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；【典型例题3】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明．思路分析：本题考查数列中的归纳——猜想——证明问题，先由前n 项猜测a n ，再用数学归纳法证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2时易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k ＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2，即当n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确． 探究四 易错辨析易错点：没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．。

高中数学第二章推理与证明2.3第1课时数学归纳法（1）学案新人教A 版选修22一、课前准备1．课时目标1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤2.掌握数学归纳法证明问题的方法3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2．基础预探(1)归纳法：由一些特殊事例推出 的推理方法.特点：由(2)不完全归纳法: 根据事物的 得出一般结论的推理方法(3)完全归纳法: 把研究对象 考查到了而推出结论的归纳法(4)数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明；然后假设当*0(,)n k k N k n =∈≥时命题成立，证明 这种证明方法就叫做数学归纳法二、学习引领1. 问题情景(1)华罗庚的“摸球实验”这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？ 方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性.方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球,上述方法可行吗？2.费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n N ∈时，221n +一定都是质数，这是他对0,1,2,3,4n =作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297 =6 700 417×641,从而否定了费马的推测．没想到当5n =这一结论便不成立．(3)探讨41)(2++=n n n f , 当n N ∈时，)(n f 是否都为质数验证：(0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =，(7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，…，(39)1601f =,但是2(40)168141f ==，是合数．这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了1,2,3,4n =几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立,上述证明方法叫做数学归纳法补充说明：（1）数学归纳法适用于与正整数有关的问题，常用来证明用不完全归纳得到的结论．要有强烈的数学归纳法与正整数之间的对应意识，做到看到有关正整数的证明问题，马上想到是否可以用数学归纳法来证明．（2）“数学归纳法”与“归纳法”不同，“归纳法”是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，而“数学归纳法”是一种有关正整数问题的证明方法．“归纳法”通常可分为完全归纳法和不完全归纳法，其中完全归纳法的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论则不一定正确．而用“数学归纳法”证明的结论必是正确的．（3）这两步步骤缺一不可.（4）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当1n k =+时命题成立”.（5）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析.5.用数学归纳法证题的两个步骤及其作用数学归纳法的定义即是证题的步骤，在证明过程中必须按步骤进行．其中，第一步是奠基步骤，是论证命题成立的基础保证，也称为归纳基础（又称特殊性）；第二步是递推步骤，是解决命题具有后继传递性的保证（又称延续性），即只要命题对于某个正整数成立，就能保证该命题对于后续正整数都成立．这两个步骤相辅相成，缺一不可．数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.三、典例导析题型一 等式问题例1 已知n *∈N ，求证：111111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++． 思路导析:先证明1n =时不等式成立,再假设当n k =时成立,证明1n k =+时成立证明：（1）当1n =时，等式左边11122=-=，右边12=，等式成立．（2）假设当n k =时，命题成立．即111111111234212122k k k k k -+-++-=+++-++． 则当1n k =+时，111111112342122(1)12(1)k k k k -+-++-+--+-+ 11111122212(1)k k k k k =++++-++++ 11111232112(1)k k k k k ⎡⎤=++++-⎢⎥+++++⎣⎦1111(1)1(1)22(1)12(1)k k k k =+++++++++-+。

高中数学 第2章《推理与证明》教案（1） 新人教A 版选修22课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排：1课时 ●教学过程： 一.问题情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。

2.3 数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，表达了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?[提示] 不一定．如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°，第一个值n 0＝3. 2．数学归纳法的框图表示1．下面四个判断中，正确的选项是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋k C ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，那么f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4C [A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ；B 中，n ＝1时，式子＝1；C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.故正确的选项是C.]2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，那么用数学归纳法证明时，先验证n ＝________成立．[答案] 23.S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，那么S 1＝________，S 2＝________，S 3＝________，S 4＝________，猜想S n ＝________.13 25 37 49 n 2n ＋1 [分别将1,2,3,4代入得S 1＝13， S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49， 观察猜想得S n ＝n 2n ＋1.]用数学归纳法证明等式“从k 到k ＋1〞左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． (1)2(2k ＋1) [令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，那么 f (k )＝(k ＋1) (k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．](2)证明： ①当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立．②假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，那么当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： (1)弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．[跟进训练]1．