背包解释(算法与数据结构)
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数据结构背包问题背景介绍:数据结构是计算机科学中非常重要的一门学科,它研究的是数据组织、存储和管理的方式。
背包问题是数据结构中的一个经典问题,它涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中,使得背包的总重量或总价值达到最大化。
在本文中,我们将详细介绍背包问题的定义、解决方法和应用领域。
一、问题定义背包问题可以被描述为:给定一个背包,它能容纳一定的重量,再给定一组物品,每个物品有自己的重量和价值。
我们的目标是找到一种方式将物品放入背包中,使得背包的总重量不超过其容量,同时背包中物品的总价值最大化。
二、解决方法1. 贪心算法贪心算法是一种简单而有效的解决背包问题的方法。
它基于贪心的思想,每次选择当前具有最大价值重量比的物品放入背包中。
具体步骤如下:- 计算每个物品的价值重量比,即物品的价值除以其重量。
- 按照价值重量比从大到小对物品进行排序。
- 依次将物品放入背包中,直到背包的总重量达到容量限制或所有物品都放入背包。
贪心算法的优点是简单快速,但它并不能保证一定能找到最优解。
2. 动态规划动态规划是解决背包问题的一种经典方法。
它将问题划分为若干子问题,并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
具体步骤如下:- 定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j时的最大价值。
- 初始化dp数组的第一行和第一列为0,表示背包容量为0或物品数量为0时的最大价值都为0。
- 逐行填充dp数组,对于每个物品,考虑将其放入背包或不放入背包两种情况,选择价值最大的方案更新dp数组。
- 最终dp数组的最后一个元素dp[n][m]即为问题的最优解,其中n为物品数量,m为背包容量。
动态规划方法能够保证找到最优解,但其时间复杂度较高,对于大规模的问题可能会耗费较长的计算时间。
三、应用领域背包问题在实际生活和工程领域中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用领域:1. 物流配送在物流配送中,背包问题可以用来优化货车的装载方案,使得货车的装载量最大化,从而减少运输成本。
背包问题实验报告背包问题实验报告背包问题是计算机科学中的经典问题之一,它涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中,以使得背包的总重量不超过其容量,并且所选择的物品具有最大的总价值。
在本次实验中,我们将通过不同的算法来解决背包问题,并对比它们的效率和准确性。
1. 实验背景和目的背包问题是一个重要的优化问题,它在许多实际应用中都有广泛的应用,比如货物装载、资源分配等。
在本次实验中,我们的目的是通过实际的算法实现,比较不同算法在解决背包问题时的性能差异,并分析其优缺点。
2. 实验方法和步骤为了解决背包问题,我们选择了以下几种常见的算法:贪心算法、动态规划算法和遗传算法。
下面将对每种算法的具体步骤进行介绍。
2.1 贪心算法贪心算法是一种简单而直观的算法,它通过每次选择当前状态下最优的解决方案来逐步构建最终解决方案。
在背包问题中,贪心算法可以按照物品的单位价值进行排序,然后依次选择单位价值最高的物品放入背包中,直到背包的容量达到上限。
2.2 动态规划算法动态规划算法是一种基于递推关系的算法,它通过将原问题分解为多个子问题,并利用子问题的解来构建原问题的解。
在背包问题中,动态规划算法可以通过构建一个二维数组来记录每个子问题的最优解,然后逐步推导出整个问题的最优解。
2.3 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的算法,它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索问题的最优解。
在背包问题中,遗传算法可以通过表示每个解决方案的染色体,然后通过选择、交叉和变异等操作来不断优化解决方案,直到找到最优解。
3. 实验结果和分析我们使用不同算法对一组测试数据进行求解,并对比它们的结果和运行时间进行分析。
下面是我们的实验结果:对于一个容量为10的背包和以下物品:物品1:重量2,价值6物品2:重量2,价值10物品3:重量3,价值12物品4:重量4,价值14物品5:重量5,价值20贪心算法的结果是选择物品4和物品5,总重量为9,总价值为34。
程序员经典面试题在当今信息技术高速发展的时代,程序员的需求越来越大。
面试是每个程序员进入理想公司的第一步,而经典的面试题目则是面试官常用的工具。
本文将介绍一些常见的程序员经典面试题,帮助读者更好地准备面试。
一、算法与数据结构1. 请解释什么是算法与数据结构?算法是解决问题的一系列步骤,数据结构则是存储和组织数据的方式和结构。
算法与数据结构是程序员编写高效代码的基础。
2. 请列举几种常见的数据结构?常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
3. 请解释什么是时间复杂度和空间复杂度?时间复杂度是衡量算法执行时间消耗的度量,用大O符号表示。
空间复杂度是衡量算法执行所需存储空间的度量。
4. 请举例说明常见的时间复杂度和空间复杂度?常见的时间复杂度包括O(1)、O(log n)、O(n)、O(nlog n)、O(n^2)等。
常见的空间复杂度包括O(1)、O(n)、O(n^2)等。
5. 请解释什么是递归?递归是一个函数不断调用自身的过程。
递归函数包括递归基和递归推进两部分。
