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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1课时

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课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)， 所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1， 解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华 数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华 利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公 式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接 求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________． 【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0， 则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量 的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘 计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标 系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面 直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离 的运算．

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识梳理1.平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.2.(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.知识点一平面向量数量积的坐标运算例1 已知向量a∥b，b＝(1,2)，|a·b|＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若a，b同向，c＝(2，－1)，求(b·c)·a，(a·b)·c.变式已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．知识点二向量平行与垂直的坐标形式的应用例2 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.变式已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a⊥b，求a的坐标；(2)若a∥b，求a的坐标．知识点三平面向量的夹角问题例3 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°；(2)a与b的夹角为锐角．变式若本例条件不变，如何求a与b的夹角为钝角时λ的取值范围？当堂双基达标1．已知MN →＝(3,4)，则|MN →|等于( )A ．3B ．4 C. 5D ．52．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3．已知A (3,1)，B (6,1)，C (4,3)，D 为线段BC 的中点，则向量AC →与DA →夹角的余弦值为________． 4．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)．若存在向量c ，使得a ·c ＝4，b ·c ＝－9，试求向量c 的坐标．知能达标一、选择题1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )A ．23B ．57C ．63D ．83 2．若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．2 5B ．2 C. 5 D ．10 3．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝04．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)5．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确二、填空题6．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角为________．7．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.8．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．三、解答题9．在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．11．已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →|.答案例1 (1)a ＝(2,4)或a ＝(－2，－4)．(2) (b ·c )·a ＝0，(a ·b )·c ＝(20，－10)． 变式 b ＝(－4，－10)或b ＝(－4，－6). 例2 (1)x ＝－1或x ＝3.(2) 2或2 5. 变式 (1)a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)．(2)a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313). 例3(1)λ＝－12.(2)(－12，2)∪(2，＋∞)．变式 (－∞，－12)．当堂双基达标1．D 2．A 3．－45 4．(3，－2).课后知能达标 一、选择题 DBDDC二、填空题6．60° 7． (－4,8) 8． (－12，2)∪(2，＋∞)三、解答题9．(1)AB →＝(－1,1)， AC →＝ (1,5).(2)2 5.(3)21313.10．(1) 210，4 2.(2)－115.11．D (1,1)，|AD →|＝ 5.。

课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

归纳点评 向量与代数中的一些问题如函数的最值问 题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应 熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、 数量积等坐标表示．
随堂练习
1．已知向量 a＝(1，m)与 b＝(n，－4)共线且 c＝(2,3)
与 b 垂直，m＋n 的值为( )
16
20
A. 3
B. 3
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)： (1)若a⊥b，求x； (2)若a∥b，求x. 解：(1)若a⊥b，则1×x＋2×(－4)＝0，∴x＝8； (2)若a∥b，则1×(－4)－2×x＝0，∴x＝－2.
高效课堂 典例精析 题型1 向量的夹角 例1 已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)， 求a·b及a与b的夹角θ的余弦值．
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)且λa＋b＝0(λ∈R)， 则|λ|＝________.
【解析】∵λa＋b＝0，∴b＝－λa. ∴|b|＝|－λa|＝|λ|·|a|＝|λ|＝ 5. 【答案】 5
规律总结 1．向量数量积的坐标表示 本节是在向量数量积的基础上，将数量积定义、有关 性质坐标化，可结合上一节的内容来记忆有关公式． 2．平行与垂直关系的联系与区别 对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有：
1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5,8)，则(a＋b)·b等于
()
A．－34
B．34
C．55
D．－55
【解析】a＋b＝(－3,5)，∴(a＋b)·b＝(－3,5)·(－5,8)＝15
＋40＝55.故选C.
【答案】C
2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行

课件1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课件1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1e a a e | a | cos
2a b a b 0 3当a与b同向时，a b | a || b |；当a与b反向时，a b - | a || b |
4cos a b
| a || b | 5 | a b || a || b |
典型例题
例 ．求a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45的单位向量．
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
高中数学必修4·同步课件
复习回顾
1. 对于平面内的任一向量a，由平面向量基 y
本定理可得，有且只有一对实数x、y，使 得a=xi+yj。我们把有序数对（x，y）叫做
yj
a
向量a的坐标，记作a=（x，y）
xi j
Oi
x
引入课题
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
课堂练习
一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方 向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.
如图，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶 的速度，OC表示船实际速度，AOC 30，| OB | 5km / h
OACB为矩形，| OA || AC | cot 30 5 3 8.6（ 6 km / h） | OC | 5 3 10km / h
X
2.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则 | OA OB | （x1 x2）2 （y1 y2）2

