2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.2(一)一元二次不等式及其解法(一)

第2课时一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法 一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .知识点三 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于x －5x ＋3>0等价于(x －5)(x ＋3)>0，故y ＝x －5x ＋3与y ＝(x －5)(x ＋3)图象也相同．( × )2．x 2＋1≥2x 等价于(x 2＋1)min ≥2x .( × )3．对于ax 2＋3x ＋2>0，当a ＝1时与a ＝－1时，对应的不等式解集不能求并集．( √ ) 4．(ax ＋1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x ＋1)>0.( × )题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，⎩⎭(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.⎩⎭题型二 不等式恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 引申探究把例2(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围． 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5， m (x 2－x ＋1)－6<0. 设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∴x 2－x －1<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.反思感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]， 则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.题型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解 当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.穿针引线解高次不等式观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－x n)，不妨设x1<x2<x3<…<x n.其图象有两个特点：①当x＞x n时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－x n＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)<0)的解集．如第三个不等式解集为(0,1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．典例解不等式x－1x(x＋1)＞0.解x－1x(x＋1)＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，穿针引线：解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．[素养评析]穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2. 2．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．[1,2]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 答案 D解析 由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.3．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，2]D ．(－1,2]答案 D解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0，即x－2x＋1≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1<x≤2.4．若不等式x2＋x＋k<0在区间[－1,1]上恒成立，则实数k的取值范围是．答案(－∞，－2)解析x2＋x＋k<0，即k<－(x2＋x)在区间[－1,1]上恒成立，即k<[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k<－2.5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.解方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min . 3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、选择题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，(x －1)(2x ＋1)≤0，解得－12<x ≤1.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3， ∴m 的最大值为－3.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4]答案 D解析 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1<0无解，符合题意． 当a <0时，ax 2－ax ＋1<0解集不可能为空集． 当a ＞0时，要使ax 2－ax ＋1<0解集为空集，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，a ∈[0,4]．4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <a 或x >1a B.{}x | x >aC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0. 又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅ 答案 A解析 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点， 又m >0，所以原不等式的解集不可能是B ，C ，D ，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则实数x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(－3,0) D ．(－1,3) 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.二、填空题9．不等式5－xx ＋4≥1的解集为 ．答案 ⎝⎛⎦⎤－4，12 解析 因为5－x x ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.10．若不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (－1,0]解析 当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋4a (a ＋2)<0，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]．11．(2018·上饶模拟)当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则实数a 的最小值为 ． 答案 －2解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0时，有f (0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2<0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 三、解答题12．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，4(a －2)2－4(a －2)·(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立， 综上所述，－2<a ≤2.13．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由题意可得a <0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca ＝αβ＞0， ②∵a <0,0<α<β， ∴由②得c <0，则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α， 即不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α. 方法二 由题意知a <0，∴由cx 2＋bx ＋a <0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1β或x ＞1α.14．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为 ． 答案 [－3,2)解析 ∵－2是2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解，∴2(－2)2＋(2k ＋5)(－2)＋5k ＝k －2<0.∴k <2，－k >－2>－52，∴2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝(x ＋k )(2x ＋5)<0的解集为⎝⎛⎭⎫－52，－k ， 又x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}， ∴－2<－k ≤3，∴k 的取值范围为[－3,2)． 15．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0， 解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法（第1课时）练习（含解析）新人教A 版必修5一、选择题：1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集为( )A ．{x |x ≤2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅【答案】C【解析】：由－x 2－x ＋2≥0，得x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，所以原不等式解集为{x |－2≤x ≤1}．2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)【答案】B【解析】由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1. 3．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 【答案】D【解析】结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx ＋c ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0.4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14 【答案】D【解析】由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13.所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.5．已知不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }．则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【答案】C【解析】 因为不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a，所以a ＝－1，b ＝2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由x ＜g (x )，得x ＜x 2－2，则x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，则－1≤x ≤2.因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2. 