二、编程语言1. 请列举一些常见的编程语言?常见的编程语言包括C、C++、Java、Python、JavaScript等。
2. 请解释面向对象编程(OOP)的概念?面向对象编程是一种程序设计范型,将数据与操作数据的方法封装在一起,通过创建对象来实现对数据的操作。
面向对象编程的三大特性包括封装、继承和多态。
3. 请解释动态类型语言和静态类型语言的区别?动态类型语言的变量在运行时确定其数据类型,而静态类型语言的变量在编译时确定其数据类型。
动态类型语言更灵活,但运行时类型错误难以发现。
4. 请解释什么是Lambda表达式?Lambda表达式是一种匿名函数,可以用简洁的方式传递给函数或方法。
Lambda表达式能够简化代码实现、提高代码可读性。
三、操作系统与网络1. 请解释进程与线程的概念?进程是操作系统分配资源的最小单位,拥有独立的内存空间和执行环境。
算法设计与分析实验报告—0/1背包问题-【问题描述】给定n 种物品和一个背包。
物品i 的重量是iw ,其价值为i v,背包容量为C 。
问应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?【问题分析】0/1背包问题的可形式化描述为:给定C>0, i w >0, i v >0,1i n ≤≤,要求找出n 元0/1向量{}12(,,...,),0,1,1n i x x x x i n ∈≤≤,使得n1i i i w x c =≤∑,而且n1i ii v x=∑达到最大。
因此0/1背包问题是一个特殊的整数规划问题。
0n k w ≤≤1max ni i i v x =∑n1i ii w xc =≤∑{}0,1,1i x i n ∈≤≤【算法设计】设0/1背包问题的最优值为m( i, j ),即背包容量是j ,可选择物品为i,i+1,…,n 时0/1背包问题的最优值。
由0/1背包问题的最优子结构性质,可以建立计算m( i, j )的递归式如下:max{m( i+1, j ), m( i+1, j-i w )+i v } i j w ≥m( i, j )=m(i+1,j)n v n j w >m(n,j)=0 0n k w ≤≤【算法实现】#include <iostream.h> #include<string.h> #include<iomanip.h>int min(int w, int c) {int temp; if (w < c) temp = w;elsetemp = c;return temp;}Int max(int w, int c) {int temp; if (w > c) temp = w;elsetemp = c;return temp;}void knapsack(int v[], int w[], int** m, int c, int n) //求最优值 {int jmax = min(w[n]-1, c);for (int j = 0; j <= jmax; j++)m[n][j] = 0;for (int jj = w[n]; jj <= c; jj++)m[n][jj] = v[n];for(int i = n-1; i > 1; i--)//递归部分{jmax = min(w[i]-1, c);for(int j = 0; j <= jmax; j++)m[i][j] = m[i+1][j];for(int jj = w[i]; jj <= c; jj++)m[i][jj] = max(m[i+1][jj], m[i+1][jj-w[i]]+v[i]);}m[1][c] = m[2][c];if(c >= w[1])m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]);cout << endl << "最优值:" << m[1][c] << endl;cout<<endl;cout<< "&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&" << endl;}int traceback(int x[], int w[], int** m, int c, int n) //回代,求最优解{out << endl << "得到的一组最优解如下: " << endl;for(int i = 1; i < n; i++){if(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;else{x[i] = 1;c -= w[i];}}x[n] = (m[n][c]) ? 1:0;for(int y = 1; y <= n; y++)cout << x[y] << "\t";cout << endl;return x[n];}void main(){int n, c;int **m;cout << "&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&欢迎使用0-1背包问题程序&&&&&&&&&&&&&&&&&&&" << endl;cout << "请输入物品个数: ";cin >> n ;cout << endl << "请输入背包的承重:";cin >> c;int *v = new int[n+1];cout << endl << "请输入每个物品的价值 (v[i]): " << endl;for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i];int *w = new int[n+1];cout << endl << "请输入每个物品的重量 (w[i]): " << endl;for(int j = 1; j <= n; j++)cin >> w[j];int *x = new int[n+1];m = new int* [n+1]; //动态的分配二维数组for(int p = 0; p < n+1; p++)m[p] = new int[c+1];knapsack (v, w, m, c, n);traceback(x, w, m, c, n);}【运行结果】。