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、数量积的坐标表示
2、平行、垂直的判定 3、平面向量的夹角公式 六、课时作业 课本P108 习题2.4 A组 第7，11题
| a | x y
2 1
2
2 1
| a | a a
3、向量的夹角
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解 3、向量的夹角
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围
a b | a || b | cos
a • b x1 x2 y1 y2
随堂练习
1、已知向量a (1, 3), b ( 2, 5), 则 ab
17
;( a b) ( 2a b)
8
.
二、基础知识讲解
已知非零向量a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，夹角为
1、数量积的定义
a b | a || b | cos
2、向量的模
a • b x1 x2 y1 y2
| a | x y
2 1 2 1
| a | a a

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角

x2＋y2 (2) x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联
系． 2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、 夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用 向量工具解决数学问题的能力．
1．若向量a＝(1,1)，b＝ (-1,0) ，c＝ (-1,1) ，则 c＝( C )
A．2a＋b
C．a＋2b
B．2a－b
D．a－2b
2．已知a＝ (2,-2)，b＝ (-1,0)，向量λa＋b与a－2b 垂直，则实数λ的值为( A)
1 A. 3 1 C. － 6 1 B. － 3 1 D. 6
5．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，请问△ABC 是直角三角形吗？
解析：由 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)得 → → → → AB＝(1，1)，AC＝(－3，3)，所以AB· AC → → 1，1)·－3，3)＝－3＋3＝0，AB⊥AC， ( ＝( 即∠A＝90° ，所以△ABC 是直角三角形．
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1 P ( x , )在线段AB的中垂线上，则 2
1 2
x＝
.
课堂小结
1. a b x1 x2 y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
3. 向量垂直的判定:
a b x1 x2 y1 y2 0.
(1) 设 a ( x , y ), 则
a x y或 a
2 2 2
x y .
2 2
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
谢谢大家！
感谢您的观看！
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
讲解范例:
例3. 已知 a (1,
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
规定:
零向量与任一向量的数 量积
为0，即a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(1) a b a b 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .

课件8：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课件8：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

D．2
【解析】由 AC＝ AB＋ AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)， 得 AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5. 【答案】A
类题通法 数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则 和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向 量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数 量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(×)
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ( × ) (3)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ＜0，则两向量的夹角
θ 一定是钝角．
(× )
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是
A．23
B．7
C．－23
【答案】D
() D．－7
题型四 求解平面向量的数量积 典例 已知点 A，B，C 满足| AB|＝3，|BC |＝4， |CA|＝5，求 AB·BC ＋BC ·CA＋CA·AB的值． 解：[法一 定义法] 如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且 B＝π2， cos A＝35，cos C＝45，
∴ AB·BC ＋BC ·CA＋CA·AB ＝ BC ·CA＋CA·AB ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×45－15×53 ＝－25.
活学活用 如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB， BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
【解析】法一： 以 O 为坐标原点，OA，OC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝1，12，OE ＝12，1. 故 cos∠DOE＝|OODD|··|OOEE|＝1×125＋125×1＝45.

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识点一 平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识点二 向量 模长a ＝(x ，y ) |a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 知识点三 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 概念理解：1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( )类型一 数量积的坐标运算数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．1.已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( )A ．10B ．－10C ．3D ．－32、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．3、向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2类型二 平面向量的模求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．1、已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)．(1)求a －2b 及其模的大小；(2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.2、已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于 。

课件12：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课件12：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
3．设向量 a＝(0,2)，b＝( 3，1)，则 a 与 b 的夹角等于________．
答案：π3
题型探究
题型一 数量积的坐标运算 例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
【解】 (1)∵向量a与b同向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb＝λ(1,2)＝(λ，2λ)(λ>0)， 由a·b＝10，得1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0，符合a与b同向的条件， ∴λ＝2，a＝(2,4)． (2)∵b＝(1,2)，c＝(2，－1)，∴b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0.
跟踪训练 1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)． (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．
解：(1)法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)． ∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，
∴|a＋tb|=
(－3＋2t)2＋(2＋t)2= 5t2－8t＋13＝
5(t－45)2＋459.
∴当 t＝45时，|a＋tb|取得最小值75 5.