求证：1－12 ＋13 －14 ＋… ＋12n －1 －12n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋… ＋12n (n ∈N *)．[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12(k ＋1) ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，对于任意n ∈N *，等式都成立.归纳—猜想—证明[例2] 数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)的前n 项和为S n ，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．[解] S 1＝11×4 ＝14； S 2＝14 ＋14×7 ＝27 ；S 3＝27 ＋17×10 ＝310 ；S 4＝310 ＋110×13 ＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n3n ＋1 .下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14 ，右边＝n3n ＋1 ＝13×1＋1 ＝14 ， 猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1(3k －2)(3k ＋1) ＝k 3k ＋1 ， 那么当n ＝k ＋1时，11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1(3k －2)(3k ＋1) ＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k3k ＋1 ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n ∈N *都成立．(1)“归纳—猜想—证明〞的一般环节(2)“归纳—猜想—证明〞的主要题型 ①数列的递推公式，求通项或前n 项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．[跟进训练]2．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．[解] 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1； 由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32 ；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74 ；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n －12n －1 .下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 那么有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[]2(k ＋1)－S k ＝k ＋1－12 (2k －2k －12k －1 )＝2k ＋1－12(k ＋1)－1 ，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．用数学归纳法证明不等式1．你能指出以下三组数的大小关系吗？ (1)n ，n (n －1)，n (n ＋1)(n ∈N *)；(2)1n 2，1n (n －1)，1n (n ＋1)(n ∈N *，n >1)； (3)12n ＋1＋12n ，12n －1(n ∈N *)． [提示] (1)n (n －1)<n <n (n ＋1)；(2)1n (n ＋1)<1n 2<1n (n －1)；(3)∵12n ＋1＋12n <12n ＋12n ＝22n＝12n －1，∴12n ＋1＋12n <12n －1. 2．结合探究问题1，试给出一些常见的不等式放缩方法．[提示] 在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如： (1)1k ＝2k ＋k >2k ＋k ＋1＝2()k ＋1－k()k ∈N *，k >1，1k ＝2k ＋k <2k ＋k －1 ＝2()k －k －1()k ∈N *，k >1.(2)1k 2<1k (k －1)＝1k －1－1k (k ≥2), 1k 2>1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1. (3)1k 2<1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1)(k ≥2)． [例3] 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．思路探究：按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明] (1)当n ＝1时， 32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即1＋k 2 ≤ 1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ≤ 12 ＋k ，那么当n ＝k ＋1时，1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋… ＋12k ＋2k >1＋k 2 ＋2k ·12k ＋1 ＝1＋k ＋12 . 又1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋… ＋12k ＋2k <12 ＋k ＋2k ·12k＝12 ＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． [跟进训练]3．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时， 不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以，当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立． 4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k . 那么当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2 <2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)和(2)知原不等式在n ≥2时均成立．用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即f (k )＞g (k )，求证f (k ＋1)＞g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否那么这样的证明就不是数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算所得的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3C [当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 1＋1＝1＋a ＋a 2，故C 正确．]2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k 〞到“n ＝k ＋1〞，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)C [当n ＝k 时，左边是共有2k ＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边共有2k ＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．应选C.]3．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此推测，当n ＞2时，有________． [答案] f (2n )＞n ＋224．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，那么当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．122＋132＋…＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3 [从不等式结构看，左边n ＝k ＋1时，最后一项为1(k ＋2)2，前面的分母的底数是连续的整数，右边n ＝k ＋1时，式子为12－1(k ＋1)＋2，即不等式为122＋132＋…＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3.] 5．用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n . [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1)..专业. ＝(k ＋1)＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立．。