leetcode 背包总结"背包问题"是计算机科学中常见的一类问题,主要涉及到如何有效地在给定容量的背包中装入最大价值的物品。
这类问题通常可以使用动态规划(Dynamic Programming)的方法来解决。
以下是我在 LeetCode 平台上遇到的一些背包问题的总结:1. 01背包问题:这是一个经典的背包问题,给定一个物品列表和一个容量,目标是选择一些物品放入背包中,使得背包中的物品总价值最大。
每个物品只有一个,可以选择放入背包或者不放入。
可以使用动态规划来解决。
2. 完全背包问题:与01背包问题相似,但每个物品可以放入多个。
目标是在不超过背包容量的情况下,选择一些物品放入背包中,使得背包中的物品总价值最大。
也可以使用动态规划来解决。
3. 多重背包问题:与完全背包问题相似,但每个物品可以放入多个,且每个物品有不同的重量和价值。
目标是在不超过背包容量的情况下,选择一些物品放入背包中,使得背包中的物品总价值最大。
可以使用动态规划来解决。
4. 带有优先级的背包问题:在标准的背包问题中,所有的物品都有相同的优先级。
但在某些情况下,一些物品可能比其他物品更重要,需要优先考虑。
这个问题需要考虑物品的优先级和价值,选择重要的物品放入背包中,使得总价值最大。
5. 分组背包问题:这个问题是将一组物品分组,然后每组物品共享相同的重量。
目标是选择一些组,使得这些组的总价值最大,同时不超过背包的容量。
可以使用动态规划来解决。
解决这类问题的关键是理解问题的本质和限制条件,然后选择合适的算法和数据结构来解决问题。
动态规划是解决这类问题的常用方法,因为它可以有效地处理重叠子问题和最优子结构的问题。
动态规划算法--01背包问题基本思想:动态规划算法通常⽤于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中,可能会有许多可⾏解。
每⼀个解都对应于⼀个值,我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题,先求解⼦问题,然后从这些⼦问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于⽤动态规划求解的问题,经分解得到⼦问题往往不是互相独⽴的(即下⼀个⼦阶段的求解是建⽴在上⼀个⼦阶段的解的基础上,进⾏进⼀步的求解)。
若⽤分治法来解这类问题,则分解得到的⼦问题数⽬太多,有些⼦问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的⼦问题的答案,⽽在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免⼤量的重复计算,节省时间。
我们可以⽤⼀个表来记录所有已解的⼦问题的答案。
不管该⼦问题以后是否被⽤到,只要它被计算过,就将其结果填⼊表中。
这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。
应⽤场景:适⽤动态规划的问题必须满⾜最优化原理、⽆后效性和重叠性。
1、最优化原理(最优⼦结构性质)最优化原理可这样阐述:⼀个最优化策略具有这样的性质,不论过去状态和决策如何,对前⾯的决策所形成的状态⽽⾔,余下的诸决策必须构成最优策略。
简⽽⾔之,⼀个最优化策略的⼦策略总是最优的。
⼀个问题满⾜最优化原理⼜称其具有最优⼦结构性质。
2、⽆后效性将各阶段按照⼀定的次序排列好之后,对于某个给定的阶段状态,它以前各阶段的状态⽆法直接影响它未来的决策,⽽只能通过当前的这个状态。
换句话说,每个状态都是过去历史的⼀个完整总结。
这就是⽆后向性,⼜称为⽆后效性。
3、⼦问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。
其中的关键在于解决冗余,这是动态规划算法的根本⽬的。
动态规划实质上是⼀种以空间换时间的技术,它在实现的过程中,不得不存储产⽣过程中的各种状态,所以它的空间复杂度要⼤于其它的算法。
背包问题的数学模型摘要:1.背包问题的定义2.背包问题的数学模型3.背包问题的求解方法4.背包问题的应用实例正文:一、背包问题的定义背包问题是一个经典的优化问题,它的问题是给定一个背包和n 种物品,其中,背包的容量为V,第i 种物品的质量为c_i,价值为p_i,如何通过物品选择,使得装入背包中的物品总价值最大。
二、背包问题的数学模型为了更好地理解背包问题,我们可以将其建立一个数学模型。
假设有n 种物品,分别用v_i 表示第i 种物品的价值,c_i 表示第i 种物品的质量,那么背包问题的数学模型可以表示为:f(x) = max {v_1x_1 + v_2x_2 +...+ v_nx_n}s.t.c_1x_1 + c_2x_2 +...+ c_nx_n <= Vx_i >= 0, i = 1,2,...,n其中,f(x) 表示背包中物品的总价值,x_i 表示第i 种物品的数量,V 表示背包的容量,c_i 表示第i 种物品的质量,v_i 表示第i 种物品的价值。
三、背包问题的求解方法背包问题的求解方法有很多,常见的有动态规划法、回溯法、贪心算法等。
这里我们以动态规划法为例进行介绍。
动态规划法的基本思想是将问题分解为子问题,通过求解子问题,最终得到原问题的解。
对于背包问题,我们可以将问题分解为:在容量为V 的情况下,如何选择物品使得总价值最大。