1－2 2＋22＝ 5，
即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
跟踪训练 3．已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°， 若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．
解：假设存在点 C(0，y)使∠ACB＝90°， 则A→C⊥B→C.∵A→C＝(－1，y－2)，B→C＝(－4，y＋1)，A→C⊥B→C， ∴A→C·B→C＝4＋(y－2)(y＋1)＝0， ∴y2－y＋2＝0.而在方程 y2－y＋2＝0 中，Δ<0， ∴方程无实数解，故不存在满足条件的点 C.

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角主备教师:李华一、内容及其解析（一）内容：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.（二）解析：本节课要学的内容有平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，指的是发现公式、应用公式解决问题其核心是公式的推导与运用理解它关键就是根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示，并在此基础上探索向量的模、夹角等重要的度量公式；理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算，理解掌握向量的模、夹角等公式，并能够根据公式解决两个向量的夹角、垂直的问题.学生已经学过了向量的坐标表示及平面向量数量积的定义，本节课的内容平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，就是在此基础上的发展.由于它还与求线段长度，求角度等实际应用问题有联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容.教学的重点是探究发现公式，应用公式解决问题，所以解决重点的关键是根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示，理解并会进行运算，能够根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.二、目标及其解析（一）教学目标1.记住平面向量数量积的坐标表示式和向量的模、夹角等度量的坐标公式；2.理解平面向量数量积、模、夹角的坐标公式.（二）解析1.记住平面向量数量积的坐标表示式和向量的模、夹角等度量的坐标公式，就是指根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示，记住公式；2.理解平面向量数量积、模、夹角的坐标公式，就是指会进行数量积的运算，理解掌握向量的模、夹角等公式；能够根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是平面数量积坐标公式的理解，产生这一问题的原因是：平面向量数量积的含义理解不清。

要解决这一问题，就要在通过练习，加强公式的理解和运用.四、教学过程设计1、导入新课⑴a r 与b r 的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？2、提出问题 问题1：若11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ,则a r 与b r 的数量积如何用坐标表示？【师生活动】： 1.设,i j r r 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ，则向量a r 与b r 用,i j r r 分别如何表示？ 2.对于上述向量,i j r r ，则2i u r ，2j r ，,i j r r 分别等于什么？ 3.根据数量积的运算性质，a b ⋅r r 等于什么？4.如何用文字语言描述这一结论？5.如何利用数量积的坐标表示证明(a b c a c b c +⋅=⋅+⋅）r r r r r r r 。

2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1 课件(人教A版必修4)

2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1 课件(人教A版必修4)

(3)向量垂直的坐标表示：由向量数量积的定义，a·b＝
|a||b|·cosθ＝x1x2＋y1y2，所以 a⊥b⇔a·b＝0(|a|·|b|≠0)⇔x1x2＋ y1y2＝0 .
已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构
成的集合是( )
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
数量积；对于∠ACB的大小，则可以通过模长获得．
[解析] 由题，A→B＝(3，－1)，A→C＝(－1，－3)， ∴A→B·A→C＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴A→B⊥A→C. 而|A→B|＝ 10，|A→C|＝ 10， ∴∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
第二章
平面向量
第二章
2．4 平面向量的数量积
第二章
2．4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°， 则m·n＝________.
[答案] －12 2
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ 2，a与b的夹角为45°，若λb－a与 a垂直，则λ＝________.
D．{6}
[答案] C
[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)， ∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构 成的集合是{2}．
3．向量夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，由数量积的
定义
a·b
a·b＝|a||b|cosθ，得cosθ＝ |a||b| ，
[答案] 2
3．若i，j是平面直角坐标系xOy中的正交基底，且|i|＝|j| ＝1，a＝3i＋4j，b＝7i＋j，则a·b＝________，|a|＝ ________，|b|＝________，向量a与b的夹角θ为________．

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时， 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为 ，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

y A(x1,y1)
B(x2,y2)
r
r ra
bj
这就是说，两个向量的数量 积等于它们对应坐标的乘积的和。
o
r i
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
讲授新课
2、向量的模和两点间的距离公式
讲授新课
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直
（2）平行
讲授新课
证明u：uur
C(-2,5) y
Q在们C是uAuAu(Au平 标 直-CuBu2rBr，面出角u=uAu=5u直三Aur()Cu-三((r角角122，=点--坐形u1121u，标.,)u,，r53发(系--B-现32中2()2))△，+，==1A3我(()B-，13C3,,1=3))0
B(2,3) A(1,2)
巩固新课
rr 解：a Байду номын сангаас b = 1 + 3，
rr a b = 2 4 + 2 3 = 2(1 +
rr cosθ = ra br = 1 ,
ab 2
3)，
Q 0o θ 180o ,θ = 60o.
巩固新课
例３：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
设a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a b
x1x2 + y1y2 = 0
（4）向量平行
r
r
rr
若a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a//b
x1y2 - x2y1 = 0.
（5）两向量夹角公式的坐标运算
r