因为当x ＜－1时，y ＞2；当x ＞2时，y ＞8.所以 当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f (x )的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时， －94≤y ≤0. 所以当x ∈[－1，2] 时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.综上可知，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题：7．设0＜b ＜1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________． 【答案】(1，3)【解析】 原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a ＞1时，b 1－a ＜x ＜b a ＋1，由题意知0＜ba ＋1＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a＜－2.整理，得2a －2＜b ≤3a －3.结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a .所以a ＜3，从而有1＜a ＜3.综上可得a ∈(1，3)．8．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t【解析】因为0＜t ＜1，所以1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |t ＜x ＜1t . 9．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________．【答案】{x |x ＞1或x ＜－2}【解析】 因为ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x ＞1或x ＜－2.10．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 【答案】(－∞，1]【解析】 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.三、解答题 11．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3＞0. 【答案】见解析【解析】 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0，所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥1.(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 故原不等式的解集是R. 12．解不等式组：－1＜x 2＋2x －1≤2. 【答案】见解析【解析】 原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0， 所以－3≤x ≤1.所以原不等式组的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}， 13．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若不等式f (x )＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值． 【答案】见解析【解析】 (1)当m ＝1时，不等式f (x )＞0为2x 2－x ＞0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1＞0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m ＞0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根．因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.。

空间向量与空间角(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.2.(2014²重庆高二检测)设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )A.45°B.30°C.90°D.60°【解析】选D.以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以=(-1,1,0),=(1,0,1).所以cos<,>=-.所以<,>=120°.所以AC与BF所成的角为60°.3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为( )A. B. C. D.【解析】选C.=(+),=(+),所以²=(²+²+²+²)=-||2.又||=||=||,所以cos<,>==-.所以∠EOF=.4.在直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cosθ为( )A.-B.C.D.-【解析】选C.过A,B分别作x轴垂线,垂足分别为A′,B′.则AA′=3,BB′=3,A′B′=4,OA=OB=,折后∠AOB=90°,所以AB==.由=++,得||2=||2+||2+||2+2||²||²cos(π-θ).所以26=9+16+9+2³3³3³cos(π-θ),所以cosθ=.5.(2014²天津高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )A.-B.C.-D.【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos<n,>==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=.6.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a),设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),由⇒⇒⇒n1=(1,-1,1).sinθ===.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014²唐山高二检测)平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为.【解析】设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面α与平面β所成二面角为θ,则cosθ=±|cos<u,v>|=±||=±.所以θ=或.答案:或8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 . 【解析】设正方体棱长为2,分别取DA,D C,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=.²=-1+0+4=3.又²=||||cos<,>=cos<,>,所以cos<,>=,所以所求角的余弦值为.答案:【变式训练】已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E,=(a,a,-a),=,所以cos<,>==.即直线A′C与DE所成角的余弦值为.答案:9.(2014²福州高二检测)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), D, E,F,所以=(0,0,2),=,=,设平面DEF的法向量n=(x,y,z). 则由得取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成角为θ,则sinθ==.答案:【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设平面A1BD与BC1所成的角为θ,n⊥,n⊥,所以n²=0,n²=0,所以解得所以n=(1,-1,-1),则cos<,n>==-,所以sinθ=,所以cosθ==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014²临沂高二检测)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=2,CD=4,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF⊥平面PAB.(2)求直线AE与平面PAB所成的角.【解析】(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则E(0,-2,0),F(1,-2,1),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,-4,0),所以=(1,0,1),=(0,-4,0),=(2,0,-2),所以²=(1,0,1)²(0,-4,0)=0,²=(1,0,1)²(2,0,-2)=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB,EF⊥PA,因为AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,AB∩PA=A,所以EF⊥平面PAB.(2)=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量,设直线AE与平面PAB所成的角为θ,因为=(-2,-2,0),所以sinθ===,所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FG⊥AC于G,则由正方体性质知FG⊥平面ACC1A1.连接EG,则与的夹角即为所求.又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G.=,=(0,1,-1),cos<,>==.所以<,>=,即EF与平面ACC1A1的夹角为.【一题多解】建系同上,=(0,1,-1),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,-2),=(-2,2,0).设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,所以n=(1,1,0),cos<n,>===.所以<n,>=,则EF与平面ACC1A1的夹角为.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱D1C1,B1C1的中点,求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值. 【解析】以D为原点,{,,}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图,则C(0,1,0),E,F.设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则因为=,=,所以所以令z=1,则n=(-2,2,1).显然平面ABCD的法向量e=(0,0,1),则cos<n,e>==.设二面角为α,则cosα=,所以tanα=2.【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围是[0,π],有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难点.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角θ为( )A.30°B.45°C.135°D.150°【解析】选B.因为cos<m,n>=-,所以sinθ=|cos<m,n>|=.又因为直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,所以θ=45°.2.(2014²长春高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( )A.0B.C.-D.【解析】选A.建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).所以cos<,>==0.所以<,>=90°,所求角的余弦值为0.【变式训练】如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM 所成的角的大小是.【解析】不妨设棱长为2,则=-,=+,cos<,>==0,故异面直线AB1和BM所成角为90°.答案:90°3.(2014²哈尔滨高二检测)在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选A.如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>===,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.4.