然后,我们可以通过递归的方式,依次求解子问题,最终得到原问题的解。
四、背包问题的应用实例背包问题是一个非常实用的优化问题,它在现实生活中有很多应用。
例如,一个果农需要根据市场需求和成本,选择合适的水果进行装箱;一个旅行者需要根据行李箱的容量和物品的价值,选择携带的物品等。
这些都可以通过背包问题来求解。
综上所述,背包问题是一个经典的优化问题,它有着广泛的应用。
算法背包问题实验题目:背包问题实验目的:掌握动态规划、贪心算法的原理,并能够按其原理编程实现解决背包问题,以加深对上述方法的理解。
实验内容:一个旅行者准备随身携带一个背包. 可以放入背包的物品有n 种, 每种物品的重量和价值分别为 wj , vj . 如果背包的最大重量限制是 b, 怎样选择放入背包的物品以使得背包 的价值最大? 目标函数: 约束条件: 线性规划问题由线性条件约束的线性函数取最大或最小的问题整数规划问题 线性规划问题的变量 xj 都是非负整数Fk(y):装前 k 种物品, 总重不超过 y, 背包的最大价值i(k,y):装前 k 种物品, 总重不超过 y, 背包达最大价值时装入物品的最大标号 递推方程、边界条件、标记函数实例计算:v1 = 1, v2 = 3, v3 = 5, v4 = 9, w1 = 2, w2 = 3, w3 = 4, w4 = 7, b = 10Fk(y) 的计算表如下: K/y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 0 1 3 3 4 6 6 7 9 9 3 0 1 3 5 5 6 8 10 10 11 4135569101012实验步骤: 1、分析题目;2、打开NetBeans 软件,新建一个名叫 Knapsackdxj 的项目,并对其进行保存;N,max 11∈≤∑∑==j nj j jnj jj x b x wx v)()(0,0)0(,0,0)(})(),(max{)(11101<-∞=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=≤≤=≤≤=+-=-y y F v w y y F nk F b y y F v w y F y F y F k k k k k k k3在新建的项目下对我们所分析的题目进行编写;4、调试所编写的程序;5、运行文件,并对其进行测试,看是否正确。
实验结果:实验小结:在做本次实验之前,自己对动态规划、贪心算法的原理不是非常的理解,花了很多时间看了课本上的相关内容。
背包算法原理
背包算法(Knapsack algorithm)是一种组合优化算法,用于
在有限的背包容量下,选取一组物品放入背包中,使得物品的总价值最大化。
背包算法的原理如下:
1. 将问题抽象为背包问题:将要选择的物品作为一个集合,并确定每个物品的价值和容量。
2. 定义一个二维数组dp,dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容
量为j时能够达到的最大价值。
3. 初始化dp数组:dp[0][j] = 0,表示前0个物品时,背包容
量为j时的最大价值为0;dp[i][0] = 0,表示背包容量为0时,无论前几个物品都无法装入。
4. 通过遍历物品的集合,更新dp数组中的值:
- 若第i个物品的容量小于等于当前背包容量j,则有两种情况:
- 不选第i个物品,背包的最大价值为dp[i-1][j];
- 选第i个物品,背包的最大价值为dp[i-1][j-第i个物品的
容量] + 第i个物品的价值。
- 取两种情况的较大值作为dp[i][j]的值。
- 若第i个物品的容量大于当前背包容量j,则无法选择第i
个物品,背包的最大价值为dp[i-1][j]。
5. 所求的最大价值为dp[n][C],其中n为物品的数量,C为背
包的容量。
背包算法的优化可以通过使用滚动数组或压缩空间的方式,减少空间的使用开销。
背包问题报告小组成员:张灿、吴雪涛、高坤、占强、习慧平小组分工情况小组成员查找资料制作ppt 编写程序讲解ppt 制作报告张灿ⅴⅴⅴⅴⅴ吴雪涛ⅴ高坤ⅴⅴ占强ⅴ习慧平ⅴ背包问题一、背包问题的历史由来它是在1978年由Merkel和Hellman提出的。
它的主要思路是假定某人拥有大量物品,重量各不同。
此人通过秘密地选择一部分物品并将它们放到背包中来加密消息。
背包中的物品中重量是公开的,所有可能的物品也是公开的,但背包中的物品是保密的。
附加一定的限制条件,给出重量,而要列出可能的物品,在计算上是不可实现的。
背包问题是熟知的不可计算问题,背包体制以其加密,解密速度快而其人注目。
在解决大量的复杂组合优化问题时,它常常作为一个子问题出现,从实际的观点看,许多问题可以用背包问题来描述,如装箱问题,货仓装载,预算控制,存储分配,项目选择决策等,都是典型的应用例子。
随着网络技术的不断发展,背包公钥密码在电子商务中的公钥设计中也起着重要的作用。
然而当问题的规模较大时,得到最优解是极其困难的。
但是,大多数一次背包体制均被破译了,因此现在很少有人使用它。
二、背包问题的描述背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。
问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学,计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题,即在总重量不超过W的前提下,总价值是否能达到V?三、背包问题的定义我们有n种物品,物品j的重量为w j,价格为p j。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个,则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为:maximizesubject to如果限定物品j最多只能选择b j个,则问题称为有界背包问题。