2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．要点一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是________．答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．规律方法 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.要点二 证明与自然数n 有关的等式例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k＋12k ＋1＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； (2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12－12k k ＋1＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，n 2n －12 n ≥2，下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2n －12.①当n ＝2时，a 2＝222－12＝22，所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝k 2k －12，则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝k ＋12a 1·a 2·…·a k －1·a k＝k ＋12k －12·k －12[k ＋1－1]2＝k ＋12[k ＋1－1]2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2n －12，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，n 2n －12 n ≥2.规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n n ＋12a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×2＋12a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×3＋12a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×4＋12a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130.(2)由(1)的结果猜想a n ＝1n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法给予证明：①当n ＝1时，a 1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k ＋1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·k ＋12a k ，① S k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1， ②②与①相减得a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1－k ·k ＋12a k ，整理得a k＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1k ＋1k ＋2＝1k ＋2k ＋3＝1[k ＋1＋1][k ＋1＋2]，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝712，T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝712. (2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋1＝T k ＋12k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＋12k ＋1＝T k ＋1.由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2k ＋2k ＋3＝2k ＋3＝2k ＋1＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)． 9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋12.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k k ＋12，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k k ＋12＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·k ＋1k ＋22＝(－1)k ＋1－1·k ＋1[k ＋1＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋51－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想a n＝1n n＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即a k＝1k k＋1. 那么，当n＝k＋1时，S k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，即S k＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1.又S k＝1－ka k＝kk＋1，所以kk＋1＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，从而a k＋1＝1k＋1k＋2＝1k＋1[k＋1＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。

数学归纳法【学习目标】了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 【重点难点】重点：理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤.难点：运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系. 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 92-95内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.什么是数学归纳法?一般的，当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个不骤：（1）证明当0n n =时命题成立；（2）假设当n=k （0,k N k n +∈≥且）时命题成立，证明1n k =+时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对不小于0n 的所有正整数都成立。

这种证明方法成为数学归纳法.2.数学归纳法是用来证明 与正整数有关 的命题的;证明步骤是 (1) 证明当0n n =时命题成立 ;(2) 假设当n=k （0,k N k n +∈≥且）时命题成立，证明1n k =+时命题也成立 . 【合作探究】问题1：用数学归纳法证明等式 1. 用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证明：（1）当1n =时，左边=1=右边，成立. （2）假设1)n k k =≥（时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=.当1n k =+时，左边=135(21)[2(1)1]k k ++++-++-2221(1)k k k =++=+因此，当1n k =+时命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立. 2. 用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n 证明：（1）当1n =时，左边=13=右边，成立. （2）假设1)n k k =≥（时，命题成立，即222121335(21)(21)(1)2(21)k k k k k k +++⋅⋅-++=+当1+=k n 时，右边=2(1)(1)2(21)(21)(23)(1)(2)(1)[(1)1]2(23)2[2(1)1]k k k k k k k k k k k k +++++++++++==+++因此，当1n k =+时命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立. 问题2：用数学归纳法证明不等式 1. 