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)
4、数量积的几何意义：
a b等于 a的长度 | a |与b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
5、数量积的重要性质 是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b
( 3)当a与b 同向时， a b | a || b |; 当a与b 反向时，a b | a || b |; 2 特别地， a a | a | 或 | a | a a
例2：已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当 ①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60° 时，分别求a· b
如图, 在平行四边形 ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60 , 例3、
解: 1因为AD与BC平行且方向相同 ,
求 : 1. AD BC
2.AB CD
3,
| b | 1, 求 p a，且a + 3b与7a 5b
王新敞
奎屯 新疆
垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角
一.平面两向量数量积的坐标表示
a x1i y1 j , b x2i y2 j a b ( x1i y1 j )( x2i y2 j ) 2 2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j i i 1, j j 1 , i j j i 0
利用平面向量数量积解答垂直问题
a b a b 0
例2求证：菱形的对角线互相垂直
如图，已知平行四边形 ABCD ， | AB || BC | 求证 AC BD
B A D
C
例3、若向量a与b的夹角为 ， | a | 6

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)

2 2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
a b x1x2 y1 y2
用语言描述:
x1 x2 y1 y2
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
2. 向量的模与两点间的距离的坐标表示:
由向量的数量积的坐标表示，类似可得：
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角
第一课时
1. 平面向量的数量积是如何定义的 ? 已知非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a 与 b 的 数量积（或内积），记作 a b ，即规定
“· ” 不能省略
一.复习:
a b | a || b | cos
2 2
x2 y2
2
2
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
平行 交叉， 垂直 相加
解：a· b=5×（ － 6）+（ － 7）×（ － 4）= － 30+28=－2
a 5 7 74
2
2
b (6) (4) 52
2 0.03
2
2
由计算器得 cos
74 52
92 利用计算器可得：
练习 1、若a (3,4), b (5,12), 则 a 与 b 夹角的余弦值 为 （Ｂ ）
这就是A、B两点间的距离公式.
想一想
解：a b 5 (6) (7) (4) 2
a, b 的夹角有多大？
问题2：你能写出向量夹角公式的坐标表示式， 以及向量平行和垂直的坐标表示式. 3. 向量的夹角,平行与垂直的坐标表1 y2 x1 y1

数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)

数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)

方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
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高一数学导学案 年 月 日 周
2．4．2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1课时
主备课人：柯志坚 审核时间：
学习目标
1、要掌握平面向量数量积的坐标表示；
2、握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式；
3、能用所学知识解决有关综合问题.
重点：平面向量数量积的坐标表示
难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
学具准备：草稿纸、三角板、铅笔
一、学生自我探究部分：
阅读教材第105—108页内容，找出疑惑之处并尝试解决下面问题：
自我测试1（课堂学生台投影说明解题过程） 1、若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，请判断△ABC 的形状
2、已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.
2、面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⋅.= 3、平面内两点间的距离公式： （1）设),(y x a =，则=
2
||a 或=||a .
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么=
||a (平面内两点间的距离公式)
4、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥
⇔
5、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0），则co s θ ==
6、自我测试2：（生上台投影）
1）设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ的正弦值
2）已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?
二、典例精析：
例1： 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .
例2：若向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－2
2π
θπ
<
<．(2) 求|a ＋b |的最大值
变式训练2（合作探究）：已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=
，其中0αβπ<<<．
(1)求证：a b + 与a b -
互相垂直；
(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．
例4： 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标. 三、
课堂练习：
1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83
2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）
A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)5
4
,53(或)5
3
,54( B .)5
4
,53(或)54
,53(-
-
C.)54,53(-或)53,54(-
D.)54,53(-或)54
,53(- 4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .
5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-
2
1)在线段AB 的中垂线上，则x = .
6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 . 四、 学生学后反思：
五、
课后作业 1
、平面向量11),(,)22a b =-=
，若存在不同时为0的实数k 和t ，使
2
(3)x a t b =+- ,,y ka tb =-+ 且x y ⊥ ，试求函数关系式()k f t =.
2、 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，
求k 值.。