遗传算法求解01背包问题一、问题描述01背包问题属于组合优化问题的一个例子,求解01背包问题的过程可以被视作在很多可行解当中求解一个最优解。
01背包问题的一般描述如下:给定n个物品和一个背包,物品i的重量为W i,其价值为V i,背包的容量为C。
选择合适的物品装入背包,使得背包中装入的物品的总价值最大。
注意的一点是,背包内的物品的重量之和不能大于背包的容量C。
在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有两种选择:装入背包或者不装入背包,即只能将物品i装入背包一次。
称此类问题为0/1背包问题。
01背包问题是NP问题,传统的解决方法有动态规划法、分支界限法、回溯法等等。
传统的方法不能有效地解决01背包问题。
遗传算法(Genetic Algorithms)则是一种适合于在大量的可行解中搜索最优(或次优)解的有效算法。
二、遗传算法1、遗传算法的基本思想遗传算法的搜索从一个被称作种群的候选解集开始,新的种群由旧的种群中产生以期得到更好的种群。
从旧种群中按照解的适应度来选择解以产生新的解;适应度越大,解被选择生成后代的机率也越大。
这个从已有种群中选择双亲并产生后代的迭代过程持续到遗传算法的停止条件满足为止。
2、遗传算法的基本元素。
遗传算法由以下几个原素组成:由染色体组成的种群,根据适应度进行选择以及交叉产生后代。
三、用遗传算法求解01背包问题1、01背包问题中染色体的表示。
用向量X来表示染色体,X = {x1,x2,……,x n}。
,x i∈{0,1},x i=1表示物品i装入了背包,x i =0表示物品i未装入背包。
每个染色体对应其当前装入背包的物品的总价值和总重量。
背包中物品的中价值代表了该物品的适应度。
程序中定义了这样的一个结构来表示染色体:typedef struct{int Weight; //染色体代表的物品的总重量int Fitness; //染色体代表的物品的价值(适应度)int Gene[NUMG]; //用元素取值于定义域{0,1}的数组表示染色体。
背包之01背包、完全背包、多重背包详解首先说下动态规划,动态规划这东西就和递归一样,只能找局部关系,若想全部列出来,是很难的,比如汉诺塔。
你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2,再把最后一层移动到3,最后再把其余的从2移动到3,这是一个直观的关系,但是想列举出来是很难的,也许当层数n=3时还可以模拟下,再大一些就不可能了,所以,诸如递归,动态规划之类的,不能细想,只能找局部关系。
1.汉诺塔图片(引至杭电课件:DP最关键的就是状态,在DP时用到的数组时,也就是存储的每个状态的最优值,也就是记忆化搜索)要了解背包,首先得清楚动态规划:动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:1. 描述一个最优解的结构;2. 递归地定义最优解的值;3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值;4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。
其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。
如果题目只要求最优解的值,则步骤4可以省略。
背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西当前状态以前状态看了dd大牛的《背包九讲》,迷糊中带着一丝清醒,这里我也总结下01背包,完全背包,多重背包这三者的使用和区别,部分会引用dd大牛的《背包九讲》,如果有错,欢迎指出。
(留言即可)首先我们把三种情况放在一起来看:01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。
(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。
第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。
第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。
背包之01背包、完全背包、多重背包详解首先说下动态规划,动态规划这东西就和递归一样,只能找局部关系,若想全部列出来,是很难的,比如汉诺塔。
你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2,再把最后一层移动到3,最后再把其余的从2移动到3,这是一个直观的关系,但是想列举出来是很难的,也许当层数n=3时还可以模拟下,再大一些就不可能了,所以,诸如递归,动态规划之类的,不能细想,只能找局部关系。
1.汉诺塔图片(引至杭电课件:DP最关键的就是状态,在DP时用到的数组时,也就是存储的每个状态的最优值,也就是记忆化搜索)要了解背包,首先得清楚动态规划:动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:1. 描述一个最优解的结构;2. 递归地定义最优解的值;3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值;4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。