(2014²南宁高二检测)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC 的中点,则二面角C-BF-D的正切值为( )A. B. C. D.【解析】选D.如图所示,连接BD,AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,F,C,D.结合图形可知,=且为面BOF的一个法向量,由=,=,可求得平面BCF的一个法向量n=.所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为.【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的坐标系:设BC=1,则A,B,D.所以=,=,=.由于=为平面BCD的一个法向量,设平面ABD的法向量n=(x,y,z),则所以取x=1,则y=-,z=1,所以n=(1,-,1),所以cos<n,>=,sin<n,>=.答案:6.(2014²湛江高二检测)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为.【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系,再用向量法求异面直线所成的角.【解析】取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.所以=,=.所以cos<,>==0.所以AB1与C1B所成的角为90°.答案:90°三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013²新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明AB⊥A1C.(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】(1)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角或建立空间直角坐标系求解. 【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OC,OA1两两相互垂直. 以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则有A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),则有即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【变式训练】(2013²辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC;由BC⊂平面ABC,得PA⊥BC;又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC,据面面垂直判定定理,平面PAC⊥平面PBC.(2)过点C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=,又PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则⇒⇒不妨令y1=1,则z1=-1.故n1=(0,1,-1).设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由同理可得n2=(1,,0).于是cos<n1,n2>===.结合图形和题意,二面角C-PB-A的余弦值为.8.(2014²山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解.【解析】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.(2)方法一:因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角的平面角.在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,在Rt△D1CN中,CD1=,CN=,所以D1N=,cos∠D1NC==.方法二:作CP⊥AB于P点,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间直角坐标系, 所以C1(-1,0,),D1(0,0,),M,所以=(1,0,0),=,设平面C1D1M的法向量为n1=(x1,y1,z1),所以所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1, n2>===.显然二面角为锐角,所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为.【变式训练】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求二面角C1-AD-C的余弦值.(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置;若不存在,说明理由. 【解析】(1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD,因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直.以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),所以=(1,-2,0),=(2,-2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=(2,1,-2).易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos<n,v>==-.因为二面角C1-AD-C是锐二面角,所以二面角C1-AD-C的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1).因为AE与DC1成60°角,所以|cos<,>|==.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角.。

3.2 一元二次不等式及其解法第1课时教学过程推进新课师因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？师在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3由对应值表与图象（如上图）可知：当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0；当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞0.师 一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x 0}.②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＞x 0}.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？生 函数图象与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a ＞0a ＜0一次函数 y=a x+b (a ≠0)的图象一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b-}{x|x ＜a b-}一元一次不等式a x+b ＜0的解集{x|x ＜ab-}{x|x ＞ab-}师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？生当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6由对应值表与图象（如上图）可知：当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.［教师精讲］由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}.（2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=ab2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠ab 2-}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.(3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.Δ=b 2-4ac Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数y=a x 2+b x+c (a ＞0)的图象a x 2+b x+c =0的根ab x 22.1∆≡±-=x 1=x 2=ab 2-∅a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2} {x|x≠ab 2-} Ra x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}∅ ∅对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.［知识拓展］【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0.生 解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜21-，或x ＞3}.【例2】 解不等式-3x 2+15x ＞12.生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-.所以不等式的解集是{x|x≠21-}.【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0).（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧≠.,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.,0;,0x y R x y 则若则＞若（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.［学生活动过程］［方法引导］上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤例题3.2 一元二次不等式的解法第2课时教学过程推进新课师因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x＜-88.94或x＞79.94}.在这个实际问题中x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.师【例2】一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？生设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理得x2-110x+3 000＜0.［教师精讲］因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.［知识拓展］【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0.思路一：利用前节的方法求解.思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组⎩⎨⎧+-04,01＜＞x x 与⎩⎨⎧+-0401＞＜x x 的解集的并集，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-0401＜＞x x x {∅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-0401＞＜x x x U ∪{x|-4＜x ＜1}={x|-4＜x ＜1}.书写时可按下列格式：解：∵(x -1)(x+4)＜0⇔⎩⎨⎧+-0401＜＞x x 或⎩⎨⎧+-0401＞＜x x ⇔x∈∅或-4＜x ＜1⇔-4＜x ＜1，∴原不等式的解集是{x|-4＜x ＜1}.思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）x+4 - + + x-1 - - + (x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.点评：此法叫区间法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为-2，1，3；③列表如下：（-∞，-2）（-2，1）（1，3）（3，+∞）x+2 - + + +x-1 - - + +x-3 - - - + 各因式积- + - +④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y ＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.