用数学归纳法证明：22211111++++2(2,)23n n N n n+<-≥∈证明：（1）当2n =时，21513122422+=<-=，命题成立； （2）假设当(2,)n k k k N +=≥∈时命题成立，即22211111++++223k k<-， 当1n k =+时，2222211111++++23(1)111122(1)(1)11112211k k k k k k k k k k k +<+-+<-+++=-+-=-++ 命题成立，由（1）（2）知，原不等式在2,n n N +≥∈时均成立.2. 设1n >(n N +∈),求证：21111+++112n n n n+>++. 证明（1）当2n =时，左边=11113123412++=>.（2）假设当(2,)n k k k N +=≥∈时命题成立，即21111+++112k k k k+>++ 那么1n k =+时2222222222222111+++1(1)1(1)11111(1)1211112(1)1111()111112(1)211111(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+=+++++++++++++=+++++++++-+++-->+-=+++22222192()2415951()124441111+++11(1)1(1)1(1)k k k k k k k k k ≥∴-≥∴-+=--≥-=∴+>++++-+所以当1n k =+时，不等式也成立.由（1）（2）知，原不等式在2,n n N +≥∈时均成立.问题3：.归纳——猜想——证明 1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝nna a +1（n ∈N+），先计算a 1，a 2，a 3的值，再推测通项n a 的公式． 解：由题意得：12341111,,,234a a a a ==== 归纳猜想的1n a n=. 证明：（1）显然，当1n =时，成立。

2.3 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0（n 0∈N *）时命题成立；（2）（归纳递推）假设n ＝k （k ≥n 0，k ∈N *）时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法Ｗ.1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n 项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.第一个值n 0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n 0都是1.3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当n ＝k （k ≥n 0，k ∈N *）时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时命题也成立.而不能直接将n＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（ ） （2）数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.（ ） （3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（ ） 答案：（1）× （2）× （3）√用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于（n －2）π”时，归纳奠基中n 0的取值应为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：选C.根据凸n 边形至少有3条边，知n ≥3，故n 0的取值应为3.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n ＋3）＝（n ＋3）（n ＋4）2（n ∈N *）时，第一步验证n ＝1时，左边应取的项是（ ）A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4答案：D用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n （n ∈N *且n >1）第一步要证明的不等式是 ，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左端增加了 项.解析：当n ＝2时，1＋12＋13<2.当n ＝k 时到第2k－1项， 而当n ＝k ＋1时到第2k ＋1－1项，所以2k ＋1－1－（2k－1）＝2k ＋1－2k ＝2·2k －2k ＝2k.答案：1＋12＋13<2 2k探究点1 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n （3n ＋1）＝n （n ＋1）2，其中n ∈N *.【证明】 （1）当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.（2）假设当n ＝k （k ∈N *）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k （3k ＋1）＝k （k ＋1）2， 那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k （3k ＋1）＋（k ＋1）[3（k ＋1）＋1] ＝k （k ＋1）2＋（k ＋1）[3（k ＋1）＋1]＝（k ＋1）（k 2＋4k ＋4）＝（k ＋1）[（k ＋1）＋1]2， 即当n ＝k ＋1时等式也成立.根据（1）和（2）可知等式对任何n ∈N *都成立.用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n （n ＋1）2（2n ＋1）. 证明：（1）当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立.（2）假设当n ＝k 时等式成立即有121×3＋223×5＋…＋k2（2k －1）（2k ＋1）＝k （k ＋1）2（2k ＋1），那么当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3），即当n ＝k ＋1时等式也成立.由（1）（2）可得对于任意的n ∈N *等式都成立. 探究点2 用数学归纳法证明不等式求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56（n ≥2，n ∈N *）. 【证明】 （1）当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边＞右边，不等式成立.（2）假设当n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时不等式成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56，则当n ＝k ＋1时， 1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.（*） 法一：（分析法）下面证（*）式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0，只需证（3k ＋2）（3k ＋3）＋（3k ＋1）（3k ＋3）＋（3k ＋1）（3k ＋2）－3（3k ＋1）（3k ＋2）≥0，只需证（9k 2＋15k ＋6）＋（9k 2＋12k ＋3）＋（9k 2＋9k ＋2）－（27k 2＋27k ＋6）≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 法二：（放缩法）（*）式＞⎝⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立.用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n （n ≥2，n ∈N *）. 证明：（1）当n ＝2时， 左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14＜12，所以不等式成立.（2）假设n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时， 不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2＜1－1k ＋1（k ＋1）2＝1－（k ＋1）2－k k （k ＋1）2＝1－k 2＋k ＋1k （k ＋1）2＜1－k （k ＋1）k （k ＋1）2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立. 探究点3 归纳——猜想——证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n （n ∈N *）. （1）写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式. 