其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。
如果题目只要求最优解的值,则步骤4可以省略。
背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西当前状态以前状态看了dd大牛的《背包九讲》01背包,完全背包,多重背包这三者的使用和区别,部分会引用dd大牛的《背包九讲》,如果有错,欢迎指出。
(留言即可)首先我们把三种情况放在一起来看:01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。
(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。
第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。
第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
背包算法1)登上算法用登山算法求解背包问题function []=DengShan(n,G,P,W) %n是背包的个数,G是背包的总容量,P是价值向量,W是物体的重量向量%n=3;G=20;P=[25,24,15];W2=[18,15,10];%输入量W2=W; [Y,I]=sort(-P./W2);W1=[];X=[];X1=[]; for i=1:length(I) W1(i)=W2(I(i)); end W=W1; for i=1:n X(i)=0; RES=G;%背包的剩余容量j=1; while W(j)<=RES X(j)=1; RES=RES-W(j); j=j+1; end X(j)=RES/W(j); end for i=1:length(I) X1(I(i))=X(i); end X=X1; disp('装包的方法是');disp(X);disp(X.*W2);disp('总的价值是:');disp(P*X');时间复杂度是非指数的2)递归法先看完全背包问题一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包,现在有n种物品,每件的重量分别是W1,W2,...,Wn,每件的价值分别为C1,C2,...,Cn.若的每种物品的件数足够多.求旅行者能获得的最大总价值。
本问题的数学模型如下:设f(x)表示重量不超过x公斤的最大价值,则f(x)=max{f(x-i)+c[i]} 当x>=w[i] 1<=i<=n可使用递归法解决问题程序如下:program knapsack04;const maxm=200;maxn=30;type ar=array[0..maxn] of integer;var m,n,j,i,t:integer;c,w:ar;function f(x:integer):integer;var i,t,m:integer;beginif x=0 then f:=0 elsebegint:=-1;for i:=1 to n dobeginif x>=w[i] then m:=f(x-i)+c[i];if m>t then t:=m;end;f:=t;end;end;beginreadln(m,n);for i:= 1 to n doreadln(w[i],c[i]);writeln(f(m));end.说明:当m不大时,编程很简单,但当m较大时,容易超时.4.2 改进的递归法改进的的递归法的思想还是以空间换时间,这只要将递归函数计算过程中的各个子函数的值保存起来,开辟一个一维数组即可程序如下:program knapsack04;const maxm=2000;maxn=30;type ar=array[0..maxn] of integer;var m,n,j,i,t:integer;c,w:ar;p:array[0..maxm] of integer;function f(x:integer):integer;var i,t,m:integer;beginif p[x]<>-1 then f:=p[x]elsebeginif x=0 then p[x]:=0 elsebegint:=-1;for i:=1 to n dobeginif x>=w[i] then m:=f(i-w[i])+c[i];if m>t then t:=m;end;p[x]:=t;end;f:=p[x];end;end;beginreadln(m,n);for i:= 1 to n doreadln(w[i],c[i]);fillchar(p,sizeof(p),-1);writeln(f(m));end.3)贪婪算法改进的背包问题:给定一个超递增序列和一个背包的容量,然后在超递增序列中选(只能选一次)或不选每一个数值,使得选中的数值的和正好等于背包的容量。
01背包问题三维组数转移方程01背包问题是一种经典的动态规划问题,主要解决的是在给定的背包容量和物品集合下,如何选择物品使得总价值最大化的问题。
普通的01背包问题以物品数量和背包容量为两个维度,而三维01背包问题则在此基础上增加了一个维度,即物品数量的限制。
下面将详细介绍三维01背包问题以及相关的转移方程。
一、背包问题概述背包问题是计算机算法中一个经典的问题,它可以追溯到20世纪50年代,最早由Bellman和Dantzig提出。
背包问题可以分为多种类型,其中最基础的是01背包问题。
在01背包问题中,有一系列物品,每个物品有自己的价值和重量,同时有一个背包容量限制。
问题的目标是在不超过背包容量的前提下,选择一些物品放入背包,使得背包中物品的总价值最大化。
二、三维01背包问题定义三维01背包问题是在普通的01背包问题基础上增加了一个维度,即每个物品的数量有限制。