这种方法叫数轴标根法.练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）.教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；②求得相应方程的根为-1，0，2，3；③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.［合作探究］师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或2＜x ＜3}.说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根.∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如右图：④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.［教师精讲］师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如073＜+-x x ，0322322≤--+-x x x x 等都是分式不等式.师 分式不等式的解法.由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式.【例5】 解不等式：073＜+-x x .解法一：化为两个不等式组来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧+-0703＜＞x x 0或⇔⎩⎨⎧+-0703＞＜x x x∈∅或-7＜x ＜3-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 解法二：化为二次不等式来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧≠++-070)7)(3(x x x ＜⇔-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}.点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.【例6】 解不等式：0322322≤--+-x x x x .解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.练习：解不等式253＞+-x x .答案：{x|-13＜x ＜-5}.［方法引导］讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.课堂小结1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。

新课程标准数学必修5第三章课后习题解答第三章 不等式3．1不等关系与不等式 练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）24<； （2>.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法 练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y {}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒. 依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）52x ⎧+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为3322x x x ⎧⎪<-<+⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩（第1题）可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3（第2题）解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+= 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y--台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)60z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.（第2题）3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少. 习题3.4 A 组（P100） 1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 12a b +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m . 3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=123600312006800580048000012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=+++=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++ 由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-=⨯-=-≤ 当72x x=，即x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+))c =当且仅当()()a cbc x x--=，即x =tan β取得最大，从而视角也最大.第三章 复习参考题A 组（P103）1<2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为2Z x y =+≥ 当2x y =，即x =y =Z可以取得最小值，最小值为. 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即v =c 时，y 有最小值.2sa y sbv v =+=≥2c 时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，v c =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）⎧⎨⎩3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥人教A 版高中数学课后习题解答答案11 5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13. 当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45. 6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。

必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法 1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本概念名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12 B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得 f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)， 即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________． 答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。

第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式[典例] 解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x>1. [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0.等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴23<x <34. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <34.(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系①f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，g (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≤0，g (x )≤0， ②f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )≥0， ③f (x )g (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0，④f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0.[活学活用]1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A.{}x |x ＜－1或x ＞2B.{}x |－1＜x ＜2C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＞2解析：选A 依题意，a >0且－ba ＝1. ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －ba (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.不等式中的恒成立问题2取值范围．[解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．1．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＜0，f (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立． 对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．2．已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数． 要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＜0，g (－3)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0.因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max (f (x )存在最大值)； a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min (f (x )存在最小值)．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的实际应用[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解] (1)由题意，得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >0，0<x <1，解不等式组，得0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 的范围为⎝⎛⎭⎫0，13.用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．[活学活用]某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m(0<x <600)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.层级一 学业水平达标1．不等式x －1x ≥2的解集为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：选B 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x ≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.2．