【证明】 （1）因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以S 1＝a 1＝1，当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，可得a 2＝13，S 2＝1＋13＝43；当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝9a 3，可得a 3＝16，S 3＝1＋13＋16＝32；当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝16a 4，可得a 4＝110，S 4＝85.猜想S n ＝2nn ＋1.（2）下面用数学归纳法证明猜想成立. ①当n ＝1时，结论显然成立.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论成立，即S k ＝2kk ＋1， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝（k ＋1）2a k ＋1＝（k ＋1）2（S k ＋1－S k ）， 所以（k 2＋2k ）S k ＋1＝（k ＋1）2S k ＝（k ＋1）2·2k k ＋1， 所以S k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2.故当n ＝k ＋1时结论也成立.由①②可知，对于任意的n ∈N *，都有S n ＝2n n ＋1. 因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＝S n n 2＝2n n ＋1n2＝2n （n ＋1）.“归纳—猜想—证明”的一般步骤已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.（1）写出a 1，a 2，a 3，推测a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得结论.解：（1）由S n ＋a n ＝2n ＋1，得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，推测a n ＝2n ＋1－12n＝2－12n （n ∈N *）. （2）证明：a n ＝2－12n （n ∈N *）.①当n ＝1时，a 1＝2－121＝32，结论成立.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论成立，即a k ＝2－12k ，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2（k ＋1）＋1，因为a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，所以2a k ＋1＝a k ＋2，所以2a k ＋1＝4－12，所以a k ＋1＝2－12，所以当n ＝k ＋1时结论成立.由①②知对于任意正整数n ，结论都成立.——————————————————————————————————————（本题满分12分）给出四个等式： 1＝1，1－4＝－（1＋2）， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4）， …（1）写出第5，6个等式，并猜测第n （n ∈N *）个等式； （2）用数学归纳法证明你猜测的等式.【解】 （1）第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， （1分） 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－（1＋2＋3＋4＋5＋6）， （2分）第n 个等式为：12－22＋32－42＋…＋（－1）n －1n 2＝（－1）n －1（1＋2＋3＋…＋n ）.（4分）正确猜测此结论,是本题的基础.（2）证明：①当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝（－1）0×1＝1，左边＝右边，等式成立.（6分）②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋（－1）k －1k 2＝（－1）k －1（1＋2＋3＋…＋k ） ＝（－1）k －1·k （k ＋1）2. （7分）则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋（－1）k －1k 2＋（－1）k （k ＋1）2＝（－1）k －1·k （k ＋1）2＋（－1）k （k ＋1）2＝（－1）k（k ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋1）－k 2＝（－1）k（k ＋1）[（k ＋1）＋1]2＝（－1）k（1＋2＋3＋…＋k ＋1）.（10分）由n ＝k 到n ＝k ＋ 1是本题难点.)所以n ＝k ＋1时，等式也成立， （11分） 根据①②可知，对∀n ∈N *等式均成立.（12分）（1）应用数学归纳法时，可按口诀“递推基础不可少，归纳假设要用到，突出形式明依据，总结定论莫忘掉”来检查要点.（2）在数学归纳法应用中，要明确当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加的项为（－1）k （k ＋1）2.这样才可正确求解.1.一个关于自然数n 的命题，如果证得当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k （k ≥1且k ∈N *）时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对解析：选B.本题证明了当n ＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.A ，C ，D 不正确.2.用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1134”时，由k 到k ＋1，不等式左边的变化是（ ）A.增加12（k ＋1）一项B.增加12k ＋1和12k ＋2两项C.增加12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项 D.以上结论都不正确解析：选C.当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）＋（k －1）＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）， 故不等式左边的变化是增加12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项. 3.求证：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2（n ∈N *）.证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝12，所以不等式成立.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k －1＞k 2.则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k ＞k 2＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k ＞k 2＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k 2＋2k －1·12k ＝k ＋12.所以当n ＝k ＋1时， 不等式成立.由①②可知1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2（n ∈N *）成立.[A 基础达标]1.用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a（a ≠1，n ∈N *）”，在验证n ＝1成立时，左边的项是（ ）A.1B.1＋aC.1＋a ＋a 2D.1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C.因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.2.用数学归纳法证明n ＋（n ＋1）＋（n ＋2）＋…＋（3n －2）＝（2n －1）2（n ∈N *）时，若记f （n ）＝n ＋（n ＋1）＋（n ＋2）＋…＋（3n －2），则f （k ＋1）－f （k ）等于（ ）A.3k －1B.3k ＋1C.8kD.9k解析：选C.因为f （k ）＝k ＋（k ＋1）＋（k ＋2）＋…＋（3k －2），f （k ＋1）＝（k ＋1）＋（k ＋2）＋…＋（3k －2）＋（3k －1）＋3k ＋（3k ＋1），则f （k ＋1）－f （k ）＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .3.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是（ ） A.假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确（k ∈N *） B.假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确（k ∈N *） C.假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确（k ∈N *） D.