具体定义如下:假设有n种不同的物品,每种物品有自己的价值v[i]、重量w[i]和数量c[i],其中1 <= i <= n。
现有一个容量为V的背包,问如何选择物品放入背包,使得背包中物品的总价值最大。
要求:每种物品最多只能选择c[i]个(0 <= c[i] <= 100)。
每种物品最多只能选取1个,并且只有选取某个物品的数量达到上限c[i]时,才能继续选取该物品。
三、三维01背包问题的转移方程三维01背包问题的转移方程与普通的01背包问题类似,只是多了一个维度。
我们可以使用动态规划来解决三维01背包问题,其中dp[i][j][k]表示前i种物品,在背包容量为j的情况下,选择物品数量达到k时的最大价值。
那么转移方程如下:dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j - w[i]*l][k-l] + v[i]*l),其中0 <= l <= min(k, j/w[i])。
上述转移方程的含义是在选择第i种物品时,我们有l个物品的数量达到上限c[i],放入背包中,此时总价值为dp[i-1][j -w[i]*l][k-l] + v[i]*l。
实验题目:背包问题一、要解决的问题有个T体积的背包和N件体积的为W1,W2,W3……Wn的物品,从物品中挑出若干件恰好装满背包,要求找出所有的组解。
二、算法的基本思想描述1、把物品的体积放入一个数组;分别为 a[1]……a[n]2、把a[1]到a[k](k<=n)依次放入背包,假如背包的剩余体积大于0,标记当前放入的物品为1;假如背包的剩余体积等于0,打印出标记过的数a[i];3、用递归的方法循环2步骤,直至完成所有的组解。
4、用主函数调用此递归函数三、数据结构与算法的设计1、int a[ ]={w1,w2,w3,w4,w5,w6,}; 物品的体积放入数组。
2、Biaoji[ ]={0,0,0,0,0,0,}; 标记是否符合条件的数组初始化3、Void bei bao (int T,int n,int biaoji[ ]){ int i;int a[6]={1,8,4,3,5,2};if(T==0){printf("第%d个方案是: ",++m);for(i=0;i<6;i++){if(biaoji[i]==1)printf("%4d",a[i]);} printf("\n");}else if(T>0&&n>0){biaoji[n-1]=1;beibao(T-a[n-1],n-1,biaoji);biaoji[n-1]=0;beibao(T,n-1,biaoji);}}四、模块的结构和功能模块一:主程序运行整个程序的必须结构。
模块二:递归函数求背包问题全解的组合。
五、主要模块算法描述if(T==0){printf("第%d 种组合是:",++m);当背包的剩余体积为空,打印出这是循环的第几组的解for(i=0;i<6;i++)if(biaoji[i]==1) printf("%d",a[i]);printf("\n"); }打印放入背包中被标志为1的物品的体积else if(T>0&&n>0)当背包的体积还有剩余的时候,{biaoji[n-1]=1;标记当前的物品,放入背包beibao(T-a[n-1],n-1,biaoji);转化为T-a[ ]的背包问题biaoji[n-1]=0;标记当前物品不符合条件,不放入背包beibao(T,n-1,biaoji);}} 剩余体积还是T,判断下一个物品的体积六、源程序及模块函数声明int m=0;int biaoji[]={0,0,0,0,0,0};void beibao(int T,int n,int biaoji[ ]){ int i;int a[6]={2,5,8,3,6,4};if(T==0){printf("第%d种组合是:",++m);for(i=0;i<8;i++)if(biaoji[i]==1) printf("%d",a[i]); printf("\n"); }else if(T>0&&n>0){ biaoji[n-1]=1;beibao(T-a[n-1],n-1,biaoji);biaoji[n-1]=0;beibao(T,n-1,biaoji);}}main(){ beibao(15,6,biaoji);getch();}七、测试数据及测试结果测试数据:2,5,8,3,6,4测试结果:第1种组合是:2 3 6 4第2种组合是:5 6 4第3种组合是:8 3 4第4种组合是:2 5 8实验题目:模拟停车场管理的问题一、要解决的问题设停车场只有一个可停放几辆汽车的狭长通道,且只有一个大门可以供汽车进出.汽车在停车场按车辆到来的先后顺序依次排列,若车场内已停满几辆汽车,则后来的汽车只能在门外的便道上等候,一旦停车场内有车开走,则排在便道上第一辆车即可进入;当停车场内某辆车要离开时,由于停车场是狭长的通道,在它之后开入的车辆必须先退出车场为它让路,待该辆车开出大门后,为它让路的车辆再按次序进入车场二、算法的基本思想描述用一个栈s1来充当停车场用于存放汽车,用一个队来表示便道用于存放等候入停车场的汽车,当s1中的一辆车要开出时,将其上面的车先出栈存于另一人栈s2中,等车开出后,栈s2中的车又回到s1中,再从队中补充一辆车到栈s1中,直至s1栈满为止.三、数据结构与算法的设计1、数据结构的设计:typedef int datatype;typedef struct{int data[Maxsize];int top;}Seqstack;typedef struct{datatype data[Maxsize];int front,rear;}Sequeue;2、算法的设计:a.先建一个栈s1用于存放汽车b.再建一个队q用于存放等候入栈的汽车c.再建一个栈s2用于当栈s1中汽车出栈时,其后汽车暂时存放的地方d.当栈s1中有汽车出栈时,队q中需入栈补充直至栈满四、模块结构:五、主要模块算法描述1)栈和队的初始化。