不等式4x ＋23x －1＞0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12 解析：选A4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12.3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得10≤t ≤15.5．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．3解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－x x ＋4≥1的解集为________．解析：因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－4，12 7．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________．解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 9．已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b .(1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)由f (x )>0，得－3x 2＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2－a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a (5－a )－b ＝0，27－3a (5－a )－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0， 即2a 2－10a ＋(12－b )>0.又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b )<0，∴b <－12，∴实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 10．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值． 解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额， f (2)＝4 800(万元)． (3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128， ∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．层级二 应试能力达标1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 解析：选D x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )解析：选Dx ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.5．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的范围是(100,400)． 答案：(100,400)7．已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (m －2)<0，解得m <1－2， 综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]． (2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 24. ①当－a2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2].。

高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法练习（含解析）新人教A 版必修5知识点一 解一元二次不等式1．不等式4x 2－11x ＋6≤0的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤34或x ＞2 D ．{}x |x ＜2答案 A解析 原不等式可化为(4x －3)(x －2)≤0， 解得34≤x ≤2．故选A ．2．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( ) A ．∅ B ．RC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －13＜x ＜12 D ．x ∈R ⎪⎪⎪x ≠16答案 A解析 ∵Δ＝－23＜0，且二次函数y ＝3x 2－x ＋2的图象开口向上，∴3x 2－x ＋2＜0的解集为∅．3．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5} 答案 B解析 不等式x 2－2x －5＞2x 可化为x 2－4x －5＞0，解得x ＞5或x ＜－1． 4．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________． 答案 {x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜4} 解析 由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3＜5得－2＜x ＜4， ∴－2＜x ≤－1或3≤x ＜4．∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜4}．知识点二 根与系数关系的应用5．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析 由题意知，－ba ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2．6．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2，12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－12 答案 D解析 由题意知－2，3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m 2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12．知识点三 一元二次不等式的应用7．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0． 当m ＝2时，4＞0，x ∈R ；当m ＜2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )＜0， 解得－2＜m ＜2．此时，x ∈R ． 综上所述，－2＜m ≤2．8．不等式lg x 2<(lg x )2的解集是________． 答案 {x |x >100或0<x <1}解析 不等式lg x 2<(lg x )2， 可化为(lg x )2－2lg x >0，解得lg x >2或lg x <0，即x >100或0<x <1．易错点一 忽略二次项系数的正负9．求一元二次不等式－x 2＋5x －4＞0的解集．易错分析 本题易不注意二次项系数为负数错解为x ＜1或x ＞4． 解 原不等式等价于x 2－5x ＋4＜0，因为方程x 2－5x ＋4＝0的根为x 1＝1，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |1＜x ＜4}．易错点二 忽略不等式对应方程根的大小10．解关于x 的不等式21x 2＋4ax －a 2＜0．易错分析 当一元二次不等式解集的端点值(即对应方程的根)无法比较大小时，要注意分类讨论．本题易错解为－a 3＜x ＜a7．解 原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 7＜0． ①当a ＞0时，a 7＞－a3，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ －a3＜⎭⎪⎬⎪⎫x ＜a7； ②当a ＜0时，a 7＜－a3，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ a 7＜x ⎭⎪⎬⎪⎫＜－a3； ③当a ＝0时，原不等式的解集为∅．一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫32答案 D解析 原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32．故选D ．2．下列不等式：①x 2＞0；②－x 2－x ≤5；③ax 2＞2；④x 3＋5x －6＞0；⑤mx 2－5y ＜0；⑥ax 2＋bx ＋c ＞0．其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 答案 D解析 根据一元二次不等式的定义知①②正确．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤1} B．{x |－2≤x ≤2} C ．{x |－2≤x ≤1} D．{x |－1≤x ≤2} 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0或0＜x ≤1，即－1≤x ≤1．故选A ．4．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0，x ∈Z }，则集合M 的真子集个数为( ) A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 答案 B解析 由x 2－2x －3＜0得－1＜x ＜3，∴M ＝{0，1，2}．故选B ． 5．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 答案 A解析 令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0， 即(t －2)(t ＋1)＜0．∵t ＝|x |≥0．∴t －2＜0．∴t ＜2． ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2． 二、填空题6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________．答案 {x |－1＜x ＜1}解析 ∁U A ＝{x |x 2－1＜0}＝{x |－1＜x ＜1}． 7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1．8．已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，对于系数a ，b ，c 有下列说法：(1)a ＞0；(2)b ＞0；(3)c ＞0；(4)a ＋b ＋c ＞0； (5)a －b ＋c ＞0．其中正确的序号是________． 答案 (3)(5)解析 依题意有a ＜0且b a ＝2－12＝32＞0，c a ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1＜0，故b ＜0，c ＞0，a ＝－c ，b ＝－32c ．令f (x )＝ax 2－bx ＋c ，则f (1)＝a －b ＋c ＝32c ，f (－1)＝a ＋b ＋c ＝－32c ，所以f (1)＞0，f (－1)＜0，所以a －b ＋c ＞0，a ＋b ＋c ＜0．故(3)(5)正确． 三、解答题 9．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1．解 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， ∴(2x ＋1)(x －2)<0．故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <2．(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0， ∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12或x ≥1．10．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解 由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，知a ＜0，且－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－13×12＝c a，－13＋12＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.所以－cx 2＋2x －a ＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3．所以－cx 2＋2x －a ＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．。