假设n ≤k （k ≥1）时正确，再推n ＝k ＋2时正确（k ∈N *）解析：选B.n ∈N *且为奇数，由假设n ＝2k －1（k ∈N *）时成立推证出n ＝2k ＋1（k ∈N *）时成立，就完成了归纳递推.4.用数学归纳法证明不等式12＋13＋…＋12n ≤n 时，从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式左边增添的项数是（ ）A.kB.2k－1 C.2kD.2k＋1解析：选C.当n ＝k 时，不等式左边为12＋13＋14＋…＋12k ，共有2k－1项；当n ＝k ＋1时，不等式左边为12＋13＋14＋…＋12k ＋1，共有2k ＋1－1项，所以增添的项数为2k ＋1－2k ＝2k.5.对于不等式 n 2＋n ＜n ＋1（n ∈N *），某同学应用数学归纳法的证明过程如下： （1）当n ＝1时， 12＋1＜1＋1，不等式成立.（2）假设当n ＝k （k ∈N *）时，不等式成立，即 k 2＋k ＜k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知对于任何n ∈N *，不等式均成立. 则上述证法（ ） A.过程全部正确 B.n ＝1验得不正确 C.归纳假设不正确D.从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程不正确解析：选D.此同学从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有应用归纳假设.6.用数学归纳法证明“设f （n ）＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f （1）＋f （2）＋…＋f （n－1）＝nf （n ）（n ∈N *，n ≥2）”时，第一步要证的式子是 Ｗ.解析：因为n ≥2，所以n 0＝2.观察等式左边最后一项，将n 0＝2代入等式，可得2＋f （1）＝2f （2）.答案：2＋f （1）＝2f （2）7.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是 Ｗ.解析：观察不等式左边的分母可知，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边多出了1（k ＋2）2这一项.答案：122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3 8.对任意n ∈N *，34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝ Ｗ.解析：当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5；当a ＝3且n ＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：59.证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n （n ∈N *）.证明：①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立.②假设当n ＝k （k ∈N *且k ≥1）时等式成立. 即1－12＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1），所以当n ＝k ＋1时等式也成立， 由①②知，对一切n ∈N *等式都成立.10.已知数列{a n }中，a 1＝5，S n －1＝a n （n ≥2且n ∈N *）. （1）求a 2，a 3，a 4并由此猜想a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明{a n }的通项公式.解：（1）a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝20. 猜想：a n ＝5×2n －2（n ≥2，n ∈N *）（2）证明：①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5成立.②假设当n ＝k （k ≥2且k ∈N *）时猜想成立，即a k ＝5×2k －2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5（1－2k －1）1－2＝5×2k －1.故当n ＝k ＋1时，猜想也成立.由①②可知，对n ≥2且n ∈N *，都有a n ＝5×2n －2.于是数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2且n ∈N *. [B 能力提升]11.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n （na －b ）＋14对一切n ∈N *都成立，那么a ，b 的值为（ ）A.a ＝12，b ＝14B.a ＝b ＝14C.a ＝0，b ＝14D.a ＝14，b ＝12解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a ，b 的值代入原式，令n ＝1，2验证，易知选A.法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n （na －b ）＋14对一切n ∈N *都成立，所以当n ＝1，2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋14，1＋2×3＝32（2a －b ）＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.12.用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为 ，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是 Ｗ.解析：当n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24， 从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k＋25k ＋1＋…＋25（k ＋1）－1.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋413.平面内有n （n ≥2，n ∈N *）条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f （n ）＝n （n －1）2.证明：（1）当n ＝2时，两条直线有一个交点，f （2）＝1，命题成立. （2）假设当n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，命题成立，即f （k ）＝k （k －1）2.那么当n ＝k＋1时，第k ＋1条直线与前k 条直线均有一个交点，即新增k 个交点，所以f （k ＋1）＝f （k ）＋k ＝k （k －1）2＋k ＝k 2＋k 2＝（k ＋1）[（k ＋1）－1]2，即当n ＝k ＋1时命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n ≥2，n ∈N *成立. 14.（选做题）若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立. （1）猜想正整数a 的最大值； （2）用数学归纳法证明你的猜想.解：（1）当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋11＋3＝1312＝2624，即2624＞a24，所以a ＜26，而a 是正整数，所以猜想a 的最大值为25.（2）下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞2524. ①当n ＝1时，已证.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋1＞2524. 那么当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋1（k ＋1）＋3＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13（k ＋1）＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＝2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8－23（k ＋1） ＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤6（k ＋1）9k 2＋18k ＋9－23（k ＋1） ＝2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤23（k ＋1）－23（k ＋1） ＝2524， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立. 根据①②，可知对任何n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞2524.所以正整数a 的最大值为25.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。