2)入栈及入队的调用函数3)m ain(){for(i=1;i<=n;i++)while(栈不为空)将车的序号入栈;else 就入队;输入要出栈的车的序号i;将i后面的车先出栈,并暂存在另一个栈中;再将该车的序号出栈;将另一个栈中的车号出栈并重新回到栈s1中;}由于有车出栈,所以栈未满,要从队中的等候车中入栈,直到栈满为止;打印最后栈s1中车号;打印最后队中的车号;}六、源程序及模块函数声明#define Maxsize 10typedef int datatype;typedef struct (定义栈的类型){int data[Maxsize];int top;}Seqstack;Seqstack *Init_Seqstack()(栈的初始化){Seqstack *s;s=(Seqstack *)malloc(sizeof(Seqstack));s->top=0;return s;}int Push_Seqstack(Seqstack *s,datatype x)(入栈操作){if(s->top==Maxsize)return 0;else{s->top++;s->data[s->top]=x;return 1;}}typedef struct(定义队列的类型){datatype data[Maxsize];int front,rear;}Sequeue;Sequeue *Init_Sequeue()(队列的初始化){Sequeue *q;q=(Sequeue *)malloc(sizeof(Sequeue));q->front=q->rear=-1;return q;}int In_Sequeue(Sequeue *q,datatype x)(入队操作){if(q->rear==Maxsize-1) return -1;else { q->data[q->rear]=x;q->rear++;return 1;}}main(){int i,j,n,k;Seqstack *s1,*s2;(构造栈s1,s2)Sequeue *q;(构造队列q)s1=Init_Seqstack();s2=Init_Seqstack();q=Init_Sequeue();(栈s1,s2,队列q的初始化)printf(" How many cars are there?\n "); (输入车辆总数)scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){if(s1->top!=Maxsize)Push_Seqstack(s1,i); (将车开入停车场栈s1)elseIn_Sequeue(q,i); (多余的车停在过道队列q上)}printf("The cars in the stop are:\n");for(i=1;i<=s1->top;i++)printf("%d ",s1->data[i]); (输出在停车场内的车)printf("\n\n");printf("The cars in the path are:\n");for(j=q->front;j<q->rear;j++)printf("%d ",q->data[j]); (输出在过道上的车)printf("\n\n");printf("which car will leave the stop: \n");scanf("%d",&i); (输入要离开的车的号码)while(s1->top!=i){k=s1->data[s1->top];Push_Seqstack(s2,k); (让路的车进入暂停处栈s2)s1->top--;}s1->top=i-1; (车离开)while(s2->top!=0){k=s2->data[s2->top];Push_Seqstack(s1,k); (让路的车按顺序回到停车场)s2->top--;}if(q->front!=q->rear){k=q->data[q->front];if(s1->top<Maxsize){Push_Seqstack(s1,k); (过道上的第一辆车进入停车场)q->front++;}}printf("\n\n");printf("Now the cars in the stop are:\n");(输出在停车场内的车)for(j=1;j<s1->top;j++)printf("%d ",s1->data[j]);printf("\n\n");printf("Now the cars in the path are:\n");(输出在过道上的车)for(i=q->front;i<q->rear;i++)printf("%d ",q->data[i]);if(q->front==q->rear)printf("There is no car!"); (表示过道上无车停靠)}七、测试数据及测试结果How many cars are there?15The cars in the stop are:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10The cars in the path are:11 12 13 14 15which car will leave the stop:5Now the cars in the stop are:1 2 3 4 6 7 8 9 10 11Now the cars in the path are:12 13 14 15八、心得体会很多同学都不喜欢程序设计专周,认为专周的时候要整天面对电脑里的蓝色的屏幕,而且专周任务又难又紧,很烦。